Линейные ДУ 1-го порядка. Линейные однородные ДУ 1-го порядка.
Линейные ДУ 1-го порядка. Линейные однородные ДУ 1-го порядка. - раздел Математика, Обыкновенные ДУ: определение, порядок, решение, интегральная кривая, интегрирование, интегрирование в квадратурах M(X,y)Dx + N(X,y)Dy = 0 (1)Является Линейным Ду, Если...
M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 (1)является линейным ДУ, если оно линейно относительно искомых ф-ций. Если искомая функция у, то (1) линейно относительно у: у' = -р(х)у+g(x) (2). Если в (2) g(x) = 0, то у'+р(х)у = 0 (3) – линейное однородное ДУ.
Будем считать ф-ции p(x), g(x) непрер. на некотором промежутке I. Из теор. Пикара => (2) имеет единств. решение у = у(х) удовл. начальным усл. у(х0)=у0, у0ϵI, его можно выбирать произвольно. Т.е. через каждую (.) (х0,у0) проходит единств. интегральная кривая уравнения (2).
Покажим, что (2) всегда интегр. в квадратурах, р(х) – непрер. ф-ция. у'+р(х)у = 0 | y = 0? .
Решение у=0 содержится в общем решении при С=0.
Покажим, что (4) явл. общим решением (3) в области I=(a,b), . Действительно, у разрешено относительно С: , где ф-ция С определена на . Кроме того, по построению (4) явл. решением (3) в интервале (a,b) при всех знач. произвол. постоянных С. Заменив неопредел. интеграл определённым: (5).Положив х0 = х и обозначив у(х0) = у0 и тогда решение получим: , если у0 – произвол., то это общее р-ие, если у0 – фиксир., то это частное решение линейного однородного ДУ.
Пусть ф ция F ф ция n переменных Надо найти ф цию у х удовл на некот промежутке I ур ию F x y x y x y n x... Опр Обыкновенным ДУ наз соотношение вида F x y x y x y n x... Опр Порядком ДУ наз порядок старшей производной неизв ф ции у у х вход в уравнение...
Задачи, приводящие к ДУ.
Задача. В благоприятных для размножения условиях находится некоторое количество N0 бактерий. Из эксперимента известно, что скорость пропорц. их количеству. Найти зав
ДУ в полных дифференциалах.
Рассм. ур-ие вида М(х,у)dx + N(x,y)dy = 0 (1), где ф-ции М(х,у), N(x,y) – непрер. по обеим перем. в некот. связной обл. и одновременно не обращ. в 0, т.е. М2(х,у) + N
Однородные ДУ 1-го порядка.
Рассмотр. ДУ М(х,у)dx + N(x,y)dy = 0 (1).
Опр.Ф-ция f(x,y) наз. однородной ф-ей степени m, если
Понятие линейной зависимости с-мы ф-ций.
у1(х), у2(х), ..., уm(x) – линейно зависимые на [a,b], если одна из них явл. линейной комбинацией других. Линейная зав-сть у1(х), у2(х)
Метод Лагранжа линейных неоднородных ДУ n-го порядка.
Покажем, что общее решение ЛНДУ можно найти в квадратурах, если известно общее решение соотв. однородного ур-ия.
Рассмотрим ур-ие у''(х) + р1(х) у'(х) + р0(х) у(х) =
Новости и инфо для студентов