Задачи, предлагаемые на Едином Государственном экзамене, на тему «Пирамида».

Задача 15. ( ЕГЭ С₄)Дана сфера радиуса 9. В этой сфере проведено сечение, плоскость которого удалена от центра сферы на расстоянии, равном 7. Точка F выбрана на сфере, а точки А,В,С,Д- последовательно на окружности сечения так, что объем пирамиды FАВСД- наибольший. Точка М- середина ребра СF. Найти тангенс угла между прямыми ВМ и АF.

Решение.

1. Прямые ВМ и АF- скрещивающиеся, следовательно, углом между ними является угол между прямой ВМ и прямой, параллельной прямой АF и проходящей через точку М. Для этого необходимо провести прямую МК// АF.

(Т.к. М- середина FС, то по теореме Фалеса, К- середина АС). Угол ВМК, равный φ, есть искомый угол.

 

2. Чтобы объем пирамиды V=⅓S_осн*h был наибольшим, необходимо, чтобы площадь основания и высота пирамиды были наибольшими. Из всех четырехугольников, вписанных в окружность, наибольшую площадь имеет квадрат, значить АВСД- квадрат. Чтобы высота пирамиды была наибольшей, необходимо, чтобы точка F находилась на диаметре сферы, перпендикулярном плоскости сечения. Т.е. h=КF, где К- точка пересечения диагоналей квадрата АВСД.

 

 

3. Из точки М проведем отрезок МН┴АС, следовательно, по теореме о трех перпендикулярах, МК┴ВД, значит, ∆ВМК – прямоугольный и tgφ=ВК/КМ.

4. ВК=r, где r- радиус сечения, тогда r= √R²- d²=√81-49= 4√2. ( R- радиус сферы, d- расстояние от центра сферы до сечения). ВК=4√2, FК= FО+ОК=9+7=16.

5. ∆FАС: КМ- средняя линия, т.е. КМ= FА/2.

6. ∆FАК- прямоугольный: по теореме Пифагора FА=√ FК²+АК² = √ 256+32 = = 12√2. КМ=6√2.

7. tgφ=4√2/6√2=2/3.

 

Ответ:2/3.

Задача 16 .(ЕГЭ. С₄ ) Отрезок РN- диаметр сферы. Точки М и L лежат на сфере так, что объем пирамиды РMNL- наибольший. Найти синус угла между прямой NT и плоскостью PMN, если Т- середина ребра МL.

Решение.

 

1. Пусть угол между прямой NT и плоскостью PMN равен φ, требуется найти sin φ . Угол между прямой и плоскостью- это угол между данной прямой и её проекцией на эту плоскость. Т.к. РN- диаметр сферы, тогда ∆ PMN- прямоугольный. Опустим из точки Т перпендикуляр к плоскости PMN, тогда ТК перпендикулярно ОМ и ОL┴ ОМ, то ОL //ТК. Если V=⅓S_осн*h- наибольший, то наибольшее значение должны принимать S_осн и h, где h- высота пирамиды.

 

 

2. Из всех прямоугольных треугольников с одной и той же гипотенузой наибольшую площадь будет иметь равнобедренный треугольник. Значит, ∆ PMN- равнобедренный, т.е. МN=MP=R√2.

3. Чтобы высота пирамиды была наибольшей, необходимо, чтобы h=R=ОL=OM=OP=ON, тогда треугольники LON и LMN равны, значит, LN=NM=R√2, отсюда NТ=МN*√3/2= R√6/2.

4. Рассмотрим ∆LOM: т.к. ТК- средняя линия, то ТК= R/2.

5. ∆ТКN- прямоугольный, т.к. ТК перпендикулярно плоскости РМN, то sinφ=TK/NT=2 R/2 R√6=√6/6.

 

Ответ: √6/6.

Задача 17.В основании пирамиды лежит треугольник со сторонами 10, 8 и 6. Боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом 45⁰. Через середину высоты проведена плоскость, параллельная основанию. Найти объем получившейся усеченной пирамиды.

Решение.

 

V =⅓H(S₁+S₂+√S₁S₂)

1. S₁=S_ABC=√р(р-а)(р-в)(р-с), где р=(а+в+с):2=(10+8+6):2=12.

Тогда S₁=√12(12-10)(12-8)(12-6)=24.

2. Т.к. сечение проведено через середину высоты и перпендикулярно основанию, то треугольники АВС и А₁В₁С₁ подобны с коэффициентом подобия равным 2, тогда S₂= S _А1В1С1= S₁:4=24:4=6.

 

3. Т.к. все ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под одним углом, то высота пирамиды проектируется в центр описанной окружности, тогда ОА=ОВ=ОС=R=авс/4S=10*8*6/4*24=5.

4. Кроме того, все ребра наклонены под углом в 45⁰, то ∆АОР-прямоугольный и равнобедренный, значит, высота пирамиды равна 5, а высота усеченной пирамиды равна 2,5.

Следовательно, V=⅓*2,5(6+24+√6*24)=35.