рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Задачи, приводящие к ДУ.

Задачи, приводящие к ДУ. - раздел Математика, Обыкновенные ДУ: определение, порядок, решение, интегральная кривая, интегрирование, интегрирование в квадратурах Задача. В Благоприятных Для Размножения Условиях Находит...

Задача. В благоприятных для размножения условиях находится некоторое количество N0 бактерий. Из эксперимента известно, что скорость пропорц. их количеству. Найти зависимость роста числа бактерий в течение времени.

Решение. N(t) – кол-во размнож-ся бактерий с течением времени t. N(0)=N0. Будем считать, что N(t) измеряется во времени, непрер. диф-ма. Тогда скорость размножения это = kN(t) (1). Коэф. k зависит от выбора бактерий и условий, в кот. они находятся.

Найти решение N = N(t) ур-ня (1) для кот. N(0)=N0.

N(t) > 0 = kdt => d lnN(t) = kdt => lnN(t) = kt + C1 , где C1 - const, C1 = ln C, C > 0 =>

N(t) = Cekt . t=0 N(0)=N0 => C = N(0)=N0. N(t) = N0ekt.

Т.е. численность бактерий возрастает по экспоненциальному закону.

Ур-ие (1) описывает различные процессы и зависимости между величинами. Решением (1) явл. ф-ции вида N(t) = Cekt, где С – произв. число.

Док-ем, что ур-ие вида = ky (2) имеет решение только такого вида y = Cekx и др. нет.

Рассмотрим ф-цию y=ϕ(x) и пусть оно некоторое решение (2). Далее рассмотрим ф-цию Ф(х) = ϕ(x)∙e-kx и найдём её производную: = ∙ e-kx + ϕ(х)∙(-k)e-kx = e-kx (- k∙ϕ(х)). Т.к. ϕ(х) явл. решением (2), то выражение в скобках равно 0, т.е. = 0 => Ф(х) = С – const.

Получаем С = ϕ(х)∙e-kx => ϕ(х) = C∙ekx .

Мн-во решений обладает св-вом: графики ф-ций у = C∙ekx со всевозможными числовыми знач. С покрывают всю плоскость, причём через каждую точку пл-сти проходит график единств. такой ф-ции.

Выделим из этих решений решение проходящее через точку (х00). Для определения С получим уравнение: у0 = С∙, которое имеет единственное решение С = у0, частное решение: у = у0.

 

3.ДУ 1-го порядка: формы записи решения и ннтегралы, геометрическая интерпретация частного и общего решений.

Общий вид ДУ 1-ого порядка F(x, y, y') (1). Частное уравнение = f(x,y) (2), где действит. ф-ция f(x,y) задана в некоторой обл. D. (2) наз. уравнением разрешённым относительно производной. На виду с (2) всегда будем рассматр. = (2'). Использ. последнее в окрестности тех точек, где ф-ция f(x,y) обращается в .

Вместо (2) и (2') целесообр. рассматр. ур-ие dy – f(x,y)dx = 0 (3). Обе перемен. х и у входят в это ур-ие равноправно и любую из них можно рассматр. как независимую перемен. Умножив обе части ур-ия (3) на некот. ф-цию N(x,y) получим ур-ие: М(х,у)dx + N(x,y)dy = 0 (4), где M(x,y) = -f(x,y)∙N(x,y). = - и = - . Симметричная форма: = .

Рассм. ур-ие = f(x) (5). В этом случаи, если f(x) определена и непрер. на промежутке I, то каждая первообразная ф-ции f(x) на I явл. решением (5). Из матем. анализа известно, что х ϵ I все первообразные содерж. в формуле у(х) = (6). Если в (6) заместо запишем , то решение (5) м.б. записано в виде у(х) = (7). Решение ур-ия (5) имеет вид у = ϕ(х, С) (8) - общее решение.

Опр.Ф-ция у = ϕ(х,С), определённая в некоторой обл. изменения перемен. х и С, и имеющая непрер.частную производную по х наз. общим решением (2) в обл. D(обл. в которой (2) имеет единств. решение), если:

1)соотношение у = ϕ(х,С) (2)разрешимо относительно С при всех знач. у из обл. D, т.е. С = ψ(х,у) (3)

2)для всех знач. х и у из D (3) даёт такое знач. С, включая , при кот. ф-ция ϕ(х,С) будет явл. решением (1).

Суть опр. состоит в след.: пусть дано семейство кривых F располож. в D и зависящих от одного параметра С. Если про каждую кривую из F известно, что она явл. интегральной кривой ур-ия (1) и все кривые из F в их совокупности покрывают D, то F – общее решение (1) в обл. D.

В дальнейшем покажим, что (2) при достаточно общих условиях , их бесконечное мн-во, а именно семейство у = ϕ(х).

Решение, кот. получается из общего решения при конкретном С наз. частным решением.

Решение, кот. нельзя получить из общего решения при конкретном С наз. особым решением.

Соотношение вида Ф(х,у,С) = 0, кот. неявно определяет общее решение наз. общим интеграллом ДУ.

Если требуется найти решение, кот. удовл. дополнительным условиям, то такая формулировка задачи носит название задача Коши: (1)имеет единств. решение.

Опр. Ф-ция у = ϕ(х,С), определённая в некоторой обл. изменения перемен. х и С, и имеющая непрер.частную производную по х наз. общим решением (1) в обл. D, если:

1)соотношение у = ϕ(х,С) (2)разрешимо относительно С при всех знач. у из обл. D, т.е. С = ψ(х,у) (3)

2)для всех знач. х и у из D (3) даёт такое знач. С, включая , при кот. ф-ция ϕ(х,С) будет явл. решением (1).

Опр. Если решение ур-ия (1) состоит только из точек единств. решения задачи Коши для этого ур-ия, то оно наз. частным решением.

Опр. Соотношение Ф(х,у,С) = 0 наз. общим интеграллом (1) в D, если оно определяет общее решение у = ϕ(х,С) ур-ия (1).

Опр. Решение в параметрической форме , зависящ. от произв. const C, наз. общим решением в параметр. форме.

Опр. Особым решением (1) наз. такое решение, в каждой точке кот. нарушена единств. задачи Коши.

Опр. Кривая, кот. в каждой своей точке касается хотя бы одной кривой семейства решений Ф(х,у,С) = 0 и ни на каком участке не совпадает ни с одной кривой этого семейства наз. огибающей кривой.

Огибающее семейство ур-ия (2) представляет собой особое решение этого ур-ия.

Опр. Точка (х,у)ϵD наз. точкой -ия ДУ М(х,у)dx + N(x,y)dy = 0, если через неё проходит хотя бы одно решениеэтого ур-ия.

Опр.Точка -ия (х,у)ϵD, обладающая окрестностью внутри кот. все решения ур-ия, проход. через эту точку совпадают наз. точкой единствен.

Опр. Точка -ия (х,у)ϵD через кот. проход. 2 решения с одной касат. и различ. в любой сколь угодно малой окрестности рассматриваемой точки наз. точкой ветвления. Решение этого ур-ия, график кот. состоит из точек ветвления наз. особым решением.

Теор. Пикара Пусть дано уравнение = f(x,y) (1)и начальные условия у = у0, х = х0. Если ф-ция f(x,y) удовл. 2-м усл.: 1) непрер. по обеим перемен. в замкнут. обл. D = {(x,y) : |x-x0| ≤ a, |y-y0| ≤ b}, где a, b – некоторые известные положит. числа, из св-в непрер. ф-ции замкнут. обл. => такого числа М, что для всех точек (x,y)ϵ D : |f(x,y)| ≤ M. 2) f(x,y) в обл. D удовл. условию Липшица по перемен. у : |f(x,y1) - f(x,y2)| ≤ L |y1 – y2|, где L – постоянная Липшица. Тогда ! решение у(х) удовл. начальному условию у(х0) = у0 (2), определённое и непрер. диф-мое для знач. х из интервала |x-x0| ≤ h, где h = min{a, } и х не выходит из обл. D.

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Обыкновенные ДУ: определение, порядок, решение, интегральная кривая, интегрирование, интегрирование в квадратурах

Пусть ф ция F ф ция n переменных Надо найти ф цию у х удовл на некот промежутке I ур ию F x y x y x y n x... Опр Обыкновенным ДУ наз соотношение вида F x y x y x y n x... Опр Порядком ДУ наз порядок старшей производной неизв ф ции у у х вход в уравнение...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Задачи, приводящие к ДУ.

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

ДУ в полных дифференциалах.
Рассм. ур-ие вида М(х,у)dx + N(x,y)dy = 0 (1), где ф-ции М(х,у), N(x,y) – непрер. по обеим перем. в некот. связной обл. и одновременно не обращ. в 0, т.е. М2(х,у) + N

Однородные ДУ 1-го порядка.
Рассмотр. ДУ М(х,у)dx + N(x,y)dy = 0 (1). Опр.Ф-ция f(x,y) наз. однородной ф-ей степени m, если

Линейные ДУ 1-го порядка. Линейные однородные ДУ 1-го порядка.
M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 (1)является линейным ДУ, если оно линейно относительно искомых ф-ций. Если искомая функция у, то (1) линейно относительно у: у' = -р(х)у+g(x)

Линейные неоднородные ДУ 1-го порядка. Стр-ра общего решения. Метод Лагранжа.
M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 (1)является линейным ДУ, если оно линейно относительно искомых ф-ций. Если искомая функция у, то (1) линейно относительно у: у' = -р(х)у+g(x)

Линейные неоднородные ДУ 1-го порядка. Метод Бернулли. ДУ Бернулли.
M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 (1)является линейным ДУ, если оно линейно относительно искомых ф-ций. Если искомая функция у, то (1) линейно относительно у: у' = -р(х)у+g(x)

Общее, частное и особое решение ДУ 1-го порядка.
D⊂R2 – область в точке, которой у' = (1)имеет единств. решение. Опр. Ф-ция

ДУ n-го порядка. Общие понятия, теорема существования и единственности.
Рассм. ур-ие вида F(x, y, y', y'', …, y(n)) = 0(1). Будем предполагать, что ф-ция F такая что (1) м.б. разрешено относит. старшей произв. y(

Понятие линейной зависимости с-мы ф-ций.
у1(х), у2(х), ..., уm(x) – линейно зависимые на [a,b], если одна из них явл. линейной комбинацией других. Линейная зав-сть у1(х), у2(х)

Формула Остроградского-Лиувилля.
Для линейного ДУ L[y]=0 c непрер. коэф. имеет место формула (1), где р1(х) – коэф. при у(n

Метод Лагранжа линейных неоднородных ДУ n-го порядка.
Покажем, что общее решение ЛНДУ можно найти в квадратурах, если известно общее решение соотв. однородного ур-ия. Рассмотрим ур-ие у''(х) + р1(х) у'(х) + р0(х) у(х) =

Линейные однородные ДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Случай комплексного корня.
Ур-е вида (1), где,-некот. постоян. числа, i = {0,…,n-1} наз. Л

Теорема Пикара (построение эквивалентного интегрального уравнения).
Дано: = f(x,y) (1)y(x0) = y0 (2) 1) D = {(

Теорема Пикара (док-во существования решения задачи Коши).
Дано: = f(x,y) (1)y(x0) = y0 (2) 1) D = {(

Теорема Пикара (док-во единственности решения задачи Коши).
Дано: = f(x,y) (1)y(x0) = y0 (2) 1) D = {(

Применение метода сжатых отображений для док-ва теоремы Пикара.
Опр.Пусть Х – полное метрическое пространство и пусть ,причём сущ-т действительной число α с условием 0< α <

Нормальные с-мы ДУ. Общие понятия. Механическая интерпретация. Геометрическая интерпретация.
Совокупность соотношений вида: (1),где у1,у2,...,уn – искомые ф-ции от независим. перемен.

Понятие интеграла нормально с-мы. Первый интеграл нормальной с-мы. Общий интеграл.
Рассмотрим одно из равенств с-мы (12) ψ1(х, у1, ..., уn) = Ci (13). Ф-ция ψ1(х, у1, ..., уn)

Линейные с-мы ДУ. Линейно независимые с-мы функциональных векторов. Фундаментальная с-ма. Вронскиан.
Совокупность соотношений вида: (1),где у1,у2,...,уn – искомые ф-ции от независим. перемен.

Общее решение линейной однородной с-мы ДУ с постоянными коэффициентами.
Рассм лин с-му: (1), или (1')

Приведение нормальных с-м к уравнению n-го порядка и наоборот.
1)Приведение ур-ия n-ого порядка к с-ме n ур-ий 1-ого порядка. Пусть дано ур-ие n-ого порядка: y(n) = f(x, y, y', y'', …, y(

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги