рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Раздел Математика
/
По дисциплине Элементы высшей математики

Реферат Курсовая Конспект

Выберите учебное заведение

По дисциплине Элементы высшей математики

По дисциплине Элементы высшей математики - раздел Математика, Государственное Образовательное Учреждение Среднего Профессиональног...

Государственное образовательное учреждение

среднего профессионального образования Ярославской области

Ярославский градостроительный колледж

Учебно-методическое пособие по организации самостоятельной внеаудиторной работы студентов

подисциплине

Элементы высшей математики

для специальности

230111 КОМПЬЮТЕРНЫЕ СЕТИ

230401 ИНФОРМАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ (ПО ОТРАСЛЯМ)

по программе базовой подготовки

Часть 3

Идентификационный номер

ДСМК-2.4 ИС ЕН.01

Номер экземпляра ________________ Место хранения _____________

Ярославль 2013 г.

Рассмотрено и одобрено

Протокол № 6 от 09.01.2013 г. Руководитель кафедры: ____________ Н.В. Шереметьева

СОДЕРЖАНИЕ

Пояснительная записка. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Рекомендации по работе с учебно-методическим пособием. . . . . . . . . . . . . . . .
Рекомендации по выполнению разных видов самостоятельной работы. . . . .
Задания для самостоятельной работы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Раздел 3. Основы математического анализа Тема 3.6. Теория рядов
Задание 38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Задание 39 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Задание 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Задание 41 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Задание 42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Задание 43 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Тема 3.7. Обыкновенные дифференциальные уравнения
Задание 44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Задание 45 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Задание 46 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Задание 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Задание 48 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Задание 49 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Задание 50 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Раздел 4. Основы теории комплексных чисел
Тема 4.1. Формы комплексных чисел
Задание 52 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Задание 52 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Задание 53 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Тема 4.2. Переход между различными формами комплексных чисел
Задание 54 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Раздел 5. Использование пакетов прикладных программ при решении задач высшей математики
Тема 5.1. Использование пакетов прикладных программ при решении задач высшей математики
Задание 55 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Критерии оценки выполнения самостоятельной работы. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Список рекомендуемой литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Методические указания по выполнению внеаудиторной самостоятельной работы составлены для студентов специальностей 230111 «Компьютерные сети», 230401… Целями самостоятельной работы студентов по дисциплине «Элементы высшей… · систематизация и закрепление полученных теоретических знаний и практических навыков;

РЕКОМЕНДАЦИИ ПО РАБОТЕ С УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИМ ПОСОБИЕМ

Уважаемые студенты!

Прежде чем приступить к выполнению заданий, прочтите рекомендации по работе с данным учебно-методическим пособием.

Главное, чему Вы должны научиться при изучении математики – умению мыслить, анализировать, рассуждать, и, конечно же, решать задачи.

Каждая задача по математике – особенная, и нужно постараться найти путь, ключ к ее решению.

Последовательно выполняя задания из предложенного пособия, Вы освоите материал важных разделов математического анализа, без знания которых невозможно стать специалистом в области современных компьютерных технологий.

Не торопитесь сразу же решать задачи, заданные преподавателем!

Внимательно изучите теоретический материал!

Такие задания в пособии обозначены символом &.

Затем постарайтесь самостоятельно решить задачи.

Не забудьте выписать исходные данные, решение, ответ.

Задания для письменного решения обозначены в пособии символом ?,

А задачи с интересной формулировкой – символом i.

Если Вы никак не можете отыскать ключ к решению задачи, внимательно прочтите

методические указания по выполнению работы. В них вы найдете:

· основные правила, формулы, теоремы;

· указания, как решать задачи данного типа;

Разобранные примеры решения ключевых задач.

Если Вас заинтересовала эта тема, Вы хотите испытать себя и решить более сложные задачи, то попробуйте решить задачи, обозначенные символом ¶. Техники и приёмы решения подобных задач могут с успехом быть Вами использованы при подготовке к олимпиадам по Вашей специальности.

Если Вы хотите узнать о критериях оценки, которые поставит Вам преподаватель за выполненную работу, обратитесь к критериям оценки (стр. 57)

Помните, что работа должна быть выполнена к следующему занятию по дисциплине!

Успехов Вам!!!

Если знания, полученные на занятии, не кажутся Вам исчерпывающими, обратитесь

к списку рекомендуемой литературы (стр. 58).
РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ РАЗНЫХ ВИДОВ

САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

Как самостоятельно изучить теоретический материал

Советуем Вам соблюдать следующие правила: Правило 1. Внимательно прочтите материал несколько раз. Это не займет много… При первом прочтении нужно ставить цель - понять, а не запомнить. Обычно для достижения хорошего понимания материала…

Как составить обобщающую таблицу по теме

2. Внимательно изучите материал учебника, рекомендованного преподавателем (см. рекоменации 1), или конспект лекций. Выделите ключевое понятие,… 3. Проработайте ключевое понятия темы: · выделите существующие виды ключевого понятия;

Как подготовить доклад

Доклад имеет следующую структуру: · план; · основную часть;

Дисциплина: Элементы высшей математики

Выполнил: студент группы ___

__________________________

Проверил: преподаватель

____________________________

Ярославль, ____ год

Как создать презентацию

Презентация по заданной тематике должна иметь следующую структуру: 1. титульный слайд (название работы, авторы); 2. план презентации (желательно наличие гиперссылок для удобства перехода к нужным слайдам);

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

Раздел 3. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Тема 3.6. Теория рядов

Задание 38. Применение необходимого признака сходимости и свойств рядов – 1 ч.

Цель: формирование умения применять необходимый признак сходимости и свойства рядов при исследовании сходимости рядов.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

&38.1. Выясните, что называется числовым рядом. Выучите определения сходящегося и расходящегося числового ряда. Проанализируйте, в чём заключается их глобальное отличие.

&38.2.Сформулируйте необходимый признак сходимости. Внимательно изучите пример и запомните технику проверки выполнения необходимого признака сходимости для ряда.

?38.3. Установите, выполняется ли для следующих рядов необходимый признак сходимости:

а) ; б) ; в) ; ¶г) ; ¶д)

&38.4. Проанализируйте, почему необходимый признак сходимости не является достаточным. Выясните, в чём заключается достаточное условие расходимости ряда. Рассмотрите пример его использования для ряда .

?38.5. Применяя достаточное условие расходимости ряда, определите, какие из следующих рядов расходятся:

а) ; б) ; в) ¶ .

&38.6. Перечислите основные свойства рядов. Изучите примеры их использования при исследовании рядов на сходимость.

?38.7. Известно, что ряды и сходятся, а ряды и расходятся. Применяя свойства рядов, исследуйте на сходимость заданные ряды:

а) ; б) ; в) ; ¶г) .

Методические указания по выполнению работы:

Для успешного решения задач необходимо знание следующего теоретического материала:

Пусть задана бесконечная числовая последовательность : . Выражение вида называется числовым рядом. Числа называются членами ряда (соответственно первым, вторым и т.д. , n-м или общим).

Для сокращенного обозначения ряда используется знак суммирования , а именно:

Рассмотрим ряд Будем последовательно складывать его члены:

Полученные суммы называются частичными суммами ряда. Рассмотрим бесконечную числовую последовательность частичных сумм ряда . Ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности частичных сумм ряда, т.е. . Данный предел называют суммой ряда. Таким образом, сходящийся ряд имеет сумму (ему можно приписать конкретное число).

Ряд называется расходящимся, если предел последовательности частичных сумм равен бесконечности или вовсе не существует. Расходящийся ряд суммы не имеет (ему нельзя приписать конкретное число).

Важными механизмами в установлении сходимости или расходимости ряда без использования последовательности его частичных сумм являются специальные признаки сходимости. Первый из них – необходимый признак сходимости.

Необходимый признак сходимости ряда: если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю, т.е.

Пример 1. Проверьте, выполняется ли необходимый признак сходимости для ряда .

Решение. Найдём общий член ряда : . Вычислим . Так как , следовательно, необходимый признак сходимости для ряда выполняется. Однако, для установления сходимости (расходимости) ряда требуются дополнительные исследования.

Ответ: необходимый признак сходимости для ряда выполняется.

Условие стремления общего члена ряда к нулю является необходимым, но не достаточным условием сходимости ряда. Так, для гармонического ряда необходимый признак сходимости выполняется: , однако данный ряд расходится. Поэтому, если общий член ряда стремится к нулю, то о сходимости или расходимости ряда заранее ничего сказать нельзя.

На практике часто используется эквивалентное необходимому условию сходимости достаточное условие расходимости ряда: если или вовсе не существует, то ряд расходится.

Пример 2. Исследуйте ряд на сходимость.

Решение. Найдём общий член ряда : . Вычислим (при раскрытии неопределённости использовали правило Лопиталя). Итак, (необходимый признак сходимости для ряда не выполняется). Таким образом, в силу достаточного условия расходимости, исследуемый ряд расходится.

Ответ: расходится.

Устанавливать сходимость или расходимость ряда в некоторых случаях позволяют свойства рядов. Рассмотрим основные свойства рядов.

Свойство 1. Если к ряду прибавить (или отбросить) конечное число членов, то полученный ряд сходится или расходится одновременно с данным.

Свойство 2. Если ряд сходится, и его сумма равна S, то для произвольного числа c ряд также сходится, и его сумма равна cS. Если же ряд расходится и , то и ряд расходится.

Свойство 3. Если ряды и сходятся, и их суммы равны и соответственно, то сходятся и ряды , причем сумма каждого равна соответственно . Другими словами: сходящиеся ряды можно почленно складывать и вычитать.

Из свойства 3 вытекают два следствия.

Следствие 3.1. Сумма (разность) сходящегося и расходящегося рядов есть расходящийся ряд.

Следствие 3.2. Сумма (разность) двух расходящихся рядов может быть как сходящимся, так и расходящимся рядом.

Рассмотрим примеры использования свойств рядов при установлении их сходимости или расходимости.

Пример 3. Известно, что ряд - сходится, а ряд расходится. Применяя свойства рядов, исследуйте на сходимость ряды: а) ; б) .

Решение. а) Поскольку данный ряд получается из сходящегося ряда умножением на число 7 ( ), следовательно, по свойству числовых рядов (свойство 2), он сходится.

б) Поскольку данный ряд представляет собой сумму сходящегося и расходящегося ряда, значит, по следствию из свойства рядов (следствие 3.1.), он расходится.

Ответ: а) сходится; б) расходится.

Список литературы:

1. Григорьев В.П. Элементы высшей математики: Учеб. для студ. учреждений СПО / В.П.Григорьев, Ю.А.Дубинский. - М.: Издательский центр "Академия", 2012. – 320с. – Глава 10, п.10.1, стр. 223 – 226.

2. Валуцэ И.И. Математика для техникумов на базе средней школы: Учебное пособие. / И.И. Валуцэ, Г.Д. Дилигул.– М.: Наука, 1989. – 576 с. – Глава 12, § 77, стр. 396-407.

Раздел 3. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Тема 3.6. Теория рядов

Задание 39. Исследование сходимости числовых положительных рядов – 3 ч.

Цель: формирование умения применять достаточные признаки (сравнения, Даламбера, радикальный и интегральный Коши) при исследовании рядов на сходимость.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

&39.1.Выучите определение положительного (знакоположительного) ряда. Сформулируйте признак сравнения. Выясните, какова техника его применения для исследования сходимости положительных рядов. Запомните ряды, традиционно использующиеся в качестве «эталонных» для исследования сходимости ряда по признаку сравнения.

?39.2. С помощью признака сравнения исследуйте на сходимость положительные ряды:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

&39.3.Сформулируйте признак Даламбера. Постарайтесь освоить алгоритм, позволяющий исследовать сходимость положительного ряда по признаку Даламбера. Изучите пример исследования сходимости ряда по этому признаку.

?39.4. С помощью признака Даламбера исследуйте на сходимость положительные ряды:

а) ; б) ; в) ; г) .

&39.5.Сформулируйте признак Коши (радикальный). Постарайтесь освоить алгоритм, позволяющий исследовать сходимость положительного ряда по признаку Коши. Изучите пример исследования сходимости ряда по этому признаку.

?39.6. С помощью признака Коши исследуйте на сходимость положительные ряды:

а) ; б) ; в) ;¶ г) .

&39.7. Выясните, в чём заключается интегральный признак Коши, и как он применяется для исследования сходимости положительных рядов.

?39.8. С помощью интегрального признака Коши исследуйте на сходимость положительные ряды:

а) ; б) .

&39.9. Проанализируйте, в каких случаях исследовать положительный ряд на сходимость целесообразно с помощью признака сравнения, в каких – с помощью признака Даламбера, а в каких – с помощью признаков Коши.

¶39.10. Исследуйте на сходимость положительные ряды:

а) ; б) ;в) ; г) ; д) .

Методические указания по выполнению работы:

Для успешного решения задач необходимо знание следующего теоретического материала:

Числовой ряд с неотрицательными членами называется положительным (знакоположительным).

Признак сравнения позволяет исследовать положительный ряд на сходимость путем сравнения его с другим («эталонным») рядом, о котором известно, сходится он или нет.

Признак сравнения: Пусть даны два положительных ряда и . Если, начиная с некоторого номера, выполняется неравенство , то

Ø из сходимости ряда следует сходимость ряда ;

Ø из расходимости ряда следует расходимость ряда .

Другими словами,

Ø если общий член исследуемого ряда меньше общего члена сходящегося ряда, то исследуемый ряд сходится;

Ø если общий член исследуемого ряда больше общего члена расходящегося ряда, то исследуемый ряд расходится.

В качестве «эталонных» обычно используют следующие ряды:

1. - расходящийся гармонический ряд;

2. , если – расходящийся обобщённый гармонический ряд, , если - сходящийся обобщённый гармонический ряд;

3. , если - расходящийся ряд геометрической прогрессии,

, если - сходящийся ряд геометрической прогрессии.

Рассмотрим примеры использования признака сравнения для исследования сходимости положительных рядов.

Пример 1. Исследуйте ряд на сходимость, применяя признак сравнения.

Решение. Сравним данный ряд с «эталонным» рядом геометрической прогрессии , который сходится ( <1). Имеем: . Таким образом, общий член нашего ряда меньше общего члена сходящегося ряда. Следовательно, по признаку сравнения, ряд сходится.

Ответ: сходится.

Пример 2. Исследуйте ряд на сходимость, применяя признак сравнения.

Решение. Рассмотрим ряд . Поскольку он получается из расходящегося гармонического ряда умножением на 2, то, по свойству числовых рядов (свойство 2), он расходится. Сравним исследуемый ряд с рядом . Имеем: , т.е. . Таким образом, общий член исследуемого ряда больше общего члена расходящегося ряда. Следовательно, по признаку сравнения, ряд расходится.

Ответ: расходится.

В отличие от признака сравнения, где многое зависит от догадки и запаса «эталонных» рядов, признак Даламбера часто позволяет исследовать сходимость ряда, проделав лишь некоторые операции над ним.

Признак Даламбера:Пусть дан положительный числовой ряд , и существует конечный или бесконечный предел . Тогда:

· если < 1, то ряд сходится;

· если > 1, то ряд расходится;

· если = 1, то признак не применяется (вопрос о сходимости ряда остается открытым).

Исследовать ряд на сходимость по признаку Даламбера удобно по следующему алгоритму:

1) найти ;

2) найти ;

3) найти ;

4) найти предел отношения на бесконечности и проанализировать полученное значение:

· если < 1, то ряд сходится;

· если > 1, то ряд расходится;

· если =1, то признак Даламбера ответа не дает (требуется дополнительное исследование).

Рассмотрим пример использования признака Даламбера для исследования сходимости положительных рядов.

Пример 3. Исследуйте ряд на сходимость, применяя признак Даламбера.

Решение. Для исследования сходимости ряда по признаку Даламбера воспользуемся алгоритмом:

1) найдём : ;

2) найдём : ;

3) найдём : ;

4)найдём : (при раскрытии неопределенности использовали правило Лопиталя). Получили, что =7> 1. Значит, по признаку Даламбера ряд расходится.

Ответ: расходится.

Заметим, что признак Даламбера целесообразно применять в том случае, когда общий член ряда содержит выражение вида n! или .

Иногда для исследования сходимости положительного ряда удобно использовать радикальный признак Коши, во многом схожий с признаком Даламбера.

Признак Коши (радикальный): Пусть дан положительный числовой ряд ,и существует конечный или бесконечный предел = . Тогда:

· если < 1, то ряд сходится;

· если > 1, то ряд расходится;

· если = 1, признак не применяется (вопрос о сходимости ряда остается открытым).

Исследовать ряд на сходимость по признаку Коши удобно по следующему алгоритму:

1) найти ;

2) найти ;

3) найти и проанализировать полученное значение:

· если < 1, то ряд сходится;

· если > 1, то ряд расходится;

· если =1, то признак Коши ответа не дает (требуется дополнительное исследование).

Пример 4. Исследуйте ряд на сходимость, применяя признак Коши.

Решение. Для исследования сходимости ряда по признаку Коши воспользуемся алгоритмом:

1) найдём : ;

2) найдём : ;

3) найдём : . Получили, что . Значит, по признаку Коши ряд сходится.

Ответ: сходится.

Заметим, что признак Коши целесообразно применять в том случае, когда общий член ряда представляет собой n-ую степень выражения.

В некоторых ситуациях, когда ни один из признаков сравнения, Даламбера, Коши не дает ответ о сходимости положительного ряда, исследовать ряд на сходимость позволяет интегральный признак Коши.

Интегральный признак Коши: Если члены положительного ряда могут быть представлены как числовые значения некоторой непрерывной монотонно убывающей на промежутке функции так, что , то данный ряд и несобственный интеграл одновременно сходятся или расходятся.

Пример 5. Исследуйте ряд на сходимость, применяя интегральный признак Коши.

Решение. Рассмотрим функцию , . Эта функция непрерывна, монотонно убывает на , и , следовательно, можно применить интегральный признак Коши. Выясним, будет ли несобственный интеграл сходиться или расходиться.

Имеем: .

Отдельно найдём неопределённый интеграл методом замены переменной:

Найдем предел:

Таким образом, получили . Следовательно, несобственный интеграл расходится. Значит, в силу интегрального признака Коши, ряд также будет расходиться.

Ответ: расходится.

Список литературы:

2. Валуцэ И.И. Математика для техникумов на базе средней школы: Учебное пособие. / И.И. Валуцэ, Г.Д. Дилигул.– М.: Наука, 1989. – 576 с. – Глава 12, § 78, стр. 408-420.

Раздел 3. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Тема 3.6. Теория рядов

Задание 40. Исследование абсолютной и условной сходимости знакочередующихся рядов – 2 ч.

Цель: формирование умения исследовать знакочередующиеся ряды на абсолютную и условную сходимость.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

&40.1.Запомните определение знакочередующегося ряда. Выучите формулировку достаточного признака сходимости знакочередующегося ряда – признака Лейбница. Постарайтесь освоить алгоритм работы с этим признаком.

?40.2. Используя признак Лейбница, исследуйте на сходимость знакочередующиеся ряды:

а) ; б) ; в) ; ¶г)

&40.3. Выучите, какой знакочередующийся ряд называется абсолютно сходящимся. Выясните, какова техника исследования ряда на абсолютную сходимость. Внимательно изучите пример такого исследования.

&40.4. Выучите, какой знакочередующийся ряд называется условно сходящимся. Проанализируйте, в чём заключается отличие абсолютно сходящегося ряда от условно сходящегося. Выясните, какой алгоритм позволяет исследовать характер сходимости знакочередующегося ряда. На примере ряда постарайтесь его освоить.

?40.5. Определите, какие из следующих знакочередующихся рядов сходятся абсолютно, какие – условно, какие – расходятся:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ;

е) ; ж) ; з) ; и) ; ¶к) ; ¶л) .

Методические указания по выполнению работы:

Для успешного решения задач необходимо знание следующего теоретического материала:

Ряд называется знакочередующимся, если положительные и отрицательные члены ряда следуют друг за другом поочередно:

где для всех .

Для знакочередующихся рядов имеет место достаточный признак сходимости - признак Лейбница.

Признак Лейбница. Если последовательность абсолютных величин членов знакочередующегося ряда монотонно убывает и общий член ряда стремится к нулю то знакочередующийся ряд сходится.

Доказывать сходимость знакочередующегося ряда по признаку Лейбница удобно с помощью алгоритма:

1. выписать модуль общего члена исходного ряда ;

2. найти , и проверить выполнение неравенств: ;

3. найти предел общего члена ряда и убедиться в том, что он равен нулю.

Пример 1. Исследуйте сходимость знакочередующегося ряда с помощью признака Лейбница.

Решение. Для исследования сходимости знакочередующегося ряда по признаку Лейбница воспользуемся алгоритмом.

1. Выпишем модуль общего члена исходного ряда: .

2. Найдём , : . Неравенства справедливы, т.к. (тем самым первое условие признака Лейбница выполняется).

3. Найдём (второе условие признака Лейбница выполняется).

Следовательно, по признаку Лейбница знакочередующийся ряд сходится.

Ответ: сходится.

Знакочередующийся ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из модулей его членов .

Заметим по определению, что исследование абсолютной сходимости знакочередующегося ряда фактически сводится к исследованию сходимости положительного ряда. Таким образом, для этой цели можно использовать все признаки сходимости положительных рядов.

Пример 2. Докажите, что знакочередующийся ряд абсолютно сходится.

Доказательство. Составим ряд из модулей членов данного ряда: .

Исследуем полученный положительный ряд на сходимость с помощью признака Даламбера по алгоритму.

1. Найдём : .

2. Найдём : .

3. Найдём : .

4. Найдём .

В итоге, . Значит, по признаку Даламбера ряд сходится. Следовательно, по определению, знакочередующийся ряд абсолютно сходится, что и требовалось доказать.

Для абсолютно сходящихся рядов справедливо утверждение: если знакочередующийся ряд абсолютно сходится, то он и просто сходится.

Знакочередующийся ряд называется условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов , расходится.

Пример 3. Докажите, что знакочередующийся ряд условно сходится.

Доказательство. Исследуем сходимость знакочередующегося ряда с помощью признака Лейбница по алгоритму.

1. Выпишем модуль общего члена исходного ряда: .

2. Найдём : . Неравенства справедливы, т.к. (первое условие признака Лейбница выполнено).

3. Найдём (второе условие признака Лейбница выполнено).

Следовательно, по признаку Лейбница знакочередующийся ряд сходится.

Исследуем сходимость ряда, составленного из модулей членов данного знакочередующегося ряда. Ряд является расходящимся гармоническим рядом. Следовательно, по определению, знакочередующийся ряд условно сходится, что и требовалось доказать.

Для определения характера сходимости знакочередующегося ряда удобно использовать следующий алгоритм:

1. составить ряд из модулей членов данного ряда: ;

2. исследовать положительный ряд на сходимость;

3. если ряд сходится, то знакочередующийся ряд абсолютно сходится (следовательно, и просто сходится);

4. если ряд расходится, то исследовать знакочередующийся ряд на сходимость;

5. сделать вывод об условной сходимости знакочередующегося ряда .

Пример 4. Исследуйте характер сходимости знакочередующегося ряда .

Решение. Для исследования характера сходимости знакочередующегося ряда воспользуемся алгоритмом.

1. Составим ряд из модулей членов данного ряда: .

2. Исследуем полученный положительный ряд на сходимость с помощью признака Коши, т.к. общий член ряда представляет собой n-ую степень выражения :

· выпишем :

· найдём

(при раскрытии неопределенности использовали правило Лопиталя). В итоге, . Значит, по признаку Коши ряд сходится.

3. Поскольку ряд сходится, то по определению, знакочередующийся ряд абсолютно сходится (следовательно, и просто сходится).

Ответ: абсолютно сходится.

Список литературы:

2. Валуцэ И.И. Математика для техникумов на базе средней школы: Учебное пособие. / И.И. Валуцэ, Г.Д. Дилигул.– М.: Наука, 1989. – 576 с. – Глава 12, § 79, стр. 420-426.

Раздел 3. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Тема 3.6. Теория рядов

Задание 41. Нахождение радиуса и интервала сходимости степенного ряда – 1 ч.

Цель: формирование умения находить радиус и интервал сходимости степенных рядов.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

&41.1.Выучите определение степенного ряда. Сформулируйте определение радиуса сходимости степенного ряда. Выясните, какова техника его нахождения.

&41.2. Проанализируйте, в каких случаях для вычисления радиуса сходимости степенного ряда l удобно искать по формуле l= , а в каких – по формуле – l= . Внимательно изучите примеры, позволяющие находить радиус сходимости степенного ряда.

i41.3. Найдите радиус сходимости степенного ряда:

а) ; б) ; в) ;

г) ; ¶д) .

Выполнив задание i41.3. и заменив получившиеся ответы буквами из таблицы, Вы откроете фамилию математика – автора теоремы:

Памятник учёному

Если степенной ряд сходится в точке , то он сходится, и притом абсолютно, для всех х, удовлетворяющих неравенству: .

Его работы в теории рядов фундаментальны. Огромное число понятий и теорем в различных областях математики носит его имя. За свою короткую жизнь этот учёный сделал важнейшее для науки открытие: доказал, что алгебраические уравнения степени выше четвёртой в общем случае неразрешимы в радикалах.

На его родине знаменитому математику установлен необычный памятник. По круто поднимающейся гранитной глыбе молодой человек с одухотворённым лицом шагает ввысь, переступая через два отвратительных чудовища. Что они символизируют? Одни математики, шутя, говорят, что они изображают уравнения пятой степени и эллиптические функции, побеждённые учёным. Другие утверждают, что скульптор воплотил в образе чудовищ социальную несправедливость. Именно с ней всю жизнь боролся учёный. Только в этой трактовке автор памятника погрешил против истины: не математик победил эти чудовища, а они погубили его…

Фамилия математика – автора теоремы:

а) б) в) г) ¶д)

Карта ответов:

Э У Е Р Т

И А В Й Ь

Л М Н Б О

&41.4.Выучите определение интервала сходимости степенного ряда. Выясните, какова техника его нахождения.

?41.5. Найдите интервал сходимости степенного ряда:

а) ; б) ; в) ; г) ; ¶д) .

Методические указания по выполнению работы:

Для успешного решения задач необходимо знание следующего теоретического материала:

Функциональный ряд вида , членами которого являются степенные функции аргумента х, называется степенным ( – действительная переменная, действительные числа , , ,…, ,… - коэффициенты степенного ряда).

Радиусом сходимости R степенного ряда называется неотрицательное действительное число или + (0 R + ), удовлетворяющее условиям: при всех x, для которых | | < R степенной ряд сходится; при всех х, для которых | | > R, степенной ряд расходится.

Если степенной ряд сходится лишь в одной точке , то его радиус сходимости равен 0: R=0.

Если степенной ряд сходится при всех действительных значениях переменной (во всех точках числовой оси), то его радиус сходимости равен + : R= + .

У любого степенного ряда есть радиус сходимости, найти который позволяет следующая теорема.

Теорема: Если для степенного ряда существуют конечные или бесконечные пределы или , равные l, то радиус сходимости степенного ряда находится по формуле:

R= .

Заметим, что находить l можно, фактически осуществляя ту же последовательность действий, что и в алгоритмах, предназначенных для исследования сходимости положительных рядов по признакам Даламбера и Коши. При этом роль общего члена положительного ряда будет играть коэффициент степенного ряда.

Рассмотрим примеры нахождения радиуса сходимости степенного ряда.

Пример 1. Найдите радиус сходимости степенного ряда .

Решение. Радиус сходимости степенного ряда будем искать по формуле: R= . Поскольку коэффициент степенного ряда содержит выражение , то для нахождения l применим формулу: l = , аналогичную формуле признака Даламбера. Фактически воспользуемся соответствующим алгоритмом. Для этого:

1. найдём коэффициент : = ;

2. найдём коэффициент : = = ;

3. найдём отношение коэффициентов : = : = = = = .

Таким образом, получим l= = = = = = = =9.

Следовательно, так как R = , а l= 9, то R = .

Ответ: R = .

Если для степенного ряда l=0, то его радиус сходимости R равен + : R= + .

Если для степенного ряда l=+ , то его радиус сходимости R равен 0: R= 0.

Пример 2. Найдите радиус сходимости степенного ряда .

Решение. Радиус сходимости степенного ряда будем искать по формуле: R= . Поскольку коэффициент степенного ряда представляет собой n – ую степень выражения : , то для нахождения l применим формулу: l = , аналогичную формуле признака Коши. Фактически воспользуемся соответствующим алгоритмом. Для этого:

1. найдём коэффициент : ;

2. найдём : .

Таким образом, получим .

Следовательно, если , то .

Ответ: .

Если R - радиус сходимости степенного ряда , то множество точек х, удовлетворяющих неравенству , называется интервалом сходимости I степенногоряда. Значит, если R – радиус сходимости степенного ряда , то его интервал сходимости находится следующим образом:

Пример 3. Найдите интервал сходимости степенного ряда .

Решение. Интервал сходимости степенного ряда определяется формулой: Выясним, чему равен радиус сходимости данного степенного ряда. Искать его будем по соотношению: . Для нахождения l применим формулу: l = , аналогичную формуле признака Даламбера. Фактически воспользуемся соответствующим алгоритмом. Для этого:

1. найдём коэффициент : ;

2. найдём коэффициент : ;

3. найдём отношение коэффициентов : .

Таким образом, получим (при раскрытии неопределённости использовали правило Лопиталя). Следовательно, так как , а , то .

Применяя формулу для нахождения интервала сходимости степенного ряда: , получим: .

Ответ: .

Список литературы:

2. Валуцэ И.И. Математика для техникумов на базе средней школы: Учебное пособие. / И.И. Валуцэ, Г.Д. Дилигул.– М.: Наука, 1989. – 576 с. – Глава 13, § 81, стр. 435-440.

Раздел 3. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Тема 3.6. Теория рядов

Задание 42. Разложение функций в ряд Маклорена – 1 ч.

Цель: формирование умения разлагать элементарные функции в ряд Маклорена и применять данные разложения для вычисления приближённых значений выражений.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

&42.1.Выучите определение ряда Маклорена для функции. Запомните, как в этом случае будет называться функция. Разберите пример и выясните, как найти конкретный член ряда Маклорена для функции.

?42.2. Ряд Маклорена для функции имеет вид:

. Найдите:

а) третий член ряда Маклорена для функции ;

б) четвёртый член ряда Маклорена для функции .

&42.3. Проанализируйте, при каких условиях ряд Тейлора (Маклорена) будет сходиться к порождающей функции.Выясните, какова техника разложения функции в ряд Тейлора (Маклорена). Постарайтесь освоить алгоритм, позволяющий разлагать функцию в ряд Маклорена на примере функции .

?42.4. Разложите функцию в ряд Маклорена.

&42.5. Запомните известные разложения некоторых элементарных функций в ряд Маклорена. Выясните, какие преобразования известных разложений позволяют получать новые разложения функций в ряд. Внимательно изучите технику получения подобных разложений на примере функций и .

?42.6. Используя известное разложение в ряд Маклорена элементарных функций, представьте в виде ряда:

а) ; б) ; в) ; ¶г) ; ¶д) .

&42.7. Выясните, как разложение функции в ряд Маклорена позволяет найти приближённое значение выражения.

?42.8. Используя известное разложение функции в ряд Маклорена, и ограничиваясь заданным числом первых членов ряда, найдите приближённое значение выражения:

а) (два первых члена ряда); б) (три первых члена ряда).

Методические указания по выполнению работы:

Для успешного решения задач необходимо знание следующего теоретического материала:

Ряд для функции в точке =0 называется рядом Маклорена.

Если функция имеет в точке производные любого порядка, то для неё можно составить ряд Маклорена. При этом функция называется порождающей функцией для соответствующего ряда.

Пример 1. Найдите третий член ряда Маклорена для функции .

Решение. Третий член ряда Маклорена для функции имеет вид . Для его нахождения вычислим вторую производную функции в точке =0:

1) найдём : = ;

2) найдём : = ;

3) найдём : = .

Подставим в выражение , получим: . Таким образом, третий член ряда Маклорена для функции равен .

Ответ: .

Формально ряд Тейлора (Маклорена) можно построить для любой бесконечно дифференцируемой функции в окрестности точки . Но отсюда ещё не следует, что он будет сходиться к данной функции . Условия, при которых ряд Тейлора (Маклорена) сходится к порождающей функции, изложены в теореме.

Теорема: Если все производные функции ограничены в некоторой окрестности точки ( =0) одним и тем же числом, то для любого x из этой окрестности ряд Тейлора (Маклорена) для функции сходится к данной функции, т.е. имеет место разложение ( = ).

Для разложения некоторой функции в ряд Маклорена удобно использовать следующий алгоритм:

1) вычислить значения функции и всех её производных при =0;

2) составить ряд Маклорена для функции :

;

3) проверить выполнение условий теоремы о разложении функции в ряд (доказать, что все производные функции ограничены в некоторой окрестности точки =0 одним и тем же числом);

4) записать разложение функции в ряд Маклорена:

= .

Рассматривая разложение в ряд Маклорена некоторых элементарных функций, ограничимся рядами, которые чаще всего используются на практике.

Пример 2. Разложите функцию в ряд Маклорена.

Решение. Для разложения функции в ряд Маклорена воспользуемся алгоритмом. 1) Найдём значения функции и последовательно её производных в точке =0:

1. : = ;

2. : , ;

3. : , ;

4. : , ;

5. Поскольку для функции , то .

2) Составим для функции ряд Маклорена, подставив найденные значения в формулу ряда Маклорена :

3) Проверим выполнение условий теоремы о разложении функции в ряд: для данного x найдём интервал , содержащий число x, и обозначим . Тогда для любой производной функции имеем . Таким образом, все производные функции в некоторой окрестности =0 ограничены одним и тем же числом М. Значит, условия теоремы выполнены, и функция может быть разложена в ряд.

4) Запишем разложение функции в ряд Маклорена: .

Ответ:

Аналогичным образом можно получить разложения в ряд Маклорена некоторых элементарных функций, которые рекомендуется запомнить:

3) биномиальный ряд (бином Ньютона):

Разложение некоторых функций в ряд Маклорена можно получить, выполняя те или иные преобразования над уже имеющимися разложениями. К таким преобразованиям относятся замена переменной, сложение, вычитание, умножение, дифференцирование и интегрирование степенных рядов.

Рассмотрим примеры получения подобных разложений.

Пример 3. Используя известные разложения, разложите в ряд Маклорена функцию .

Решение. Воспользуемся известным разложением в ряд функции :

Заменим в данном разложении на , получим:

Таким образом,

Ответ:

Пример 4. Разложите в ряд Маклорена функцию .

Решение. Функция представляет собой произведение на , поэтому для её разложения в ряд Маклорена воспользуемся разложением функции :

Заменим в этом разложении на , получим:

= ;

Умножим разложение на :

= ( )

Таким образом, =

Ответ: =

Разложение функций в ряд Маклорена находит широкое практическое применение в вопросах приближённого вычисления значений функций.

Пусть требуется вычислить значение функции при с заданной точностью. Если функцию в интервале можно разложить в степенной ряд , и , то точное значение равно сумме этого ряда при , т.е. = , а приближённое – частичной сумме , т.е. = . Точность этого равенства увеличивается с ростом n.

Пример 5. Найдите приближённое значение выражения с точностью до 0,0001, используя известные разложения функций в ряд Маклорена.

Решение. Воспользуемся известным разложением в ряд Маклорена функции : Поскольку = , подставим в данное разложение вместо x 0,04, получим = = Так как мы имеем знакочередующийся ряд, то при замене его суммы некоторой частичной суммой абсолютная погрешность не превышает модуля первого отброшенного члена. Непосредственной проверкой убеждаемся, что , следовательно, достаточно ограничиться двумя первыми членами разложения: .

Ответ: .

Список литературы:

2. Валуцэ И.И. Математика для техникумов на базе средней школы: Учебное пособие. / И.И. Валуцэ, Г.Д. Дилигул.– М.: Наука, 1989. – 576 с. – Глава 13, § 82, стр. 446-455, § 83, стр. 457 - 458.

Раздел 3. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Тема 3.6. Теория рядов

Задание 43. Систематизация знаний по теме «Ряды» – 1ч.

Цель: формирование умения обобщать и систематизировать материал по теме «Ряды».

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

?43.1. Составьте обобщающую таблицу, включив в её структуру следующие разделы: вид ряда, название признака сходимости, формулировка признака сходимости, специфические вопросы и их решение.

Методические указания по выполнению работы:

Вспомните весь изученный теоретический материал по теме: определения рядов, их виды, концепцию сходимости. Как решались вопросы сходимости для ряда каждого вида? Каким специфическим проблемам уделялось особое внимание при изучении знакочередующихся и степенных рядов? Рассмотрите примеры и типовые задачи.

В случае необходимости, если что – то Вы всё же забыли, обратитесь к соответствующим заданиям данного пособия. Постарайтесь продумать, что должна включать в себя обобщающая таблица, чтобы быть Вашим удобным помощником по теме «Ряды» не только для подготовки к экзамену по дисциплине «Элементы высшей математики», но и спустя длительное время. Рекомендуем воспользоваться памяткой 2 «Как составить обобщающую таблицу по теме».

Список литературы:

1. Григорьев В.П. Элементы высшей математики: Учеб. для студ. учреждений СПО / В.П.Григорьев, Ю.А.Дубинский. - М.: Издательский центр "Академия", 2012. – 320с. – Глава 10.

2. Валуцэ И.И. Математика для техникумов на базе средней школы: Учебное пособие. / И.И. Валуцэ, Г.Д. Дилигул.– 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Наука, 1989. – 576 с. – Главы 12 – 13.

Раздел 3. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Тема 3.7. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Задание 44. Задачи, решаемые с помощью дифференциальных уравнений – 1 ч.

Цель: усвоение основных понятий теории дифференциальных уравнений, расширение представлений студентов о прикладных задачах, решаемых с помощью дифференциальных уравнений.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

&44.1.Выучите теоретический материал по теме и ответьте на контрольные вопросы:

1. Что называют дифференциальным уравнением?

2. Что такое порядок дифференциального уравнения?

3. Что называют решением дифференциального уравнения?

4. Какова геометрическая интерпретация множества решений дифференциального уравнения?

5. Какая задача в теории дифференциальных уравнений получила название задачи Коши?

6. Что называют начальным условием в задаче Коши?

7. Каков геометрический смысл задачи Коши?

?44.2.Подберите литературу и оформите письменный доклад или создайте электронную презентацию на тему «Прикладные задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям».

Методические указания по выполнению работы:

Напомним, что уравнения, содержащие производные или дифференциал искомой функции называют дифференциальными уравнениями.

Наивысший порядок производной неизвестной функции, входящей в уравнение, называют порядком дифференциального уравнения.

Так, , , - дифференциальные уравнения первого порядка, - дифференциальное уравнение второго порядка.

Решением дифференциального уравнения называется функция, подстановка которой в уравнение обращает его в тождество. Так функция - решение дифференциального уравнения .

Любое дифференциальное уравнение имеет не одно, а множество решений, отличающихся друг от друга на константу С. Такое множество решений получило название общего решения дифференциального уравнения. Геометрически его можно изобразить в виде семейства интегральных кривых.

При решении задач часто необходимо из всей совокупности решений дифференциального уравнения выделить одно, отвечающее конкретным требованиям. Для этого задают начальные условия: при . Геометрически это означает, что нужно выделить отдельную интегральную кривую, проходящую через точку .

Задача нахождения решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего условию , называется задачей Коши, а полученное решение называется частным решением дифференциального уравнения.

Дифференциальные уравнения получили широкое распространение в практике решения прикладных задач.

Используя указанную литературу, подберите прикладную задачу, при решении которой необходимо составить дифференциальное уравнение. Обратите внимание, что формулировка и подход к составлению дифференциального уравнения не должны быть громоздкими и затруднительными.

Оформите материал в виде доклада или презентации. Рекомендуем воспользоваться памятками 4 «Как подготовить доклад» и 5 «Как создать презентацию».

Целесообразна следующая структура доклада или презентации:

1. Формулировка прикладной задачи.

2. Решение задачи по составлению дифференциального уравнения (в презентации - на нескольких слайдах).

3. Ответ (полученное дифференциальное уравнение).

Список литературы:

1. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: [в 2 ч.] Ч.2. / Д.Т. Письменный. – 5-е изд. - М.: Айрис-пресс, 2007.- 256 с. - Глава 1, §1.2, стр. 9 - 11.

2. Валуце И.И. Математика для техникумов на базе средней школы: Учеб. пособие / И.И. Валуце, Г.Д. Дилигул. – М.: Наука, 1989. – Глава 10, §57, 64, стр. 311 – 315, 345 - 351.

3. Лисичкин В.Т. Математика: учеб. пособие для техникумов / В.Т. Лисичкин, И.Л. Соловейчик. – М.: Высш. школа, 1991. – 480 с. – Глава 6, §1, 5, стр. 369 – 375, 406 - 415.

4. Материалы сети Интернет.

5. Источники литературы, найденные самостоятельно.

Раздел 3. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Тема 3.7. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Задание 45. Решение дифференциальных уравнений с разделёнными и разделяющимися переменными – 1 ч.

Цель: формирование умений решать дифференциальные уравнения первого порядка: простейшие, с разделёнными и разделяющимися переменными.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

&45.1.Какие дифференциальные уравнения называют простейшими первого порядка? Какова техника их решения?

?45.2. Решите простейшее дифференциальное уравнение первого порядка:

а) ; б) ; в) ; г) .

?45.3. Найдите частное решение простейшего дифференциального уравнения первого порядка:

а) ; б) .

&45.4.Какие дифференциальные уравнения первого порядка называют уравнениями с разделёнными и разделяющимися переменными? Какова техника их решения?

?45.5. Решите дифференциальное уравнение с разделёнными и разделяющимися переменными:

а) ; б) ; в) .

?45.6. Найдите решение задачи Коши:

а) ; б) .

¶ 45.7. Определите численность населения России через 5 лет, считая, что скорость прироста населения пропорциональна его количеству (коэффициент пропорциональности k = -0,0006), и зная, что в население России в начале 2010 года составляло 141,9 млн. человек, а прирост населения за 2010 год был равен (-0,06)%.

Методические указания по выполнению работы:

Выделяют следующие виды дифференциальных уравнений первого порядка:

1. Простейшие дифференциальные уравнения - уравнения вида .

Метод решения: взять интеграл от правой и левой части по переменной х: .

Пример 1. Найдите решение дифференциального уравнения .

Решение. Поскольку перед нами простейшее дифференциальное уравнение первого порядка, найдем его решение по формуле :

;

у = - общее решение дифференциального уравнения .

Ответ: у = .

Пример 2. Найдите частное решение уравнения , если .

Решение. Общее решение заданного дифференциального уравнения имеет вид:

у = (см. пример 1) . Воспользуемся начальными условиями: , следовательно, при . Подставим эти числа в общее решение:

. Выразим из данного уравнения С: .

Подставив найденное значение С в общее решение у = , получим следующее частное решение дифференциального уравнения: у = .

Ответ: у = .

2. Дифференциальные уравнения с разделёнными переменными - уравнения вида .

Если дифференциальное уравнение путем преобразований можно привести к виду , то оно называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.

Метод решения: проинтегрировать обе части уравнения: .

Пример 3. Найдите решение дифференциального уравнения: .

Решение. Данное дифференциальное уравнение представляет собой уравнение с разделенными переменными. Проинтегрируем обе части уравнения:

. Тогда

- общее решение дифференциального уравнения .

Ответ: .

Для решения уравнений с разделяющимися переменными целесообразно использовать следующий алгоритм:

1. Если в уравнении встречается , то представьте его как .

2. Произведите разделение переменных (в одной части при dx соберите выражения, содержащие только переменную х; в другой части при dу соберите выражения, содержащие только переменную у).

3. Почленно проинтегрируйте обе части уравнения с разделёнными переменными.

4. Выпишите в ответе получившееся общее решение дифференциального уравнения.

Пример 4. Найдите решение дифференциального уравнения: .

Решение. 1. Данное уравнение – дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Представим , тогда или .

2. Будем собирать множители с у в левой части, с х – в правой: .

3. Интегрируя обе части, получим: или - общее решение.

Ответ: .

Список литературы:

1. Григорьев В.П. Элементы высшей математики: учеб. для студентов СПО / В.П. Григорьев, Ю.А. Дубинский. – М.: Академия, 2012.-320 с. - Глава 11, п. 11.2, стр. 269 – 273.

2. Валуцэ И.И. Математика для техникумов: учеб. пособие. / И.И. Валуцэ, Г.Д. Дилигул – М.: Наука, 1989.-576 с. - Глава 10, §59 - 61, стр. 321 – 335.

3. Лисичкин В.Т. Математика: учеб. пособие для техникумов / В.Т. Лисичкин, И.Л. Соловейчик. – М.: Высш. школа, 1991. – 480 с. – Глава 6, §2-3, стр. 375 – 393.

Раздел 3. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Тема 3.7. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Задание 46. Решение однородных дифференциальных уравнений – 1 ч.

Цель: формирование умений решать однородные дифференциальные уравнения первого порядка.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

&46.1.Какие дифференциальные уравнения первого порядка называют однородными? Какова техника их решения?

?46.2. Решите однородное дифференциальное уравнение:

а) ; б) ; в) ; г) .

¶46.3. Решите однородное дифференциальное уравнение:

а) ; б) .

Методические указания по выполнению работы:

Однородные дифференциальные уравнения - уравнения вида , где и - однородные функции одинакового порядка.

Функция называется однородной функцией п-го порядка, если при умножении каждого ее аргумента на произвольный множитель λ вся функция умножится на λ^п, т.е. .

Для решения однородных дифференциальных уравнений удобно использовать следующий алгоритм:

Выполните подстановки: и . В получившемся дифференциальном уравнении раскройте скобки и приведите подобные слагаемые. Должно получиться уравнение с разделяющимися переменными.

Проинтегрируйте обе части уравнения с разделяющимися переменными относительно переменных x и z. Найдите общее решение дифференциального уравнения.

В общем решении вернитесь к переменным x и у, подставив вместо z выражение .

Выпишите в ответе получившееся общее решение дифференциального уравнения.

Пример 1. Найдите решение дифференциального уравнения: .

Решение. Данное уравнение – однородное дифференциальное уравнение первого порядка.

1. Выполним подстановки: и :

Раскроем скобки:

Приведем подобные слагаемые: первое и последнее взаимно уничтожаются. Получим:

Перед нами уравнение с разделяющимися переменными. Соберем в левой части выражения, содержащие dx, в правой – выражения, содержащие dу.

Тогда или - уравнение с разделёнными переменными.

2. Интегрируя обе части, получим: или .

3. Подставим вместо z выражение: : или . Это и есть общее решение исходного однородного дифференциального уравнения.

Ответ: .

Список литературы:

1. Григорьев В.П. Элементы высшей математики: учеб. для студентов СПО / В.П. Григорьев, Ю.А. Дубинский. – М.: Академия, 2012.-320 с. - Глава 11, п. 11.2, стр. 273 – 274.

Раздел 3. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Тема 3.7. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Задание 47. Решение линейных дифференциальных уравнений – 1 ч.

Цель: формирование умений решать линейные дифференциальные уравнения первого порядка.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

&47.1.Какие дифференциальные уравнения первого порядка называют линейными? Какова техника их решения?

47.2. Решите линейное дифференциальное уравнение:

а) ; б) ; в) ; г) .

¶47.3. Решите линейное дифференциальное уравнение:

а) ; б) .

Методические указания по выполнению работы:

Линейные дифференциальные уравнения – уравнения вида .

Для решения линейных дифференциальных уравнений удобно использовать следующий алгоритм (метод Бернулли):

Приведите дифференциальное уравнение к виду и введите подстановки: и .

Сгруппируйте члены, содержащие u, и вынести u за скобки.

Приравняйте к нулю выражение, стоящее в скобках, и найти функцию v (необходимо решить дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными v и х). Функция v не должна содержать константу С!

Вернитесь к дифференциальному уравнению, полученному после шага 2. Подставьте в это уравнение функцию v, найти вторую функцию и (функция и содержит константу С).

Подставьте функции u и v, найденные на 3-м и 4-м этапе, в уравнение . Полученная функция у является общим решением исходного линейного дифференциального уравнения.

Выпишите в ответе получившееся решение дифференциального уравнения.

Пример 1. Найдите общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Данное уравнение – линейное дифференциальное уравнение первого порядка.

1. Выполним подстановки: и :

2. Сгруппируем члены, содержащие u, и вынесем u за скобки:

;

(*).

3. Считая, что неизвестная функция у является произведением двух также неизвестных функций u и v, мы можем одну из этих функций (v) выбрать произвольно. Поэтому приравняем к нулю выражение, стоящее в скобках, и найдем функцию v:

- уравнение с разделяющимися переменными, для решения которого представим . Тогда:

. Взяв интегралы от обеих частей, получим, что

. Но поскольку функцию v мы выбираем произвольно, удобно константу С взять равной нулю. Тогда , а .

Таким образом, на третьем шаге мы нашли функцию v ( ).

4. Вернёмся к уравнению (*). Поскольку выражение в скобках на третьем шаге мы выбирали равным нулю, то данное уравнение (*) примет вид: или .

Подставим функцию в это уравнение и найдем вторую функцию и:

. Данное уравнение легко приводится к простейшему делением обеих частей на х:

или . Тогда . Константу С здесь писать обязательно!

Итак, на четвертом шаге метода Бернулли мы нашли функцию и ( ).

5. Решением исходного уравнения будет являться функция . Функции u и v были найдены нами на 3-м и 4-м этапе решения примера. Подставив их в уравнение , найдем, что - общее решение дифференциального уравнения .

Ответ: .

Замечание. На 3-м шаге решения линейного дифференциального уравнения требуется выразить функцию v через х. Во избежание возможных трудностей, рассмотрим некоторые конкретные примеры, показывающие, как из полученного уравнения выразить v. Они основаны на определении ( ) и одном из свойств логарифма ( ):

1. .

2. .

3. .

Список литературы:

1. Григорьев В.П. Элементы высшей математики: учеб. для студентов СПО / В.П. Григорьев, Ю.А. Дубинский. – М.: Академия, 2012.-320 с. - Глава 11, п. 11.2, стр. 275 – 276.

Раздел 3. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Тема 3.7. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Задание 48. Решение дифференциальных уравнений 1-го порядка – 1 ч.

Цель: формирование умений решать дифференциальные уравнения первого порядка: простейшие, с разделёнными и разделяющимися переменными, однородные, линейные.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

&48.1.Какие основные виды дифференциальных уравнений первого порядка Вам известны? Какова техника их решения?

48.2. Определите вид дифференциального уравнения и найдите его решение:

а) ; б) ; в) , ; г) .

¶48.3. Определите вид дифференциального уравнения и найдите его решение:

а) б) ; в) .

Методические указания по выполнению работы:

Если в задании не указан вид дифференциального уравнения, проанализируйте, к какому из ранее изученных видов данное уравнение относится или приводится путём преобразований. При преобразованиях Вы имеете право:

· переносить слагаемые из одной части уравнения в другую с противополодным знаком;

· использовать правило: если множитель в одной части уравнения находится в числителе, то в другую часть его можно записать в знаменатель и наоборот;

· представлять как и наоборот .

Вы можете получить:

1. простейшее дифференциальное уравнение – уравнение вида ( в левой части уравнения – только , в правой – только члены, содержащие х).

Если в решении возникают проблемы – перечитайте методические указания к заданию 45.

2. дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными - всегда приводится к виду . То есть, все члены, содержащие х, можно сгруппировать в левой части уравнения, у – в правой.

Если в решении возникают сложности – перечитайте методические указания к заданию 45.

3. однородное дифференциальное уравнение – в нём нельзя «разделить» переменные х и у, но степень каждого слагаемого при dx и dy одинакова.

Подробный алгоритм решения Вы найдёте в методических указаниях к заданию 46.

4. линейные дифференциальные уравнения – уравнение вида . Если при у Вас коэффициент не 1, разделите обе части уравнения на стоящий при коэффициент.

Указания к решению таких уравнений Вы найдёте в методических указаниях к заданию 47.

Список литературы:

1. Григорьев В.П. Элементы высшей математики: учеб. для студентов СПО / В.П. Григорьев, Ю.А. Дубинский. – М.: Академия, 2012.-320 с. - Глава 11, п. 11.2, стр. 269 – 276.

Раздел 3. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Тема 3.7. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Задание 49. Решение дифференциальных уравнений второго порядка – 1 ч.

Цель: формирование умений решать дифференциальные уравнения второго порядка: простейшие, линейные однородные с постоянными коэффициентами.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

&49.1.Какие дифференциальные уравнения называют простейшими второго порядка? Какова техника их решения?

?49.2. Решите простейшие дифференциальные уравнения второго порядка:

а) ; б) .

?49.3. Найдите частное решение простейших дифференциальных уравнений второго порядка:

а) ; б) .

&49.4.Какие дифференциальные уравнения называют линейными однородными (ЛОДУ) второго порядка с постоянными коэффициентами? Какова техника их решения?

?49.5. Решите ЛОДУ II порядка с постоянными коэффициентами:

а) ; б) ; в) .

¶ 49.6. Решите дифференциальные уравнения второго порядка:

а) ; б) ; в) , .

Методические указания по выполнению работы:

Выделяют следующие виды дифференциальных уравнений второго порядка:

1. Простейшие дифференциальные уравнения второго порядка - уравнения вида: .

Метод решения: двукратное интегрирование по переменной х.

Пример 1. Найдите решение дифференциального уравнения .

Решение. Поскольку перед нами простейшее дифференциальное уравнение второго порядка, найдем сначала по формуле: .

или , где С₁ – константа.

Для нахождения искомой функции у найдем интеграл от по переменной х:

или , где С₁ и С₂ – константы.

Полученная функция является общим решением дифференциального уравнения . Ответ: .

Обратите внимание, что общее решение дифференциального уравнения второго порядка содержит две произвольные постоянные С₁ и С₂.

Для нахождения решения задачи Коши можно использовать следующий алгоритм:

Найдите по формуле: .
Воспользовавшись первым начальным условием ( ), найдите значение константы С₁ и подставьте его в функцию .
Найдите функцию у, взяв интеграл от по переменной х.
Воспользовавшись вторым начальным условием ( ), найдите значение константы С₂ и подставьте его в функцию . Полученная функция будет являться частным решением исходного дифференциального уравнения.

Пример 2. Найдите решение задачи Коши: , если при и .

Решение. 1. Найдем .

2. Воспользуемся первым начальным условием: при . Подставим эти числа в функцию : . Поскольку , получим, что .

Подставим найденное значение С₁ в функцию : или .

3. Найдем функцию у: или .

4. Воспользуемся вторым начальным условием: при . Подставим эти числа в функцию : . Поскольку , получим: или .

Найденное значение константы С₂ подставим в функцию : . Полученная функция является частным решением исходного дифференциального уравнения при заданных начальных условиях.

Ответ: .

2. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами - уравнение вида , где p и q – постоянные величины.

Для нахождения решения дифференциальных уравнений такого вида будем составлять характеристическое уравнение: , где k – некоторая новая переменная. Характеристическое уравнение является квадратным относительно k.

В зависимости от числа и вида корней данного характеристического уравнения, решение исходного дифференциального уравнения можно представить в виде таблицы 49.1:

Таблица 49.1

Решение линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами

Рассмотрим решение линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами на конкретных примерах. Пример 3. Решите дифференциальное уравнение: . Решение. Составим характеристическое уравнение . Найдем его корни. ; существуют два различных корня k1 и…

Раздел 3. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Тема 3.7. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Задание 50. Виды дифференциальных уравнений и методы их решения – 1 ч.

Цель: обобщение и систематизация знаний по теме «Дифференциальные уравнения».

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

?50.1. Составьте обобщающую таблицу по теме «Дифференциальные уравнения» по следующей структуре:

№	Вид уравнения	Формула, задающая уравнение	Метод решения
Первого порядка
1.
2.
3.
4.
Второго порядка
5.
6.

Методические указания по выполнению работы:

1. Проанализируйте, какие виды дифференциальных уравнений первого порядка Вам известны. Таких видов должно быть четыре. Запишите их названия в соответствующую графу.

2. Каждому виду уравнения сопоставьте формулу или определение, их задающие.

3. Запишите формулы или подстановки, которые нужно применять для решения соответствующих видов уравнений. Если возникают сложности, перечитайте методические указания к заданию №48.

4. Проанализируйте, какие виды дифференциальных уравнений второго порядка Вам известны. Таких видов должно быть два. Запишите их названия в соответствующую графу.

5. Каждому виду уравнения сопоставьте формулу, его задающую.

6. Запишите формулы или характеристические уравнения, которые нужно применять для решения соответствующих видов уравнений. Если возникают сложности, перечитайте методические указания к заданию №49.

Список литературы:

1. Григорьев В.П. Элементы высшей математики: учеб. для студентов СПО / В.П. Григорьев, Ю.А. Дубинский. – М.: Академия, 2012.-320 с. - Глава 11, п. 11.2 – 11.5, стр. 269 – 298.

2. Валуцэ И.И. Математика для техникумов: учеб. пособие. / И.И. Валуцэ, Г.Д. Дилигул – М.: Наука, 1989.-576 с. - Глава 10, §59 - 63, стр. 321 – 345.

3. Лисичкин В.Т. Математика: учеб. пособие для техникумов / В.Т. Лисичкин, И.Л. Соловейчик. – М.: Высш. школа, 1991. – 480 с. – Глава 6, §2 - 4, стр. 375 - 406.

Раздел 4. ОСНОВЫ ТЕОРИИ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ

Тема 4.1. Формы комплексных чисел

Задание 51. Действия над комплексными числами в алгебраической форме. Решение квадратных уравнений – 1 ч.

Цель: формирование умения выполнять операции над комплексными числами в алгебраической форме, решать квадратные уравнения с отрицательным дискриминантом.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

&51.1.Повторите, что называют мнимой единицей. Какой вид имеет алгебраическая форма комплексного числа? Какова геометрическая интерпретация комплексных чисел? Разберите, как выполнить сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел в алгебраической форме. Какова техника решения квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом?

&51.2. Закончите высказывания:

а) i – мнимая единица – число, …. i = ….

б) Алгебраическая форма комплексного числа имеет вид: z = …, где … - действительная часть, … - мнимая часть комплексного числа.

в) Множество комплексных чисел обозначают ….

г) Сопряжённым данному комплексному числу называют число, ….

д) Операции над комплексными числами в алгебраической форме аналогичны операциям с ….

При делении комплексных чисел в алгебраической форме необходимо домножить числитель и знаменатель дроби на число, … знаменателю.

е) Комплексное число z = … можно изобразить в виде … или ….

ж) При решении квадратного уравнения с отрицательным дискриминантом получают два … корня.

·z₃

г)

:z₄

в)

- z₂

б)

+ z₁

i51.3. Выполните действия над комплексными числами в алгебраической форме, заполнив цифрами пустые ячейки:

-2 + 3i

, , , .

Откуда берут своё начало комплексные числа? В XVI веке в связи с изучением кубических уравнений оказалось необходимым извлекать квадратные корни из отрицательных чисел. В формуле для решения кубических уравнений вида корни находят по формуле:

Она безотказно действует в случае, когда уравнение имеет один корень, а если оно имеет три действительных корня ( ), то под знаком квадратного корня оказывается отрицательное число. Получалось, что путь к этим корням ведет через невозможную операцию извлечения квадратного корня из отрицательного числа.

Тогда итальянский алгебраист Джероламо Кардано в 1545 г. предложил ввести числа новой природы. Кардано называл такие величины “чисто отрицательными” и даже “софистически отрицательными”, считал их бесполезными и старался не употреблять. В самом деле, с помощью таких чисел нельзя выразить ни результат измерения какой-нибудь величины, ни изменение какой-нибудь величины.

Но уже в 1572 году вышла книга итальянского алгебраиста Р. Бомбелли, в которой были установлены первые правила арифметических операций над такими числами, вплоть до извлечения из них кубических корней. Название “мнимые числа” ввел в 1637 году французский математик и философ Рене Декарт. Осталось ввести обозначение мнимых чисел. Именно тогда был придуман символ i. Учёные полагают, что i – первая буква латинского imaginarius – воображаемый, мнимый.

Выполнив задание 51.3, впишите цифры из заштрихованных ячеек в соответствующие ячейки таблицы. Вы узнаете, в каком году впервые для обозначения мнимой единицы был использован символ i.

Год введения символа:

а)	б)	в)	г)

?51.4. Решите квадратное уравнение:

а) ; б) ; в) ; ¶г)

?51.5. Изобразите комплексные числа в виде точек на комплексной плоскости и, используя таблицу «Операции над векторами», найдите расстояние между ними:

¶ 51.6. Вычислите: а) , б) .

Методические указания по выполнению работы:

Мнимой единицей i будем называть такое число, квадрат которого равен -1.

, .

Числа вида , где а и b – действительные числа ( , ), а i – мнимая единица, называются комплексными числами.

а – действительная часть комплексного числа;

bi – мнимая часть комплексного числа (b – коэффициент при мнимой части).

Запись комплексного числа в виде называется алгебраической формой комплексного числа.

Множество комплексных чисел принято обозначать буквой С.

В алгебраической форме над комплексными числами удобно выполнять операции: сложение, вычитание, умножение и деление.

Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел производят по правилам соответствующих действий над многочленами.

Пример 1. Для комплексных чисел и найдите: а) ; б) ; в) .

Решение. а) = + =

Действительную часть комплексного числа будем складывать с действительной частью, мнимую – с мнимой: = = .

При сложении двух комплексных чисел в алгебраической форме получили комплексное число также в алгебраической форме.

б) = - = = = - комплексное число в алгебраической форме.

в) = ∙ = = = = = - комплексное число в алгебраической форме.

Ответ: а) = ; б) = ; в) = .

Для того чтобы ввести операцию деления для комплексных чисел, заданных в алгебраической форме, используем понятие сопряженных чисел.

Два комплексных числа называются сопряженными, если они отличаются друг от друга только знаками перед мнимой частью.

Например, числа и - сопряженные, и - также сопряженные.

Чтобы выполнить деление комплексных чисел в алгебраической форме, необходимо домножить числитель и знаменатель дроби на число, сопряженное знаменателю.

Пример 2. Для комплексных чисел и найдите .

Решение. = . Домножим числитель и знаменатель дроби на число , сопряженное знаменателю: = = = = = = = = - комплексное число в алгебраической форме.

Ответ: = .

На множестве комплексных чисел возможно решение квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом.

Пример 3. Решите уравнение: .

Решение. Найдем дискриминант: = 36 – 52 = -16.

.

Тогда . Ответ:

х

ух

действительная ось

bаух

abаух

0bаух

Z(a; b)

Рис. 1.

мнимая ось

Геометрически комплексное число можно представлять как

· точку на комплексной плоскости с координатами (а; b).;

· вектор на комплексной плоскости с началом в начале координат и концом в точке Z(a; b).

Действительную часть а комплексного числа будем откладывать на оси Ох, коэффициент при мнимой части b - на оси Оу (рис. 1). Ось Ох называется действительной осью, а ось Оу – мнимой осью комплексной плоскости.

Плоскость, точкам которой сопоставлены комплексные числа, называется комплексной плоскостью.

Список литературы:

1. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. Ч.1. / Д. Т. Письменный. - М.: Айрис пресс, 2011 – гл. 6, §27 – 28, с.186 - 191 .

2. Богомолов Н.В. Математика: учебник для ссузов / Н.В. Богомолов, П.И. Самойленко. – М.: Дрофа, 2009. – гл. 1, §1, с. 17 - 24.

Раздел 4. ОСНОВЫ ТЕОРИИ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ

Тема 4.1. Формы комплексных чисел

Задание 52. Действия над комплексными числами в тригонометрической форме – 1 ч.

Цель: формирование умения выполнять операции над комплексными числами в тригонометрической форме.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

1.Выучите, какой вид имеет тригонометрическая форма комплексного числа. Разберите, как выполнить умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня из комплексных чисел в тригонометрической форме.

&52.2. Закончите высказывания:

а) z = … - тригонометрическая форма комплексного числа, где r - …, φ - ….

б) заполните таблицу по технике действий над комплексными числами в тригонометрич. форме:

Операция	Модули (модуль)	Аргументы (аргумент)
Сложение	невыполнимо
Вычитание
Умножение	Умножаются	Складываются
Деление
Возведение в степень
Извлечение корня

в) Корень п-й степени из числа z имеет ровно … значений.

?52.3. Заполните таблицу и постройте на одном чертеже векторы, соответствующие заданным комплексным числам:

Комплексное число	Модуль	Аргумент	Изображение

i52.4. Заданы числа , . Выполните указанные действия над комплексными числами в тригонометрической форме:

а) ; б) ; в) ; г)-д) .

Вам известно, что символ для обозначения мнимой единицы i был введён в … году (задание 51.3). Автором этого знака является гений, один из величайших математиков всех времен и народов. Его творчество, едва умещающееся в 760 книгах и научных статьях, охватило все разделы математики того времени. Кроме того, значительная часть его жизни была отдана России.

Выполнив задание 52.4 и заменив получившиеся ответы буквами из таблицы, Вы узнаете фамилию этого великого математика.

Фамилия математика, предложившего символ i:

а)	б)	в)	г)	д)

Карта ответов:

А	В	Г	Д

Е	И	Й	К

Л	М	Н	О

Р	С	У	Э

¶ 52.5. Вычислите: .

ух

abаух

0bаух

Z(a; b)

Рис. 1.

Методические указания по выполнению работы:

Модулем ( или r) комплексного числа называется длина соответствующего ему вектора. r = (r > 0).

Аргументом комплексного числа называется угол φ, который образует вектор с положительным направлением оси Ох.

Тригонометрическая форма комплексного числа имеет вид .

Пример 1. Изобразите на комплексной плоскости числа: , , .

ух

0bаух

Рис. 2.

Решение. Все числа заданы в тригонометрической форме. Выделим в записи каждого числа модуль и аргумент:

а) , . Отложим от положительного направления оси Ох угол , и на полученном луче отметим вектор длиной 2 ед. с центром в начале координат (рис. 43.2).

б) , .

в) , .

Действия над комплексными числами в тригонометрической форме:

Пусть заданы два комплексных числа в тригонометрической форме: и .

1. Умножение: (1) - при умножении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются.

2. Деление: (2) - при делении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули делятся, а аргументы вычитаются.

3. Возведение в степень: (3) - при возведении в степень комплексного числа в тригонометрической форме модуль числа нужно возвести в п-ю степень, а аргумент умножить на п.

4. Извлечение корня п-й степени: корень п-й степени из числа z имеет ровно п значений, которые находятся по формуле: (4). Для их нахождения необходимо менять значения параметра k, начиная с (первый корень ), затем (второй корень ) и т.д. до (п-й корень ).

Рассмотри, как выполняются операции над комплексными числами в тригонометрической форме на конкретных примерах.

Пример 2. Для комплексных чисел , найдите: а) ; б) ; в) ; г) .

Решение. а) Согласно формуле (1) получим = ∙ =

= = .

б) Используя формулу (2), находим = =

= .

в) Применяя формулу (3), находим = = .

г) Для извлечения кубического корня из воспользуемся формулой (4): , где параметр k будет принимать значения 0, 1 и 2 (поскольку число корней 3-й степени из числа имеет ровно 3 значения).

При k=0 = = =

= ;

При k=1 = = =

= ;

При k=2 = = =

= .

Ответ: а) = , б) = ,

в) = , г) : = , = , = .

Список литературы:

1. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. Ч.1. / Д. Т. Письменный. - М.: Айрис пресс, 2011 – гл. 6, §27, с.187, §28, с. 190 - 192 .

Раздел 4. ОСНОВЫ ТЕОРИИ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ

Тема 4.1. Формы комплексных чисел

Задание 53. Действия над комплексными числами в показательной форме – 1 ч.

Цель: формирование умения выполнять операции над комплексными числами в показательной форме.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

&53.1.Выучите, какой вид имеет показательная форма комплексного числа. Разберите, как выполнить умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня из комплексных чисел в показательной форме.

&53.2. Закончите высказывания:

а) z = … - показательная форма комплексного числа, где r - …, φ - ….

б) заполните таблицу по технике действий над комплексными числами в показательной форме:

Операция	Модули (модуль)	Аргументы (аргумент)
Сложение	невыполнимо
Вычитание
Умножение	Умножаются	Складываются
Деление
Возведение в степень
Извлечение корня

в) Корень п-й степени из числа z имеет ровно … значений.

?53.3. Заполните таблицу и постройте на одном чертеже векторы, соответствующие заданным комплексным числам:

Комплексное число	Модуль	Аргумент	Изображение

i53.4. Заданы числа , . Выполните указанные действия над комплексными числами в показательной форме:

а) ; б) ; в) ; г)-е) .

Символ i, хотя и был предложен … (задание 52.4), вошел во всеобщее употребление благодаря другому великому математику. Именно он в 1831 году предложил используемое нами по сей день название таких чисел - “комплексные числа”. Слово «комплекс» (от латинского complexus) означает связь, сочетание, совокупность понятий, предметов, явлений, образующих единое целое.

В начале XIX века было получено также геометрическое истолкование комплексных чисел. Датчанин К. Вессель, француз Ж. Арган и наш великий математик независимо друг от друга предложили изображать комплексное число точкой на координатной плоскости.

Выполнив задание 53.4 и заменив получившиеся ответы буквами из таблицы, Вы узнаете (или вспомните) фамилию этого великого математика.

Имя и фамилия математика, предложившего современное название комплексных чисел:

а)		б)	в)	г)	д)	е)
	.

Карта ответов:

А	В	Г	Д

Е	И	Й	К

Л	М	Н	О

С	С	У	Э

¶ 53.5. Решите систему линейных уравнений: где а и с можно получить, выполнив преобразования: .

Методические указания по выполнению работы:

По формуле Эйлера .

Тогда - показательная форма комплексного числа, где r – модуль, φ – аргумент комплексного числа.

Действия над комплексными числами в показательной форме (аналогичны действиям в тригонометрической форме).

Пусть , . Над ними выполнимы следующие операции:

1. Умножение: = (5). При умножении комплексных чисел в показательной форме их модули перемножаются, а аргументы складываются.

2. Деление: (6). При делении комплексных чисел в показательной форме их модули делятся, а аргументы вычитаются.

3. Возведение в степень: (7). При возведении в степень комплексного числа в показательной форме модуль числа нужно возвести в п-ю степень, а аргумент умножить на п.

4. Извлечение корня п-й степени: (8), где , 1, 2… принимает ровно п значений.

Рассмотрим на примерах операции над комплексными числами в показательной форме.

Пример 1. Для комплексных чисел , найдите: а) ; б) ; в) ; г) .

Решение. а) Согласно формуле (5) получим = ∙ = = .

б) Используя формулу (6), находим = = = .

в) Применяя формулу (7), находим = = .

г) Извлечем квадратный корень из по формуле (8): , где параметр k будет принимать значения 0 и 1 (корней 2-й степени из числа существует ровно 2: и ).

При k=0 = = = .

При k=1 = = = .

Ответ: а) = , б) = , в) = , г) : = , = .

Список литературы:

1. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. Ч.1. / Д. Т. Письменный. - М.: Айрис пресс, 2011 – гл. 6, §27, с.188.

Раздел 4. ОСНОВЫ ТЕОРИИ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ

Тема 4.1. Переход между различными формами комплексных чисел

Задание 54. Переход от алгебраической формы к тригонометрической и показательной и обратно – 2 ч.

Цель: формирование умения выполнять переход между различными формами комплексных чисел.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

&54.1.Разберите технику перехода от тригонометрической, показательной и алгебраической форм ко всем остальным.

&54.2. Закончите высказывания:

а) Алгебраическая форма комплексного числа имеет вид: z = …, где … - действительная часть, … - мнимая часть комплексного числа.

б) Тригонометрическая форма комплексного числа имеет вид: z = …, где r - …, φ - ….

в) Показательная форма комплексного числа имеет вид: z = …, где r - …, φ - ….

г) Алгоритм перехода от алгебраической формы к тригонометрической и показательной включает следующие 4 этапа: …

i54.3. Заполните таблицу:

№	Форма исходного числа	Исходное число	Форма для перевода	Полученное число	Кодовая буква
1.	тригонометрическая		показательная
2.			алгебраическая
3.			тригонометрическая
4.			алгебраическая
5.		-6	показательная
6.			тригонометрическая
7.			показательная

Мы уже знаем, что каждому комплексному числу соответствует точка на плоскости. Возведем число в квадрат – появляется другая точка, еще раз возведем в квадрат (или любую другую степень), появляется новая точка на плоскости. Потом эту простейшую операцию повторим многократно с получающимся каждый раз новым комплексным числом. В зависимости от начального числа могут быть несколько вариантов. Однако при некоторых начальных значениях новые числа группируются внутри какой-либо области, а при отображении их на плоскости появляются невероятные изображения. Это группирование возводимых в квадрат комплексных чисел впервые подметил и описал Жюлиа в 1916 году. Как называются эти удивительно красивые изображения, Вы узнаете, выполнив задание 54.3.

Мы видим геометрическую фигуру, в которой один и тот же мотив повторяется в последовательно уменьшающемся масштабе. Про такие фигуры говорят, что они моделируют сами себя. Такая геометрия тесно связана с теорией хаоса. В природе существует много примеров: от раковины и цветной капусты до гор и листьев. Эта теория нашла широчайшее применение в компьютерной графике.

Карта ответов:

А	Д	Е	И

К	Л	О	Р

С	Т	Ф	Я

Если Вас заинтересовала данная великолепная математическая теория, Вы можете посмотреть интересные видео в сети Интернет, перейдя по ссылкам:

http://www.youtube.com/watch?v=b3adw5igSzI;

http://www.youtube.com/watch?v=Cfy0CXpR9Lo&feature=related;

http://www.youtube.com/watch?v=fr05uRumlNA&feature=relmfu;

http://www.youtube.com/watch?v=Yke32Oavr1I&feature=related.

?54.4. Выполните задания для подготовки к практической работе:

а) решите уравнение: ;

б) вычислите: ;

в) вычислите: ;

г) представьте число в тригонометрической и показательной формах: ;

д) представьте число в показательной форме: . Найдите все и постройте их на комплексной плоскости.

¶54.5. Найдите модуль и аргумент комплексного числа: .

Методические указания по выполнению работы:

Итак, существуют три формы записи комплексного числа:

· - алгебраическая форма (1);

· - тригонометрическая форма (2);

· - показательная форма (3).

Переход от тригонометрической и показательной формы

Для того чтобы осуществить переход от тригонометрической формы комплексного числа к алгебраической, необходимо вычислить значения и по… Пример 1. Переведите комплексное число в показательную и алгебраическую… Решение. Выделим в записи числа значение модуля r и аргумента φ: , . Подставим их в формулу (3): -…

Переход от алгебраической формы к тригонометрической и показательной.

1. Выделите параметры а и b в алгебраической форме . 2. Найдите модуль комплексного числа r по формуле: . 3. Для нахождения аргумента φ выполните вспомогательный чертеж и определите четверть, в которой расположен…

РАЗДЕЛ 5. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПАКЕТОВ ПРИКЛАДНЫХ ПРОГРАММ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

Тема 5.1. Использование пакетов прикладных программ при решении задач высшей математики

Задание 55. Составление алгоритмов для решения задач линейной алгебры и математического анализа с использованием прикладных программ – 3 ч.

Цель: формирование умения использовать пакеты прикладных программ при решении задач высшей математики.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

&55.1.В программной среде, рекомендованной преподавателем, найдите решение математических задач:

1. Найдите линейную комбинацию матриц: , если , , .

2. Найдите определитель: а) ; б) .

3. Найдите матрицу, обратную данной: .

4. Вычислите ранг матрицы: .

5. Решите систему линейных уравнений:

6. Для заданной функции f(x) = 2x – lgx – 7

а) постройте график;

б) вычислите производную в точке x=1;

в) вычислите определённый интеграл в пределах от 1,65 до 2,75.

7. Постройте график функции f(x,y) = sin (0,1(x²+y²)).

8. Решите дифференциальное уравнение y′=0,133(x²+ sin 2x)+0,872y на промежутке [0,2; 1,2] (решение представьте в виде матрицы), если при х = 0,2 у = 0,25.

Методические указания по выполнению работы:

Изучите возможности математической среды, предложенной преподавателем.

Разберите примеры решения типовых задач в данной среде, используя литературу, рекомендованную преподавателем.

КРИТЕРИИ ОЦЕНКИ ВЫПОЛНЕНИЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ

ВНЕАУДИТОРНОЙ РАБОТЫ

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Основная литература:

1. Григорьев В.П. Элементы высшей математики: Учеб. для студ. учреждений СПО / В.П.Григорьев, Ю.А.Дубинский - М.: Издательский центр "Академия", 2012. – 320с.

Дополнительная литература:

1. Валуце И.И. Математика для техникумов на базе средней школы: Учеб. пособие / И.И. Валуце, Г.Д. Дилигул. – М.: Наука, 1989. – 576 с.

2. Лисичкин В.Т. Математика: учеб. пособие для техникумов / В.Т. Лисичкин, И.Л. Соловейчик. – М.: Высш. школа, 1991. – 480 с. – Глава 3, §7, стр. 480 с.

1. Григорьев В.П. Сборник задач по высшей математике: учеб. пособие для студентов учрежд. СПО / В.П.Григорьев, Т.Н.Сабурова. – М.: Издательский центр "Академия", 2010. – 160с.

2. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 1: Учеб. пособие для вузов / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – 6-е издание. – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2003. – 304 с.

3. Лунгу К.Н. Сборник задач по высшей математике. 1 курс / К.Н.Лунгу, Д.Т.Письменный, С.Н.Федин, Ю.А.Шевченко. – 6-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2007.- 576 с.

4. Математика для техникумов. Алгебра и начала анализа: Учебник. Ч. 2. / под ред. Г.Н.Яковлева. – 3-е изд. – М.: Наука, 1988. – 272 с.

5. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: [в 2 ч.] Ч.1. / Д.Т. Письменный. – 6-е изд. - М.: Айрис-пресс, 2011.- 288 с.

6. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: [в 2 ч.] Ч.2. / Д.Т. Письменный. – 5-е изд. - М.: Айрис-пресс, 2011.- 256 с.

7. Подольский В.А. Сборник задач по математике: Учеб. пособие / В.А. Подольский, А.М. Суходский, Е.С. Мироненко – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Высш. шк., 1999. – 495 с.

8. Сборник задач по высшей математике. 2 курс / К.Н.Лунгу и др.; под ред. С.Н.Федина. – 7-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2011.- 592 с.

Развернуть

Открыть в широком формате

– Конец работы –

Используемые теги: дисциплине, Элементы, высшей, математики0.06

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: По дисциплине Элементы высшей математики

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным для Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Еще рефераты, курсовые, дипломные работы на эту тему:

Конспект лекций по дисциплине: Элементы высшей математики
Негосударственная образовательная организация... высшего профессионального образования... некоммерческое партнерство...

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ДИСЦИПЛИНЫ по дисциплине EUR 1106 - Экология и устойчивое развитие ООД 1 Учебно-методическое пособие по дисциплине Экология и устойчивое развитие / – Астана: Изд-во ЕНУ
Евразийский национальный университет им Л Н Гумилева... Кафедра Управления и инжиниринга в сфере охраны окружающей среды...

Математики, высшей категории
математики высшей категории... МОУ СОШ г Гулькевичи... Урок разноуровневого повторения по теме Решение простейших тригонометрических уравнений I этап урока...

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ Дисциплина, код дисциплины– общая врачебная практика
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ... ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ...

Организация общения в условиях высшей школы. Модели общения преподавателя высшей школы
Педагогическое общение – специфическая форма общения, имеющая свои особенности и в то же время подчиняющаяся общим психологическим закономерностям,… Человеческие взаимоотношения, в т.ч. и в учебном процессе, должны строится на… Создается оптимальная база для позитивных изменений в познавательной, эмоциональной, поведенческой сферах каждого из…

Курс лекций: Элементы дискретной математики
Рис... Если A Igrave В то разность А В называется дополнением множества А до... U А Egrave В Говорят при этом что множество U разбито на два множества на А и Аналогичному разбиению можно подвергнуть множество А или множество или то и...

КУРС ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
mailto aalar yandex ru... К У Р С В Ы С Ш Е Й М А Т Е М А Т И К И...

ТЕМА №1 ДОКУМЕНТОВЕДЕНИЕ КАК НАУЧНАЯ ДИСЦИПЛИНА Лекция №1 Документоведение как научная дисциплина
Дисциплина Документоведение предназначена для студентов обучающихся по специальности Организация и...

Дисциплины обслуживания. Модель с приоритетами. Дисциплины обслуживания с приоритетами, зависящими от времени
Примерами дисциплин обслуживания являются постоянно используемая модель «первый пришел - первый обслужен» (FCFS-first came-first served), называемая… Предположим, что требования принадлежат одному из P различных приоритетных… Всякий раз, когда принимается решение для выбора требования на обслуживание, выбор делается в пользу требования с…

Дисциплина входит в федеральный компонент цикла общепрофессиональных дисциплин и является обязательной для изучения
канд техн наук доцент кафедры ЭиЭ... Учебно методический комплекс по дисциплине Материаловедение составлен в соответствии с требованиями Государственного...

0.032

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?

Подпишитесь на Нашу рассылку

Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail

Новости и инфо для студентов

Свежие новости
Актуальные обзоры событий
Студенческая жизнь

Соответствующий теме материал

Похожее
По категориям
По работам

Логические элементы на дополняющих МДП-транзисторах. Особенности логических элементов, реализуемых в составе БИС Основные свойства ЛЭ на дополняющих МДП-транзисторах (КМДП-ИМС), выгодно отличающие их от ИМС на МДП-транзисторах n-типа: 1.малая потребляемая… На выходе формируется уровень логического 0, близкий к потенциалу общей шины.… Сравнивая схемы И-НЕ и ИЛИ-НЕ следует отметить их различные характеристики.
КУРС ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ К У Р С В Ы С Ш Е Й М А Т Е М А Т И К И... А times Е Е times А А... Очевидно что для любых матриц выполняются следующее свойство...
На заседании ЦК строительных дисциплин и дизайна Задание к контрольной работе По дисциплине Основы электротехники государственное образовательное учреждение среднего профессионального образования... Кемеровский государственный профессионально педагогический колледж... ГОУ СПО КемГППК...
Методика изучения элементов математического моделирования в курсе математики 5-6 классов Проблема активизации включает в себя средства для осуществления такой деятельности. Моделирование - важный метод научного познания и сильное средство активизации… Отмечается, что одной из составляющих математического образования является новое представление о предмете математики.В…
ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКОГО ЗАДАНИЯ по дисциплине Финансы организаций Тема и варианты практического задания разработаны в соответствии с учебным материалом дисциплины. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКОГО ЗАДАНИЯ по дисциплине Финансы организаций... ВВЕДЕНИЕ Тема и варианты практического задания разработаны в соответствии с учебным материалом дисциплины Учебные цели и задачи...