Реферат Курсовая Конспект
Аффинные координаты - раздел Математика, И.С. Рубанов: Геометрия 1. Аффинные Координаты На Прямой. Аффинным Репером На Прямой L Называется...
|
1. Аффинные координаты на прямой. Аффинным репером на прямой l называется упорядоченная пара R = (O, e), составленная из точки ОÎl (начала координат) и ненулевого вектора а, ||параллельного l. Точка О называется началом координат, а Ввектор а называется– базисным вектором репера, ибо он образует базис векторной прямой V(l). Наряду с парой (O, e), аффинным репером называют упорядоченную пару точек (О, Е), для которой ОЕ = е. Когда нам надо будет различать эти понятия, мы будем называть первую пару векторной, а вторую – точечной формой аффинного репера.
Отложим на прямой l вектор ОЕ = е. При заданной точке О по точке Е можно определить вектор е, и наоборот. Поэтому наряду с парой из точки и вектора (O, e) аффинным репером на прямой часто называют упорядоченную пару точек (О, Е). Когда нам надо будет различить эти пары, мы будем называть первую векторной, а вторую – точечной формой аффинного репера.
Радиус-вектором точки МÎl относительно начала координат О называется вектор ОМ. Поскольку радиус-вектор параллелен прямой l, его можно разложить по ее базисному вектору е: ОМ = хе. Число х называется аффинной координатой точки М в репере R. Пишут: А(х)R или просто А(х), если по смыслу сказанного ясно, в каком репере берется координата.
Вспомним, чтоСогласно признаку 2.12, если ОМ = хе, то по определению произведения вектора на число х = |ОМ|/|е| при ОМе и х = –|ОМ|/|е| при ОМ¯е. Когда вектор е – единичный, эти формулы упрощаются: х = |ОМ| при ОМе и х = –|ОМ| при ОМ¯е. Если при этом назвать направление вектора е положительным, то получится, что х = |ОМ|, когда точка М лежит в положительном направлении от точки О и х = – |ОМ| в противном случае. Но это – в точности школьное определение координаты точки на координатной прямой. Таким образом, школьное определение координат на прямой – частный случай нашего (при |е| = 1).
Координата точки М в аффинном репере (O, e) на прямой l по определению совпадает с координатой ее радиус-вектора ОМ в базисе (е) векторной прямой V(l). Поэтому она определяется точкой М однозначно. Обратно, при заданном репере любое действительное число х однозначно определяет радиус-вектор ОМ = хе, а, значит, и точку М(х). Таким образом, всякий аффинный репер на данной прямой задает взаимно-однозначное соответствие между множеством всех точек этой прямой и множеством всех действительных чисел – их координат. Это соответствие называется аффинной системой координат (АСК) на прямой, заданной данным аффинным репером.
2. Аффинные координаты на плоскости. Аффинным репером на плоскости П называется упорядоченная тройка R = (О, е1, е2), составленная из точки ОÎП, называемой началом координат, и неколлинеарных базисных векторов е1, е2, параллельных плоскости П. Аффинными координатами точки МÎП в репере R называются координаты ее радиус-вектора ОМ в базисе B = (е1, е2) векторной плоскости V(П), то есть считается, что М(х,у)R , если ОМ(х,у)B , или, если вспомнить определение координат вектора,
М(х,у)R Û ОМ = хе1+ уе2 (*)
Если базис B – ортонормированный, репер R тоже называется ортонормированным.
Аффинные координаты точки – это упорядоченная пара действительных чисел. Множество R2 всех таких пар называется числовой плоскостью. Правило (*) задает взаимно-однозначное соответствие между точками плоскости П и парами чисел из R2. Это соответствие называется аффинной системой координат на плоскости П, заданной репером R.
Отложим от начальной точки О репера R = (О, е1, е2) его базисные векторы ОЕ1 = е1 и ОЕ2 = е2. Упорядоченная тройка точек (О, Е1, Е2) называется точечной формой аффинного репера R, а прямые (ОЕ1) и (ОЕ2) – осями координат: (ОЕ1) – осью абсцисс, (ОЕ2) – осью ординат (рис. 31). Оси координат делят плоскость П на четыре координатные четверти. Точки О, Е1, Е2, координатные оси и четверти составляют аппарат АСК, заданной репером R.
Репер R порождает на осях абсцисс и ординат "местные" реперы R1 = (О, е1) и
R2 = (О, е2) соответственно. Посмотрим, как связаны заданные ими на осях "местные" АСК с АСК на плоскости. Возьмем на плоскости точку М(х,у)R и отложим вектор
OM1 = хе1. Точка М1 лежит на оси абсцисс и имеет там координату х в репере R1. Из равенства (*) следует, что M1М = OM – OM1 = уе2. Поэтому прямая (M1М) параллельна оси ординат, и точка М1 – это проекция точки М на ось абсцисс параллельно оси ординат. Таким образом, абсциссу точки М в репере R = (О, е1, е2) можно определить как координату ее проекции М1 в "местной" АСК оси абсцисс. Аналогично можно определить и ординату. Ломаная ОМ1М называется координатной ломаной, а параллелограмм ОМ1ММ2, где М2 – проекция точки М на ось ординат – координатным параллелограммом точки М (рис. 32).
АСК, заданная ортонормированным репером, называется прямоугольной декартовой системой координат (ПДСК). Оба базисных вектора ПДСК – единичные. Значит, "местные" реперы превращают координатные оси ПДСК в координатные прямые в школьном смысле. Координатные оси ПДСК перпендикулярны. Значит, проекции точки на эти оси – это основания опущенных на них из точки перпендикуляров, а ее абсцисса и ордината – координаты этих оснований на соответствующих осях. Но именно так определяются координаты на плоскости в школе. Таким образом, наше определение ПДСК на плоскости совпадает со школьным.
3. Аффинные координаты в пространстве определяются аналогично координатам на плоскости, поэтому будем кратки (недостающие детали восстановите сами). Аффинным репером здесь называется упорядоченная четверка R =(О, е1, е2, е3), где
(е1, е2, е3) – базис векторного пространства V3, а координатами точки М в репере R – координаты ее радиус-вектора OM в базисе (е1, е2, е3). Аффинной системой координат, заданной репером R, называется взаимно-однозначное соответствие между точками пространства и упорядоченными тройками их координат, образующими числовое трехмерное пространство R3. Аппарат АСК в пространстве состоит из репера в точечной форме (О, Е1, Е2, Е3), где ОЕi = еi (i = 1, 2, 3), координатных осей (ОЕ1), (ОЕ2), (ОЕ3), координатных плоскостей (ОЕ2Е3), (ОЕ1Е3), (ОЕ1Е2) и восьми октантов, на которые эти плоскости разбивают пространство. Ось (ОЕ3) называется осью аппликат.
Пусть М(x,y,z)R. Обозначим через Mx, My и Mz проекции точки М на координатные оси (ОЕ1), (ОЕ2), (ОЕ3) параллельно соответствующим координатным плоскостям, а через M1, M2 и M3 – проекции точки М на координатные плоскости (ОЕ2Е3), (ОЕ1Е3), (ОЕ1Е2) параллельно соответствующим координатным осям. Параллелепипед ММхМ3МуМzM2MM1 называется координатным параллелепипедом[11] (рис. 33), а ломаная ОМхМ3М – координатной ломаной точки М. По правилу параллелепипеда ОМ = OMx + OMy + OMz = OMx + МхМ3 + М3М, откуда OMx = хе1, OMy = МхМ3 = yе2, OMz = М3М = zе3 (докажите!). Поэтому в "местных" реперах, порожденных репером R на координатных осях и плоскостях (определите их!), эти точки имеют координаты Мх(х), Му(у), Мz(z), М1(y,z), М2(x,z), М1(x,y). Таким образом, и в пространстве аффинные координаты точки есть координаты ее проекций на оси, а ПДСК (определите ее!) есть обычная школьная система координат.
4. Две задачи. Координатами вектора в аффинном репере называются его координаты в базисе, получающемся из этого репера отбрасыванием начала координат.
(9.1) Задача. В некоторой АСК с началом О даны точки М(x0, y0, z0) и N(x1, y1, z1). Найти координаты (a, b, c) вектора MN.
ð По определению координат MN = ON – OM = (x1е1+y1е2+z1е3) – (x0е1+y0е2+z0е3) = (x1–x0)е1 + (у1–у0)е2 +(z1–z0)е3. Таким образом, вектор MN имеет координаты
(9.2) a = x1 – x0, b = у1 – у0, c = z1 – z0. ð
(9.3) Задача. В некоторой ПДСК даны точки М(x0, y0, z0) и N(x1, y1, z1). Найти длину вектора MN.
ð Применяя формулы 9.2 и 5.12, получаем, что
(9.4) . ð
Формулы 9.2 и 9.4 для плоскости получаются отбрасыванием равенства с = z1 – z0 в 9.2 и слагаемого (z1 – z0)2 в 9.4.
5. Связь между координатами точки в двух АСК. Пусть точка М имеет координаты (x,y,z) в аффинном репере R = (О, e1, e2, e3) и координаты (x',y',z') в аффинном репере R' = (O', f1, f2, f3). Будем считать известными координаты начала и векторов репера R' в репере R: O'(x0, y0, z0), f1(с11, c21, c31), f2(с12, c22, c32), f3(с13, c23, c33).
(9.5) Задача. Выразить координаты точки М в репере R через ее координаты в репере R'.
ð По определению координат и правилу треугольника имеем: xe1+ ye2+ ze3 = OM = OO' + O'M = x0e1 + y0 e2 + z0 e3 + x'f1 + y'f2 + z'f3 = x0e1 + y0 e2 + z0 e3 + x'(c11e1 + c21e2 + c31e3) + y'(c12e1+c22e2+c32e3) + z'(c13e1 + c23 e2 + c33 e3) = (x0+c11x'+c12y'+c13z')e1+(y0+c21x'+c22y' +c23z')e2 +(z0+c31x'+c32y'+c33z')e3. Сравнивая теперь левую и правую части полученного равенства, по основному свойству базиса получаем:
(9.6) . ð
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
Глава Векторы Понятие вектора Коллинеарность направленных отрезков Два направленных... Векторные пространства Координаты... Глава Метод координат Прямая на плоскости Аффинные...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Аффинные координаты
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов