рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Раздел Математика
/
Общее решение линейной однородной с-мы ДУ с постоянными коэффициентами.

Реферат Курсовая Конспект

Выберите учебное заведение

Общее решение линейной однородной с-мы ДУ с постоянными коэффициентами.

Общее решение линейной однородной с-мы ДУ с постоянными коэффициентами. - раздел Математика, Обыкновенные ДУ: определение, порядок, решение, интегральная кривая, интегрирование, интегрирование в квадратурах Рассм Лин С-Му: ...

Рассм лин с-му: (1), или (1')

, , или (1'')

Коэфф - постоян действ числа, -непр ф-и на . Применяя общую теорию лин с-м, можно утверждать, что с-ма (1) будет проинтегрирована в конечном виде, т.е м.б. получено реш-е в виде элемент ф-й или квадратур.

Рассм соотв однородную с-му: (2)

Для пост-я общ реш-я с-мы (1) нужно построить общ реш-е соотв однородн с-мы (2). Построим для этого какую-нибудь ФСР.

Построение ФСР и общ реш-я с-мы (2) в случае различных корней ХУ.

Следуя Эйлеру, реш-е с-мы (2) будем искать в виде (3), где -некот постоян числа, причем невсе одновременно равны 0. Подставим (3) в (2) и сокращая на , получим для определения чисел след с-му:

(4)

Для того чтобы однор лин с-ма имела ненул реш-я необх и дост , чтобы ее определитель был=0.

(5)

Ур-е (5) наз ХУ, а его корни - характ числа с-мы (2). Каждому из корней ХУ соотв хотя бы одно частн реш-е вида (3).

Различают 3 случая:

1)Все корни ур-я (5) различны и действительные. В этом случае, полагая в с-е (4) , где , мы получаем с-му : Решая эту с-му найдем ненулевые . Подставляя и в реш-е (3) имеем:

все эти реш-я л.н

Общ реш-е имеет вид:

2)Если характ числа различные, но среди них имеются комплексные. Последние входят сопряженными парами . все эти числа –корни ХУ.

Отделяя в реш-ии действ и мнимую часть , получим 2 веществ л.н частных реш-я однородн с-мы. Корню ХУ будут соотв л.з реш-я. Построив частн реш-я, соотв всем парам сопряжен корней и всем действ корням, взяв их лин комбинац, получим общее реш-е.

3)Случай наличия кратных корней.

Способ, предложенный ранее не применим. Имеет место т-ма.

Т-ма: Если - характ число кратности К, то ему соотв реш-е вида : , где полиномы не выше степени (k-1), имеющие в совокупности k произв коэфф. Все остальные коэфф выражаются через них.

Развернуть

Открыть в широком формате

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Обыкновенные ДУ: определение, порядок, решение, интегральная кривая, интегрирование, интегрирование в квадратурах

Пусть ф ция F ф ция n переменных Надо найти ф цию у х удовл на некот промежутке I ур ию F x y x y x y n x... Опр Обыкновенным ДУ наз соотношение вида F x y x y x y n x... Опр Порядком ДУ наз порядок старшей производной неизв ф ции у у х вход в уравнение...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Общее решение линейной однородной с-мы ДУ с постоянными коэффициентами.

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Задачи, приводящие к ДУ.
Задача. В благоприятных для размножения условиях находится некоторое количество N0 бактерий. Из эксперимента известно, что скорость пропорц. их количеству. Найти зав

ДУ в полных дифференциалах.
Рассм. ур-ие вида М(х,у)dx + N(x,y)dy = 0 (1), где ф-ции М(х,у), N(x,y) – непрер. по обеим перем. в некот. связной обл. и одновременно не обращ. в 0, т.е. М2(х,у) + N

Однородные ДУ 1-го порядка.
Рассмотр. ДУ М(х,у)dx + N(x,y)dy = 0 (1). Опр.Ф-ция f(x,y) наз. однородной ф-ей степени m, если

Линейные ДУ 1-го порядка. Линейные однородные ДУ 1-го порядка.
M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 (1)является линейным ДУ, если оно линейно относительно искомых ф-ций. Если искомая функция у, то (1) линейно относительно у: у' = -р(х)у+g(x)

Линейные неоднородные ДУ 1-го порядка. Стр-ра общего решения. Метод Лагранжа.
M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 (1)является линейным ДУ, если оно линейно относительно искомых ф-ций. Если искомая функция у, то (1) линейно относительно у: у' = -р(х)у+g(x)

Линейные неоднородные ДУ 1-го порядка. Метод Бернулли. ДУ Бернулли.
M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 (1)является линейным ДУ, если оно линейно относительно искомых ф-ций. Если искомая функция у, то (1) линейно относительно у: у' = -р(х)у+g(x)

Общее, частное и особое решение ДУ 1-го порядка.
D⊂R2 – область в точке, которой у' = (1)имеет единств. решение. Опр. Ф-ция

ДУ n-го порядка. Общие понятия, теорема существования и единственности.
Рассм. ур-ие вида F(x, y, y', y'', …, y(n)) = 0(1). Будем предполагать, что ф-ция F такая что (1) м.б. разрешено относит. старшей произв. y(

Понятие линейной зависимости с-мы ф-ций.
у1(х), у2(х), ..., уm(x) – линейно зависимые на [a,b], если одна из них явл. линейной комбинацией других. Линейная зав-сть у1(х), у2(х)

Формула Остроградского-Лиувилля.
Для линейного ДУ L[y]=0 c непрер. коэф. имеет место формула (1), где р1(х) – коэф. при у(n

Метод Лагранжа линейных неоднородных ДУ n-го порядка.
Покажем, что общее решение ЛНДУ можно найти в квадратурах, если известно общее решение соотв. однородного ур-ия. Рассмотрим ур-ие у''(х) + р1(х) у'(х) + р0(х) у(х) =

Линейные однородные ДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Случай комплексного корня.
Ур-е вида (1), где,-некот. постоян. числа, i = {0,…,n-1} наз. Л

Теорема Пикара (построение эквивалентного интегрального уравнения).
Дано: = f(x,y) (1)y(x0) = y0 (2) 1) D = {(

Теорема Пикара (док-во существования решения задачи Коши).
Дано: = f(x,y) (1)y(x0) = y0 (2) 1) D = {(

Теорема Пикара (док-во единственности решения задачи Коши).
Дано: = f(x,y) (1)y(x0) = y0 (2) 1) D = {(

Применение метода сжатых отображений для док-ва теоремы Пикара.
Опр.Пусть Х – полное метрическое пространство и пусть ,причём сущ-т действительной число α с условием 0< α <

Нормальные с-мы ДУ. Общие понятия. Механическая интерпретация. Геометрическая интерпретация.
Совокупность соотношений вида: (1),где у1,у2,...,уn – искомые ф-ции от независим. перемен.

Понятие интеграла нормально с-мы. Первый интеграл нормальной с-мы. Общий интеграл.
Рассмотрим одно из равенств с-мы (12) ψ1(х, у1, ..., уn) = Ci (13). Ф-ция ψ1(х, у1, ..., уn)

Линейные с-мы ДУ. Линейно независимые с-мы функциональных векторов. Фундаментальная с-ма. Вронскиан.
Совокупность соотношений вида: (1),где у1,у2,...,уn – искомые ф-ции от независим. перемен.

Приведение нормальных с-м к уравнению n-го порядка и наоборот.
1)Приведение ур-ия n-ого порядка к с-ме n ур-ий 1-ого порядка. Пусть дано ур-ие n-ого порядка: y(n) = f(x, y, y', y'', …, y(