рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Применение метода сжатых отображений для док-ва теоремы Пикара.

Применение метода сжатых отображений для док-ва теоремы Пикара. - раздел Математика, Обыкновенные ДУ: определение, порядок, решение, интегральная кривая, интегрирование, интегрирование в квадратурах Опр.Пусть Х – Полное Метрическое Пространство И Пусть ...

Опр.Пусть Х – полное метрическое пространство и пусть ,причём сущ-т действительной число α с условием 0< α <1, такое что выполняется нер-во:. Fназывается сжимающимся отображением.

Теор. Стефана Банаха.Если - сжимающее, то сущ-т единств. точка , для которой .Точка х0- наз. неподвижной точкой сжимающего отображения f.

Теор. Пикара.Пусть дано ДУ (1) и начальное условие: (2). Если ф-ция удовл-т 2 усл:

1) непрерывна по обеим переменным в замкнутой обл. .

а, b- действительные числа. Из свойств непрерывной функции в замкнутой обл. Д, следовательно существуют такое число М, такое что: .

2) ф-ция в обл. Д удовлетворяет условию Липшица по переменной у: , где L- постоянная Липшица.

Тогда существует единственное решение y(x), удовлетворяющее начальному условию: ,определённое и непрерывно дифференцируемое для значения x из интервала , не выходящее при этих значениях из обл. Д

(Единственноре решение значит, что : , То эти решения совпадают на пересечении интервалов, где эти пересечения определены).

Рассмотрим метрическое пространство С, элементами которого являются всевозможные непрерывные функции y(x),определённые на -пространство непрерывных функций,определённых на ,графики ф-ций лежат в области Д.Расстояние определяется равенством:. Было доказано, что это пространство полное и что сходимость (в смысле метрики)означает равномерную сходимость. Запишем ДУ(1) с начальным усл.эквивалентным интегральным уравнением: (*)

Рассмотрим оператор :,ставящий в соответствие каждой неперрывной ф-ции у(х),заданную на и имеющий графики ф-ции,не выходящие за область Д непрерывн. Ф. Ау, определённая на том же отрезке, графики которой не выходят из области Д

.Значит, оператор Ау отображает пространство Св себя.

Уравнение (1) можно записать в виде:у=Ау. Тогда для док-ва торемы о существовании и единственности необходимо доказать существование в пространсве С единственно неподвижной точкой оператора А.Т.к. в этом смысле .Тогда интегральное уравнение удовлетворяется. Покажем, что оператор явл.юсжимающим,т.е ,где .т.к ф-ция f(x,y) на Д удовлетворяет условию Липшица, то

Надо взять h такое, чтобы .получим,что оператор А удовлетвор. Усл:,т.е оператор сжимающийю

Согласно принципу сжатых отображений сущ-т ! неподвижная точка оператора А – это тоже самое,что сущ-т решение интегрального уравнения.◄

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Обыкновенные ДУ: определение, порядок, решение, интегральная кривая, интегрирование, интегрирование в квадратурах

Пусть ф ция F ф ция n переменных Надо найти ф цию у х удовл на некот промежутке I ур ию F x y x y x y n x... Опр Обыкновенным ДУ наз соотношение вида F x y x y x y n x... Опр Порядком ДУ наз порядок старшей производной неизв ф ции у у х вход в уравнение...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Применение метода сжатых отображений для док-ва теоремы Пикара.

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Задачи, приводящие к ДУ.
Задача. В благоприятных для размножения условиях находится некоторое количество N0 бактерий. Из эксперимента известно, что скорость пропорц. их количеству. Найти зав

ДУ в полных дифференциалах.
Рассм. ур-ие вида М(х,у)dx + N(x,y)dy = 0 (1), где ф-ции М(х,у), N(x,y) – непрер. по обеим перем. в некот. связной обл. и одновременно не обращ. в 0, т.е. М2(х,у) + N

Однородные ДУ 1-го порядка.
Рассмотр. ДУ М(х,у)dx + N(x,y)dy = 0 (1). Опр.Ф-ция f(x,y) наз. однородной ф-ей степени m, если

Линейные ДУ 1-го порядка. Линейные однородные ДУ 1-го порядка.
M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 (1)является линейным ДУ, если оно линейно относительно искомых ф-ций. Если искомая функция у, то (1) линейно относительно у: у' = -р(х)у+g(x)

Линейные неоднородные ДУ 1-го порядка. Стр-ра общего решения. Метод Лагранжа.
M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 (1)является линейным ДУ, если оно линейно относительно искомых ф-ций. Если искомая функция у, то (1) линейно относительно у: у' = -р(х)у+g(x)

Линейные неоднородные ДУ 1-го порядка. Метод Бернулли. ДУ Бернулли.
M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 (1)является линейным ДУ, если оно линейно относительно искомых ф-ций. Если искомая функция у, то (1) линейно относительно у: у' = -р(х)у+g(x)

Общее, частное и особое решение ДУ 1-го порядка.
D⊂R2 – область в точке, которой у' = (1)имеет единств. решение. Опр. Ф-ция

ДУ n-го порядка. Общие понятия, теорема существования и единственности.
Рассм. ур-ие вида F(x, y, y', y'', …, y(n)) = 0(1). Будем предполагать, что ф-ция F такая что (1) м.б. разрешено относит. старшей произв. y(

Понятие линейной зависимости с-мы ф-ций.
у1(х), у2(х), ..., уm(x) – линейно зависимые на [a,b], если одна из них явл. линейной комбинацией других. Линейная зав-сть у1(х), у2(х)

Формула Остроградского-Лиувилля.
Для линейного ДУ L[y]=0 c непрер. коэф. имеет место формула (1), где р1(х) – коэф. при у(n

Метод Лагранжа линейных неоднородных ДУ n-го порядка.
Покажем, что общее решение ЛНДУ можно найти в квадратурах, если известно общее решение соотв. однородного ур-ия. Рассмотрим ур-ие у''(х) + р1(х) у'(х) + р0(х) у(х) =

Линейные однородные ДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Случай комплексного корня.
Ур-е вида (1), где,-некот. постоян. числа, i = {0,…,n-1} наз. Л

Теорема Пикара (построение эквивалентного интегрального уравнения).
Дано: = f(x,y) (1)y(x0) = y0 (2) 1) D = {(

Теорема Пикара (док-во существования решения задачи Коши).
Дано: = f(x,y) (1)y(x0) = y0 (2) 1) D = {(

Теорема Пикара (док-во единственности решения задачи Коши).
Дано: = f(x,y) (1)y(x0) = y0 (2) 1) D = {(

Нормальные с-мы ДУ. Общие понятия. Механическая интерпретация. Геометрическая интерпретация.
Совокупность соотношений вида: (1),где у1,у2,...,уn – искомые ф-ции от независим. перемен.

Понятие интеграла нормально с-мы. Первый интеграл нормальной с-мы. Общий интеграл.
Рассмотрим одно из равенств с-мы (12) ψ1(х, у1, ..., уn) = Ci (13). Ф-ция ψ1(х, у1, ..., уn)

Линейные с-мы ДУ. Линейно независимые с-мы функциональных векторов. Фундаментальная с-ма. Вронскиан.
Совокупность соотношений вида: (1),где у1,у2,...,уn – искомые ф-ции от независим. перемен.

Общее решение линейной однородной с-мы ДУ с постоянными коэффициентами.
Рассм лин с-му: (1), или (1')

Приведение нормальных с-м к уравнению n-го порядка и наоборот.
1)Приведение ур-ия n-ого порядка к с-ме n ур-ий 1-ого порядка. Пусть дано ур-ие n-ого порядка: y(n) = f(x, y, y', y'', …, y(

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги