рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Скалярное умножение векторов

Скалярное умножение векторов - раздел Математика, И.С. Рубанов: Геометрия 1. Определение И Простейшие Свойства. Возьмем Ненулевые Векторы А И B И От...

1. Определение и простейшие свойства. Возьмем ненулевые векторы а и b и отложим их от произвольной точки О: ОА = а и ОВ = b. Величина угла АОВ называется углом между векторами а и b и обозначается Ð(a,b). Если же хотя бы один из двух векторов – нулевой, то угол между ними по определению считается прямым. Заметим, что по определению угол между векторами не меньше 0 и не больше p. При этом угол между двумя ненулевыми векторами равен 0 тогда и только тогда, когда эти векторы сонаправлены и равен p тогда и только тогда, когда они противоположно направлены.

Проверим, что угол между векторами не зависит от выбора точки О. Это очевидно, если векторы коллинеарны. В противном случае отложим от произвольной точки О1 векторы О1А1 = а и О1В1 = b и заметим, что треугольники АОВ и А1О1В1 равны по трем сторонам, ибо |ОА| = |О1А1| = |а|, |ОВ| = |О1В1| = |b|, |АВ| = |А1В1| = |b–а|. Поэтому углы АОВ и А1О1В1 равны.

Теперь мы можем дать основное в этом параграфе

(5.1) Определение. Скалярным произведением двух векторов а и b (обозначается ab) называется число[6], равное произведению длин этих векторов на косинус угла между векторами. Короче:

ab = |a||b|cosÐ(a,b).

Операция нахождения скалярного произведения называется скалярным умножением векторов. Скалярное произведение аа вектора на себя называется скалярным квадратом этого вектора и обозначается а2.

(5.2) Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины.

ÿ Если |а| ¹0, то Ð(a,a) = 0, откуда а2 = |а||а|cos0 = |a|2. Если же а = 0, то а2 = |а|2 = 0. ÿ

(5.3) Неравенство Коши. Модуль скалярного произведения двух векторов не превосходит произведения модулей сомножителей: |ab| £ |a||b|. При этом равенство достигается тогда и только тогда, когда векторы а и b коллинеарны.

ÿ По определению |ab| = ||a||b|cosÐ(a,b)| = |a||b||cosÐ(a,b)| £ |a||b. Этим доказано само неравенство Коши. Теперь заметим. что для ненулевых векторов а и b равенство в нем достигается тогда и только тогда, когда |cosÐ(a,b)| = 1, т.е. при Ð(a,b) = 0 или Ð(a,b) = p. Последнее равносильно тому, что векторы а и b сонаправлены или противоположно направлены, т.е. коллинеарны. Если же хотя бы один из векторов а и b – нулевой, то они коллинеарны и |ab| = |a||b| = 0. ÿ

2. Основные свойства скалярного умножения. К ним относят следующие:

(СУ1) ab = ba (коммутативность);

(СУ2) (ха)b = х(ab) (ассоциативность);

(СУ3) а(b+c) = ab + ac (дистрибутивность).

Коммутативность здесь очевидна, ибо Ðab = Ðbа. Ассоциативность при х = 0 также очевидна. Если х > 0, то

(ха)b = |ха||b|cosÐ(хa,b) = |х||а||b|cosÐ(хa,b) = х|а||b|cosÐ(a,b) = х(ab),

ибо Ð(хa,b) = Ð(a,b) (из сонаправленности векторов ха и а – рис.21). Если же х < 0, то

(ха)b = |х||а||b|cosÐ(хa,b) = –х|а||b|(–cosÐ(a,b)) = х|а||b|cosÐ(a,b) = х(ab),

ибо Ð(хa,b) = p – Ð(a,b) (из противоположной направленности векторов ха и а – рис.22). Таким образом, ассоциативность тоже доказана.

Доказать дистрибутивность сложнее. Для этого нам потребуется такая

(5.4) Лемма. Пусть а – ненулевой вектор, параллельный прямой l, а b – произвольный вектор. Тогда ортогональная проекция b' вектора b на прямую l равна .

ÿ Если b = 0, то b' = 0 и ab = 0, так что в этом случае лемма верна. В дальнейшем будем считать, что вектор b' ненулевой. В этом случае от произвольной точки О прямой l отложим векторы ОА = а и ОВ = b, а также опустим перпендикуляр BB' из точки В на прямую l. По определению OB' = b' и Ð(a,b) = ÐАОВ. Обозначим ÐАОВ через j и докажем лемму отдельно для каждого из следующих трех случаев:

1) j < p/2. Тогда векторы а и сонаправлены (рис.23) и

b' = = =.

2) j > p/2 . Тогда векторы а и b' противоположно направлены (рис.24) и

b' = – = – = .

3) j = p/2. Тогда b' = 0 и ab = 0, откуда b' = = 0. ÿ

Теперь докажем дистрибутивность (СУ3). Она очевидна, если вектор а – нулевой. Пусть а ¹ 0. Тогда проведем прямую l || а, и обозначим через b' и c' ортогональные проекции на нее векторов b и с, а через d' – ортогональную проекцию на нее вектора d = b+c. По теореме 3.5 d' = b'+c'. Применяя к последнему равенству лемму 5.4, получаем равенство = . Скалярно умножив его на а, находим, что 2 = , откуда ad = ab+ac, что и требовалось доказать. ÿ

Доказанные нами свойства скалярного умножения векторов аналогичны соответствующим свойствам умножения чисел. Но не все свойства умножения чисел переносятся на скалярное умножение векторов. Вот типичные примеры:

1) Если ab = 0, то это не означает, что а = 0 или b = 0. Пример: два ненулевых вектора, образующие прямой угол.

2) Если ab = ac, то это не означает, что b = с, даже если вектор а – ненулевой. Пример: b и с – два различных вектора одинаковой длины, образующие с вектором а равные углы (рис. 25).

3) Неверно, что всегда а(bc) = (ab)c: хотя бы потому, что справедливость такого равенства при bc, ab ¹ 0 влечет коллинеарность векторов а и с.

3. Ортогональность векторов. Два вектора называются ортогональными, если угол между ними – прямой. Ортогональность векторов обозначается значком ^.

Когда мы определяли угол между векторами, то договорились считать угол между нулевым вектором и любым другим вектором прямым. Поэтому нулевой вектор ортогонален любому. Это соглашение позволяет доказать такой

(5.5) Признак ортогональности двух векторов. Два вектора ортогональны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно 0.

ÿ Пусть а и b – произвольные векторы. Если хотя бы один из них – нулевой, то они ортогональны, а их скалярное произведение равно 0. Таким образом, в этом случае теорема верна. Допустим теперь, что оба данных вектора – ненулевые. По определению ab = |a||b|cosÐ(a,b). Поскольку по нашему предположению числа |a| и |b| не равны 0, то ab = 0 Û cosÐ(a,b) = 0 Û Ð(a,b) = p/2, что и требовалось доказать. ÿ

Равенство ab = 0 часто принимают за определение ортогональности векторов.

(5.6) Следствие. Если вектор а ортогонален каждому из векторов а1, …, ап, то он ортогонален и любой их линейной комбинации.

ÿ Достаточно заметить, что из равенства аа1 = … = аап = 0 следует равенство а(х1а1 + … +хпап) = х1(аа1) + … + хп(аап) = 0. ÿ

Из следствия 5.6 легко выводится школьный признак перпендикулярности прямой и плоскости. В самом деле, пусть некоторая прямая MN перпендикулярна двум пересекающимся прямым АВ и АС. Тогда вектор MN ортогонален векторам АВ и АС. Возьмем в плоскости АВС любую прямую DE. Вектор DE компланарен неколлинеарным векторам АВ и АС, и потому раскладывается по ним. Но тогда он тоже ортогонален вектору MN, то есть прямые MN и DE перпендикулярны. Получается, что прямая MN перпендикулярна любой прямой из плоскости АВС, что и требовалось доказать.

4. Ортонормированные базисы. (5.7) Определение. Базис векторного пространства называется ортонормированным, если, во-первых, все его векторы имеют единичную длину и, во-вторых, любые два его вектора ортогональны.

Векторы ортонормированного базиса в трехмерном пространстве обычно обозначают буквами i, j и k, а на векторной плоскости – буквами i и j. Учитывая признак ортогональности двух векторов и равенство скалярного квадрата вектора квадрату его длины, условия ортонормированности базиса (i,j,k) пространства V3 можно записать так:

(5.8) i2 = j2 = k2 = 1 , ij = ik = jk = 0,

а базиса (i,j) векторной плоскости – так:

(5.9) i2 = j2 = 1 , ij = 0.

Пусть векторы а и b имеют в ортонормированном базисе (i,j,k) пространства V3 координаты (а1, а2, а3) и (b1 b2, b3) соответственно. Тогда ab = (а1i+а2j+а3k)(b1i+b2j+b3k) = a1b1i2+a2b2j2+a3b3k2+a1b2ij+a1b3ik+a2b1ji+a2b3jk+a3b1ki+a3b2kj = a1b1 + a2b2 + a3b3. Так получается формула для скалярного произведения векторов а(а123) и b(b1,b2,b3), заданных своими координатами в ортонормированном базисе пространства V3:

(5.10) ab = a1b1 + a2b2 + a3b3.

Для векторов а(а12) и b(b1, b 2), заданных своими координатами в ортонормированном базисе на векторной плоскости, она имеет вид

(5.11) ab = a1b1 + a2b2.

Подставим в формулу (5.10) b = a. Получится, что в ортонормированном базисе а2 = а12 + а22 + а32 . Поскольку а2 = |а|2 , получается такая формула для нахождения длины вектора а(а123), заданного своими координатами в ортонормированном базисе пространства V3 :

(5.12) |а| = .

На векторной плоскости она в силу (5.11) приобретает вид

(5.13) |а| = .

Подставляя в формулу (5.10) b = i, b = j, b = k, получаем еще три полезных равенства:

(5.14) ai = a1, aj = а2, ak = а3.

Простота координатных формул для нахождения скалярного произведения векторов и длины вектора составляет главное преимущество ортонормированных базисов. Для неортонормированных базисов эти формулы, вообще говоря, неверны, и их применение в этом случае является грубой ошибкой.

5. Направляющие косинусы. Возьмем в ортонормированном базисе (i,j,k) пространства V3 вектор а(а123). Тогда ai = |a||i|cosÐ(a,i) = |a|cosÐ(a,i). С другой стороны, ai = a1по формуле 5.14. Получается, что

(5.15) а1 = |a|cosÐ(a,i).

и, аналогично,

а2 = |a|cosÐ(a,j), а3 = |a|cosÐ(a,k).

Если вектор а – единичный, эти три равенства приобретают особенно простой вид:

(5.16) а1 = cosÐ(a,i), а2 = cosÐ(a,j), а3 = cosÐ(a,k).

Косинусы углов, образованных вектором с векторами ортонормированного базиса, называются направляющими косинусами этого вектора в данном базисе. Как показывают формулы 5.16, координаты единичного вектора в ортонормированном базисе равны его направляющим косинусам.

Из 5.15 вытекает, что а12 + а22 + а32 = |а|2(cos2Ð(a,i)+cos2Ð(a,j) +cos2Ð(a,k)). С другой стороны, а12 + а22 + а32 = |а|2. Получается, что

(5.17) сумма квадратов направляющих косинусов ненулевого вектора равна 1.

Этот факт бывает полезен для решения некоторых задач.

(5.18) Задача. Диагональ прямоугольного параллелепипеда образует с двумя его ребрами, выходящими из той же вершины, углы по 60°. Какой угол она образует с третьим выходящим из этой вершины ребром?

ÿ Рассмотрим ортонормированный базис пространства V3, векторы которого изображены ребрами параллелепипеда, выходящим из данной вершины. Поскольку вектор диагонали образует с двумя векторами этого базиса углы по 60°, квадраты двух из трех его направляющих косинусов равны cos260° = 1/4. Поэтому квадрат третьего косинуса равен 1/2, а сам этот косинус равен 1/. Значит, искомый угол равен 45°. ÿ

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

И.С. Рубанов: Геометрия

Глава Векторы Понятие вектора Коллинеарность направленных отрезков Два направленных... Векторные пространства Координаты... Глава Метод координат Прямая на плоскости Аффинные...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Скалярное умножение векторов

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Геометрия.
(Векторы. Метод координат) И.С. Рубанов. Лекции по геометрии. Векторы. Метод

Понятие вектора
1. Направленные отрезки. Отрезок называется направленным, если указано, какая из двух ограничивающих его точек считается первой (она называется его началом), а какая – второй (она называется его

Проектирование и разложение векторов
1. Проектирование точек и векторов в пространстве. Пусть в пространстве даны плоскость П и пересекающая ее прямая р. Возьмем произвольную

Координаты вектора.
1. Векторные пространства. Совокупность векторов V называется векторным пространством, если она непуста и обладает следующими двумя свойствами: (V1) Сумма любых двух векторов из

Ориентация плоскости и пространства
1. Определители второго порядка. Матрицей второго порядка называется квадратная таблица размером 2´2, заполненная числами. Сами эти числа называются элементами матрицы. Они часто обозначаю

Смешанное произведение векторов
1. Определение и простейшие свойства. В отличие от чисел, у векторов существует не одно, а несколько разных “умножений”. Мы уже рассматривали скалярное умножение векторов. В этом параграфе мы по

Векторное произведение векторов
1. Определение. Векторным произведением a´b неколлинеарных векторов а и b называется вектор, удовлетворяющий трем условиям: (ВП1) Вектор a´b ортогонален векторам а и

Аффинные координаты
1. Аффинные координаты на прямой. Аффинным репером на прямой l называется упорядоченная пара R = (O, e), составленная из точки ОÎl (начала координат) и ненулевого вектора а, ||параллельно

Покажите сами, что в случае плоскости формулы (9.5) приобретают вид
(9.6') . Обычно в описанной выше ситуации репер R называют "старым", репер R' – "новым", а формулы 9

Деление отрезка в данном отношении.
1. Определение и примеры. Пусть точка С лежит на прямой (АВ) и не совпадает с точкой В. Тогда векторы AC и СВ коллинеарны, причем СВ ¹ 0, и, следовательно, существует единственное число l,

Полярные координаты.
1. Еще об ориентированных углах. Напомним, что угол называется ориентированным, если указан порядок, в котором идут его стороны, а величине ориентированного угла на ориентированной плоскости при

Различные виды уравнений прямой на плоскости.
1. Параметрические уравнения. Возьмем прямую l, заданную точкой M0Îl и направляющим вектором l || l (пишем: l = [М0, l]). Точка М лежит на прямой l тогда и только тог

Общее уравнение прямой на плоскости.
1. Вывод общего уравнения. Возьмем прямую l = [М0(х0,у0), l(a,b)] и преобразуем ее каноническое уравнение: (13.4) Û b(x–x0) = a(y–y0

Метрические задачи теории прямых на плоскости.
Метрическими называются задачи, в которых требуется найти расстояния или углы. Далее все рассматриваемые системы координат предполагаются прямоугольными декартовыми. На произвольные АСК полученн

Различные виды уравнений плоскости.
Плоскость П в пространстве задается своими точкой М0 и базисной парой, т.е., парой параллельных ей неколлинеарных векторов, образующих базис (a,b) векторной плоскости V2(П)

Общее уравнение плоскости.
1. Вывод общего уравнения. Сохраняя обозначения, введенные в §16, раскроем определитель в правой части канонического уравнения (16.3): М(х,у,z)ÎП Û (16.3) Û

Различные виды уравнений прямой в пространстве.
1. Параметрические уравнения прямой в пространстве имеют вид (18.1) , где М0(х0,y

Метрические задачи о прямых и плоскостях в пространстве.
В этом параграфе, как и в §16, мы работаем исключительно в ПДСК. Для произвольной АСК соответствующие формулы значительно сложнее. 1. Нормальный вектор плоскости – это направляющ

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги