Понятие вектора

1. Направленные отрезки. Отрезок называется направленным, если указано, какая из двух ограничивающих его точек считается первой (она называется его началом), а какая – второй (она называется его концом). Направленный отрезок с началом А и концом В обозначается , а на рисунке изображается стрелкой, направленной от А к В. Наряду с обычными рассматриваются нулевые направленные отрезки, у которых начало совпадает с концом. Расстояние между концами направленного отрезка называется его длиной; длина направленного отрезка обозначается ||. Очевидно, направленный отрезок является нулевым тогда и только тогда, когда его длина равна нулю.

2. Коллинеарность направленных отрезков. Два направленных отрезка называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых. При этом параллельность понимается чуть шире, чем в школьном курсе геометрии, а именно, считается, что каждая прямая параллельна самой себе. Таким образом, направленные отрезки, лежащие на одной прямой, тоже считаются коллинеарными. В частности, каждый отрезок коллинеарен сам себе. Обозначается коллинеарность таким же значком, как и параллельность: || .

Поскольку через точку можно провести прямую параллельно любой другой, нулевой направленный отрезок коллинеарен любому направленному отрезку. Далее, два направленных отрезка, коллинеарные ненулевому третьему[1], коллинеарны между собой (это свойство называется транзитивностью коллинеарности). В самом деле, пусть отрезки и коллинеарны ненулевому отрезку . Если хоть один их них – нулевой, все ясно. Если же оба они ненулевые, рассмотрим прямые AB, CD и EF. По условию AB||CD и CD||EF. Поэтому и AB||EF , т.е. отрезки и коллинеарны.

3. Сонаправленность и противоположная направленность Возьмем два ненулевых коллинеарных направленных отрезка и . Через точку А проведем перпендикуляр к прямой (АВ) и назовем отмеченной ту из двух получившихся полуплоскостей, в которой лежит точка В (рис.1). Таким же образом свяжем отмеченную полуплоскость с отрезком . Две отмеченные полуплоскости могут располагаться одним из трех исключающих друг друга способов: либо одна содержится в другой (рис.2), либо их пересечением служит полоса (рис.3а), либо они вовсе не пересекаются (рис.3б). В первом случае отрезки и называются сонаправленными (пишут ­­) в двух других – противоположно направленными (пишут: ­¯). Нулевой направленный отрезок по определению считается сонаправленным любому (таким образом, противоположно направленные отрезки – всегда ненулевые).

Легко видеть, что коллинеарные отрезки и , не лежащие на одной прямой, сонаправлены тогда и только тогда, когда лежат по одну сторону от прямой (АС).

(1.1) Теорема. Сонаправленность и противоположная направленность обладают следующими свойствами:

(Н1) Каждый направленный отрезок сонаправлен сам себе (рефлексивность сонаправленности).

(Н2) Если ­­ (­¯), то и ­­ (­¯) (симметричность со- и противоположной направленности).

(Н3) Если ­­, ­­ и отрезок – ненулевой, то ­­
(транзитивность сонаправленности).

(Н4) Если ­­, ­¯ и отрезок – ненулевой, то ­¯.

(Н5) Если ­¯ и ­¯, то ­­.

ð Свойства (Н1) и (Н2) вытекают прямо из определений. Свойство (Н3) очевидно, когда хотя бы один из отрезков или – нулевой. Если оба они ненулевые, возьмем произвольную параллельную им прямую l. С отмеченными полуплоскостями П₁, П₂ и П₃ отрезков , и она пересекается по лучам l₁, l₂ и l₃. Поскольку ­­, одна из полуплоскостей П₁, П₂ содержится в другой. Поэтому лучи l₁ и l₂ на прямой l направлены в одну сторону. Аналогично из сонаправленности отрезков и следует, что в одну сторону направлены лучи l₂ и l₃. Но тогда лучи l₁ и l₃ тоже направлены в одну сторону, а это значит, что одна из полуплоскостей П₁, П₃ содержится в другой, то есть ­­.

Свойства (Н4) и (Н5) доказываются аналогичными рассуждениями. Проведите их сами. ÿ

4. Равенство направленных отрезков. Два направленных отрезка называются равными, если они сонаправлены и имеют равные длины (в учебнике геометрии Атанасяна и Базылева такие отрезки называются “эквиполлентными”, однако мы будем пользоваться хоть и менее строгим, но более удобным школьным термином). Сразу заметим, что все нулевые направленные отрезки равны между собой и, наоборот, отрезок, равный нулевому, сам нулевой (почему?).

(1.2) Теорема. Два направленных отрезка, равные одному и тому же третьему, равны между собой.

ÿ Если третий отрезок – нулевой, то первые два – тоже нулевые, и все ясно. Если же третий отрезок – ненулевой, то первые два отрезка сонаправлены по свойству (Н3), а их длины равны между собой, ибо равны длине третьего отрезка. ÿ

(1.3) Теорема. От любой данной точки можно отложить направленный отрезок, равный данному, и притом – только один.

ÿ Если данный направленный отрезок – нулевой, то утверждение теоремы очевидно. Пусть отрезок – ненулевой. Проведем через точку С прямую l, параллельную (АВ). Направленный отрезок, который нам надо отложить, обязан лежать на этой прямой (ибо он коллинеарен ) и иметь длину |АВ|. От точки С можно отложить ровно два таких отрезка – обозначим из и (рис. 4), причем ­¯ (почему?). В силу (Н4) если ­­, то ­¯, а если ­¯, то ­­. Таким образом, в обоих возможных случаях существует ровно один искомый отрезок, что и требовалось доказать. ÿ

(1.4) Теорема. Все направленные отрезки разбиваются на непересекающиеся классы отрезков таким образом, что любые два отрезка из одного класса равны между собой, а из разных классов – не равны.

ÿ Зафиксируем произвольную точку О, и для каждого направленного отрезка , исходящего из этой точки, обозначим через К() класс (т.е., совокупность) всех равных ему отрезков. При этом каждый направленный отрезок попадет ровно в один из таких классов, а именно, в класс равного ему направленного отрезка, отложенного от точки О. Поскольку любые два отрезка из одного и того же класса К() равны отрезку , они равны и между собой (теорема 1.2). Теперь допустим, что нашлись равные отрезки ÎК() и ÎК(). Но тогда = = = , откуда по той же теореме 1.2 = . Таким образом, если два отрезка равны, то они лежат в одном классе, то есть отрезки из разных классов не могут быть равными. В частности, это означает, что разные классы не могут пересекаться. ÿ

Нам понадобится еще такой

(1.5) Признак равенства двух направленных отрезков. = Û = .

ÿ Пусть = . Возможны три случая.

1) Отрезок – нулевой. Тогда и отрезок – нулевой и равенство = очевидно.

2) Отрезки и – ненулевые, и прямые АВ и CD различны. Тогда эти отрезки лежат по одну сторону от прямой (АС), то есть ABDC – параллелограмм (рис 5). Значит, отрезки АС и BD параллельны, равны и лежат по одну сторону от прямой (АВ), откуда = .

3) Отрезки и – ненулевые и лежат на одной прямой. Доказательство для этого случая несложно, но громоздко, и не входит в основной курс.

Вот оно для любителей полной строгости. Из определения сонаправленности следует, что один из двух лучей [AB) и [CD) содержит другой. Можно считать, что [AB) É [CD). Тогда и [AС) É [ВD), ибо [AС) = [АВ), а точка D лежат на луче [АВ) дальше от его начала, чем точка В. Поэтому отрезки и сонаправлены. Далее, если точка С не лежит на отрезке АВ, то |АС| = |АВ|+|ВС| = |CD|+|BC| = |BD|, а если лежит, то |АС| = |АВ|–|ВС| = |CD|–|BC| = |BD| (рис. 5а). В обоих случаях |АС| = |BD|, откуда = .

Мы доказали, что если = , то и = . Обратное утверждение – если = , то и = – получается из доказанного простой сменой обозначений: С на В и В на С. ÿ

5. Векторы. В школьном курсе геометрии вектором обычно называют направленный отрезок. В этом есть известный резон. Например, вектор силы в физике является именно направленным отрезком, ибо характеризуется своими направлением, величиной и точкой приложения. Но если взять вектор скорости, то окажется, что определенной точки приложения у него нет, т.е. он характеризуется только своими направлением и величиной. Такие величины физики называют свободными векторами в отличие от связанных (точкой своего приложения) векторов – направленных отрезков. Чтобы изобразить свободный вектор, рисуют направленный отрезок нужной длины и направления. Понятно, что все изображения одного и того же свободного вектора образуют один из тех классов равных направленных отрезков, о которых шла речь в теореме 1.4.

Далее мы будем понимать под “векторами” свободные векторы. Дадим точное

(1.6) Определение. Векторами называются объекты, изображаемые направленными отрезками таким образом, что равные направленные отрезки изображают один и тот же вектор, а неравные – различные векторы.

В соответствии с данным определением направленный отрезок не является вектором, а лишь изображает его. Может возникнуть вопрос: “А что же такое сам вектор?” Зададим встречный вопрос: “А что такое число пять?”. Ведь значки “5” или “V” – это тоже лишь изображения этого числа, придуманные арабами и римлянами. Правильный ответ таков: число “пять” – это абстрактный объект (абстрактное понятие), отражающий то общее, что есть у всех наборов, состоящих из стольких же предметов, что и набор пальцев одной руки нормального человека (а именно – количество предметов во всех этих наборах). Так же и вектор – это абстрактный объект, отражающий то общее (а именно – направление и длину), что есть у всех равных между собой направленных отрезков, отложенных от всевозможных точек. В природе никаких векторов – как, впрочем, и чисел с отрезками – нет: они, как и все абстрактные понятия, существуют лишь в уме человека. Но к числам с отрезками вы давно уже привыкли, и их абстрактная природа вас не смущает, а абстрактная природа векторов пока “режет глаз”. Со временем это пройдет.

Отложить вектор от точки означает изобразить его направленным отрезком с началом в этой точке. Теорема 1.3 показывает, что всякий вектор можно отложить от любой точки и притом единственным образом. Вектор, изображенный направленным отрезком , мы будем обозначать АВ. Векторы будут обозначаться также полужирными строчными латинскими буквами: а, b, с, ... . Вектор, изображаемый нулевыми направленными отрезками, называется нулевым вектором и обозначается 0.

Поскольку все изображения данного вектора равны между собой, они имеют одну и ту же длину. Она называется длиной (или модулем) этого вектора. Длина вектора а обозначается |а|. Отметим, что длина нулевого вектора равна нулю, а длины ненулевых векторов положительны. В некоторых случаях особую роль играют векторы, длина которых равна единице. Они называются единичными векторами или ортами.

Говорят, что вектор параллелен прямой (плоскости), если любое его изображение параллельно этой прямой (плоскости). Нулевой вектор считается параллельным всем прямым и плоскостям. Два вектора называются коллинеарными (сонаправленными, противоположно направленными), если коллинеарны (сонаправлены, противоположно направлены) любые два их изображения. Параллельность вектора прямой (плоскости), а также коллинеарность векторов обозначается значком “||”, сонаправленность и противоположная направленность векторов – теми же значками, что и для направленных отрезков.

В духе только что данных определений логично будет назвать два вектора равными, если они изображаются равными направленными отрезками. Но равные направленные отрезки изображают один и тот же вектор. Поэтому равенство двух векторов означает их совпадение. Отметим такой очевидный, но практически полезный

(1.7) Признак равенства двух векторов. Два вектора равны тогда и только тогда, когда они равны по длине и сонаправлены.

Кроме того, доказанный ранее признак равенства двух направленных отрезков теперь можно переписать, как второй признак равенства двух векторов:

(1.8) АВ = CD Û AC = BD.

6. О корректности определений. Мы определяли свойства векторов через свойства их изображений, причем всякий раз требовали, чтобы нужным свойством обладали все возможные изображения данных векторов. Но как практически проверять выполнение таких свойств, если изображений у вектора бесконечное число? К счастью, каждое из данных нами определений обладает замечательным свойством корректности: чтобы показать, что оно выполняется для всех возможных наборов изображений данных векторов, достаточно проверить, что оно выполняется хотя бы для одного такого набора. Например, чтобы проверить сонаправленность двух векторов, достаточно проверить сонаправленность одной пары изображающих их направленных отрезков. В самом деле, пусть векторы а и b изображены сонаправленными отрезками и . Возьмем любые другие их изображения: и . По определению вектора = и = . Отсюда ­­­­­­ и, согласно (Н3), ­­, что и требовалось доказать. Корректность остальных данных выше определений проверьте самостоятельно.

Отметим, что корректность определений со- и противоположной направленности векторов означает, в частности, что свойства (Н1)-(Н5) справедливы не только для направленных отрезков, но и для векторов. В дальнейшем мы будем пользоваться этим без особых оговорок.

Некорректные определения недопустимы не только потому, что их плохо проверять. Ведь каждый вектор олицетворяет то общее, что есть у всех его изображений. Поэтому свойства векторов по самомý их смыслу не должны зависеть от того, какие изображения векторов мы выбираем.

§2. Операции над векторами

1. Сложение. Пусть а и b – два вектора. От произвольной точки О отложим вектор ОА = а, а от получившейся точки А – вектор АВ = b. Вектор ОВ называется суммой a+b векторов а и b (рис.6), а операция нахождения суммы векторов – их сложением.

Проверим, что сложение векторов определено корректно, т.е. сумма векторов не зависит от выбора точки О. Для этого возьмем любую другую точку Q и отложим векторы QC = a и CD = b. Поскольку QC = ОА = а, по признаку равенства двух векторов (1.8) получаем, что OQ = AC. Аналогично, из равенства AB = CD = b вытекает, что AC = BD. Следовательно, OQ = BD, и, вновь применяя признак (1.8), получаем OB = QD, что и требовалось доказать (рис.7).

Прямо из определения суммы двух векторов вытекает правило треугольника:

(2.1) для любых трех точек О, А и В ОА + АВ = ОВ.

Кроме того, как известно из школьного курса геометрии, для любых трех точек О, А и В длина отрезка ОВ не превосходит суммы длин отрезков ОА и АВ, причем равенство |ОВ| = |ОА| + |АВ| достигается только тогда, когда точка А лежит на отрезке [ОВ]. Это неравенство часто называют неравенством треугольника. Определение суммы векторов позволяет записать его в векторной форме:

(2.2) |а + b| £ |a| + |b| .

Равенство в (2.2) достигается тогда и только тогда, когда векторы а и b сонаправлены, а в остальных случаях неравенство является строгим. Записывать равенство |а+b| = |a|+|b| для произвольных векторов – грубая ошибка.

2. Основные свойства сложения векторов. К ним относят:

(C1) Для любых трех векторов a, b и c (a+b)+c = a+(b+c) (ассоциативность).

(С2) Для любых двух векторов a и b a+b = b+a (коммутативность).

(С3) Для любого вектора а а+0 = а.

(С4) Для любых двух точек А и В АВ+ВА = 0.

Ввиду последнего свойства векторы ВА и АВ называются противоположными. Вектор, противоположный вектору а, обозначается "–а".

ÿ Свойства (С3) и (С4) вытекают непосредственно из правила треугольника (проверьте!). Чтобы доказать (С2), от произвольной точки О отложим векторы ОА = а и ОС = b, а от точки А – вектор АВ = b (рис.8). Поскольку ОС = АВ , по признаку равенства двух направленных отрезков получаем, что ОА = СВ . Но ОА = а, поэтому и СВ = а. Заметим теперь, что по правилу треугольника вектор ОВ можно представить и как ОА+ОВ = а+b, и как ОС+СВ = b+a. Получается, чтоа + b = b + a = ОС, что и требовалось доказать.

Докажем свойство (С1). Для этого последовательно отложим векторы ОА = а , АВ = b и ВС = с. По определению сложения векторов (a+b)+c = ОВ+ВС, а a+(b+c) = ОА+АС. Но ОВ+ВС = ОА+АС = ОС (рис.9). ÿ

Заметим, что на рис.8 OC = AB. Поэтому справедливо

(2.3) Правило параллелограмма: Сумма неколлинеарных векторов а и b равна диагонали ОВ параллелограмма ОАВС, построенного на векторах[2] ОА = а и ОС = b. ÿ

Кроме того, из проведенного выше доказательства ассоциативности получается

(2.4) Правило многоугольника. Чтобы сложить несколько векторов, взятых в определенном порядке, надо отложить их друг за другом так, чтобы конец каждого вектора служил началом следующего, а затем соединить начало первого с концом последнего. ÿ

Мы доказали это правило только для случая трех векторов, но проведенное рассуждение без труда переносится на любое число слагаемых.

Поскольку у нулевого направленного отрезка начало совпадает с концом, из правила многоугольника вытекает полезное

(2.5) Правило замкнутой цепочки. Сумма нескольких векторов равна нулю тогда и только тогда, когда при последовательном их откладывании они образуют замкнутую цепочку, т.е. конец последнего совпадает с началом первого. ÿ

(2.6) Упражнение. Докажите правило параллелепипеда: чтобы сложить три вектора, не параллельные одной плоскости, надо отложить их из одной точки О, достроить три получившихся отрезка до параллелепипеда и провести из точки О диагональ этого параллелепипеда, которая и будет искомой суммой (рис.10).

Ассоциативность сложения векторов показывает, что сумма трех векторов, взятых в определенном порядке, не зависит от того, сложим ли мы сначала два первых вектора, а потом прибавим к ним третий, или сначала найдем сумму второго и третьего векторов, а потом прибавим ее к первому. Это означает, что мы можем записывать сумму трех векторов как а+b+с, не задумываясь, каким образом расставлять в ней скобки. В курсе алгебры будет показано, что если это свойство выполняется для трех слагаемых, то оно выполняется и для любого их числа, то есть мы можем, не заботясь о способе расстановки скобок, записывать любую векторную сумму а+b+с+...+d. А свойство коммутативности (С2) показывает, что мы можем также, не меняя этой суммы, произвольным образом переставлять в ней слагаемые. В этом и состоит смысл ассоциативности и коммутативности.

3. Вычитание векторов. Разностью a–b векторов а и b называется такой вектор х , что x+b = a. Операция нахождения разности векторов называется их вычитанием.

Отложим от произвольной точки О векторы ОА= а и ОВ=b. Очевидно, единственным вектором, который в сумме с ОВ дает ОА, является вектор ВА. Таким образом,

(2.7) у любых двух векторов есть разность, и только одна. Чтобы построить ее, надо отложить векторы от одной точки и соединить конец второго с концом первого (рис.11). ÿ

Заметим еще, что на рис. 11 ВА = ВО+ОА. Это значит, что

(2.8) a–b = a+(–b).

Иными словами, вычесть один вектор из другого – это все равно, что сложить первый вектор с вектором, противоположным второму.

Пусть векторы а и b неколлинеарны. Тогда точки О, А и В образуют треугольник. Если достроить его до параллелограмма ОАСВ, то в нем диагональ будет изображать сумму а+b, а диагональ – разность а–b (рис.12). Это полезное дополнение к правилу параллелограмма.

Равенство (2.8) можно было доказать и чисто алгебраически. В самом деле, если x = a+(–b) , то x+b = a+(–b)+b = а+0 = a. Также алгебраически можно показать, что других значений у разности а–b нет: x+b = a Þ (x+b)+(–b) = a+(–b) Þ x+(b+(–b)) = a+(–b) Þ x+0=a+(–b) Þ x = a+(–b). Мы намеренно записали все эти преобразования подробно, чтобы показать, что все они опираются только на основные свойства сложения (С1)-(С4) (проверьте!). В общей теории векторных пространств, с которой вы познакомитесь в курсе алгебры, эти свойства принимаются за аксиомы сложения векторов, а все остальные свойства сложения выводятся из них.

4. Умножение вектора на число. Умножением вектора на число называется операция нахождения произведения вектора на число. Произведение ненулевого вектора а на число х – это вектор, обозначаемый "ха" и удовлетворяющий следующим двум условиям:

(П1) | ха | = |х||а| ; (П2) ха­­а, если х³0, и ха­¯а, если х<0.

Произведение нулевого вектора на любое число по определению считается равным 0.

Условие (П1) остается справедливым и при x = 0, но условие (П2) в этом случает нарушается при х<0 (из-за чего случай нулевого вектора и приходится рассматривать отдельно). Однако, при любых а и х векторы а и ха коллинеарны (почему?).

Заметим, что ха = 0 Û |ха| = 0 Û |х||а| = 0 Û |х| = 0 или |а| = 0 Û х = 0 или а = 0. Значит,

(2.9) произведение вектора на число равно нулю тогда и только тогда, когда либо число, либо вектор равны нулю. ÿ

Пусть даны не равные нулю число х и вектор а. От произвольной точки О отложим вектор ОА=а и попробуем построить вектор OX = ха. Так как векторы а и ха должны быть коллинеарными, отрезок обязан лежать на прямой (ОА), а его длина по условию (П1) должна равняться |х||а|. Таких отрезков ровно два, причем один из них (назовем его ) сонаправлен с , а другой (назовем его ) направлен противоположно (рис.13). Возвращаясь к условию (П2), видим, что = при x > 0, и = при х < 0.

Таким образом, любой вектор можно умножить на любое число, причем результат однозначно определен.

К основным свойствам умножения векторов на числа относят следующие:

(У1) Для любого вектора а 1а=а (т.е., умножение на 1 не изменяет вектора).

(У2) Для любых чисел х, у и вектора а х(уа) = (ху)а (ассоциативность).

(У3) Для любых чисел х, у и вектора а (х+у)а = ха+уа (дистрибутивность умножения относительно сложения чисел).

(У4) Для любых числа х и векторов а и b х(a+b) = xa + xb (дистрибутивность умножения относительно сложения векторов).

Первое из этих свойств вытекает непосредственно из определения (проверьте!). Доказательства остальных можно найти на стр. 14-16 учебника Л.С. Атанасяна и В.Т. Базылева “Геометрия” (ч.1).

Отметим еще такие свойства умножения вектора на число:

(2.10) Если вектор а – ненулевой, то а/|a| – сонаправленный с вектором а единичный вектор.[3]

ÿ В самом деле, векторы а и а/|a| сонаправлены (ибо 1/|а| > 0) и |а/|a|| = |а|/|а| = 1. ÿ

(2.11) (–1)а = –а.

ÿ Действительно, по определению умножения вектора на число векторы (–1)а и а противоположно направлены, а их длины равны. ÿ

5. Признаки коллинеарности.

(2.12) Признак коллинеарности вектора ненулевому вектору. Вектор b коллинеарен ненулевому вектору а тогда и только тогда, когда существует такое число t, что b = tа. При этом если векторы а и b сонаправлены, то t = |b| / |a|, а если они противоположно направлены, то t = – |b| / |a|.

ÿ Мы уже отмечали, что векторы а и tа всегда коллинеарны. Обратно, возьмем ненулевой вектор а и коллинеарный ему вектор b. Если они сонаправлены, положим t = |b|/|a|. Тогда |tа| = |t||а| = (|b|/|a|)|а| = |b|, и вектор tа сонаправлен с а, а, значит, и с b. Стало быть, tа = b по признаку 1.7. Если же а­¯b, положим t = –|b|/|a|. И снова |tа| = |t||а| = (|b|/|a|)|а| = |b|, а векторы tа и b, направленные противоположно вектору а, по (Н5) сонаправлены между собой. Значит, и в этом случае tа = b. ð

Оговорка насчет того, что вектор а – ненулевой, иногда бывает неудобна. Тогда можно использовать такой

(2.13) Признак коллинеарности двух векторов. Два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда один из них можно выразить через другой с помощью умножения на число.

ÿ Для случая, когда хотя бы один из двух данных векторов не равен нулю, это доказано выше. Если же оба вектора нулевые, то, во-первых, они коллинеарны, а, во-вторых, любой из них можно получить из другого умножением на любое число, так что и в этом случае все в порядке. ÿ

6. Сохранение параллельности при операциях над векторами.

(2.14) Лемма о параллельности. Если два вектора параллельны некоторой прямой (плоскости), то той же прямой (плоскости) параллельна и их сумма. Если вектор параллелен прямой (плоскости), то той же прямой (плоскости) параллельно и его произведение на любое число.

ÿ Пусть векторы а и b параллельны данной прямой (плоскости). Отложим от произвольной её точки О векторы ОА = а и АВ = b. Тогда точки А и В тоже будут лежать на этой прямой (плоскости). Значит, там будет лежать и отрезок ОВ, изображающий сумму а+b, что и означает ее параллельность данной прямой (плоскости).

Возьмем теперь любое число х, и отложим от той же точки О вектор ОС = ха. Если а = 0, то и ха = 0, а нулевой вектор параллелен любой прямой и плоскости. Если же нет, то отрезок ОС, изображающий вектор ха, будет целиком лежать на прямой ОА, а, значит, и на данной прямой (плоскости). Тем самым вектор ха будет параллелен этой прямой (плоскости). ÿ