Понятие интеграла нормально с-мы. Первый интеграл нормальной с-мы. Общий интеграл.
Понятие интеграла нормально с-мы. Первый интеграл нормальной с-мы. Общий интеграл. - раздел Математика, Обыкновенные ДУ: определение, порядок, решение, интегральная кривая, интегрирование, интегрирование в квадратурах Рассмотрим Одно Из Равенств С-Мы (12) ψ1(Х, У1, .....
Рассмотрим одно из равенств с-мы (12) ψ1(х, у1, ..., уn) = Ci(13). Ф-ция ψ1(х, у1, ..., уn) обращается в постоянную при замене у1, ..., уn любым частным решением с-мы (2), располож. в обл. задания общего решения (11). Т.е. имеем тождество: ψ1(х, ϕ1(х, С1, ..., Сn), …, ϕn(х, С1, ..., Сn)) Ci(14).Всякая ф-ция ψ1(х, у1, ..., уn) обладающая таким св-вом наз. интегралом с-мы (2).
Опр. Ф-ция ψ1(х, у1, ..., уn), не приводящаяся к постоянной наз. интегралом с-мы (2), если при замене у1, ..., уn любым частным решением этой с-мы, она обращается в постоянную.
Опр.Ф-ция ψ1(х, у1, ..., уn), имеющая непрер. частные производные по (х, у1, ..., уn) и такая что, в рассматр. области частные произв. , , ..., не обращаются одновременно в 0 наз. интегралом с-мы (2), если полный дифференциал этой ф-ции обращается в 0 в силу с-мы (2), т.е. имеет место тождество: (15).
Равенство ψ(х, у1, ..., уn) = С (16), где ψ(х, у1, ..., уn) – интеграл с-мы (2), а С – произвольная постоянная наз. первым интегралом с-мы (2).
Каждое равенство (12) явл. первым интегралом с-мы (2).
Совокупность первых интегралов обладает тем св-вом, что она разрешима относительно искомых ф-ций (х, у1, ..., уn). Причём в результате этого получаем общее решение (11) с-мы (2). Эту совокупность наз. общим интегралом с-мы (2) в обл. D.
Пусть ф ция F ф ция n переменных Надо найти ф цию у х удовл на некот промежутке I ур ию F x y x y x y n x... Опр Обыкновенным ДУ наз соотношение вида F x y x y x y n x... Опр Порядком ДУ наз порядок старшей производной неизв ф ции у у х вход в уравнение...
Задачи, приводящие к ДУ.
Задача. В благоприятных для размножения условиях находится некоторое количество N0 бактерий. Из эксперимента известно, что скорость пропорц. их количеству. Найти зав
ДУ в полных дифференциалах.
Рассм. ур-ие вида М(х,у)dx + N(x,y)dy = 0 (1), где ф-ции М(х,у), N(x,y) – непрер. по обеим перем. в некот. связной обл. и одновременно не обращ. в 0, т.е. М2(х,у) + N
Однородные ДУ 1-го порядка.
Рассмотр. ДУ М(х,у)dx + N(x,y)dy = 0 (1).
Опр.Ф-ция f(x,y) наз. однородной ф-ей степени m, если
Понятие линейной зависимости с-мы ф-ций.
у1(х), у2(х), ..., уm(x) – линейно зависимые на [a,b], если одна из них явл. линейной комбинацией других. Линейная зав-сть у1(х), у2(х)
Метод Лагранжа линейных неоднородных ДУ n-го порядка.
Покажем, что общее решение ЛНДУ можно найти в квадратурах, если известно общее решение соотв. однородного ур-ия.
Рассмотрим ур-ие у''(х) + р1(х) у'(х) + р0(х) у(х) =
Новости и инфо для студентов