Реферат Курсовая Конспект
Деление отрезка в данном отношении. - раздел Математика, И.С. Рубанов: Геометрия 1. Определение И Примеры. Пусть Точка С Лежит На Прямой (Ав) И Не Совпада...
|
1. Определение и примеры. Пусть точка С лежит на прямой (АВ) и не совпадает с точкой В. Тогда векторы AC и СВ коллинеарны, причем СВ ¹ 0, и, следовательно, существует единственное число l, для которого АС = lСВ. Это число называется отношением, в котором точка С делит отрезок [АВ], или простым отношением точек А, В и С[12] и обозначается (АВ,С). Из данного определения и признака 2.12 следует, что
(10.1) (АВ,С) = .
Если точка С лежит на отрезке [АВ], то АССВ и наше определение совпадает со школьным.
(10.2) Примеры. Середина отрезка делит его в отношении 1. Точка пересечения медиан делит каждую из них в отношении 2 (считая от соответствующей вершины). Если С1 и С2 – основания биссектрис соответственно внутреннего и внешнего углов при вершине С треугольника АВС, то (АВ,С1) = |СА|/|СВ| и (АВ,С2) = –|СА|/|СВ|. Доказательства проведите самостоятельно.
2. Свойства. (10.3) Простое отношение трех точек не может равняться –1. Для каждого l ¹ –1 существует единственная точка, делящая отрезок [АВ] в отношении l.
ð Заметим, что l = (АВ,С) Û АС = lСВ Û АС = l(АС – АВ) Û (1+l)АС = lАВ. Равенство (1+l)АС = lАВ при l = –1 превращается в неверное: 0 = –АВ. Поэтому никакая точка не может делить отрезок в отношении –1. Если же l ¹ –1, то, деля обе части равенств (1+l)АС = lАВ на 1+l, получаем, что l = (АВ,С) тогда и только тогда, когда
(10.4) АС = АВ.
Равенство (10.4) однозначно задает точку С, что доказывает второе утверждение (10.3). ð
Если точка С, отличная от А и В, лежит на отрезке [АВ] то АССВ, и (АВ,С) = |AC|/|CB| > 0. Если точка С лежит за точкой А, то АС¯СВ и |AC| < |CB|, откуда –1< (АВ,С) = –|AC|/|CB| < 0. Если точка С лежит за точкой В, то АС¯СВ и |AC| > |CB|, откуда (АВ,С) = –|AC|/|CB| < –1. Этим доказано, что
(10.5) трем промежуткам, на которые точки А и В разбивают прямую (АВ), соответствуют значения простого отношения l, указанные на рис. 34. ð
3. Выражение в координатах. Возьмем в некоторой АСК в пространстве такие точки А(хА, уА, zA), В(хВ, уВ, zB), С(хС, уС, zC), что точка С лежит на прямой (АВ) и не совпадает с точкой В.
(10.6) Задача. Выразить в координатах отношение l = (АВ,С).
ð Запишем определение (10.1) в координатах:
(10.7) .
Из (10.7) получаем
(10.8) l = . ð
Условие С ¹ В гарантирует, что знаменатель хотя бы одной из дробей в равенстве (10.8) будет отличен от 0. ð
(10.9) Задача. Даны точки А(хА, уА, zA), В(хВ, уВ, zВ) (А ¹ В) и число l, не равное –1. Найти координаты хС, уС, zC точки С, для которой (АВ,С) = l.
ð Из системы (10.7) получаем
(10.10) хС = , уС = , zС = . ð
Аналогично мы можем по данным А, С и l (l ¹ 0, l ¹ –1, А ¹ C) однозначно найти точку В, а по известным В, С и l (l ¹ –1, В ¹ C) – точку А (выведите соответствующие формулы сами). Попутно доказана важная
(10.11) Теорема. Из четырех объектов – точек А, В и С и числа l –любые три при соблюдении указанных выше ограничений однозначно определяют четвертый. ð
4. Теорема Фалеса. (10.12) Пусть l и l' – две прямые, лежащие в одной плоскости, а, b и c – три параллельные прямые той же плоскости, пересекающие прямую l в точках А, B и C, а прямую l' – в точках A', B' и C' соответственно. Тогда простые отношения (АВ,С) и (A'B',C') равны.
ð Рассмотрим точки А', B' и С' как проекции точек А, В и С на прямую l' параллельно прямым а, b и c. Поскольку параллельное проектирование сохраняет операции над векторами, имеем: l = (АВ,С) Û АС = lСВ Þ А'С' = lС'В' Û l = (А'В',С'), что и требовалось доказать. ð
Теперь ясно, что теорему Фалеса можно было бы сформулировать и так:
(10.12') Параллельное проектирование сохраняет простое отношение трех точек.
Именно в такой форме она понадобится нам, когда мы будем изучать аффинные отображения и изображения фигур в параллельной проекции.
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
Глава Векторы Понятие вектора Коллинеарность направленных отрезков Два направленных... Векторные пространства Координаты... Глава Метод координат Прямая на плоскости Аффинные...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Деление отрезка в данном отношении.
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов