Реферат Курсовая Конспект
Различные виды уравнений прямой на плоскости. - раздел Математика, И.С. Рубанов: Геометрия 1. Параметрические Уравнения. Возьмем Прямую L, Заданную Точкой M0...
|
1. Параметрические уравнения. Возьмем прямую l, заданную точкой M0Îl и направляющим вектором l || l (пишем: l = [М0, l]). Точка М лежит на прямой l тогда и только тогда, когда векторы М0М и l коллинеарны, а эта коллинеарность по признаку 2.12 равносильна тому, что при некотором действительном t выполнено равенство
(13.1) М0М = tl.
Уравнение (13.1) называется параметрическим уравнением прямой l в векторной форме. Если толковать параметр t как время,– уравнение(13.1) описывает равномерное прямолинейное движения точки М, где l – вектор скорости этого движения. Геометрически же параметр t – это координата точки М в репере (М0, l) на прямой l. Область его определения в уравнении (13.1) – вся числовая ось. Если эту область уменьшить, уравнение (13.1) будет задавать лишь часть прямой. Например, если положить tÎ[0;+µ), получится луч [М0, l).
Пусть прямая l лежит на плоскости, где задана АСК Оxy, причем точка М0 имеет координаты (х0,у0), точка М – координаты (х,у), а вектор l – координаты (a,b). Расписывая векторное уравнение (13.1) в координатах, получаем систему параметрических уравнений прямой l в координатной форме:
(13.2) ,
Мы показали, что всякую прямую в АСК на плоскости можно задать системой параметрических уравнений. Очевидно и обратное: если хотя бы одно из чисел а и b не равно нулю, система (13.2) задает в АСК на плоскости прямую, проходящую через точку (х0,у0) и параллельную вектору (а,b).
2. Канонические уравнения прямой. Систему (13.2) мы получили, применив к векторам М0М и l признак коллинеарности 2.12. Если применить вместо него теорему 6.1, получим каноническое уравнение прямой на плоскости:
(13.3) = 0.
Раскрыв определитель, это уравнение можно переписать так:
(13.4) b(x–x0) = a(y–y0),
а если a ¹ 0 и b ¹ 0, то, поделив обе части равенства (13.4) на ab, еще и так:
(13.5) .
Форму (13.5) канонического уравнения мы будем называть опасной, ибо здесь надо следить, чтобы знаменатели дробей не обращались в нуль. Зато в такой форме оно, как мы увидим в §18, переносится на случай прямой в пространстве.
3. Уравнения прямой, заданной двумя точками. Чтобы написать параметрические и канонические уравнения прямой, заданной точками М0(x0,y0) и М1(x1,y1), достаточно заметить, что вектор M0M1(x1–x0, y1–y0) будет для этой прямой направляющим. Каноническое уравнение в опасной форме при этом приобретает вид
(13.6) .
Другие уравнения запишите самостоятельно.
Специальный интерес представляет случай, когда точки M0 и М1 лежат на координатных осях (но не в начале координат), т.е., M0(m,0), M1(0,n), и m, n ¹ 0. Числа m и n здесь называются отрезками, отсекаемыми прямой на осях, а уравнение (13.4) приобретает вид nx = –m(y–n) Û nx + my = mn Û
(13.7) .
Уравнение (13.7) называется уравнением прямой в отрезках.
4. Примеры решения задач. (13.8) Задача. Прямая задана параметрическими уравнениями х = 2t – 5, y = –3t + 1. Записать ее каноническое уравнение.
ð Из параметрических уравнений находим, что точка М0(–5, 1) лежит на данной прямой, а вектор l(2, –3) служит для нее направляющим. Это позволяет сразу записать каноническое уравнение прямой в любой из трех его форм, например, в опасной:
. ð
В решении этой задачи просматривается общая схема перевода уравнений прямой из одной формы в другую: сначала по данным уравнениям находятся задающие прямую элементы (в данном случае это были точка и направляющий вектор), а потом по ним составляются искомые уравнения. Впрочем, как раз здесь можно было пойти и другим путем: выразить параметр t из обоих данных уравнений, а потом приравнять полученные выражения: получилось бы каноническое уравнение в опасной форме.
(13.9) Задача. Лежит ли точка М(2,1) на прямой х = 3t – 2, y = –2t + 1?
ð Составим систему уравнений: 2 = 3t – 2, 1 = –2t + 1. Из первого уравнения t=4/3, из второго t = 0, то есть система несовместна. Значит, точка не лежит на прямой. ð
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
Глава Векторы Понятие вектора Коллинеарность направленных отрезков Два направленных... Векторные пространства Координаты... Глава Метод координат Прямая на плоскости Аффинные...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Различные виды уравнений прямой на плоскости.
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов