Реферат Курсовая Конспект
Метрические задачи теории прямых на плоскости. - раздел Математика, И.С. Рубанов: Геометрия Метрическими Называются Задачи, В Которых Требуется Найти Расстояния Или У...
|
Метрическими называются задачи, в которых требуется найти расстояния или углы. Далее все рассматриваемые системы координат предполагаются прямоугольными декартовыми. На произвольные АСК полученные результаты не распространяются.
1. Нормальный вектор прямой. Нормальным вектором n прямой l называется направляющий вектор перпендикуляра к этой прямой (пишут: n^l). Поскольку на плоскости все перпендикуляры к данной прямой параллельны, все нормальные векторы данной прямой на плоскости коллинеарны[19]. Из определения следует также, что нормальный вектор прямой – обязательно ненулевой. Наконец, понятно, что прямая l на плоскости однозначно задается своими точкой и нормальным вектором.
(15.1) Теорема. Уравнение прямой l, заданной точкой М0(х0,у0) и нормальным вектором n(a,b), имеет вид
(15.2) А(х–х0) + В(у–у0) = 0
ð М(х,у) Î l Û M0M ^ n Û M0M×n = 0 Û А(х–х0) + В(у–у0) = 0. ð
(15.3) Теорема. Если прямая l задана уравнением Ах+Ву+С = 0, то вектор n(A,B) является нормальным к ней.
ð Возьмем любую точку М0(х0,у0) Î l. По лемме 14.4 уравнение Ах+Ву+С = 0 равносильно уравнению (15.2). Но в уравнении (15.2) А и В – координаты нормального вектора. ð
2. Расстояние от точки до прямой. (15.4) Задача. Найти расстояние d(M1,l) от точки М1(х1,у1) до прямой l: Ах+Ву+С = 0.
ð Пусть М0(х0,у0) – основание перпендикуляра, опущенного из точки М1 на прямую l. Вектор М0М1 коллинеарен нормальному вектору n(A,B) прямой l. Поэтому |М0М1×n| = |М0М1|×|n|, откуда d(M1,l) = |М0М1| = |М0М1×n|/|n| = |А(х1–х0) + В(у1–у0)|/|n|. Но по лемме 14.4 имеем А(х1–х0) + В(у1–у0) = Ах1+Ву1+С. Следовательно,
(15.5) d(M1,l) = . ð
Если А2+В2 = 1, формула (15.5) приобретает особенно простой вид:
(15.6) d(M1,l) = |Ах1 + Ву1 + С|
В этом случае общее уравнение прямой (14.1) называется нормальным. К нормальному виду можно привести любое уравнение (14.1), разделив обе его части на .
3. Угол между прямыми. Как известно, углом между прямыми a и b называется меньший из двух углов, образованных этими прямыми. Если прямые заданы в определенном порядке, угол между ними естественным образом приобретает ориентацию и называется ориентированным углом между прямыми. Понятно, что величина неориентированного угла между прямыми всегда не меньше 0 и не больше p/2, а ориентированного – не меньше –p/2 и не больше p/2.
(15.7) Лемма. Если прямые а и b пересекаются в точке О, а точки А и В, отличные от О, лежат на а и b соответственно, то ориентированный угол АОВ либо равен ориентированному углу между прямыми а и b, либо отличается от него на p.
ð Если |ÐAOB| £ p/2, то ориентированный угол АОВ по определению равен ориентированному углу между прямыми а и b. Если же |ÐAOB| > p/2, то ориентированный угол между прямыми а и b равен ÐСOВ, где точка С симметрична точке А относительно точки О. В этом случае ÐСOB = ÐСOА + ÐАOВ = p + ÐAOВ (рис. 36). ð
Теперь мы можем вывести формулу для величины j ориентированного угла между прямыми l1: А1 х+В1у+С1 = 0 и l2: А2 х+В2у+С2 = 0. Для этого проведем через начало координат параллельные им прямые m1: А1 х+В1у = 0 и m2: А2 х+В2у = 0 и возьмем точки N(1,0)ÎОх, М1(–В1,А1)Îm1 и М2(–В2,А2)Îm2. По лемме 15.7 ориентированный угол M1OM2 равен j или отличается от j на p. В обоих случаях
tgj = tgÐM1OM2 = = =
= =
= .
Упростив последнее выражение, окончательно получаем:
(15.8) tgj = . ð
Формула (15.8) не имеет смысла, если прямые l1 и l2 перпендикулярны. В этом случае cosÐM1OM2 = 0. Выражая косинус через А1, В1, А2, В2, после упрощения получаем признак перпендикулярности двух прямых, заданных общими уравнениями:
(15.9) В1В2+А1А2 = 0.
4. Угловой коэффициент прямой. Пусть в общем уравнении Ах+Ву+С = 0 прямой l коэффициент В не равен 0 (т.е., прямая l не параллельна оси ординат). Тогда из этого уравнения можно выразить у: у = . Коэффициенты –А/В и –С/В по традиции обозначаются буквами k и b. Число k называется угловым коэффициентом прямой l. Мы показали, что любую прямую, не параллельную оси ординат, можно задать уравнением с угловым коэффициентом:
(15.10) у = kx + b.
Углом наклона прямой называется ориентированный угол между осью абсцисс и этой прямой.
(15.11) Теорема. Угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла ее наклона.
ð Рассмотрим прямую m: Ах + Ву = 0, проходящую через начало координат параллельно l. Угол наклона j у нее такой же, как у m. Возьмем на прямой l точку М0(х0,у0) так, чтобы ориентированный угол между вектором ОМ0 и осью абсцисс равнялся j. Тогда х0 = |ОМ0|cosj и у0 = |ОМ0|sinj, откуда |ОМ0|(Аcosj+Вsinj) = 0. Из последнего равенства находим, что k = –A/B = sinj/cosj = tgj. ð
В заключение отметим, что с помощью угловых коэффициентов можно несколько упростить некоторые выведенные ранее формулы (правда, после этого их нельзя будет применять к прямым, параллельным оси ординат). Так уравнение центрального пучка прямых (14.5) делением на В приводится к виду
(15.12) у–у0 = k(x–x0),
формула (15.8) для ориентированного угла между прямыми делением числителя и знаменателя правой части на В1В2 – к виду
(15.13) tgj = ,
а признак перпендикулярности (15.9) делением на В1В2 – к виду
(15.14) k1k2 = –1 .
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
Глава Векторы Понятие вектора Коллинеарность направленных отрезков Два направленных... Векторные пространства Координаты... Глава Метод координат Прямая на плоскости Аффинные...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Метрические задачи теории прямых на плоскости.
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов