рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Раздел Математика
/
Однородные ДУ 1-го порядка.

Реферат Курсовая Конспект

Выберите учебное заведение

Однородные ДУ 1-го порядка.

Однородные ДУ 1-го порядка. - раздел Математика, Обыкновенные ДУ: определение, порядок, решение, интегральная кривая, интегрирование, интегрирование в квадратурах Рассмотр. Ду М(Х,у)Dx + N(X,y)Dy = 0 (1). О...

Рассмотр. ДУ М(х,у)dx + N(x,y)dy = 0 (1).

Опр.Ф-ция f(x,y) наз. однородной ф-ей степени m, если t имеет место равенство: f(tx, ty) = t^m∙ f(x,y) (2).

Положим в (2) t = , тогда f(1, ) = ∙ f(x,y). f(x,y) = x^m ∙ f(1, ) (3).

Опр. ДУ (1) наз. однородным, если М(х,у) и N(x,y) однородные ф-ции одной и той же степени m.

Преобраз. (1) иначе: . В силу (3) это = (4). Получаем: (5). Из (5) => однород. ур-ия в нач. коорд. вообще говоря не задаёт определённого направления поля, т.к. ч/з начало координат не проходит ни одна интегр. кривая. Интегр. кривые однород. ур-ия могут лишь примыкать к началу координат.

Для того чтобы проинтегр. однородное ур-ие (1) сделаем замену перемен. y=zx, где z – новая искомая ф-ция от х. Имеем: М(х, zx)dx + N(x, zx)(zdx + xdz) = 0. Т.к. М(х, у) = x^m ∙ М(1, ) , N(x,y) = x^m ∙ N (1, ), то М(х, zx) = x^m ∙ М(1, z) , N(x, zx) = x^m ∙ N (1, z). Тогда x^m ∙ М(1, z)dx + x^m ∙ N (1, z)(zdx + xdz) = 0. (M(1, z) + zN(1, z))dx + xN(1, z)dz = 0 – ур-ие с разд. перемен. Разделяя их будет: , С = С₁ - решение.

Зам. Разделяя переменные можно потерять решение вида z = a, где а – корень ур-ия M(1, z) + zN(1, z) = 0. Отсюда сразу => у = ах. Эти решения могут содержаться в формуле общего интегр., но м.б. и особыми. Особыми решениями м.б. также полуоси х = 0.

Обобщ. однородные ур-ия

Ур-ие М(х,у)dx + N(x,y)dy = 0 (6) наз. обобщённым однородным ур-ем, если Ǝk: левая часть уравнения становится однородной ф-ей от величин x, y, dx, dy, при условии что они считаются величинами соответственно первого, k-ого, нулевого и (k-1) измерения, т.е. если ур-ие имеет вид: M(tx, t^ky)dx + N(tx, t^ky)t^k^-1dy = 0, t^m(M(x,y)dx+N(x,y)dy)=0, M(tx, t^ky)dx + N(tx, t^ky)t^k^-1dy = t^m(M(x,y)dx+N(x,y)dy) = 0, M(tx, t^ky)dx + N(tx, t^ky)t^k^-1dy = t^m(M(x,y)dx+N(x,y)dy) (7). M(tx, t^ky) = t^m(M(x,y); N(tx, t^ky) = t^m^-(^k^-1)N(x,y) (8). При k = 1 получ. общее однородное ур-ие.м

Если положить, что y = zx^k, то ур-ие (6) с новой переменной z приводится к ур-ию с раздел. переменными. dy = zkx^k^-1dx + x^kdz.

Положим t = , тогда в (8): => . => . M(x, zx^k) = x^mM(1, z) и N(x, zx^k) = x^m^-^k⁺¹N(1, z) подставим в (1): . .| x = 0 –?. - ур-ие с раздел. переменными.

Развернуть

Открыть в широком формате

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Обыкновенные ДУ: определение, порядок, решение, интегральная кривая, интегрирование, интегрирование в квадратурах

Пусть ф ция F ф ция n переменных Надо найти ф цию у х удовл на некот промежутке I ур ию F x y x y x y n x... Опр Обыкновенным ДУ наз соотношение вида F x y x y x y n x... Опр Порядком ДУ наз порядок старшей производной неизв ф ции у у х вход в уравнение...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Однородные ДУ 1-го порядка.

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Задачи, приводящие к ДУ.
Задача. В благоприятных для размножения условиях находится некоторое количество N0 бактерий. Из эксперимента известно, что скорость пропорц. их количеству. Найти зав

ДУ в полных дифференциалах.
Рассм. ур-ие вида М(х,у)dx + N(x,y)dy = 0 (1), где ф-ции М(х,у), N(x,y) – непрер. по обеим перем. в некот. связной обл. и одновременно не обращ. в 0, т.е. М2(х,у) + N

Линейные ДУ 1-го порядка. Линейные однородные ДУ 1-го порядка.
M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 (1)является линейным ДУ, если оно линейно относительно искомых ф-ций. Если искомая функция у, то (1) линейно относительно у: у' = -р(х)у+g(x)

Линейные неоднородные ДУ 1-го порядка. Стр-ра общего решения. Метод Лагранжа.
M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 (1)является линейным ДУ, если оно линейно относительно искомых ф-ций. Если искомая функция у, то (1) линейно относительно у: у' = -р(х)у+g(x)

Линейные неоднородные ДУ 1-го порядка. Метод Бернулли. ДУ Бернулли.
M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 (1)является линейным ДУ, если оно линейно относительно искомых ф-ций. Если искомая функция у, то (1) линейно относительно у: у' = -р(х)у+g(x)

Общее, частное и особое решение ДУ 1-го порядка.
D⊂R2 – область в точке, которой у' = (1)имеет единств. решение. Опр. Ф-ция

ДУ n-го порядка. Общие понятия, теорема существования и единственности.
Рассм. ур-ие вида F(x, y, y', y'', …, y(n)) = 0(1). Будем предполагать, что ф-ция F такая что (1) м.б. разрешено относит. старшей произв. y(

Понятие линейной зависимости с-мы ф-ций.
у1(х), у2(х), ..., уm(x) – линейно зависимые на [a,b], если одна из них явл. линейной комбинацией других. Линейная зав-сть у1(х), у2(х)

Формула Остроградского-Лиувилля.
Для линейного ДУ L[y]=0 c непрер. коэф. имеет место формула (1), где р1(х) – коэф. при у(n

Метод Лагранжа линейных неоднородных ДУ n-го порядка.
Покажем, что общее решение ЛНДУ можно найти в квадратурах, если известно общее решение соотв. однородного ур-ия. Рассмотрим ур-ие у''(х) + р1(х) у'(х) + р0(х) у(х) =

Линейные однородные ДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Случай комплексного корня.
Ур-е вида (1), где,-некот. постоян. числа, i = {0,…,n-1} наз. Л

Теорема Пикара (построение эквивалентного интегрального уравнения).
Дано: = f(x,y) (1)y(x0) = y0 (2) 1) D = {(

Теорема Пикара (док-во существования решения задачи Коши).
Дано: = f(x,y) (1)y(x0) = y0 (2) 1) D = {(

Теорема Пикара (док-во единственности решения задачи Коши).
Дано: = f(x,y) (1)y(x0) = y0 (2) 1) D = {(

Применение метода сжатых отображений для док-ва теоремы Пикара.
Опр.Пусть Х – полное метрическое пространство и пусть ,причём сущ-т действительной число α с условием 0< α <

Нормальные с-мы ДУ. Общие понятия. Механическая интерпретация. Геометрическая интерпретация.
Совокупность соотношений вида: (1),где у1,у2,...,уn – искомые ф-ции от независим. перемен.

Понятие интеграла нормально с-мы. Первый интеграл нормальной с-мы. Общий интеграл.
Рассмотрим одно из равенств с-мы (12) ψ1(х, у1, ..., уn) = Ci (13). Ф-ция ψ1(х, у1, ..., уn)

Линейные с-мы ДУ. Линейно независимые с-мы функциональных векторов. Фундаментальная с-ма. Вронскиан.
Совокупность соотношений вида: (1),где у1,у2,...,уn – искомые ф-ции от независим. перемен.

Общее решение линейной однородной с-мы ДУ с постоянными коэффициентами.
Рассм лин с-му: (1), или (1')

Приведение нормальных с-м к уравнению n-го порядка и наоборот.
1)Приведение ур-ия n-ого порядка к с-ме n ур-ий 1-ого порядка. Пусть дано ур-ие n-ого порядка: y(n) = f(x, y, y', y'', …, y(