рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Раздел Математика
/
Различные виды уравнений плоскости.

Реферат Курсовая Конспект

Выберите учебное заведение

Различные виды уравнений плоскости.

Различные виды уравнений плоскости. - раздел Математика, И.С. Рубанов: Геометрия Плоскость П В Пространстве Задается Своими Точкой М0 И Базисной...

Плоскость П в пространстве задается своими точкой М₀ и базисной парой, т.е., парой параллельных ей неколлинеарных векторов, образующих базис (a,b) векторной плоскости V₂(П). Если плоскость П задана таким образом, то пишут П = [М₀, a, b].

1. Параметрические уравнения. Пусть дана плоскость П = [М₀, a, b], и в некоторой АСК М₀(х₀,у₀,z₀), a(a₁,a₂,a₃), b(b₁,b₂,b₃). Тогда по теореме 3.10

М(х,у,z)ÎП Û М₀М, а, b компланарны Û

(16.1) М₀М = ua + vb ( (u,v)ÎR²) Û

(16.2)

Уравнение (16.1) называется параметрическим уравнением плоскости в векторной форме, а уравнения (16.2) – параметрическими уравнениями плоскости в скалярной форме. Величины u и v называются параметрами, а множество R² – областью определения (изменения) параметров. Если уменьшить область определения, параметрические уравнения будут задавать не всю плоскость, а только какую-то ее часть. Так, взяв в качестве области определения множество {(u,v)ÎR²| 0 £ u,v £ 1}, мы зададим параллелограмм (вместе с внутренними точками), построенный на векторах M₀U = a и M₀V = b.

Отметим, что параметры u и v в уравнениях (16.1)-(16.2) – это координаты точки М в репере (М₀, a, b) на плоскости П. Их называют внутренними координатами точки М, в отличие от ее внешних координат (х,у,z), заданных в пространстве.

2. Каноническое уравнение. Его мы получим, воспользовавшись признаком компланарности (6.5): М(х,у,z)ÎП Û М₀М, а, b компланарны Û

(16.3) = 0 .

Уравнение (16.3) и есть каноническое уравнение плоскости в пространстве.

3. Уравнение плоскости, заданной тремя точками. Три неколлинеарные точки М₀(х₀,у₀,z₀), М₁(х₁,у₁,z₁), М₂(х₂,у₂,z₂) однозначно определяют проходящую через них плоскость П = [М₀М₁М₂]. Векторы М₀М₁ и М₀М₁ образуют ее базисную пару. Используя это, запишите самостоятельно ее параметрические и каноническое уравнения.

Развернуть

Открыть в широком формате

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

И.С. Рубанов: Геометрия

Глава Векторы Понятие вектора Коллинеарность направленных отрезков Два направленных... Векторные пространства Координаты... Глава Метод координат Прямая на плоскости Аффинные...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Различные виды уравнений плоскости.

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Геометрия.
(Векторы. Метод координат) И.С. Рубанов. Лекции по геометрии. Векторы. Метод

Понятие вектора
1. Направленные отрезки. Отрезок называется направленным, если указано, какая из двух ограничивающих его точек считается первой (она называется его началом), а какая – второй (она называется его

Проектирование и разложение векторов
1. Проектирование точек и векторов в пространстве. Пусть в пространстве даны плоскость П и пересекающая ее прямая р. Возьмем произвольную

Координаты вектора.
1. Векторные пространства. Совокупность векторов V называется векторным пространством, если она непуста и обладает следующими двумя свойствами: (V1) Сумма любых двух векторов из

Скалярное умножение векторов
1. Определение и простейшие свойства. Возьмем ненулевые векторы а и b и отложим их от произвольной точки О: ОА = а и ОВ = b. Величина угла АОВ называется углом между векторами а и b и обозначает

Ориентация плоскости и пространства
1. Определители второго порядка. Матрицей второго порядка называется квадратная таблица размером 2´2, заполненная числами. Сами эти числа называются элементами матрицы. Они часто обозначаю

Смешанное произведение векторов
1. Определение и простейшие свойства. В отличие от чисел, у векторов существует не одно, а несколько разных “умножений”. Мы уже рассматривали скалярное умножение векторов. В этом параграфе мы по

Векторное произведение векторов
1. Определение. Векторным произведением a´b неколлинеарных векторов а и b называется вектор, удовлетворяющий трем условиям: (ВП1) Вектор a´b ортогонален векторам а и

Аффинные координаты
1. Аффинные координаты на прямой. Аффинным репером на прямой l называется упорядоченная пара R = (O, e), составленная из точки ОÎl (начала координат) и ненулевого вектора а, ||параллельно

Покажите сами, что в случае плоскости формулы (9.5) приобретают вид
(9.6') . Обычно в описанной выше ситуации репер R называют "старым", репер R' – "новым", а формулы 9

Деление отрезка в данном отношении.
1. Определение и примеры. Пусть точка С лежит на прямой (АВ) и не совпадает с точкой В. Тогда векторы AC и СВ коллинеарны, причем СВ ¹ 0, и, следовательно, существует единственное число l,

Полярные координаты.
1. Еще об ориентированных углах. Напомним, что угол называется ориентированным, если указан порядок, в котором идут его стороны, а величине ориентированного угла на ориентированной плоскости при

Различные виды уравнений прямой на плоскости.
1. Параметрические уравнения. Возьмем прямую l, заданную точкой M0Îl и направляющим вектором l || l (пишем: l = [М0, l]). Точка М лежит на прямой l тогда и только тог

Общее уравнение прямой на плоскости.
1. Вывод общего уравнения. Возьмем прямую l = [М0(х0,у0), l(a,b)] и преобразуем ее каноническое уравнение: (13.4) Û b(x–x0) = a(y–y0

Метрические задачи теории прямых на плоскости.
Метрическими называются задачи, в которых требуется найти расстояния или углы. Далее все рассматриваемые системы координат предполагаются прямоугольными декартовыми. На произвольные АСК полученн

Общее уравнение плоскости.
1. Вывод общего уравнения. Сохраняя обозначения, введенные в §16, раскроем определитель в правой части канонического уравнения (16.3): М(х,у,z)ÎП Û (16.3) Û

Различные виды уравнений прямой в пространстве.
1. Параметрические уравнения прямой в пространстве имеют вид (18.1) , где М0(х0,y

Метрические задачи о прямых и плоскостях в пространстве.
В этом параграфе, как и в §16, мы работаем исключительно в ПДСК. Для произвольной АСК соответствующие формулы значительно сложнее. 1. Нормальный вектор плоскости – это направляющ