Теорема Пикара (док-во единственности решения задачи Коши).
Теорема Пикара (док-во единственности решения задачи Коши). - раздел Математика, Обыкновенные ДУ: определение, порядок, решение, интегральная кривая, интегрирование, интегрирование в квадратурах Дано:
...
Дано:
= f(x,y) (1)y(x0) = y0(2)
1) D = {(x,y) : |x-x0| ≤ a, |y-y0| ≤ b}}, где a, b – некоторые известные положит. числа, из св-в непрер. ф-ции замкнут. обл. => такого числа М, что для всех точек (x,y)ϵ D : |f(x,y)| ≤ M.
2) |f(x,y1) - f(x,y2)| ≤ L |y1 – y2|, где L – постоянная Липшица.[ Условие Липшица: если для любых точек х и х', принадлежащих отрезку [а, b], приращение функции удовлетворяет неравенств ∣f(x) — f(x')∣ ≤ L∣х - х'∣α, где 0 < α ≤ 1 и L — некоторая постоянная].
Ǝ У(х) удовл. нач. условиям у(х0) = у0,определённое и непрер. диф-мое для знач. х из интервала |x-x0| ≤ h, где h = min{a, } и х не выходит из обл. D.
Пусть на отрезке ,кроме решения У(х) существует другое решение Z(x), удовлетворяющее тому же нач. усл..Без ограничения общности можно предположить,что значение х,для кот. находящиеся вправо от х0 в любой близости от х0.Рассмотрим любой малый , на кот. .
Так как У(х) и равны не во всех точках этого отрезка, то в некоторой точке х=х1, лежащей в интервале абсолютной величиной разности == достигает наибольшего значения
2 решения
т.е,
Что невозможно, т.к е>0, поэтому его можно выбрать сколь угодно мало.Противоречие показывает, что на промежутке .Аналогично доказывается совпадение на промужутке ,т.е решение единственно.
Зам.1. В ходе док-ва заменили ДУ (1) интегральным уравнением (3),так как условие для равномерной сходимости последовательности интегралов значительно проще последовательности производн.
Зам.2. Док-во существования ДУ(1) проверено методом последовательных приближений в предположении,что правая часть ДУ удовлетворяет усл.Липшеца по переменной у.При помощи др. методов модно док-ть существ-е решения достаточно потребовать непрерывность ф-ции f(x,y) по обеим переменным (этого условия не обеспечит!!!)Метод последоват. Приближений – конструктивный метод,дающий способ приближ. Решения с определённой степенью точности.
Зам. 3. Условие Липшица заведомо выполняется в той области, где f(x,y) имеет огранниченную састную производную по х.Но!!!неравенсво Лимпшеца может выполняться тогда, когда существует невсюду.
Пусть ф ция F ф ция n переменных Надо найти ф цию у х удовл на некот промежутке I ур ию F x y x y x y n x... Опр Обыкновенным ДУ наз соотношение вида F x y x y x y n x... Опр Порядком ДУ наз порядок старшей производной неизв ф ции у у х вход в уравнение...
Задачи, приводящие к ДУ.
Задача. В благоприятных для размножения условиях находится некоторое количество N0 бактерий. Из эксперимента известно, что скорость пропорц. их количеству. Найти зав
ДУ в полных дифференциалах.
Рассм. ур-ие вида М(х,у)dx + N(x,y)dy = 0 (1), где ф-ции М(х,у), N(x,y) – непрер. по обеим перем. в некот. связной обл. и одновременно не обращ. в 0, т.е. М2(х,у) + N
Однородные ДУ 1-го порядка.
Рассмотр. ДУ М(х,у)dx + N(x,y)dy = 0 (1).
Опр.Ф-ция f(x,y) наз. однородной ф-ей степени m, если
Понятие линейной зависимости с-мы ф-ций.
у1(х), у2(х), ..., уm(x) – линейно зависимые на [a,b], если одна из них явл. линейной комбинацией других. Линейная зав-сть у1(х), у2(х)
Метод Лагранжа линейных неоднородных ДУ n-го порядка.
Покажем, что общее решение ЛНДУ можно найти в квадратурах, если известно общее решение соотв. однородного ур-ия.
Рассмотрим ур-ие у''(х) + р1(х) у'(х) + р0(х) у(х) =
Новости и инфо для студентов