Реферат Курсовая Конспект
Скалярное умножение векторов - раздел Математика, И.С. Рубанов: Геометрия 1. Определение И Простейшие Свойства. Возьмем Ненулевые Векторы А И B И От...
|
1. Определение и простейшие свойства. Возьмем ненулевые векторы а и b и отложим их от произвольной точки О: ОА = а и ОВ = b. Величина угла АОВ называется углом между векторами а и b и обозначается Ð(a,b). Если же хотя бы один из двух векторов – нулевой, то угол между ними по определению считается прямым. Заметим, что по определению угол между векторами не меньше 0 и не больше p. При этом угол между двумя ненулевыми векторами равен 0 тогда и только тогда, когда эти векторы сонаправлены и равен p тогда и только тогда, когда они противоположно направлены.
Проверим, что угол между векторами не зависит от выбора точки О. Это очевидно, если векторы коллинеарны. В противном случае отложим от произвольной точки О1 векторы О1А1 = а и О1В1 = b и заметим, что треугольники АОВ и А1О1В1 равны по трем сторонам, ибо |ОА| = |О1А1| = |а|, |ОВ| = |О1В1| = |b|, |АВ| = |А1В1| = |b–а|. Поэтому углы АОВ и А1О1В1 равны.
Теперь мы можем дать основное в этом параграфе
(5.1) Определение. Скалярным произведением двух векторов а и b (обозначается ab) называется число[6], равное произведению длин этих векторов на косинус угла между векторами. Короче:
ab = |a||b|cosÐ(a,b).
Операция нахождения скалярного произведения называется скалярным умножением векторов. Скалярное произведение аа вектора на себя называется скалярным квадратом этого вектора и обозначается а2.
(5.2) Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины.
ÿ Если |а| ¹0, то Ð(a,a) = 0, откуда а2 = |а||а|cos0 = |a|2. Если же а = 0, то а2 = |а|2 = 0. ÿ
(5.3) Неравенство Коши. Модуль скалярного произведения двух векторов не превосходит произведения модулей сомножителей: |ab| £ |a||b|. При этом равенство достигается тогда и только тогда, когда векторы а и b коллинеарны.
ÿ По определению |ab| = ||a||b|cosÐ(a,b)| = |a||b||cosÐ(a,b)| £ |a||b. Этим доказано само неравенство Коши. Теперь заметим. что для ненулевых векторов а и b равенство в нем достигается тогда и только тогда, когда |cosÐ(a,b)| = 1, т.е. при Ð(a,b) = 0 или Ð(a,b) = p. Последнее равносильно тому, что векторы а и b сонаправлены или противоположно направлены, т.е. коллинеарны. Если же хотя бы один из векторов а и b – нулевой, то они коллинеарны и |ab| = |a||b| = 0. ÿ
2. Основные свойства скалярного умножения. К ним относят следующие:
(СУ1) ab = ba (коммутативность);
(СУ2) (ха)b = х(ab) (ассоциативность);
(СУ3) а(b+c) = ab + ac (дистрибутивность).
Коммутативность здесь очевидна, ибо Ðab = Ðbа. Ассоциативность при х = 0 также очевидна. Если х > 0, то
(ха)b = |ха||b|cosÐ(хa,b) = |х||а||b|cosÐ(хa,b) = х|а||b|cosÐ(a,b) = х(ab),
ибо Ð(хa,b) = Ð(a,b) (из сонаправленности векторов ха и а – рис.21). Если же х < 0, то
(ха)b = |х||а||b|cosÐ(хa,b) = –х|а||b|(–cosÐ(a,b)) = х|а||b|cosÐ(a,b) = х(ab),
ибо Ð(хa,b) = p – Ð(a,b) (из противоположной направленности векторов ха и а – рис.22). Таким образом, ассоциативность тоже доказана.
Доказать дистрибутивность сложнее. Для этого нам потребуется такая
(5.4) Лемма. Пусть а – ненулевой вектор, параллельный прямой l, а b – произвольный вектор. Тогда ортогональная проекция b' вектора b на прямую l равна .
ÿ Если b = 0, то b' = 0 и ab = 0, так что в этом случае лемма верна. В дальнейшем будем считать, что вектор b' ненулевой. В этом случае от произвольной точки О прямой l отложим векторы ОА = а и ОВ = b, а также опустим перпендикуляр BB' из точки В на прямую l. По определению OB' = b' и Ð(a,b) = ÐАОВ. Обозначим ÐАОВ через j и докажем лемму отдельно для каждого из следующих трех случаев:
1) j < p/2. Тогда векторы а и сонаправлены (рис.23) и
b' = = =.
2) j > p/2 . Тогда векторы а и b' противоположно направлены (рис.24) и
b' = – = – = .
3) j = p/2. Тогда b' = 0 и ab = 0, откуда b' = = 0. ÿ
Теперь докажем дистрибутивность (СУ3). Она очевидна, если вектор а – нулевой. Пусть а ¹ 0. Тогда проведем прямую l || а, и обозначим через b' и c' ортогональные проекции на нее векторов b и с, а через d' – ортогональную проекцию на нее вектора d = b+c. По теореме 3.5 d' = b'+c'. Применяя к последнему равенству лемму 5.4, получаем равенство = . Скалярно умножив его на а, находим, что 2 = , откуда ad = ab+ac, что и требовалось доказать. ÿ
Доказанные нами свойства скалярного умножения векторов аналогичны соответствующим свойствам умножения чисел. Но не все свойства умножения чисел переносятся на скалярное умножение векторов. Вот типичные примеры:
1) Если ab = 0, то это не означает, что а = 0 или b = 0. Пример: два ненулевых вектора, образующие прямой угол.
2) Если ab = ac, то это не означает, что b = с, даже если вектор а – ненулевой. Пример: b и с – два различных вектора одинаковой длины, образующие с вектором а равные углы (рис. 25).
3) Неверно, что всегда а(bc) = (ab)c: хотя бы потому, что справедливость такого равенства при bc, ab ¹ 0 влечет коллинеарность векторов а и с.
3. Ортогональность векторов. Два вектора называются ортогональными, если угол между ними – прямой. Ортогональность векторов обозначается значком ^.
Когда мы определяли угол между векторами, то договорились считать угол между нулевым вектором и любым другим вектором прямым. Поэтому нулевой вектор ортогонален любому. Это соглашение позволяет доказать такой
(5.5) Признак ортогональности двух векторов. Два вектора ортогональны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно 0.
ÿ Пусть а и b – произвольные векторы. Если хотя бы один из них – нулевой, то они ортогональны, а их скалярное произведение равно 0. Таким образом, в этом случае теорема верна. Допустим теперь, что оба данных вектора – ненулевые. По определению ab = |a||b|cosÐ(a,b). Поскольку по нашему предположению числа |a| и |b| не равны 0, то ab = 0 Û cosÐ(a,b) = 0 Û Ð(a,b) = p/2, что и требовалось доказать. ÿ
Равенство ab = 0 часто принимают за определение ортогональности векторов.
(5.6) Следствие. Если вектор а ортогонален каждому из векторов а1, …, ап, то он ортогонален и любой их линейной комбинации.
ÿ Достаточно заметить, что из равенства аа1 = … = аап = 0 следует равенство а(х1а1 + … +хпап) = х1(аа1) + … + хп(аап) = 0. ÿ
Из следствия 5.6 легко выводится школьный признак перпендикулярности прямой и плоскости. В самом деле, пусть некоторая прямая MN перпендикулярна двум пересекающимся прямым АВ и АС. Тогда вектор MN ортогонален векторам АВ и АС. Возьмем в плоскости АВС любую прямую DE. Вектор DE компланарен неколлинеарным векторам АВ и АС, и потому раскладывается по ним. Но тогда он тоже ортогонален вектору MN, то есть прямые MN и DE перпендикулярны. Получается, что прямая MN перпендикулярна любой прямой из плоскости АВС, что и требовалось доказать.
4. Ортонормированные базисы. (5.7) Определение. Базис векторного пространства называется ортонормированным, если, во-первых, все его векторы имеют единичную длину и, во-вторых, любые два его вектора ортогональны.
Векторы ортонормированного базиса в трехмерном пространстве обычно обозначают буквами i, j и k, а на векторной плоскости – буквами i и j. Учитывая признак ортогональности двух векторов и равенство скалярного квадрата вектора квадрату его длины, условия ортонормированности базиса (i,j,k) пространства V3 можно записать так:
(5.8) i2 = j2 = k2 = 1 , ij = ik = jk = 0,
а базиса (i,j) векторной плоскости – так:
(5.9) i2 = j2 = 1 , ij = 0.
Пусть векторы а и b имеют в ортонормированном базисе (i,j,k) пространства V3 координаты (а1, а2, а3) и (b1 b2, b3) соответственно. Тогда ab = (а1i+а2j+а3k)(b1i+b2j+b3k) = a1b1i2+a2b2j2+a3b3k2+a1b2ij+a1b3ik+a2b1ji+a2b3jk+a3b1ki+a3b2kj = a1b1 + a2b2 + a3b3. Так получается формула для скалярного произведения векторов а(а1,а2,а3) и b(b1,b2,b3), заданных своими координатами в ортонормированном базисе пространства V3:
(5.10) ab = a1b1 + a2b2 + a3b3.
Для векторов а(а1,а2) и b(b1, b 2), заданных своими координатами в ортонормированном базисе на векторной плоскости, она имеет вид
(5.11) ab = a1b1 + a2b2.
Подставим в формулу (5.10) b = a. Получится, что в ортонормированном базисе а2 = а12 + а22 + а32 . Поскольку а2 = |а|2 , получается такая формула для нахождения длины вектора а(а1,а2,а3), заданного своими координатами в ортонормированном базисе пространства V3 :
(5.12) |а| = .
На векторной плоскости она в силу (5.11) приобретает вид
(5.13) |а| = .
Подставляя в формулу (5.10) b = i, b = j, b = k, получаем еще три полезных равенства:
(5.14) ai = a1, aj = а2, ak = а3.
Простота координатных формул для нахождения скалярного произведения векторов и длины вектора составляет главное преимущество ортонормированных базисов. Для неортонормированных базисов эти формулы, вообще говоря, неверны, и их применение в этом случае является грубой ошибкой.
5. Направляющие косинусы. Возьмем в ортонормированном базисе (i,j,k) пространства V3 вектор а(а1,а2,а3). Тогда ai = |a||i|cosÐ(a,i) = |a|cosÐ(a,i). С другой стороны, ai = a1по формуле 5.14. Получается, что
(5.15) а1 = |a|cosÐ(a,i).
и, аналогично,
а2 = |a|cosÐ(a,j), а3 = |a|cosÐ(a,k).
Если вектор а – единичный, эти три равенства приобретают особенно простой вид:
(5.16) а1 = cosÐ(a,i), а2 = cosÐ(a,j), а3 = cosÐ(a,k).
Косинусы углов, образованных вектором с векторами ортонормированного базиса, называются направляющими косинусами этого вектора в данном базисе. Как показывают формулы 5.16, координаты единичного вектора в ортонормированном базисе равны его направляющим косинусам.
Из 5.15 вытекает, что а12 + а22 + а32 = |а|2(cos2Ð(a,i)+cos2Ð(a,j) +cos2Ð(a,k)). С другой стороны, а12 + а22 + а32 = |а|2. Получается, что
(5.17) сумма квадратов направляющих косинусов ненулевого вектора равна 1.
Этот факт бывает полезен для решения некоторых задач.
(5.18) Задача. Диагональ прямоугольного параллелепипеда образует с двумя его ребрами, выходящими из той же вершины, углы по 60°. Какой угол она образует с третьим выходящим из этой вершины ребром?
ÿ Рассмотрим ортонормированный базис пространства V3, векторы которого изображены ребрами параллелепипеда, выходящим из данной вершины. Поскольку вектор диагонали образует с двумя векторами этого базиса углы по 60°, квадраты двух из трех его направляющих косинусов равны cos260° = 1/4. Поэтому квадрат третьего косинуса равен 1/2, а сам этот косинус равен 1/. Значит, искомый угол равен 45°. ÿ
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
Глава Векторы Понятие вектора Коллинеарность направленных отрезков Два направленных... Векторные пространства Координаты... Глава Метод координат Прямая на плоскости Аффинные...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Скалярное умножение векторов
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов