Общее, частное и особое решение ДУ 1-го порядка. - раздел Математика, Обыкновенные ДУ: определение, порядок, решение, интегральная кривая, интегрирование, интегрирование в квадратурах D⊂r2 – Область В Точке, Которой У' = ...
D⊂R2 – область в точке, которой у' = (1)имеет единств. решение.
Опр. Ф-ция у = ϕ(х,С), определённая в некоторой обл. изменения перемен. х и С, и имеющая непрер.частную производную по х наз. общим решением (1) в обл. D, если:
1)соотношение у = ϕ(х,С) (2)разрешимо относительно С при всех знач. у из обл. D, т.е. С = ψ(х,у) (3)
2)для всех знач. х и у из D (3) даёт такое знач. С, включая , при кот. ф-ция ϕ(х,С) будет явл. решением (1).
Суть опр. состоит в след.: пусть дано семейство кривых F располож. в D и зависящих от одного параметра С. Если про каждую кривую из F известно, что она явл. интегральной кривой ур-ия (1) и все кривые из F в их совокупности покрывают D, то F – общее решение (1) в обл. D.
Опр. Если решение ур-ия (1) состоит только из точек единств. решения задачи Коши для этого ур-ия, то оно наз. частным решением.
Опр. Соотношение Ф(х,у,С) = 0 наз. общим интеграллом (1) в D, если оно определяет общее решение у = ϕ(х,С) ур-ия (1).
Опр. Решение в параметрической форме , зависящ. от произв. const C, наз. общим решением в параметр. форме.
Опр.Особым решением (1) наз. такое решение, в каждой точке кот. нарушена единств. задачи Коши.
Опр. Кривая, кот. в каждой своей точке касается хотя бы одной кривой семейства решений Ф(х,у,С) = 0 и ни на каком участке не совпадает ни с одной кривой этого семейства наз. огибающей кривой.
Огибающее семейство ур-ия (2) представляет собой особое решение этого ур-ия.
Опр. Точка (х,у)ϵD наз. точкой -ия ДУ М(х,у)dx + N(x,y)dy = 0, если через неё проходит хотя бы одно решениеэтого ур-ия.
Опр.Точка -ия (х,у)ϵD, обладающая окрестностью внутри кот. все решения ур-ия, проход. через эту точку совпадают наз. точкой единствен.
Опр. Точка -ия (х,у)ϵD через кот. проход. 2 решения с одной касат. и различ. в любой сколь угодно малой окрестности рассматриваемой точки наз. точкой ветвления. Решение этого ур-ия, график кот. состоит из точек ветвления наз. особым решением.
Пусть ф ция F ф ция n переменных Надо найти ф цию у х удовл на некот промежутке I ур ию F x y x y x y n x... Опр Обыкновенным ДУ наз соотношение вида F x y x y x y n x... Опр Порядком ДУ наз порядок старшей производной неизв ф ции у у х вход в уравнение...
Задачи, приводящие к ДУ.
Задача. В благоприятных для размножения условиях находится некоторое количество N0 бактерий. Из эксперимента известно, что скорость пропорц. их количеству. Найти зав
ДУ в полных дифференциалах.
Рассм. ур-ие вида М(х,у)dx + N(x,y)dy = 0 (1), где ф-ции М(х,у), N(x,y) – непрер. по обеим перем. в некот. связной обл. и одновременно не обращ. в 0, т.е. М2(х,у) + N
Однородные ДУ 1-го порядка.
Рассмотр. ДУ М(х,у)dx + N(x,y)dy = 0 (1).
Опр.Ф-ция f(x,y) наз. однородной ф-ей степени m, если
Понятие линейной зависимости с-мы ф-ций.
у1(х), у2(х), ..., уm(x) – линейно зависимые на [a,b], если одна из них явл. линейной комбинацией других. Линейная зав-сть у1(х), у2(х)
Метод Лагранжа линейных неоднородных ДУ n-го порядка.
Покажем, что общее решение ЛНДУ можно найти в квадратурах, если известно общее решение соотв. однородного ур-ия.
Рассмотрим ур-ие у''(х) + р1(х) у'(х) + р0(х) у(х) =
Новости и инфо для студентов