Приведение нормальных с-м к уравнению n-го порядка и наоборот.
Приведение нормальных с-м к уравнению n-го порядка и наоборот. - раздел Математика, Обыкновенные ДУ: определение, порядок, решение, интегральная кривая, интегрирование, интегрирование в квадратурах 1)Приведение Ур-Ия N-Ого Порядка К С-Ме N Ур-Ий 1-Ого Порядка....
1)Приведение ур-ия n-ого порядка к с-ме n ур-ий 1-ого порядка.
Пусть дано ур-ие n-ого порядка: y(n) = f(x, y, y', y'', …, y(n-1)).
Обозначим искомую ф-цию у = у1. И введём в рассмотрение новые ф-ции у2, у3, ...,уn, определяя их при помощи след. соотношений: у2 = y', у3 = y'', ..., уn = y(n-1). В силу такого выбора новых ф-ций и данного ур-ия будем иметь: - нормальная с-ма ДУ, равносильная исходному ур-ию.
2)Приведение норм. с-мы n ур-ий к одному ур-ию n-ого порядка.
Пусть дана с-ма: , где fi – непрер. ф-ции, имеющие производные до порядка.
Продифферен. первое ур-ие (n-1) раз по х. Считая уi ф-циями от х и заменяя после каждого диффер. производные y1', y2', ..., yn' их выражениями из данной с-мы. Тогда получим с-му ур-ий: .
Предположим, что . Тогда с-ма ур-ий, составленная из 1-го ур-ия 1-ой с-мы и первых (n-2) 2-ой с-мы, разрешима относительно у2, у3, ..., уn. При этом у2, у3, ..., уn выраж. через x, y', y'', …, y(n-1). Заменяя в последнем ур-ии второй с-мы ф-ции у2, у3, ..., уn. Получим ур-ие 1-го порядка y1(n) = f(x, y, y', y'', …, y(n-1)). Можно показать, что решение этого ур-ия и ф-ции у1, у2, ..., уn дают общее решение исходной с-мы.
Пусть ф ция F ф ция n переменных Надо найти ф цию у х удовл на некот промежутке I ур ию F x y x y x y n x... Опр Обыкновенным ДУ наз соотношение вида F x y x y x y n x... Опр Порядком ДУ наз порядок старшей производной неизв ф ции у у х вход в уравнение...
Задачи, приводящие к ДУ.
Задача. В благоприятных для размножения условиях находится некоторое количество N0 бактерий. Из эксперимента известно, что скорость пропорц. их количеству. Найти зав
ДУ в полных дифференциалах.
Рассм. ур-ие вида М(х,у)dx + N(x,y)dy = 0 (1), где ф-ции М(х,у), N(x,y) – непрер. по обеим перем. в некот. связной обл. и одновременно не обращ. в 0, т.е. М2(х,у) + N
Однородные ДУ 1-го порядка.
Рассмотр. ДУ М(х,у)dx + N(x,y)dy = 0 (1).
Опр.Ф-ция f(x,y) наз. однородной ф-ей степени m, если
Понятие линейной зависимости с-мы ф-ций.
у1(х), у2(х), ..., уm(x) – линейно зависимые на [a,b], если одна из них явл. линейной комбинацией других. Линейная зав-сть у1(х), у2(х)
Метод Лагранжа линейных неоднородных ДУ n-го порядка.
Покажем, что общее решение ЛНДУ можно найти в квадратурах, если известно общее решение соотв. однородного ур-ия.
Рассмотрим ур-ие у''(х) + р1(х) у'(х) + р0(х) у(х) =
Новости и инфо для студентов