Экономико-математические модели

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

 

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

 

Экономико-математические модели

 

Учебное пособие

 

 

Казань 2007

Учебное пособие подготовлено коллективом авторов: кэн, доцент Аитовой Р.М. (разделы 1.1─ 1.4; 1.6; 2.2; 4.3 ), кэн, доцент Харитоновой Р.С. (разделы 1.5, 1.7, 2.1 ─ 2.4; 3.1 ─3.3; 4.2.1 ─ 4.2.4;), кэн, доцент Яруллиной Г.Р. (разделы 1.8; 3.4; 4.1; 4.2.5; 5.1 ─5.2).

 

Редактор: кэн, доцент Харитонова Р.С.

 

Рецензенты:

Якимов И.М. к.т.н., доцент кафедры АСОИУ КГТУ (КАИ),

Филлипова И.А. к.э.н., доцент кафедры финансового менеджмента КГФЭИ.

 

 

Харитонова Р.С., Аитова Р.М., Яруллина Г.Р.

Экономико-математические модели: Учебное пособие.

 

Рассматриваются экономико-математические модели во взаимосвязи с постановками конкретных задач управления социально-экономическими системами микро-, макроуровня. Приводится теоретический материал, примеры моделей и особенность их решения, контрольные вопросы к изучаемым темам.

Материал учебного пособия соответствует Государственному общеобразовательному стандарту дисциплины. Изучению дисциплины предшествует усвоение основ математики (математических методов), информатики, экономической теории, экономики фирм в общей вузовской программе.

Для студентов, обучающихся по направлению «Экономика».

 

Введение. 8

Раздел 1. Теоретические основы экономико-математических моделей и моделирования 11

1.1 Основные свойства экономических систем и роль экономико-математических моделей в управлении ими. 11

1.2 Классификация экономико-математических моделей. 15

1.3 Этапы и проблемы экономико-математического моделирования. 19

1.4 Принципы построения и структура интегрированной системы экономико-математических моделей. 23

1.5 Сущность оптимизации социально-экономических ссистем. 26

1.6 Общая структура оптимизационной модели и система обозначений. 30

1.7 Основные этапы становления и развития школы экономико-математического моделирования. 33

Раздел II Экономико-математические модели планирования и анализа производственно-хозяйственной деятельности предприятия. 38

2.1 Экономико-математические модели составления производственной программы предприятия. 38

2.1.2 Экономическая интерпретация результатов решения задачи формирования портфеля заказов. 44

2.1.3 Возможные критерии оптимальности и виды ограничений. 50

2.2 Модели оптимизации использования производственной мощности предприятия. 55

2.2.1 Модели оптимизации загрузки невзаимозаменяемого оборудования. 56

2.2.2 Модели загрузки взаимозаменяемых групп оборудования. 60

2.3 Оптимизационные модели экономии материальных ресурсов предприятия 62

2.3.1 Модели оптимизации состава промышленных смесей. 63

2.3.2 Модели оптимизации раскроя промышленных материалов. 69

2.3.3 Транспортная задача. 72

2.3.3.1 Общая постановка транспортной задачи. 73

2.3.3.2 Подготовка к решению транспортной задачи в EXCEL. 75

2.4 Модели формирования оптимального портфеля ценных бумаг. 78

2.4.1 Общие вопросы формирования портфеля ценных бумаг. 78

2.4.2 Экономико-математические модели оптимизации портфеля ценных бумаг 85

Раздел III Модели исследования операций. 89

3.1 Модели систем массового обслуживания (СМО) 89

3.1.1 Общие сведения о системах массового обслуживания. 89

3.1.2 Классификация и способы представления СМО. 94

3.1.3 Потоки событий СМО. 97

3.1.4 Пример простой СМО. 100

3.2 Имитационное моделирование. 103

3.2.1 Общие сведения о GPSSW (язык имитационного моделирования GPSS в среде ОС WINDOWS). 104

3.2.2 Управление последовательностью выполнения программы GPSS: понятие симулятора и таймера модельного времени. 107

3.2.3 Основные операторы GPSSW и связанные с ними объекты. 110

3.2.4 Примеры простых моделей в GPSSW. 116

3.3 Производственные функции. 123

3.3.1 Понятие ПФ, краткая историческая справка. 124

3.3.2 Представление производственной функции. 127

3.3.3 Основные свойства и определения производственной функции. 131

3.3.4 Графический анализ производственной функции, средней и предельной отдачи ресурса. 139

3.3.5 Основные зависимости для линейной производственной функции. 143

3.4 Экономико-математические модели управления запасами. 146

3.4.1 Понятие и классификация систем управления запасами. 146

3.4.2 Простая однономенклатурная статическая модель управления запасами. 150

РАЗДЕЛ IV. Модели народно-хозяйственного, отраслевого и регионального регулирования. 154

4.1 Общие модели развития экономики. Балансовые методы в моделировании социально-экономических систем. 154

4.1.1 Предпосылки формирования и классификация МОБ. 155

4.1.2 Схема межотраслевого баланса производства и распределения продукции. 157

4.1.3 Экономико-математическая модель межотраслевого баланса. 161

4.1.4 Свойства коэффициентов прямых и полных материальных затрат, связь между ними, методы расчета. 165

4.2 Модели межотраслевого баланса в развитии. 171

4.2.1 Использование статической модели межотраслевого баланса в прогнозировании цен. 171

4.2.2 Балансовые модели в задачах анализа трудовых показателей и показателей использования основных фондов. 175

4.2.3 Динамическая модель межотраслевого баланса. 179

4.2.4 Межотраслевой баланс денежного оборота. 183

4.2.5 Модели межотраслевого баланса в системе национальных счетов. 186

4.3 Система моделей оптимального развития и размещения производств. 188

4.3.1 Основные положения оптимизации размещения крупных производств в регионах. 189

4.3.2 Виды моделей однопродуктовой одноэтапной задачи размещения и развития производства. 193

4.3.3 Решение одноэтапной целочисленной задачи методом коэффициента интенсивности. 196

4.3.4 Модель многоэтапной задачи развития и размещения производства. 202

4.3.5. Решение однопродуктовой многоэтапной модели задачи методом фиктивной диагонали. 204

4.3.6 Многопродуктовые задачи развития и размещения производства. 209

4.3.7 Модификации многопродуктовых задач развития и размещения производств. 211

Раздел V. Экономико-математические модели социально-экономических систем 216

5.1 Математические модели анализа потребительского поведения и спроса. 216

5.1.1 Анализ полезности товаров, кривые безразличия. 216

5.1.2 Решение задачи об оптимальном выборе потребителя. 221

5.2 Модели микроэкономического анализа рынка. 224

5.2.1 Спрос, предложение, равновесная цена. 224

5.2.2 Моделирование процесса достижения рыночного равновесия. 227

ЛИТЕРАТУРА.. 233

Введение

Предметом изучения дисциплины «Математика (Экономико-математическое модели)» являются количественные характеристики процессов, протекающих в социально-экономических системах различного уровня, изучение их взаимосвязей на основе экономико-математических методов и моделей.

Экономико-математическая модель может рассматриваться как математическое описание социально-экономической системы, которое отражает существенные свойства системы и замещает ее в процессе исследования. Построение экономико-математической модели необходимо рассматривать в качестве основного этапа более широкого процесса – экономико-математического моделирования, представляющего собой метод исследования экономической системы при помощи экономико-математических моделей.

Экономико-математическое моделирование тесно связано с компьютеризацией и является быстроразвивающимся направлением экономической науки.

Цель дисциплины – дать комплексное изложение теоретических и методологических принципов при постановке, решении и анализе задач управления экономикой на разных уровнях на основе методов математического моделирования и современных компьютерных технологий.

Основными задачами курса являются:

- овладение методологией построения и применения систем математических моделей планирования в социально-экономических системах;

- разбор типовых моделей, используемых в аналитической экономической работе на разных уровнях управления;

- освещение методов исследования результатов решения прикладных экономико-математических моделей и их использование при обосновании экономических решений.

Для решения поставленных задач определен круг вопросов, определяющих содержание отдельных разделов пособия.

В первом разделе «Теоретические основы экономико-математических моделей и моделирования» систематизированы теоретические предпосылки оптимизации социально-экономических систем, рассматриваемых в качестве объекта управления.

В рамках второго раздела «Экономико-математические модели планирования и анализа хозяйственной деятельности предприятия» – дается методология построения и анализа экономико-математических моделей: формирования производственной программы предприятия, моделей рационального использования ресурсов предприятия, моделей формирования оптимального портфеля ценных бумаг.

Третий раздел «Модели исследования операций» посвящен рассмотрению системы моделей для анализа таких экономических систем, в которых процессы протекают в условиях неопределенности и носят статистический характер. Дается понятие моделей систем массового обслуживания, приводятся основы имитационного моделирования и математического аппарата производственных функций и его использования в моделировании объемов производства, даны принципы построения моделей управления запасами на предприятиях.

В рамках четвертого раздела – «Модели народно-хозяйственного, отраслевого и регионального регулирования» – преимущественно речь идет о содержании модели межотраслевого баланса, ее использовании для народнохозяйственного регулирования структуры валового выпуска, а также для регулирования денежного оборота и составления балансов труда. Раскрывается содержание системы моделей оптимального развития и размещения крупных производств в отдельных регионах.

