ДУ в полных дифференциалах. - раздел Математика, Обыкновенные ДУ: определение, порядок, решение, интегральная кривая, интегрирование, интегрирование в квадратурах Рассм. Ур-Ие Вида М(Х,у)Dx + N(X,y)Dy = 0 (1), Где Ф-Ции М(Х...
Рассм. ур-ие вида М(х,у)dx + N(x,y)dy = 0 (1), где ф-ции М(х,у), N(x,y) – непрер. по обеим перем. в некот. связной обл. и одновременно не обращ. в 0, т.е. М2(х,у) + N2(x,y)0.
Ур-ие (1) наз. ур-ие полных диф-лов, если его левая часть есть полный диф-л некот. ф-ции U(x,y), т.е. dU(x,y) = М(х,у)dx + N(x,y)dy. Тогда (1) можно записать в виде dU(x,y) = 0. И поэтому общий интегралл этого ур-ия имеет вид: U(x,y) = С.
Теор.(признак ур-ия полного диф-ла и построение его общего решения) Если ф-ции М(х,у) и N(x,y) – непрер. диф-мы в некотор. односвязной обл. D, тогда ДУ (1) будет ур-ием в полных диф-лах т. и т.т.к. выполн. условие для любого х,уϵD: (3) –условие Эйлера.
► =>) Пусть левая часть (1) явл. полным диф-лом некот. ф-ции U(x,y), а это значит dU = М(х,у)dx + N(x,y)dy. С другой стороны dU = . Отсюда имеют место тождества: и . Продиффер. эти равенства: и . Т.к. частные производные М(х,у) и N(x,y) непрер., то смешанные производные равны м/д собой, а значит мы получим условие (3).
<=) Пусть для М(х,у), N(x,y) выполн. усл. (3), покажим, что тогда Ǝ такая ф-ция U(x,y), что имеет место равенство dU(x,y) = М(х,у)dx + N(x,y)dy. Иначе говоря, ф-ция U(x,y) такая что: и (4). Пусть (.) (х0, у0) ϵD, где D – открытое односвязное мн-во, а поэтому (.) (х0, у0) ϵD вместе со своей некотор. окрестностью. Тогда из первого равенства (4): (5). Интегрирование имеет смысл т.к. D, где определена ф-ция М(х,у) односвязное мн-во. Отметим, что ϕ(у) – произв. ф-ция, дифференцируемая по у. Будем определять ϕ(у) таким обр., чтобы U(x,y) удовл. равенствам (4). Продифференцир. (5) по у: . В силу (3) имеем: , , , Подставим в (5) и получаем: U(x,y) = (6). Положим, что в (6) С=0 и возьмём одну из ф-ций U(x,y) при С=0 и тогда в силу (2) получим решение: . ◄
Зам. Как известно из курса мат. анализа ещё проще м.б. определить ф-цию U(x,y) по её полному диф-лу, взяв криволинейный интегралл от ф-ции М(х,у)dx + N(x,y)dy по контору м/д некотор. фиксир. (.)(х0,у0) и произв. (.)(х,у).
Пусть ф ция F ф ция n переменных Надо найти ф цию у х удовл на некот промежутке I ур ию F x y x y x y n x... Опр Обыкновенным ДУ наз соотношение вида F x y x y x y n x... Опр Порядком ДУ наз порядок старшей производной неизв ф ции у у х вход в уравнение...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
ДУ в полных дифференциалах.
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Задачи, приводящие к ДУ.
Задача. В благоприятных для размножения условиях находится некоторое количество N0 бактерий. Из эксперимента известно, что скорость пропорц. их количеству. Найти зав
Однородные ДУ 1-го порядка.
Рассмотр. ДУ М(х,у)dx + N(x,y)dy = 0 (1).
Опр.Ф-ция f(x,y) наз. однородной ф-ей степени m, если
Понятие линейной зависимости с-мы ф-ций.
у1(х), у2(х), ..., уm(x) – линейно зависимые на [a,b], если одна из них явл. линейной комбинацией других. Линейная зав-сть у1(х), у2(х)
Метод Лагранжа линейных неоднородных ДУ n-го порядка.
Покажем, что общее решение ЛНДУ можно найти в квадратурах, если известно общее решение соотв. однородного ур-ия.
Рассмотрим ур-ие у''(х) + р1(х) у'(х) + р0(х) у(х) =
Новости и инфо для студентов