рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Теорема Пикара (построение эквивалентного интегрального уравнения).

Теорема Пикара (построение эквивалентного интегрального уравнения). - раздел Математика, Обыкновенные ДУ: определение, порядок, решение, интегральная кривая, интегрирование, интегрирование в квадратурах Дано: ...

Дано:

= f(x,y) (1)y(x0) = y0 (2)

1) D = {(x,y) : |x-x0| ≤ a, |y-y0| ≤ b}}, где a, b – некоторые известные положит. числа, из св-в непрер. ф-ции замкнут. обл. => такого числа М, что для всех точек (x,y)ϵ D : |f(x,y)| ≤ M.

2) |f(x,y1) - f(x,y2)| ≤ L |y1 – y2|, где L – постоянная Липшица.[ Условие Липшица: если для любых точек х и х', принадлежащих отрезку [а, b], приращение функции удовлетворяет неравенств ∣f(x) — f(x')∣ ≤ М∣х - х'∣α, где 0 < α ≤ 1 и М — некоторая постоянная].

Ǝ У(х) удовл. нач. условиям у(х0) = у0 ,определённое и непрер. диф-мое для знач. х из интервала |x-x0| ≤ h, где h = min{a, } и х не выходит из обл. D.

Док-во.

1) Сведём док-во Ǝ искомого решения ур-ия (1) к док-ву Ǝ решения эквивал. ему интегр. ур-ия (3). Действительно ДУ (1) с условием (2) эквивалентно ур-ию (3). Покажим это.

Пусть ф-ция у(х) непрер. и явл. решением ур-ия (3), тогда дифференцируя (3) получим: = f(x, y(x)) y(x0) = y0. Это значит ф-ция у(х) удовл. (1) с усл. (2).

Обратно, пусть у(х) явл. решением (1): = f(t, y(t)) x0 ≤ t ≤ x y(x0) = y0. Тогда интеграл – это тождество в пределах от х0 до х: = => y(x) – y(x0) = => . Т.е. у(х) явл. решением (3).

Итак, (3) эквивалентно ДУ (1) с нач. усл. (2).

32.Теорема Пикара (построение последовательности приближённых решений).

Дано:

= f(x,y) (1)y(x0) = y0 (2)

1) D = {(x,y) : |x-x0| ≤ a, |y-y0| ≤ b}}, где a, b – некоторые известные положит. числа, из св-в непрер. ф-ции замкнут. обл. => такого числа М, что для всех точек (x,y)ϵ D : |f(x,y)| ≤ M.

2) |f(x,y1) - f(x,y2)| ≤ L |y1 – y2|, где L – постоянная Липшица.[ Условие Липшица: если для любых точек х и х', принадлежащих отрезку [а, b], приращение функции удовлетворяет неравенств ∣f(x) — f(x')∣ ≤ L∣х - х'∣α, где 0 < α ≤ 1 и L — некоторая постоянная].

Ǝ У(х) удовл. нач. условиям у(х0) = у0 ,определённое и непрер. диф-мое для знач. х из интервала |x-x0| ≤ h, где h = min{a, } и х не выходит из обл. D.

Док-во.

2) Докажем существование решения ур-ия (1), применяя метод последовательных приближений Пикара. За исходное нулевое приближение у0(х) принимаем ф-цию равную тождеств. нач. знач. искомой ф-ции у0.

Построим пос-сть ф-ций, наз. приближ. р-ниями по правилу: . Т.к. f – известная ф-ция, то у1(х) вычисл. в квадратурах, т.е. . Т.к. f – известная ф-ция, то у2(х) также вычисл. в квадратурах и т.д. . Обозначим эти ф-ции (4).

Будем рассматривать ф-ции (4) для всех х, удовл. нер-ву |x-x0| ≤ h. Тогда относительно ф-ций (4) можно утверждать:

1) ф-ции уk(x), где k = {1, …, n, …} непрер. Т.к. ф-ция f(x,y(x)) – непрер. по усл. теоремы, а => - непрер. ф-ция верхнего предела.

2) каждая из ф-ций уk(x), где k = {1, …, n, …} определена при х удовл. н-ву |x-x0| ≤ h. И график этих ф-ций не выходит из обл. D. Докажем это.

.

.

Допустим, что знач. ф-ции уn-1(x) при условии что |x-x0| ≤ h не выходит из обл. D и => |f(t,yn-1(t))| ≤ b. Тогда получим для уn(x) след. оценку:

.

Отсюда => для любого х, удовл. |x-x0| ≤ h выполн. |yn(x)-y0| ≤ b, т.е. n-ое приближение также не выходит из обл. D.

Т.обр. ММИ док-но, что ни одно из последоват. приближений не выходит из обл. D при условии, что |x-x0| ≤ h.

33.Теорема Пикара (док-во сходимости последовательности приближённых решений).

Дано:

= f(x,y) (1)y(x0) = y0 (2)

1) D = {(x,y) : |x-x0| ≤ a, |y-y0| ≤ b}}, где a, b – некоторые известные положит. числа, из св-в непрер. ф-ции замкнут. обл. => такого числа М, что для всех точек (x,y)ϵ D : |f(x,y)| ≤ M.

2) |f(x,y1) - f(x,y2)| ≤ L |y1 – y2|, где L – постоянная Липшица.[ Условие Липшица: если для любых точек х и х', принадлежащих отрезку [а, b], приращение функции удовлетворяет неравенств ∣f(x) — f(x')∣ ≤ L∣х - х'∣α, где 0 < α ≤ 1 и L — некоторая постоянная].

Ǝ У(х) удовл. нач. условиям у(х0) = у0 ,определённое и непрер. диф-мое для знач. х из интервала |x-x0| ≤ h, где h = min{a, } и х не выходит из обл. D.

Док-во.

3) уk(x0) = x0. Покажим, что Ǝ предел посл-стей (уn(x)), обозначим его У(х) = и покажим, что посл-сть приближений (4):

...

сходится равномерно на |x-x0| ≤ h.

Рассмотрим функциональный ряд, k-ая частичная сумма которого равна уk(x): y0 + (y1(x)-y0) + (y2(x)-y1(x)) + … + (yn(x)-yn-1(x)) + … (5), Sn = yn(x). Доказав сходимость (5) док-ем Ǝ предела пос-сти приближений yn(x) и если сх. будет равномерной, то пос-сть будет сх. к непрер. ф-ции.

Оценим абсолютные величины членов ряда (5): (*)

Аналогично: . Докажем, что для любого n>0 справедливо: (**).Для этого применим ММИ, при условии справедливости нер-ва (**) справедливо нер-во для (n+1):

 

(6).

Следовательно (**) справедливо для любых n, если |x-x0| ≤ h. Обозначим (**) для разл. n через (7).

(8).

Таким образом, члены функционального ряда (5) меньше ряда с положительными членами.

Этот ряд сходится по признаку Д'Аламбера

Так как все члены ряда (5) по абсолютно величине меньшей членов сходящейся числового ряда, то (5) по пр. Вейерштрасса сходится равномерно для всех х,удовлетворю неравенству .

Каждый член ряда (5)-неперывная ф-ция от х. Так как интеграл есть ф-ция непрерывная( ф-ция переменного предела), то существует ,где У(х) удовлетворяет начальному условию, график этой функции не выходит из области Д

Действительно,

Переходя к пределу в последнем неравенстве, получим:,а это и значит, что график функции не выходит из области D.

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Обыкновенные ДУ: определение, порядок, решение, интегральная кривая, интегрирование, интегрирование в квадратурах

Пусть ф ция F ф ция n переменных Надо найти ф цию у х удовл на некот промежутке I ур ию F x y x y x y n x... Опр Обыкновенным ДУ наз соотношение вида F x y x y x y n x... Опр Порядком ДУ наз порядок старшей производной неизв ф ции у у х вход в уравнение...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Теорема Пикара (построение эквивалентного интегрального уравнения).

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Задачи, приводящие к ДУ.
Задача. В благоприятных для размножения условиях находится некоторое количество N0 бактерий. Из эксперимента известно, что скорость пропорц. их количеству. Найти зав

ДУ в полных дифференциалах.
Рассм. ур-ие вида М(х,у)dx + N(x,y)dy = 0 (1), где ф-ции М(х,у), N(x,y) – непрер. по обеим перем. в некот. связной обл. и одновременно не обращ. в 0, т.е. М2(х,у) + N

Однородные ДУ 1-го порядка.
Рассмотр. ДУ М(х,у)dx + N(x,y)dy = 0 (1). Опр.Ф-ция f(x,y) наз. однородной ф-ей степени m, если

Линейные ДУ 1-го порядка. Линейные однородные ДУ 1-го порядка.
M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 (1)является линейным ДУ, если оно линейно относительно искомых ф-ций. Если искомая функция у, то (1) линейно относительно у: у' = -р(х)у+g(x)

Линейные неоднородные ДУ 1-го порядка. Стр-ра общего решения. Метод Лагранжа.
M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 (1)является линейным ДУ, если оно линейно относительно искомых ф-ций. Если искомая функция у, то (1) линейно относительно у: у' = -р(х)у+g(x)

Линейные неоднородные ДУ 1-го порядка. Метод Бернулли. ДУ Бернулли.
M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 (1)является линейным ДУ, если оно линейно относительно искомых ф-ций. Если искомая функция у, то (1) линейно относительно у: у' = -р(х)у+g(x)

Общее, частное и особое решение ДУ 1-го порядка.
D⊂R2 – область в точке, которой у' = (1)имеет единств. решение. Опр. Ф-ция

ДУ n-го порядка. Общие понятия, теорема существования и единственности.
Рассм. ур-ие вида F(x, y, y', y'', …, y(n)) = 0(1). Будем предполагать, что ф-ция F такая что (1) м.б. разрешено относит. старшей произв. y(

Понятие линейной зависимости с-мы ф-ций.
у1(х), у2(х), ..., уm(x) – линейно зависимые на [a,b], если одна из них явл. линейной комбинацией других. Линейная зав-сть у1(х), у2(х)

Формула Остроградского-Лиувилля.
Для линейного ДУ L[y]=0 c непрер. коэф. имеет место формула (1), где р1(х) – коэф. при у(n

Метод Лагранжа линейных неоднородных ДУ n-го порядка.
Покажем, что общее решение ЛНДУ можно найти в квадратурах, если известно общее решение соотв. однородного ур-ия. Рассмотрим ур-ие у''(х) + р1(х) у'(х) + р0(х) у(х) =

Линейные однородные ДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Случай комплексного корня.
Ур-е вида (1), где,-некот. постоян. числа, i = {0,…,n-1} наз. Л

Теорема Пикара (док-во существования решения задачи Коши).
Дано: = f(x,y) (1)y(x0) = y0 (2) 1) D = {(

Теорема Пикара (док-во единственности решения задачи Коши).
Дано: = f(x,y) (1)y(x0) = y0 (2) 1) D = {(

Применение метода сжатых отображений для док-ва теоремы Пикара.
Опр.Пусть Х – полное метрическое пространство и пусть ,причём сущ-т действительной число α с условием 0< α <

Нормальные с-мы ДУ. Общие понятия. Механическая интерпретация. Геометрическая интерпретация.
Совокупность соотношений вида: (1),где у1,у2,...,уn – искомые ф-ции от независим. перемен.

Понятие интеграла нормально с-мы. Первый интеграл нормальной с-мы. Общий интеграл.
Рассмотрим одно из равенств с-мы (12) ψ1(х, у1, ..., уn) = Ci (13). Ф-ция ψ1(х, у1, ..., уn)

Линейные с-мы ДУ. Линейно независимые с-мы функциональных векторов. Фундаментальная с-ма. Вронскиан.
Совокупность соотношений вида: (1),где у1,у2,...,уn – искомые ф-ции от независим. перемен.

Общее решение линейной однородной с-мы ДУ с постоянными коэффициентами.
Рассм лин с-му: (1), или (1')

Приведение нормальных с-м к уравнению n-го порядка и наоборот.
1)Приведение ур-ия n-ого порядка к с-ме n ур-ий 1-ого порядка. Пусть дано ур-ие n-ого порядка: y(n) = f(x, y, y', y'', …, y(

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги