Доказательство.

Выберем в качестве оснований рассматриваемых пирамид грани, лежащие в плоскости АВД. Если S и S₁- площади треугольников АВД и А₁В₁Д, h и h₁ - высоты пирамид СДАВ и С₁ДА₁В₁, опущенные из вершин С и С₁, <АДВ=β, то

S=1/2 ДА*ДВsin β, S₁₌1/2 ДА_1*ДВ₁sin β; h₁: h=ДС₁:ДС=с, V=1/3Sh, V₁=1/3 S₁h₁,

Отсюда следует, что

V₁: V=ДА₁*ДВ₁*h₁/ ДА*ДВ*h=авс.

 

 

Задача11. В правильной треугольной пирамиде РАВС сторона основания равна 6, а каждая боковая грань наклонена к плоскости основания под углом 60⁰. На боковых ребрах пирамиды взяты точки А₁, В₁, С₁ так, что РА₁ =2, РВ₁ =3, РС₁=1.Найти объем получившейся пирамиды РА₁В₁С₁.

.

Решение. Пусть объем данной пирамиды V=1/3 S_осн*h, где h- высота пирамиды , V₁- объем искомой пирамиды.

1).S_осн=а²√3/4, если пирамида правильная, тогда S_осн=9√3.

2).АО=R=а/√3=2√3, АС=3√3, ОС=√3 в правильном ∆АВС.

3). ∆ОРС- прямоугольный, <РСО=60⁰, как линейный угол двугранного угла РСВА, тогда РО= ОС tg60⁰=3, т.е h=3.

4). ∆АРО- прямоугольный, тогда по теореме Пифагора находим АР=√21.

5). Находим отношения РА₁: РА=2: √21, РС₁:РС=1: √21, РВ₁:РВ=3: √21.

6) Находим объем данной пирамиды V=1/3*9√3*3=9√3, тогда используя формулу V₁: V=р g r, находим, что

V₁: V=2/√21*1: √21*3: √21, отсюда V₁=18/7.

Ответ: V₁=18/7.

 

 

Задача12.По стороне основания а найти площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды, у которой диагональное сечение равновелико основанию.

Решение. Т.к. пирамида правильная, то S_бок= ½ Р_осн*h, где Р_осн=4а, h-апофема, h=ОН. (рис.1)

По условию известно, что S_сеч=S_осн=а², где S_сеч- площадь диагонального сечения пирамиды. S_сеч=S_АРС=1/2 РО*АС, где АС=а√2 (диагональ квадрата ДАВС).

Из условия известно, что ¹/₂РО*АС=а², отсюда РО=а√2.

Рассмотрим ∆РОС- прямоугольный, h= ОН= а/2, РН= √2а²+а²/4 = ³/₂ а.

Тогда S_бок= ½*4а*³/₂ а=3а².

Ответ: S_бок=3а²

(рис.1)

 

 

Задача13.В правильной треугольной пирамиде дана сторона основания а и угол наклона βбокового ребра к плоскости основания. Через центр основания проведено сечение пирамиды плоскостью, параллельной двум пересекающимся ребрам. Определить площадь сечения.

Решение .Проведем сечение через ОО₂// АS и ДЕ// ВС. Значит, РД//АS и EF//AS, т.е. DEFP- параллелограмм. Проведем О₁О₂ перпендикулярно плоскости АВС. Т.К. ОО₁┴ДЕ, то ДЕ┴ОО₂ по теореме о трех перпендикулярах. Тогда DEFP- прямоугольник, т.е. S _DEFP= ДЕ* ОО₂.

1. ∆АМС: АМ=а√3/2 ( по теореме Пифагора), тогда АО= ⅔АМ= а/√3, ДС= ⅓ а.

2. ∆АОS: cosβ=АО/АS, то АS= а/(√3 cosβ).

3. ∆АОД: tgβ=ДО/АО, тогда ДО= а/3, т.е. ДЕ=⅔ а.

4. ∆АСS подобен ∆ДРС, тогда АS:АС=ДР:ДС, отсюда ДР= а/(3√3 cosβ). Следовательно,

5. S _DEFP=⅔ а* а/(3√3 cosβ)= 2√3а²/ (27 cosβ).

 

6. Ответ: S _DEFP=2√3а²/ (27 cosβ).

Задача 14. Основанием пирамиды служит ромб с острым углом α. Найти объем пирамиды, если её боковые грани образуют с основанием один и тот же двугранный угол β и радиус вписанного в неё шара равен r.

Решение .Т.к. все грани пирамиды образуют с основанием одинаковый угол, то вершина пирамиды Р проектируется в центр О вписанной в основание окружности. Сделаем выносные чертежи основания АВСД и ∆РОМ.

1. Соединим точки О₂ и М, получим:

∆О₂ОМ: tgβ/2 = r/ОМ, то ОМ= r сtgβ/2.

2. Отсюда, МЕ= 2 r сtgβ/2, т.е. FД=2 r сtgβ/2.

3. ∆А FД: sin α= FД/АД, то АД=2 r сtgβ/2: sin α.

4. Значит, S_осн= 4 r² сtgβ²/2: sin α, т.к S_ромба= а² sin α.

5. ∆РОМ: tgβ=РО/ОМ, то РО= r сtgβ/2 tgβ.

6. Отсюда V_п= ⅓ * 4 r² сtgβ²/2: sin α* r сtgβ/2 tgβ= ⁴/₃(r³ tgβ ctgβ/2)/sinα.

 

7. Ответ: V_п=⁴/₃(r³ tgβ ctgβ/2)/sinα.