Ориентация плоскости и пространства

1. Определители второго порядка. Матрицей второго порядка называется квадратная таблица размером 2´2, заполненная числами. Сами эти числа называются элементами матрицы. Они часто обозначаются буквой с двумя индексами, из которых первый указывает, в какой строке таблицы стоит данное число, а второй – в каком столбце. Например, а₁₂ – это второй элемент первой строки. Записывается матрица перечислением ее элементов в круглых скобках: .

Определителем матрицы второго порядка, или, короче, определителем второго порядка называется число, равное а₁₁а₂₂ – а₁₂а₂₁ . Обозначается этот определитель так: , или так: det(det – от латинского determinant: определитель).

Пусть в некоторой векторной плоскости V₂ заданы базис B = (е₁,е₂) и упорядоченная пара векторов C = (а,b). Пусть в базисе B вектор а имеет координаты (а₁,а₂), а вектор b – координаты (b₁,b₂). Составленная из этих координат матрица называется матрицей перехода, а ее определитель - определителем перехода от базиса B к системе векторов C. Определитель перехода мы будем обозначать так: D_{B ®C} .

Пусть векторы а и b коллинеарны. Тогда по признаку коллинеарности их координаты пропорциональны. Не умаляя общности, будем считать, что а₁ = хb₁ и а₂ = хb₂. Тогда D_B®C = а₁b₂–a₂b₁ = xb₁b₂ – xb₂b₁ = 0. Обратно, пусть D_{B ®C} = а₁b₂ – a₂b₁ = 0. Тогда а₁b₂ = a₂b₁. Допустим, что b₁ ¹ 0. Тогда a₂ = . Положим х = . Получим, что a₂ = xb₂. Кроме того, очевидно, что a₁ = xb₁. Значит в этом случае векторы а и b коллинеарны. Аналогично доказывается их коллинеарность в случае, когда b₂ ¹ 0. Если же b₁ = b₂ = 0, то b = 0, и, опять-таки, а || b. Таким образом, доказана

(6.1) Теорема. Векторы а(а₁,а₂) и b(b₁,b₂) коллинеарны Û =0. ÿ

Это еще один удобный координатный признак коллинеарности векторов, пригодный, правда, только для координат на векторной плоскости. ÿ

Нам понадобятся еще такие свойства определителей перехода:

(П1) D_{B ®B} = 1.

(П2) Если B и D – два базиса одной и той же векторной плоскости, а C - произвольная упорядоченная пара векторов этой плоскости, то D_{B ®C} = D_{B ®D} D_{D ®C}.

(П3) Если B и C – два базиса одной векторной плоскости, то D_{C ®B} = 1/ D_{B ®C}.

Первое из них вытекает из того, что D_{B ®B} = (как получается это равенство?). Второе проверяется прямым вычислением левой и правой частей, которое мы опустим. Наконец, из (П2) и (П1) следует, что D_{B ®C} D_{C ®B} = D_{B ®B} = 1, откуда вытекает (П3).

2. Ориентация плоскости. Возьмем векторную плоскость V и два ее базиса: B и C. Поскольку векторы базиса неколлинеарны, определитель перехода D_B®C не равен 0. Если он положителен, то говорят, что базисы B и C одинаково ориентированы, а если отрицателен – что они противоположно ориентированы. Эти свойства не зависят от того, какой из двух данных базисов мы берем первым, а какой – вторым, ибо знаки чисел D_{B ®C} и D_{C ®B} = 1/D_{B ®C} одинаковы.

(6.2) Пример. Каждый базис B = (е₁, е₂) одинаково ориентирован сам с собой, ибо D_{B ®B} = 1 > 0 и противоположно – с базисом C =(е₂, е₁), ибо D_{B ®C} = = –1 < 0.

(6.3) Теорема. Все базисы данной векторной плоскости разбиваются на два непустых непересекающихся класса таким образом, что любые два базиса из одного класса ориентированы одинаково, а из разных классов – противоположно.

ÿ Возьмем произвольный базис B = (е₁, е₂) данной векторной плоскости и образуем класс К из всех ее базисов, одинаково ориентированных с B, а класс L – из всех базисов, ориентированных противоположно B. По построению классы К и L не пересекаются. Кроме того, они непусты, ибо в К содержится базис B, а в L – базис C = (е₂, е₁). Возьмем теперь любые два базиса C и D. По свойству (П2) D_{C ®D} = D_{C ®B} D_{B ®D}. Если базисы C и D лежат в одном и том же из двух построенных нами классов, то знаки определителей D_{C ®B} и D_{B ®D} одинаковы, а если в разных классах, то различны. Поэтому в первом случае произведение D_{C ®B} D_{B ®D} положительно, в во втором – отрицательно, что и требовалось доказать. ÿ

Каждый из двух классов, на которые разбиваются базисы векторной плоскости согласно теореме 6.3, называется ориентацией этой векторной плоскости. Выберем одну из двух возможных ориентаций и назовем ее положительной, а другую – отрицательной. Векторная плоскость, у которой выбрана положительная ориентация, называется ориентированной. При этом базисы, входящие в “положительный” (“отрицательный”) класс, называются положительно (отрицательно) ориентированными. Обычная плоскость П называется ориентированной, если ориентирована векторная плоскость V(П).

3. Определители третьего порядка. Ориентация трехмерного пространства. Матрицей третьего порядка называется квадратная таблица размером 3´3, заполненная числами. Записывается она аналогично матрице второго порядка:

Определителем (матрицы) третьего порядка называется число

(6.4) =

= а₁₁ а₂₂ а₃₃ – а₁₁ а₂₃ а₃₂ + а₂₁ а₃₂ а₁₃ – а₂₁ а₃₃ а₁₂ + а₃₁ а₁₂ а₂₃ + а₃₁ а₁₃ а₂₂.

Какие произведения и с какими знаками входят в правую часть равенства (6.4) поможет запомнить рис.26.

Выберем в векторном пространстве V₃ базис B = (е₁,е₂,е₃) и упорядоченную тройку векторов C = (а,b,с). Пусть в базисе B векторы а, b и с имеют координаты (а₁,а₂,а₃), (b₁,b₂,b₃) и (с₁,с₂,с₃) соответственно. Составленная из этих координат матрица и ее определитель называются, как и в случае векторной плоскости, матрицей и определителем перехода от базиса B к тройке C. Определитель перехода мы и тут будем обозначать D_{B ®C}.

Для трехмерного пространства остаются справедливыми все свойства (П1)-(П3). (П1) и (П2) доказываются прямым вычислением[7], а (П3) выводится из них, как в п.1.

Аналогом теоремы 6.1 для случая трехмерного пространства является такой

(6.5) Координатный признак компланарности трех векторов. Определитель перехода от базиса к упорядоченной тройке векторов равен 0 тогда и только тогда, когда векторы тройки компланарны.

Схема доказательства. Компланарность трех векторов равносильна тому, что один из них раскладывается по двум другим, например, а = хb+yc. Это векторное равенство равносильно системе из трех числовых: а₁ = хb₁+yc₁, а₂ = хb₂+yc₂, а₃ = хb₃+yc₃, а она – тому, что определитель перехода равен 0. Последнее будет показано в курсе алгебры. ÿ

Поскольку векторы, образующие базис трехмерного векторного пространства, некомпланарны, определитель перехода от базиса к базису в нем, как и на векторной плоскости, отличен от 0. Это позволяет определить одинаково и противоположно ориентированные базисы для пространства V₃ так же, как для векторной плоскости.

(6.6) Упражнение. Проверьте, что каждый базис B = (е₁,е₂,е₃) одинаково ориентирован сам с собой и противоположно ориентирован с базисом С = ( е₁,е₂,–е₃).

(6.7) Теорема. Все базисы трехмерного векторного пространства разбиваются на два непустых непересекающихся класса таким образом, что любые два базиса, принадлежащие одному и тому же классу, одинаково ориентированы, а любые два базиса из разных классов противоположно ориентированы.

Эта теорема аналогична теореме 6.3. Докажите ее сами.

Каждый из двух классов, на которые разбиваются базисы пространства V₃ согласно теореме 6.7, называется ориентацией этого пространства. Теперь ориентированное трехмерное векторное пространство определяется так же, как ориентированная векторная плоскость (точное определение дайте сами).

4. Наглядный смысл ориентации. Возьмем плоскость П и отложим в ней неколлинеарные векторы ОА и ОВ. Упорядоченная пара (ОА,ОВ) образует базис векторной плоскости V(П). Она же задает направление поворота плоскости П от ОА к ОВ (рис.27). Оказывается, одна из двух возможных ориентаций векторной плоскости V(П) образована всеми ее базисами (ОА,ОВ), у которых этот поворот направлен по часовой стрелке, а другая – теми, у которых он направлен против часовой стрелки. Сообразно тому, какая из этих двух ориентаций выбрана в качестве положительной, говорят, что плоскость П ориентирована по часовой стрелке, или против часовой стрелки.

Отложим теперь от точки О три некомпланарных вектора: ОА, ОВ и ОС. Упорядоченная тройка (ОА,ОВ, ОС) образует базис трехмерного векторного пространства. Назовем его правым, если можно так расположить в пространстве большой, указательный и средний пальцы правой руки, что они будут сонаправлены с векторами ОА , ОВ и ОС соответственно, и левым, если так можно расположить пальцы левой руки.[8] Оказывается одна из двух ориентаций пространства V₃ состоит из всех правых, а другая – из всех левых его базисов. Таким образом, одну из двух возможных ориентаций пространства V₃ можно назвать “левой”, а другую – “правой”.

Как видим, ориентация имеет простой наглядный смысл. Правда, сделанные выше утверждения не являются математическими: ведь в математике нет ни часовых стрелок, ни правой и левой руки. Перевести их на строгий математический язык и обосновать можно, но не очень просто, и мы здесь этого делать не будем.[9]