Применение метода сжатых отображений для док-ва теоремы Пикара.
Применение метода сжатых отображений для док-ва теоремы Пикара. - раздел Математика, Обыкновенные ДУ: определение, порядок, решение, интегральная кривая, интегрирование, интегрирование в квадратурах Опр.Пусть Х – Полное Метрическое Пространство И Пусть ...
Опр.Пусть Х – полное метрическое пространство и пусть ,причём сущ-т действительной число α с условием 0< α <1, такое что выполняется нер-во:. Fназывается сжимающимся отображением.
Теор. Стефана Банаха.Если - сжимающее, то сущ-т единств. точка , для которой .Точка х0- наз. неподвижной точкой сжимающего отображения f.
Теор. Пикара.Пусть дано ДУ (1) и начальное условие: (2). Если ф-ция удовл-т 2 усл:
1) непрерывна по обеим переменным в замкнутой обл. .
а, b- действительные числа. Из свойств непрерывной функции в замкнутой обл. Д, следовательно существуют такое число М, такое что: .
2) ф-ция в обл. Д удовлетворяет условию Липшица по переменной у: , где L- постоянная Липшица.
Тогда существует единственное решение y(x), удовлетворяющее начальному условию: ,определённое и непрерывно дифференцируемое для значения x из интервала , не выходящее при этих значениях из обл. Д
(Единственноре решение значит, что : , То эти решения совпадают на пересечении интервалов, где эти пересечения определены).
►Рассмотрим метрическое пространство С, элементами которого являются всевозможные непрерывные функции y(x),определённые на .С-пространство непрерывных функций,определённых на ,графики ф-ций лежат в области Д.Расстояние определяется равенством:. Было доказано, что это пространство полное и что сходимость (в смысле метрики)означает равномерную сходимость. Запишем ДУ(1) с начальным усл.эквивалентным интегральным уравнением: (*)
Рассмотрим оператор :,ставящий в соответствие каждой неперрывной ф-ции у(х),заданную на и имеющий графики ф-ции,не выходящие за область Д непрерывн. Ф. Ау, определённая на том же отрезке, графики которой не выходят из области Д
.Значит, оператор Ау отображает пространство Св себя.
Уравнение (1) можно записать в виде:у=Ау. Тогда для док-ва торемы о существовании и единственности необходимо доказать существование в пространсве С единственно неподвижной точкой оператора А.Т.к. в этом смысле .Тогда интегральное уравнение удовлетворяется. Покажем, что оператор явл.юсжимающим,т.е ,где .т.к ф-ция f(x,y) на Д удовлетворяет условию Липшица, то
Надо взять h такое, чтобы .получим,что оператор А удовлетвор. Усл:,т.е оператор сжимающийю
Согласно принципу сжатых отображений сущ-т ! неподвижная точка оператора А – это тоже самое,что сущ-т решение интегрального уравнения.◄
Пусть ф ция F ф ция n переменных Надо найти ф цию у х удовл на некот промежутке I ур ию F x y x y x y n x... Опр Обыкновенным ДУ наз соотношение вида F x y x y x y n x... Опр Порядком ДУ наз порядок старшей производной неизв ф ции у у х вход в уравнение...
Задачи, приводящие к ДУ.
Задача. В благоприятных для размножения условиях находится некоторое количество N0 бактерий. Из эксперимента известно, что скорость пропорц. их количеству. Найти зав
ДУ в полных дифференциалах.
Рассм. ур-ие вида М(х,у)dx + N(x,y)dy = 0 (1), где ф-ции М(х,у), N(x,y) – непрер. по обеим перем. в некот. связной обл. и одновременно не обращ. в 0, т.е. М2(х,у) + N
Однородные ДУ 1-го порядка.
Рассмотр. ДУ М(х,у)dx + N(x,y)dy = 0 (1).
Опр.Ф-ция f(x,y) наз. однородной ф-ей степени m, если
Понятие линейной зависимости с-мы ф-ций.
у1(х), у2(х), ..., уm(x) – линейно зависимые на [a,b], если одна из них явл. линейной комбинацией других. Линейная зав-сть у1(х), у2(х)
Метод Лагранжа линейных неоднородных ДУ n-го порядка.
Покажем, что общее решение ЛНДУ можно найти в квадратурах, если известно общее решение соотв. однородного ур-ия.
Рассмотрим ур-ие у''(х) + р1(х) у'(х) + р0(х) у(х) =
Новости и инфо для студентов