В пятом завершающем разделе курса «Экономико-математические модели социально-экономических систем» приводится характеристика математических моделей анализа потребительского поведения и спроса, моделей микроэкономического анализа рынка.

Изложение материала пособия опирается на знания, полученные студентами при изучении курсов «Экономическая теория», «Экономика фирмы», «Микроэкономика» и других дисциплин прикладной экономики. Инструментальной основой рассматриваемых в пособии моделей принятия оптимальных управленческих решений в сложных экономических системах являются дисциплины: «Высшая математика», «Теория вероятностей», «Математическая статистика» и «Математика (Экономико-математические методы)».

В результате изучения курса студенты должны получить теоретические знания о принципах построения экономико-математических моделей, приобрести практические навыки их представления и реализации на персональных компьютерах и экономической интерпретации полученных результатов. Эти знания должны стать платформой для освоения в дальнейшем таких дисциплин как информационные технологии в различных областях экономики.

Раздел 1. Теоретические основы экономико-математических моделей и моделирования

В этом разделе рассматриваются особенности социально-экономических систем, которые необходимо учитывать при их моделировании. Дается понятие экономико-математического моделирования, описывается последовательность и содержание этапов моделирования. Приводится классификация экономико-математических моделей и обосновывается необходимость построения интегрированной системы моделей для каждой социально-экономической системы. Раскрывается сущность оптимизации экономических решений, приводится система критериев оптимизации.

1.1 Основные свойства экономических систем и роль экономико-математических моделей в управлении ими

Объектом исследования настоящей учебной дисциплины являются социально-экономические системы.Различают два класса экономических систем: системы микроуровня и системы макроуровня. К первым относят всевозможные виды хозяйствующих субъектов: предприятия, организации, фирмы, банки, страховые компании и т.п. вне зависимости от их организационно-правовой формы, а также корпоративные структуры (финансово-промышленные группы, холдинги, акционерные общества и др. объединения).К системам макроуровня относят муниципальные и территориально-административные образования (в том числе и его высшая форма – государство), а также особая группа экономических систем, составляющих инфраструктуру экономики – финансовые и товарные рынки (фондовые, валютные, сырьевые, трудовые и т.д.).

Экономические системы являются сложными системами, которые сохраняют в себе свойства любых систем с позиций кибернетического подхода, но вместе с тем имеют отличительные свойства, которые необходимо учитывать при их моделировании. Важнейшими из этих свойств являются следующие:

1. эмерджентность – целостность системы, т.е. наличие у экономической системы таких свойств, которые не присущи ни одному из составляющих систему элементов, взятому в отдельности, вне системы. Эмерджентность есть результат возникновения между элементами системы так называемых синергических связей, которые обеспечивают увеличение общего эффекта до величины, большей, чем сумма эффектов элементов системы, действующих независимо. Поэтому социально-экономические системы необходимо исследовать и моделировать в целом и комплексно;

2. массовый характер многих экономических процессов и явлений, что требует от исследователей сложных экономических систем опираться на результаты анализа значительного количества наблюдений и теорию массового обслуживания;

3. случайность и неопределенность в развитии экономических процессов, они носят в основном вероятностный характер, и для их изучения необходимо применение экономико-математических моделей на базе теории вероятностей и математической статистики;

4. динамический характер развития экономических систем , предполагающий оптимизацию траектории их развития под влиянием внутренних и внешних факторов;

5. невозможность исследования многих экономических систем аналитическими методами, что диктует необходимость использования для этой цели и методов имитационного моделирования;

6. многоцелевой характер функционирования, что приводит к необходимости поиска при управлении сложными экономическими системами оптимальных компромиссных решений;

7. необходимость структуризации сложных экономических систем на подсистемы, доступные для непосредственного эффективного управления. Это требует разработки и использования оптимальной декомпозиции систем и согласования оптимальных решений для отдельных подсистем с целью оптимизации развития всей системы в целом.

Выделенные свойства социально-экономических систем значительно осложняют процесс их моделирования, однако эти свойства постоянно следует учитывать при рассмотрении различных аспектов экономико-математического моделирования, начиная с выбора типа модели и кончая вопросами практического применения результатов моделирования.

Любая экономическая система независимо от ее масштаба является сложной системой, в которой взаимодействует множество технических, экономических и социальных процессов, постоянно изменяющихся под воздействием внешних и внутренних условий. В этих условиях управление экономическими системами становится проблемой, решение которой требует использования научного аппарата системного анализа, одним из эффективнейших методов которого является экономико-математическое моделирование экономических систем.

В общем случае под моделированием понимается изучение свойств одного объекта (оригинала) с помощью другого объекта (его модели).

В дальнейшем под экономической моделью будем понимать совокупность взаимосвязанных математических зависимостей (уравнений или неравенств), формально отображающих условия функционирования реальных экономических объектов. Таким образом, экономико-математическая модель ­ это математическое отображение исследуемого экономического объекта, с помощью которого изучается его функционирование и оценивается изменение его эффективности при возможных изменениях характеристик внешней среды.

Под экономико-математическим моделированием понимается построение и изучение на базе современной вычислительной техники экономико-математической модели, способной заменить исследуемый экономический объект (процесс). Процесс управления с использованием модели можно рассматривать как метод анализа поведения реальной экономической системы с целью отыскания оптимальных управленческих решений без непосредственного экспериментирования с самой системой. Таким образом, использование метода экономико-математического моделирования дает возможность находить оптимальное решение не методом дорогостоящих проб и ошибок, а выдавать рекомендации по управлению экономическими системами, опираясь на результаты научного анализа и объективного прогноза. Работа с моделью, а не с объектом позволяет получать оперативно подробную и наглядную информацию, вскрывающую его внутренние связи, качественные характеристики и количественные параметры. Поскольку количественные исследования на модели позволяют получать наиболее полное представление о том, как будут действовать в различных условиях реальные экономические системы, экономико-математические модели могут быть использованы для оптимизации цели управления, для анализа процессов развития моделируемых систем.

Качество решения задач управления зависит в основном от совершенства соответствующих экономико-математических моделей, вычислительная техника позволяет лишь ускорять получение результата. Таким образом применение экономико-математических моделей для поиска оптимальных решений позволяет эффективно использовать огромные возможности современных ЭВМ и поднять на новую качественную ступень работу по управлению народным хозяйством в целом и его отдельными звеньями.

Вопросы по теме.

1. Каковы важнейшие особенности социально-экономических систем как объектов моделирования.

2. В чем смысл системного подхода к анализу социально-экономических процессов.

3. Подтвердите важнейшие свойства социально-экономических систем примерами.

4. Раскройте содержание понятий модель, моделирование, экономико-математическая модель, экономико-математическое моделирование.

1.2 Классификация экономико-математических моделей.

Все множество моделей по конструктивным особенностям делят на два класса: модели материальные (физические), которые воплощены в материальных объектах; и модели идеальные, которые являются продуктом человеческого мышления.

Экономико-математические модели относятся к идеальным моделям, но физические модели находят применение в исследовании экономических систем в виде экономических экспериментов.

В настоящее время не существует единой классификации экономико-математических моделей. Как правило, выделяют более десяти классификационных признаков, рассмотрим некоторые из них (Таблица 1.1).

1. По общему целевому назначению экономико-математические модели делятся на теоретико-аналитические, используемые при изучении общих свойств и закономерностей экономических систем, и прикладные, применяемые в решении конкретных экономических задач. Различные типы прикладных экономико-математических моделей рассматриваются в данном учебном пособии.

2. По степени агрегирования и особенностей объектов моделирования различают модели макроэкономические и микроэкономические, связанные с отдельными звеньями экономики (предприятиями, фирмами).

3. В зависимости от цели создания и применения существуют модели оптимизационные, балансовые, трендовые и имитационные.

Оптимизационные модели предназначены для выбора наилучшего из определенного числа вариантов. Балансовые модели выражают требование соответствия наличия ресурсов и их использования. В трендовых моделях развитие моделируемой экономической системы отражается через тренд (длительную тенденцию) её основных показателей. И, наконец, имитационные модели предназначены для использования в процессе машинной имитации изучаемых систем или процессов.

4. В зависимости от учета фактора времени выделяют экономико-математические модели статические и динамические.

Статические модели описывают свойства объекта по состоянию к определенному моменту (или определенному интервалу) времени. Динамические модели описывают экономическую систему в развитии.

5. По способу отражения фактора времени модели делятся на непрерывные, в которых время рассматривается как непрерывный фактор, и дискретные, в которых время квантовано.

6. По учету фактора неопределенности выделяют модели детерминированные, стохастические и теоретико-игровые.

В детерминированных моделях результаты на выходе однозначно определяются управляющими воздействиями без учета случайных факторов.

При задании на входе стохастической (вероятностной) модели определенной совокупности значений на её выходе могут быть получены разные результаты – в зависимости от действия случайного фактора. Модели этого типа сложнее детерминированных, однако, более приближены к действительности

. Теоретико-игровые модели учитывают воздействие факторов, обладающих более высокой степенью неопределенности, нежели стохастические.

7. Тип математического аппарата, используемого в модели – следующий признак классификации экономико-математических моделей. Наиболее распространенные и эффективные математические методы, которые нашли как теоретическое, так и практическое применение в экономических исследованиях, приведены в таблице 1.1 (пункты 7.1 ÷ 7.7).

8. В зависимости от типа подхода к изучаемым социально-экономическим системам выделяют дескриптивные и нормативные модели.

Дескриптивные (описательные) модели основаны на описании и объяснении фактически наблюдаемых явлений. В процессе применения нормативных моделей используют нормативный подход, направленный на совершенствование экономической системы. Все оптимизационные модели относятся к нормативным.

9. В соответствии со способом выражения соотношений между внешними условиями, внутренними параметрами и искомыми характеристиками выделяют модели структурные, функциональные и стоимостные.

Структурные модели отражают внутреннюю организацию объекта, т.е. его составные части, внутренние параметры и их связи с внешней средой (каноническая модель, модель внутренней структуры, модель иерархической структуры). Модели структуры обычно представлены в виде блок-схемы, реже – в виде графиков, матриц.

Функциональные (кибернетические) модели имитируют поведение объекта таким образом, что, задавая значение входа Х (внешние условия), на выходе можно получить значения неизвестных У, определяемых с помощью моделей без информации о внутренних параметрах объекта, т.е. построить функциональную модель – это значит отыскать определенный оператор «Д», который позволит описать взаимосвязи Х и У (У=Д(Х)).

Стоимостные модели сопровождают функциональные модели: на основе информации, полученной от функциональной модели, проводится комплексная технико-экономическая оценка объекта и его оптимизация по экономическим критериям.

Классификация экономико-математических моделей Таблица 1.1

№ п/п	Признак классификации	Вид модели
	Общее целевое назначение	1.1Теоретико-аналитические
1.2 Прикладные
	Степень агрегирования объектов	2.1 Макроэкономические
2.2 Микроэкономические
	По цели создания и применения	3.1 Балансовые
3.2 Трендовые
3.3 Оптимизационные
3.4 Имитационные
	По учету фактора времени	4.1 Статические
4.2 Динамические
	ПО способу отражения времени	5.1 Непрерывные
5.2 Дискретные
	По учету фактора неопределенности	6.1 Детерминированные
6.2 Стохастические
6.3 Теоретико-игровые
	По типу математического аппарата	7.1 Дифференциальное исчисление
7.2 Линейная алгебра
7.3 Математическая статистика
7.4 Теория вероятностей
7.5 Математическое программирование
7.6 Теории массового обслуживания
7.7 Теории игр
	По типу подхода к изучаемым социально-экономическим системам	8.1 Дескриптивные
8.2 Нормативные
	По способам выражения соотношения между внешними условиями, внутренними параметрами и искомыми характеристиками	9.1 Функциональные
9.2 Структурные
9.3 Стоимостные

 

Следует отметить, что одна и та же модель может быть охарактеризована рядом признаков. Например, экономико-математическая модель межотраслевого баланса ­ это прикладная модель, макроэкономическая, аналитическая, дескриптивная, детерминированная, балансовая, матричная; при этом существуют как статические, так и динамические экономико-математические модели межотраслевого баланса.

Вопросы по теме.

1. Назовите основные классификационные признаки экономико-математических моделей.

2. Может ли экономико-математическая модель одного объекта обладать разными признаками.

3. Применяются ли в экономике физические модели.

4. Приведите примеры экспериментов в экономике (на уровне предприятия, региона).

5. Приведите примеры статистических и статических моделей.

1.3 Этапы и проблемы экономико-математического моделирования.

Моделирование – исследование объектов познания не непосредственно, а косвенным путем при помощи анализа других вспомогательных объектов, т.е. моделей. Процесс моделирования включает в себя три основных элемента: субъект (исследователь); объект исследования и модель, которая определяет отношения субъекта и объекта.

Сущность процесса моделирования отражает следующая схема (рис. 1.1):

Объект исследованияя

Модель

Знания о модели

Знания об объекте ­ оригинале

I этап

II этап

III этап

IV этап

Рисунок 1.1 Схема процесса моделирования.

Сущность процесса моделирования отражают следующие этапы: построение модели, ее изучение, перенос знаний с модели на оригинал, а также практическая проверка полученных с помощью модели знаний и их использование для управления объектом.

Рассмотрим краткое содержание перечисленных этапов.

Реализация первого этапа – построения модели – предполагает наличие у исследователя некоторых знаний об объекте-оригинале. При этом модель отображает какие-либо существенные черты оригинала.

На втором этапе, в процессе изучения модели, она выступает как самостоятельный объект исследования для проведения модельных экспериментов. В результате реализации второго этапа исследователь получает совокупность знаний о модели.

На третьем этапе путем переноса знаний с модели на оригинал осуществляется формирование множества знаний об объекте-оригинале.

И, наконец, на четвертом этапе, в результате практической проверки полученных с помощью модели знаний осуществляется построение обобщающей теории объекта с целью его преобразования и управления им.

Моделирование представляет собой циклический процесс, т.е. за первым четырехэтапным циклом может последовать второй, третий и т.д. При этом знания об исследуемом объекте расширяются и уточняются, а первоначально построенная модель постепенно совершенствуется. Таким образом, в методологии моделирования заложены большие возможности самосовершенствования.

Экономико-математическое моделирование обладает рядом существенных особенностей, связанных как с объектом моделирования, так и с применяемыми средствами моделирования. В процессе экономико-математического моделирования выделяют следующие шесть этапов: постановка экономической проблемы и ее качественный анализ, построение математической модели, математический анализ модели, подготовка исходной информации, численное решение, анализ численных результатов и их применение.

Первый этап экономико-математического моделирования – постановка экономической проблемы и ее качественный анализ. В ходе данного этапа выделяются важнейшие черты и свойства объекта исследования; производится анализ его структуры, взаимосвязи элементов; формулируется сущность проблемы и принимаемых допущений.

На втором этапе осуществляется построение математической модели в виде конкретной математической зависимости (уравнений, неравенств). В процессе формализации экономической проблемы целесообразно свести задачу к построению типовой модели, которая относится к хорошо изученному классу математических задач.

На третьем этапе – этапе математического анализа построенной модели – выявляются общие свойства модели и ее решений. При этом важным вопросом является доказательство существования решений в сформулированной модели: если математически задача не имеет решения, то следует скорректировать или постановку экономической задачи, или способы её математической формализации.

Четвертый этап экономико-математического моделирования – подготовка исходной информации. Это наиболее трудоемкий этап моделирования; при этом используются методы теории вероятности и математической статистики для организации выборочных исследований, оценки достоверности данных.

На пятом этапе осуществляется численное решение экономико-математической модели – включая разработку алгоритмов решения задачи, составление программ для ЭВМ и непосредственное проведение расчетов.

На завершающем – пятом этапе экономико-математического моделирования – проводятся анализ полученных результатов и их применение; при этом рассматривается правильность и полнота результатов моделирования, степень их практической применимости для решения поставленной на первом этапе проблемы.

Перечисленные этапы экономико-математического моделирования находятся в тесной взаимосвязи, возможны возвратные связи между этапами. Например, на этапе построения модели может выяснится, что постановка задачи или противоречива, или приводит к слишком сложной математической модели; в этом случае постановка задачи должна быть скорректирована. Наиболее часто необходимость возврата к предшествующим этапам моделирования возникает на этапе подготовки исходной информации. Если необходимая информация отсутствует, или затраты на ее подготовку слишком велики, приходится возвращаться к этапам постановки задачи и ее формализации.

Экономико-математическое моделирование так же носит циклический характер. Недостатки, которые не удается исправить на отдельных этапах моделирования, можно устранить в последующих циклах. Однако результаты отдельных циклов могут иметь и самостоятельное значение.

Важнейшим требованием к любой экономико-математической модели является адекватность модели, т.е. соответствие модели исследуемой системе (объекту, процессу). Никакая модель не может быть полным (точным) отображением исследуемого объекта во всей его сложности. Экономико-математические модели эффективны лишь тогда, когда они отражают важнейшие черты изучаемого процесса, отвлекаясь от тех характеристик, которые имеют второстепенное значение для решения данной конкретной задачи. Это позволяет выявить основные закономерности процесса и обеспечить возможность практической реализации модели.

 

Вопросы по теме.

1. В чем заключается цикличность моделирования.

2. Можно ли к одному экономическому объекту создать несколько моделей, приведите примеры.

3. Как Вы понимаете возможность самосовершенствования модели.

4. Охарактеризуйте этапы экономико-математического моделирования.

5. Возможно ли нарушение последовательности этапов экономико-математического моделирования, если ­ да, то чем это может быть вызвано.

1.4 Принципы построения и структура интегрированной системы экономико-математических моделей.

Одним из важнейших методов совершенствования методов управления предприятием является разработка методологии интегрированной системы экономико-математических моделей.

Сущность интегрированной системы состоит в изучении объекта как сложной динамической системы, состоящей из множества функционирующих во взаимодействии элементов. При этом изменения, происходящие хотя бы с одним элементом, отражаются на эффективности всей системы в целом.

Интегрированная система экономико-математических моделей представляет совокупность логически, информационно и алгоритмически связанных моделей, отражающих экономические, организационные и технологические процессы воспроизводства в их единстве. Только во взаимосвязи всех моделей системы обеспечивается комплексное решение всех задач управления производством. Это модели по функционирующим показателям эффективности производства, таким, как производительность труда, себестоимость единицы продукции, валовая продукция, прибыль, рентабельность, объем капитальных вложений и другие показатели. К интегрированной системе относятся модели ценообразования, модели финансирования и кредитования, налогообложения.

Использование интегрированной системы моделей возможно только на базе широкого применения экономико-математических методов и ЭВМ.

Интегрированная система моделей строится с учетом общих методологических принципов: развития, единства, относительной автономности, соответствия и адаптации. Содержание перечисленных принципов раскрывается в таблице 1.2.

 

Принципы построения интегрированной системы моделей Таблица 1.2

№ п/п	Общие принципы:	Значение принципа
	Принцип развития	Необходимость постоянного совершенствования системы моделей, включение в ее состав новых моделей по мере совершенствования методологии планирования и управления.
	Принцип единства	Представление всего комплекса ЭММ в единой структуре взаимосвязанных блоков. Необходимость общности в методологических подходах к построению однотипных моделей, используемых на разных уровнях управления производством.
	Принцип относительной автономности	Возможность выделения из общей системы моделей относительно самостоятельных частей, которые можно разрабатывать и внедрять, не ожидая полного завершения работ по всей системе моделей.
	Принцип соответствия и адаптации	Система моделей должна соответствовать сложившимся уровням управления. Модели для каждого уровня отличаются степенью детализации отражаемых процессов. Система моделей должна адаптироваться к изменяющимся условиям (совершенствование организационной структуры, методов управления и планирования, изменение структуры плановых документов и т.д.).

 

Кроме рассмотренных общеметодологических принципов, выделяют ряд специфических принципов, имеющих важное значение для построения интегрированной системы моделей: ориентация на выходные показатели, принцип необходимого разнообразия, принцип взаимного дополнения групп моделей, принцип информационной увязки моделей (см. Таблицу 1.3).

 

Таблица 1.3

№ п/п	Специфические принципы	Значение принципа
	Ориентация на выходные показатели	Система моделей, степень их детализации и решение с их помощью плановых задач должны обеспечить выход на утверждаемые и контролируемые плановые показатели.
	Принцип необходимого разнообразия	Для адекватного отражения процессов в состав системы моделей следует включать разнообразные модели, реализующие методы математической статистики и математического программирования, межотраслевого баланса, имитационные и др. Выбор математического аппарата для целей моделирования должен определяться особенностью моделируемого процесса и возможностями программного и технического обеспечения расчетов.
	Принцип взаимного дополнения групп моделей	Для каждого из основных блоков системы необходимо выделять три взаимодополняющие группы моделей: 1-ая группа ­ модели прогнозирования состояния ресурсов и отправных показателей планирования; 2-ая группа ­ проведение основных оптимизационных и балансовых расчетов с целью увязки плановых показателей производства, материально-технического обеспечения и финансирования; модели этой группы обеспечивают выход на утверждаемые и контролируемые плановые показатели. 3-ья группа ­ модели предназначены для дополнительных, вспомогательных расчетов, для более детальных планов распределения ресурсов.
	Принцип информационной увязки моделей.	Между моделями групп и блоками системы должна устанавливаться информационная связь: результативная информация одних моделей служит входной информацией для других. Информационные связи между моделями служат отражением реальных связей в планировании производства между различными уровнями управления.

Между общими и специфическими принципами построения интегрированной системы экономико-математических моделей существует неразрывная связь. С учетом этих принципов строятся основные типы экономико-математических моделей социально-экономических систем.

 

Вопросы по теме.

1. В чем смысл интегрированной системы моделей.

2. Поясните общие принципы построения интегрированной системы моделей

3. Поясните специфические принципы построения интегрированной системы моделей.

4. Представьте совокупность моделей для предприятия.

5. Представьте совокупность моделей для системы управления ВУЗом.

1.5 Сущность оптимизации социально-экономических ссистем

Среди экономико-математических моделей особая роль принадлежит оптимизационным моделям.

Оптимизация экономических систем – комплекс методов, которые позволяют выбрать из многих возможных вариантов использования ресурсов один – с точки зрения получения наилучших результатов с наименьшими затратами.

Различают понятия: оптимизация планирования, оптимизация управления, оптимизация функционирования экономической системы.

Оптимизация планирования может рассматриваться как комплекс методов, которые позволяют из многих вариантов плана (программ) выбрать один оптимальный вариант.

Оптимизация управления предполагает выбор таких управляющих параметров, которые обеспечивали бы наилучшее (с точки зрения заданного критерия) поведение системы и ее движение к цели по оптимальной траектории.

Оптимизация функционирования экономической системы подразумевает такой режим ее функционирования, при котором все ресурсы общества используются наиболее полно и эффективно в целях удовлетворения потребностей всех членов этого общества. Существует так называемая теория системы оптимального функционирования экономики. В нашей стране была разработана советскими учеными–математиками теория оптимального функционирования социалистической экономики, многие положения которой являются общепризнанными: учет ограниченности ресурсов при принятии решений, стоимостная оценка природных ресурсов и т.д.

Оптимизация социально-экономических систем сводится к выбору такого планово-управленческого решения, которое наилучшим образом учитывало бы внутренние возможности и внешние условия функционирования экономической системы.

Постановка задач оптимизации возможна при условии выделения определенных предпосылок в отношении характера анализируемых экономических процессов.

В качестве важнейшей предпосылки выделяется наличие единого критерия оптимальности качества экономических решений, который может быть количественно измерен. При этом критерий оптимальности рассматривается как показатель, выражающий предельную меру экономического эффекта принимаемого решения для сравнительной оценки возможных решений и выбора наилучшего из них.

Выделяют глобальные и локальные критерии оптимальности. Если глобальные критерии отражают общую цель развития экономики, то локальные критерии используются при постановке задач на уровне отрасли, предприятия

В теории оптимизации на уровне народного хозяйства разработаны две основные постановки задачи, в соответствии с которой выделяют две разновидности глобальных критериев:

Во-первых, в качестве глобальной критерия рассматривается максимизация целевой функции благосостояния, которая характеризует качество жизни членов общества и выражается в следующих показателях: максимум валового внутреннего продукта, максимум национального дохода на душу населения, максимум выпуска благ в заданном ассортименте, максимизация темпов экономического развития, минимум совокупных затрат общественного труда и др.

В качестве второй разновидности глобальных критериев выступает минимизация срока достижения определенных целей (например, достижения идеального состояния экономики, при котором полностью удовлетворяются потребности всех членов общества).

Локальные критерии должны быть подчинены глобальному критерию, в качестве локальных критериев используются такие, как максимум прибыли, минимум затрат, максимум выпуска продукции в стоимостном выражении и др.

В качестве второй предпосылки в отношении характера анализируемых экономических систем, при условии выделения которой возможна постановка задач оптимизации, выделяют признание ограниченности средств достижения целей. При этом выделяют общеэкономические и правовые ограничения, а также ограничения при использовании ресурсов.

Так, общеэкономические и правовые ограничения устанавливаются для отдельных промышленных предприятий структурой развития народного хозяйства через конъюнктуру рынка, законодательные акты по налогообложению и по охране окружающей среды, международный валютный курс и т.д. Ограничения же при использовании ресурсов по сути связаны с уровнем научных знаний, степенью развития техники и производительностью, вследствие которых в каждый данный момент времени мы имеем доступ к ограниченному количеству ресурсов, следовательно должны производить ограниченное количество продукции.

Ограниченность ресурсов рассматривается по двум аспектам: абсолютная ограниченность невоспроизводимых природных ресурсов и относительная ограниченность воспроизводимых ресурсов, которая связана с опережением темпов роста потребностей над темпами роста производства соответствующей продукции (работ, услуг).

И, наконец, третья предпосылка в отношении характера анализируемых экономических процессов, при условии выделения которой возможна постановка задач оптимизации, – наличие взаимозаменяемости ресурсов и многовариантности их использования для достижения одних и тех же целей.

При этом в качестве основных факторов, порождающих многовариантность, выступают научно – технический прогресс, который создает новые ресурсы и новые возможности использования старых ресурсов, а также объективная возможность распределения и использования ресурсов в пространстве и во времени.

 

Вопросы по теме.

1. Поясните сущность оптимизации социально-экономических объектов.

2. Понятие локального и глобального критерия оптимизации.

3. Перечислите важнейшие предпосылки постановки задачи оптимизации экономических явлений и процессов.

4. Какие оптимизационные модели могут быть поставлены на уровне предприятия, цеха, участка.

5. Какие ограничения должны быть учтены в моделях, предложенных в 5-ом вопросе.

 

1.6 Общая структура оптимизационной модели и система обозначений.

Основными элементами оптимизационной модели являются параметры и переменные. При этом параметры (исходные данные) – заранее известные фиксированные факторы, на значения которых исследователь не влияет, а значения переменных на момент постановки задачи неизвестны, изменение значений переменных приближает к достижению поставленной цели и получению решений задачи.

Указанные элементы оптимизационной модели связаны математическими зависимостями в виде составных частей оптимизационной модели, в качестве которых выступают критерий оптимальности и система ограничений. С точки зрения структуры оптимизационной модели критерий оптимальности – это показатель, на основании которого сравнивают эффективность управленческих решений в процессе выбора наилучшего из них. Формализованное или математическое выражение критерия оптимальности называется целевой функцией. Система ограничений составляется в виде уравнений (неравенств) и определяет область допустимых решений, то есть область, в пределах которой осуществляется выбор решений.

Построение экономико-математической модели оптимизационной задачи включает:

выбор некоторого числа переменных величин (экономических показателей) для формализации модели объекта;

информационную базу данных объекта;

выражение целевой функции как математическое представление критерия оптимальности через отобранные экономические показатели, с обозначением экстремума целевой функции (максимум или минимум);

представление системы ограничений математически в виде уравнений, неравенств через другие экономические показатели.

Необходимо отметить, что одному и тому же критерию оптимальности могут соответствовать несколько разных, но эквивалентных целевых функций. Модели с одной и той же системой ограничений могут иметь различные критерии оптимальности и различные целевые функции.

Методика построения экономико-математических моделей состоит в том, чтобы экономическую сущность задачи представить математически, используя различные символы, переменные и постоянные величины, индексы и другие обозначения.

Все условия задачи необходимо записать в виде уравнений или неравенств. В первую очередь необходимо определить систему переменных величин, которые для конкретной задачи могут обозначать искомый объем производства продукции на предприятии, количество перевозимого груза определенным потребителям и т.д. Как правило, для обозначения переменных величин используются буквы: x, y, z, а также их модификации. Например, модификации переменной x: x₁, x₂, x_n и т.д.

Переменные x1, x2, …., xn могут обозначать объемы производства продукции соответственно первого, второго и так далее n-го вида. Переменная может обозначать объемы производства j-го вида продукции на i-ом виде оборудования по s-му технологическому способу.

Для индексации, как правило, используются латинские буквы: i, j, s, l. Количество значений переменных может обозначаться буквами n, k, m. По каждой переменной для конкретной задачи дается словесное пояснение.

Целевую функцию задачи чаще обозначают буквами f, F, Z. Постоянные величины (нормы затрат ресурсов, цена или прибыль от единицы продукции и др.) обычно обозначают буквами: a, b, c, d и т.д.

Математическую модель задачи можно представить в виде:

найти значения переменных x₁, x₂,…., x_n, которые максимизируют или минимизируют целевую функцию

(1.1)

и удовлетворяют системе из m ограничений

. (1.2)

Если на переменные накладываются условие неотрицательности, тогда в модель задачи вводится условие

. (1.3)

Иногда на переменные налагается условие целочисленности, тогда его можно записать в виде

x_j = 0, или 1, или 2, или 3 и т.д.

Если ограничения (1.2) и целевая функция (1.1) линейны относительно переменных, то модель называется линейной. В случае если хотя бы одна из функций (1.2) или Z нелинейна, то модель называется нелинейной.

Модель общей задачи линейного программирования применяют для решения задач определения оптимального плана выпуска продукции, оптимального использования производственных мощностей, сырья и других задач. В каждой из них отыскивается оптимум целевой функции при линейных ограничениях.

Задачи оптимизации решаются путём применения оптимизационных моделей методами линейного программирования.

 

Вопросы по теме.

1. Различие между параметрами и переменными в оптимизационной модели.

2. Назовите составные части оптимизационной модели.

3. В чем различие между понятиями критерий оптимальности и целевая функция.

4. Представьте запись общей модели оптимизационной задачи.

5. Приведите пример, подтверждающий, что одной системе ограничений может соответствовать несколько критериев оптимальности.

 

1.7 Основные этапы становления и развития школы экономико-математического моделирования.

Родоначальником экономико-математического моделирования является Франсуа Кэне (1694-1774), который впервые использовал балансовый метод для имитации динамики внешней торговли и создания первой в мире модели народного хозяйства. В 1758г. был опубликован первый вариант «экономической таблицы», которая представляла собой схему процесса расширенного воспроизводства. Однако модели Кэне носили чисто количественный характер и были эффективны для анализа, а не для принятия решений, внутренняя природа явлений автором не рассматривалась.

В дальнейшем идеи Кэне получили свое развитие в 2-х самостоятельных экономических концепциях:

· концепция экономико-математического моделирования хозяйственных процессов при помощи межотраслевого баланса;

· получила развитие теория, связанная с дифференциацией экономических систем на производство средств производства и предметов потребления, а также в трендовом моделировании рынка средств производства.

Рассмотрим вклад известных ученых-экономистов в развитие школы экономико-математического моделирования.

Леон Вильрас (1874-1877гг) впервые в чистом виде применил математику для описания экономических процессов. Однако он не учитывал объективность законов хозяйственного развития, опираясь исключительно на арифметический подход. Как следствие – многие его модели оказались невостребованными.

Вильфред Паретто (1848-1923гг.) впервые применил теорию вероятности для моделирования экономических процессов; разработал ряд статистических моделей соотношения доходов разных групп населения. Основное достоинство этих моделей состоит в том, что они носили оптимизационный характер, т.е. при помощи последовательности расчетов можно определить состояние и соотношение доходов, при котором состояние хозяйственной системы будет оптимальным. В экономической науке широко используется термин «оптимум по Паретто», который означает сглаживание уровней доходов для уменьшения разрыва между наиболее высокооплачиваемой частью и наименее низкооплачиваемой частью населения.

Альфред Маршалл (1842-1924гг.) впервые использовал графические модели для объяснения природы экономических процессов.

Джон Мейнар Кейнс (1883-1943гг.) на основе использования экономико-математических моделей пришел к выводу о возможности выявления основных сфер, инструментов управления экономической системой и достижения экономикой оптимального состояния с помощью государственного регулирования. Он разработал экономико-математическую модель функционирования экономики в условиях полной занятости. Этот подход состоял в основе экономической политики государств почти до 70-х годов ХХ века.

Во второй половине ХХ века существовал подход, в соответствии с которым выделялись три этапа развития экономико-математического моделирования: математическая школа; статистическое направление; эконометрика[1].

Существенный вклад в развитие школы экономико-математического моделирования внесли отечественные ученые.

С конца 19 века оригинальные экономико-математические исследования проводились В.К.Дмитриевым, В.И.Борткевичем, В.В.Самсоновым, которые находились под сильным влиянием психологической школы, рассматривавшей экономические явления как результаты психологических реакций хозяйствующих субъектов.

В.К.Дмитриев (1868-1913гг.) построил модель полных затрат труда и сбалансированных цен в виде системы линейных уравнений с технологическими коэффициентами. В отличие от теоретиков западной математической школы, В.К.Дмитриев занимался и прикладными статистическими исследованиями.

Н.Д. Кондратьев (1892-1938гг.) впервые использовал функциональный метод анализа для моделирования экономических процессов. Разработанная им теория «больших конъюнктурных циклов», опубликованная в 1925-1928 гг., позволила определить влияние одних хозяйственных секторов на другие и оценить временной лаг, который необходим хозяйственным секторам для приспособления к происходящим переменам.

После революции, в 20-е годы ХХ века, в нашей стране развивались два основных направления: моделирование процесса расширенного воспроизводства и применение методов математической статистики в изучении хозяйственной конъюнктуры и в прогнозировании.

Выдающимся достижением советской статистики стала разработка первого в мире баланса народного хозяйства СССР за 1923/1924 хозяйственный год. Позднее проводились работы по совершенствованию статистических основ межотраслевого баланса.

Значительной вехой в истории экономических исследований стала разработка Г.А.Фельдманом (1884-1958гг.) математических моделей экономического роста, основанных на схемах расширенного воспроизводства К.Маркса. Основная модель роста Г.А.Фельдмана выражала взаимосвязи темпов роста национального дохода, изменения фондоотдачи и производительности труда, структуры использования национального дохода.

Другое направление экономико-математических исследований 20-х годов ХХ века было представлено многочисленными работами по анализу хозяйственной конъюнктуры, анализу временных рядов и сезонных колебаний, краткосрочным экономическим прогнозам на основе математико-статистических моделей.

Позднее, в 1938-1939 гг. Л.В.Канторович сформулировал новый класс условно-экстремальных задач и предложил методы их решения – позже эта область прикладной математики получила название «линейное программирование».

Л.В.Канторович (1912-1986гг.) не только является автором линейного программирования, он также разработал порядок его использования для решения практических задач управления. Л.В.Канторович доказал, что большинство задач оперативного планирования промышленного предприятия могут быть сведены к задачам линейного программирования; при помощи совокупности математических преобразований можно найти оптимальный вариант, который при наименьших затратах ресурсов обеспечит наибольший результат. В 1975 г. Л.В.Канторович стал лауреатом Нобелевской премии.

Выдающуюся роль в создании отечественной экономико-математической школы сыграл В.С.Немчинов (1894-1964). В 60-е годы ХХ века были разработаны важные теоретические положения: проблемы народно-хозяйственного оптимума, соизмерения затрат и результатов, закономерностей расширенного воспроизводства, структурного анализа экономической системы.

Моделирование экономических систем осуществлялось в различных областях: народно-хозяйственного моделирования, моделирования отраслей производства и территориальных систем, а также моделирования планирования и управления на предприятиях.

В настоящее время экономико-математическое моделирование является одним из приоритетных направлений развития экономического анализа на базе использования новейших достижений математических методов и вычислительной техники.

 

Вопросы по теме.

1. Назовите автора первой экономико-математической модели.

2. Назовите имена наиболее видных зарубежных ученых-экономистов, внесших весомый вклад в развитие экономико-математического моделирования.

3. Назовите имена наиболее видных отечественных ученых-экономистов, внесших весомый вклад в развитие экономико-математического моделирования.

4. Назовите российских экономистов, работавших в области экономико-математического моделирования, ставших лауреатами нобелевской премии.

 

Раздел II Экономико-математические модели планирования и анализа производственно-хозяйственной деятельности предприятия.

В современных условиях выбор оптимальных вариантов планирования и управления производством представляет серьезную проблему. В рыночных условиях проявляется жесткая конкуренция товаропроизводителей внутри страны, а также усиливаются потоки товаров, услуг и капиталов из зарубежных стран. Поэтому нельзя принять обоснованные решения без переработки большого количества информации, характеризующей эффективность использования трудовых, материальных и денежных ресурсов. Такая задача может быть решена только с использованием ЭВМ и соответствующих экономико-математических моделей и методов. На уровне промышленных предприятий накоплен немалый опыт решения экономических задач, результаты которых успешно используются в целях планирования и управления. К ним относятся модели формирования производственной программы предприятия, оптимального использования производственных мощностей, оптимизации технологической подготовки производства (модели раскроя промышленных материалов, составления смесей) и др. В настоящее время мощности современных доступных ЭВМ и стандартное программное обеспечение позволяют реализовать эти модели на любом предприятии, фирме.

2.1 Экономико-математические модели составления производственной программы предприятия.

Рассмотрим методологические и методические вопросы составления портфеля заказов предприятия в применении к простым по экономическому содержанию моделям и методам.

2.1.1Пример составления экономико-математической модели задачи формирования производственной программы предприятия.

Постановка задачи: цех выпускает три вида изделий, производственные возможности цеха характеризуются следующими данными:

- суточный фонд времени работы оборудования ­ 780 часов;

- суточный расход сырья 850 тонн;

- суточный расход электроэнергии 790 квт-час.

Нормы затрат производственных ресурсов на единицу различных изделий приведены в таблице 2.1:

Таблица 2.1

Ресурс	Ед. изм.	Изделия, расход ресурса на производство одного изделия	Суточный лимит (запас ресурса)
X1	X2	X3
Оборудование	часы
Сырье	тонны
Электроэнергия	квт-час
Оптовая цена	тыс.руб

 

Составить план производства, обеспечивающий максимальный объем выпуска продукции в стоимостном выражении.

Запись условия задачи в виде представленной таблицы 2.1 с объяснением данных является экономической моделью задачи.

Математическая модель задачи может быть представлена в следующем виде:

Пусть х1, х2 и х3 – искомые объемы выпуска 1-го, 2-го и 3-его видов изделий.

Требуется найти неотрицательные значения переменных х1, х2 и х3, обеспечивающих максимальный по стоимости выпуск продукции.

 

 

 

 

Совокупность выражений (2.1)÷(2.7) представляет собой математическую модель задачи.

Математическая модель задачи выражений состоит из критерия оптимальности (2.1) и системы ограничений (2.2)÷(2.7). В последней можно выделить ограничение неотрицательности (2.5)÷(2.7), показывающее, какие значения могут принимать переменные., а также основные ограничения (2.2)÷(2.4), указывающие, какие преобразования можно проводить с переменными. Система ограничений определяет множество допустимых значений переменных, из которых с помощью критерия оптимальности и отыскиваются наилучшие (по данному критерию) значения.

Запишем экономико-математическую модель рассмотренной задачи в общем виде, т.е. в символах.

Введем обозначения:

­ индекс ресурсов ( = 1, 2, …., );

­ индекс изделия ( = 1, 2, …., );

­ наличный объем -го ресурса;

­ норма затрат -го ресурса на производство единицы -го

изделия;

­ оптовая цена единицы изделия -го вида;

­ искомый объем производства -го изделия.

В данных обозначениях задача запишется следующим образом.

Найти значения переменных , максимизирующие целевую функцию вида

 

при выполнении ограничений на использование ресурсов:

 

и неотрицательности переменных:

 

Выражение (2.8) максимизирует совокупный эффект от всего объема выпущенных изделий всех видов. Выражение (2.9) означает, что для любого из ресурсов его суммарный расход на производство изделий всех видов не превосходит всего имеющегося объема (выделенного лимита). Левая часть выражения показывает используемый в оптимальном плане обьем i-го ресурса, а правая часть ­ имеющийся обьем этого же ресурса. Выражение (2.10) означает неотрицательность выпусков изделий.

Особенность экономико-математической модели (2.8)÷(2.10) состоит в том, что она справедлива для любого количества видов продукции и ресурсов, для самых разнообразных численных значений лимитов ресурсов и норм затрат ресурсов. Коэффициенты при неизвестных в целевой функции означают эффективность от выпуска единицы продукции (прибыль, цена).

Таким образом, экономико-математическая модель (2.8)÷(2.10) соответствует любой экономической задаче по отысканию максимума эффекта от выпуска продукции при ограничениях на количество используемых ресурсов (при условии линейной зависимости эффекта и использования ресурсов от объема выпуска).

Задача формирования производственной программы может быть поставлена и на минимум целевой функции. Например, необходимо

отобрать в план такие изделия, чтобы суммарные затраты на изготовление продукции были минимальными. Если принять, что ─ затраты на производство одной единицы j-го вида продукции, то простую модель с критерием оптимальности ­ минимум затрат на весь объем выпуска можно представить так:

(2.11)

(2.12)

(2.13)

Для модели такого вида существует простое оптимальное решение ­ все неизвестные равны нулю. Действительно, при все ограничения выполняются, т.е. решение допустимо и дает наименьшее значение критерия оптимальности, т.е. затраты равны нулю. Такое правильное математическое решение приводит к абсурдному с экономической точки зрения выводу: ничего не производить и все ресурсы останутся неиспользованными.

В этой упрощенной модели не учтена цель производства ­ получение результата в виде конечной продукции, а в процессе производства необходимо сопоставление затрат и результатов. Очевидно, необходимо ввести дополнительное ограничение, которое позволило бы не сводить к нулю затраты. В данном случае задача должна быть поставлена следующим образом: минимизация затрат при фиксированном уровне результата.

Рассмотрим экономико-математическую модель задачи на минимум затрат при фиксированных планах производства.

(2.14)

(2.15)

(2.16)

Но любой сверхплановый выпуск увеличит значение критерия оптимальности. Ясно, что наименьший уровень затрат возможен лишь при строгом выполнении плановых заданий, т.е. при , а значит данная модель теряет смысл, т.к. оптимальный план известен ­ он определяется набором .

Ограничить минимум затрат снизу можно при другой постановке задачи. Пусть цена на продукцию -го вида, а ­ план по валовой продукции, т.е. запланированный уровень валового дохода от выпуска продукции. Тогда модель на минимум затрат запишется так:

(2.17)

(2.18)

(2.19)

(2.20)

Постановка задачи на минимум затрат имеет смысл и в том случае, если существует несколько способов производства одноименной продукции. Например, изделия проходят обработку на токарных станках, но рабочими разной квалификации, или с использованием разных технологических способов (приспособлений). В модели

(2.21)

(2.22)

(2.23)

(2.24)

плановое задание по выпуску продукции осуществляется подбором разных величин , для которых отбираются те рабочие или организационно-технологические приемы (обозначенные как s), которые обеспечивают минимум затрат.

2.1.2 Экономическая интерпретация результатов решения задачи формирования портфеля заказов

Для решения задач линейного программирования существует универсальный метод – симплекс-метод, который может быть, в частности, реализован в EXCEL с помощью надстройки «Поиск решения». Важное значение имеет не только решение с целью получения вычисленных значений переменных, но и анализ полученных результатов и устойчивость найденного решения к возможным изменениям внутренних и внешних условий. Рассмотрим интерпретацию результатов реализации в ЕXCEL задачи формирования производственной программы на примере модели (2.8)÷(2.10).

Основные результаты решения задачи содержатся в двух отчетах: отчете по результатам и отчете по устойчивости (оба отчета представлены на рис. 2.1).

В отчет по результатам, состоящий из трех небольших таблиц, включаются конечные значения целевой функции и переменных, дополнительные сведения об ограничениях.

В отчете по устойчивости (состоит из двух маленьких таблиц) содержатся сведения о чувствительности полученного решения к малым изменениям коэффициентов целевой функции или в формулах ограничений.

Выводы по отчету по результатам. Оптимальным планом предусматривается выпуск только двух видов изделий: 1-го и 3-го вида в количестве 200 и 95 единиц соответственно.

 

 

Рис. 2.1 Содержимое отчетов, созданных по результатам решения задачи в EXCEL.

При таком плане общая стоимость выпущенной продукции будет максимальной и составит 2170 тыс.руб. При этом фактическое использование ресурсов составит: по оборудованию – 780 часов, по сырью – 675 тонн, а по электроэнергии –790 квт-часов, т.е. ресурсы оборудования и электроэнергии используются полностью, а сырье недоиспользуется в объеме 175 тонн.

Выводы по отчету по устойчивости. Табличка «Изменяемые ячейки» содержит помимо результата решения задачи (колонка «Результирующее значение») нормированную стоимость единицы каждого вида изделия. Нормированная стоимость показывает, на какую величину изменится значение критерия оптимальности при увеличении объема выпуска данной продукции на одну единицу. Поскольку критерий (целевая функция) в данной задаче на максимум - то отрицательное значение теневой цены характеризует невыгодность продукции; если же теневая цена положительна ­ то соответствующая продукция выгодна. Невыгодной к выпуску является 2-ой вид изделия, выпуск каждой единицы 2-го изделия приведет к снижению значения целевой функции на 3,75 тыс.руб., поэтому выпуск этого вида изделия оптимальным планом не предусмотрен.

Три последних колонки содержат значение коэффициентов целевой функции (оптовая цена единицы каждого вида продукции) и предельные значения приращения целевых коэффициентов, при которых сохраняется найденное оптимальное решение. Например, допустимое увеличение цены на изделие 2-говида равно 3,75 тыс. руб/единицу, а допустимое уменьшение ­ практически неограниченно. Это означает, что если цена изделия второго вида вырастет более чем на 3,75 тыс. руб./единицу, то оптимальное решение изменится: станет целесообразным выпускать второй вид изделия. А если цена этого изделия будет снижаться вплоть до нуля, то оптимальное решение (200, 0, 95) останется прежним.

Во второй части отчета по устойчивости содержится информация, относящаяся к ограничениям. В колонке «Результирующее значение» повторяется объемы использованных ресурсов. В следующей колонке приводится значение теневой цены (двойственной оценки) каждого из ресурсов. Теневая цена показывает ценность дополнительной единицы ресурса и показывает, на сколько изменится значение критерия оптимальности при увеличении количества данного ресурса на одну единицу. Чем больше значение теневой цены, тем более дефицитен ресурс, тем больше возрастает критерий оптимальности при увеличении этого ресурса на одну единицу. Теневая цена рассчитывается только для дефицитных видов ресурсов. Дефицитные ресурсы используются в оптимальном плане полностью. В нашей задаче ресурсы оборудование и электроэнергия имеют отличные от нуля теневые цены 0,25 и 2,5 ­ эти ресурсы используются полностью и поэтому являются дефицитными. Ограниченное количество оборудования и электроэнергии является сдерживающим фактором при оптимизации производственной программы: увеличение этих видов ресурсов привело бы к более хорошему варианту оптимального плана – за счет производства большего объема продукции и суммарная стоимость была бы больше.

Сырье полностью не используется в оптимальном плане, этот ресурс не является дефицитным и его увеличение не влияет на план выпуска продукции, поэтому его теневая цена равна нулю. Недефицитность ресурса возникает из-за невозможности его полного использования в полученном оптимальном плане. Суммарный расход сырья в количестве 675 тонн меньше его общего количества 850 тонн, поэтому план производства этим видом ресурса не лимитируется, Рассчитаем коэффициент использования сырья путем деления фактически используемого в оптимальном плане сырья на объем сырья, имеющегося в наличии: К=675/850=79,4%.

Необходимо отметить, что теневые цены ресурсов нельзя отождествлять с действительными ценами при закупке ресурсов. Теневая цена ресурса характеризует ценность ресурса относительно полученного оптимального решения.

Значения трех последних колонок (значение правой части ограничения, допустимое увеличение и допустимое уменьшение правой части) определяют диапазон изменения запасов ресурсов, в пределах которого можно рассчитать другие оптимальные решения, но сама структура оптимального плана не меняется (изделия, которые были убыточны, по-прежнему не будут входить в новые планы), а значения двойственных оценок ресурсов сохраняются.

По дефицитному ресурсу, который используется полностью, можно определить – на сколько нужно увеличить его объем для получения другого оптимального решения, которое было бы более хорошим по сравнению с рассматриваемым, т.е. обеспечило бы получение большей прибыли.

Например, в рассматриваемом примере дефицитным ресурсом является электроэнергия, в оптимальном плане этот ресурс используется полностью – все 790 квт-час. При увеличении лимита электроэнергии на 100 квт-час может быть получено более хорошее оптимальное решение, поскольку можно будет произвести больше продукции и увеличить общую стоимость произведенной продукции.

Однако, если получить дополнительно 400 квт-час электроэнергии, то электроэнергия в количестве 400-380=20 квт-час останется неиспользованной.

Если же ресурс является недефицитным и используется в оптимальном плане не полностью, то по данному ресурсу допустимое увеличение не определяется, а допустимое уменьшение определяется как разность между имеющимся объемом ресурса и фактически используемым его объемом.

Результаты решения моделей оптимизации производственной программы могут быть использованы для решения конкретных практических задач. Например, определить, какие виды продукции нерентабельны или какому ресурсу следует отдать предпочтение при решении задачи предельного увеличения запаса ресурсов.

Для того, чтобы изделие вошло в оптимальный план, его цена должна быть равна суммарной стоимости ресурсов, которые затрачены на производство единицы изделия, рассчитанной по двойственной оценке ресурсов. Такие изделия эффективны, выгодны с точки зрения принятого критерия оптимальности (в нашей задаче это изделия первого и и третьего видов). Если стоимость ресурсов, затраченных на производство одного изделия, больше его цены, то это изделие не войдет в оптимальный план из-за его убыточности.

Так, для производства единицы второго изделия используется 3 ед. ресурса оборудования, 4 ед. ресурса сырье и 4 ед. ресурса электроэнергия. Отвлечение 1 ед. дефицитного ресурса ведет к уменьшению критерия оптимальности на величину двойственной оценки.

Тогда производство единицы второго вида продукции ведет в целом к снижению критерия оптимальности на 3 ´0,25 + 4´0+ 4´2,5=10,75. Это больше, чем цена на единицу второго изделия на (10,75-7)=3,75. Таким образом, производство второго изделия нерентабельно, т.к. затраты ресурсов на него больше цены на 3,75 ед. Эта величина приведена в колонке «нормируемая стоимость» стандартной распечатки по результатам решения. При принудительном выпуске единицы нерентабельной продукции второго вида критерий оптимальности снизится на величину нормируемой стоимости – т.е. на 3,75 тыс.руб.

Сравним суммарную стоимостную оценку ресурсов, используемых при производстве единицы первого и третьего изделий, с их ценой.

По первому изделию: 2 ´0,25 + 1´0+ 3´2,5 =8= (8 тыс руб. цена первого изделия);

По третьему изделию: 4 ´0,25 + 5´0+2´2,5 =6=(6 тыс.руб. цена третьего изделия).

Таким образом, суммарная стоимостная оценка ресурсов, используемых при производстве единицы каждого из изделий первого и третьего вида, равна их цене, это рентабельные виды продукции, поэтому они включены в оптимальный план.

Перейдем к ответу на вопрос, какому ресурсу следует отдать предпочтение при решении задачи предельного увеличения запаса ресурсов.

При решении задачи предельного увеличения запаса ресурсов с целью максимизации выпуска продукции предпочтение следует отдать ресурсу, увеличение которого обеспечивает максимальный рост значения критерия оптимальности. Так, увеличение дефицитного ресурса электроэнергия на 1 квт-ч. приводит к росту критерия оптимальности на 2,5 тыс. руб.. Максимально (предельно) электроэнергию можно увеличить на 380 квт-ч., что приведет к росту критерия оптимальности на 2,5х380=950 тыс.руб. По оборудованию – 0,25х107,69=26,92 тыс. руб. Следовательно, руководству цеха выгодно добиться увеличения лимита на электроэнергию на 380 квт-ч.

2.1.3 Возможные критерии оптимальности и виды ограничений.

Важнейшей частью построения оптимизационной модели формирования портфеля заказов предприятием или фирмой являются обоснование и выбор в качестве критерия оптимальности того или иного экономического показателя, подлежащего оптимизации. Чаще всего в качестве критериев оптимальности в таких моделях используются следующие показатели:

· прибыль;

· объем реализации;

· объем добавленной стоимости;

· трудоемкость изготовления продукции;

· объем товарной продукции.

Каждый из приведенных выше показателей обладает определенными, свойственными только ему преимуществами и недостатками. До настоящего времени среди экономистов дискуссируется вопрос о согласовании показателей оценки эффективности функционирования предприятия с целью выработки единого критерия, объективно отражающего уровень эффективности производства. Большинство экономистов в настоящее время считают, что для оценки эффективности функционирования предприятия необходимо использовать систему показателей, с разных сторон характеризующих его деятельность. Соответствующие экономико-математические модели приобретают в этом случае многоцелевой характер. Существуют специальные методы решения многоцелевых задач, например, выбор одного локального критерия оптимальности и перевод всех других критериев в ограничения.

Рассмотрим основные показатели, используемые в качестве критериев оптимальности.

Максимум выпуска продукции в натуральных единицах: если на предприятии возможно соизмерение различных видов продукции через натуральные показатели ­ штуки, тонны, метры, тонны условного топлива и др. (как правило, это предприятия химической отрасли, металлургии, топливной промышленности, пищевой отрасли), то целевая функция может принять следующий вид:

(2.25)

 

Чаще всего в качестве критериального показателя используются различного рода стоимостные величины.

Максимум прибыли. При такой постановке задачи в качестве исходных параметров дана прибыль от реализации единицы продукции .

Формализованная запись целевой функции представлена в виде уравнения 2.26

(2.26)

Но возможна и другая запись целевой функции:

(2.27)

где:

­ оптовая цена одного изделия j-го вида;

­ себестоимость изготовления одного изделия j-го вида.

Максимум выпуска товарной продукции в стоимостном выражении:

(2.28)

Максимум производительности труда:

(2.29)

где:

S ­ среднегодовая списочная численность промышленно-производственного персонала.

Более точно критерию максимума производительности труда соответствует целевая функция вида:

(2.30)

где:

t ­ годовой фонд времени одного рабочего,

dj ­ трудоемкость изготовления одного изделия j-го вида,

r ­ процент перевыполнения норм.

Система ограничений экономико-математической модели задачи определения производственного плана предприятия должна учитывать ограниченность производственных ресурсов и специфические условия работы предприятия, а также народно-хозяйственные потребности в его продукции. Основными видами ограничений являются:

· ограничения по затратам материалов, топлива, энергии и т.д.;

· ограничения по ресурсам основных фондов (прежде всего, технологического оборудования и производственных площадей), в частности, загрузка оборудования должна соответствовать его пропускной способности;

· ограничения по затратам труда с учетом профессионального состава работников;

· ограничения по финансовым активам;

· ограничения, характеризующие спрос на продукцию (объемные ограничения);

· критериальные ограничения (или ограничения по технико-экономическим показателям).

Ресурсные ограничения: расход ресурсов не должен превышать их установленных фондов, формализованная запись такого ограничения приведена в (2.9).

· Ограничения по оборудованию – отражают максимальное количество часов работы по группам оборудования и могут быть выражены в следующей форме:

( ) (2.31)

где - нормы затрат времени работы h-той группы оборудования по производству единицы j- того вида продукции,

- эффективный фонд времени работы h-той группы оборудования,

- объем производства j – той продукции (в натуральном выражении).

В случае, если задана производительность h - той группы оборудования по выпуску единицы j - той продукции ( ), то ограничение будет выглядеть следующим образом:

( = ) . (2.32)

Важность объемных ограничений определяется необходимостью учета при формировании производственной программы спроса на производимую предприятием продукцию.

Форма записи может быть: , (2.33)

где – нижний (верхний) пределы спроса на j-ый вид продукции.

Если спрос задается по укрупненной номенклатуре, а промышленное предприятие определяет для себя объемные параметры выпуска по более детализированной номенклатуре, то ограничение по спросу принимает следующий вид:

, (2.34)

где ­ индекс группы изделий;

­ количество групп изделий;

­ минимальное (максимальное) суммарное количество изделий в -ой группе;

­ индекс последнего изделия в группе .

И, наконец, ограничения по технико-экономическим показателям в моделях формирования производственной программы – это ограничения по показателям, которые задаются промышленным предприятием самостоятельно и определены в его планах. В качестве ограничений по технико-экономическим показателям выделяют следующие ограничения:

1) Ограничения по объему продаж: (2.35)

где - задаваемый нижний уровень объема продаж.

2) Ограничение по прибыли: (2.36)

где – задаваемый нижний уровень прибыли.

3) Ограничение по себестоимости: (2.37)

где - себестоимость единицы j – той продукции,

– задаваемый верхний уровень себестоимости.

4) Ограничения по капитальным вложениям: (2.38)

-цена единицы h-того вида оборудования,

- количество единиц приобретаемого h-того вида оборудования,

- общий объем капитальных вложений.

Приведенная система ограничений достаточно полная, дополнительные ограничения могут определяться в связи со спецификой предприятия.

 

Вопросы по теме

1. Виды представления оптимизационных моделей экономических задач.

2. В чем состоит преимущество экономико-математической модели перед другими моделями.

3. Как определяется устойчивость найденного оптимизационного плана к изменению объема ресурсов, к изменению коэффициентов целевой функции.

4. Возможные виды и представление критериев оптимальности.

5. Возможные виды и представление ограничений в оптимизационной модели.

2.2 Модели оптимизации использования производственной мощности предприятия.

Важнейшей задачей при формировании производственной программы является её обоснование размерами производственных мощностей. При этом производственная мощность предприятия характеризует его максимальные возможности по выпуску основной (профильной) продукции. В процессе экономико-математического моделирования величина производственной мощности определяется фондом времени работы ведущего оборудования.

Производственная программа и использование производственных мощностей тесно взаимосвязаны: с одной стороны, возможность увеличения выпуска продукции определяется мощностью установленного оборудования и степенью его использования; с другой стороны – коэффициенты использования производственных мощностей зависят от объема и ассортимента производимой продукции.

В целом задачи наилучшего использования производственных мощностей рассматриваются по двум вариантам – как задачи загрузки невзаимозаменяемых групп оборудования и задачи загрузки взаимозаменяемых групп оборудования.

При этом взаимозаменяемость различных групп оборудования рассматривается по отношению к выполнению технологических операций. Соответственно, под взаимозаменяемыми понимаются такие группы оборудования, путем использования которых возможно выполнение одинаковых деталеопераций, но с различной производительностью и, соответственно, затратами. Например, взаимозаменяемыми являются такие группы токарных станков, как станки – полуавтоматы, автоматы, станки полностью оснащенные универсальными инструментами и приспособлениями – потому что все они могут выполнять токарные операции, но с разной производительностью.

Оборудование нескольких качественно различных групп (токарных, шлифовальных, сварочных) невзаимозаменяемо в силу ряда причин: особенностей самой технологии обработки, ни один его вид не может заменить другой в случае, когда полезный фонд времени последнего исчерпан.

2.2.1 Модели оптимизации загрузки невзаимозаменяемого оборудования.

В задачах загрузки невзаимозаменяемого оборудования возможно использование различных критериев оптимизации, в том числе и рассмотренных ранее. В этом случае задача оптимизации загрузки оборудования сводится к подбору оптимальной производственной программы, позволяющей наилучшим образом использовать имеющиеся производственные мощности. Отличие модели оптимальной загрузки невзаимозаменяемого оборудования от более общей задачи оптимального использования ресурсов (2.8)÷(2.10) заключается в экономическом истолковании лимитов ресурсов и норм затрат ресурсов .

Введем для моделей загрузки оборудования следующие обозначения:

­ индекс вида оборудовании,

­ норма затрат станочного времени работы -ого оборудования на производство единицы -ой продукции,

­ полезный (эффективный фонд) времени оборудования вида .

Основной вид модели подбора программы под имеющиеся мощности может быть следующим:

(2.39)

(2.40)

(2.41)

где - прибыль от единицы j – той продукции,

- нормы затрат времени h- той группы оборудования на единицу j- той продукции,

- эффективный фонд времени работы h- той группы оборудования.

Требуется определить объем выпуска j - той продукции ( ) с целью получения максимального объема прибыли в пределах имеющихся мощностей. Здесь мы имеем частное проявление общей задачи на максимум результата при использовании ограниченного количества ресурсов.

В задаче загрузки оборудования может быть использован критерий максимума загрузки оборудования. Использование критерия на максимум загрузки может быть оправдано, ибо возможный выбор более станкоемкой продукции означает выбор более сложной в изготовлении (следовательно, и более дорогой, как правило, по цене или более прибыльной) продукции. Если нам неизвестны потребительские качества продукции, ее прибыль, себестоимость или мы можем ими пренебречь (например, значения этих показателей достаточно близки для разных видов продукции), то результатом производства может служить выпуск продукции вообще. Оптимизировать результаты производства в этом случае возможно, например, через затраты станочного времени. В этом случае целевая функция может быть представлена так:

(2.42)

Как правило, для одной и той же экономической задачи может быть представлено несколько моделей. В частности задача максимума загрузки оборудования может быть поставлена иначе. Вспомним, что для решения задачи методом линейного программирования система ограничений (неравенства) представляются в виде уравнений добавлением в левую часть неравенств новых переменных ­ дополнительных неизвестных , экономический смысл которых в нашей задаче ­ неиспользованный остаток фонда времени работы -ого оборудования. Так как все дополнительные неизвестные так же будут измеряться в станко-часах, то их сумма означает совокупный неиспользуемый остаток фонда времени работы оборудования всех видов. В этом случае модель на максимум загрузки оборудования можно записать следующим образом:

(2.43)

(2.44)

(2.45)

(2.46)

Если заданы плановые задания по выпуску продукции вида

, (2.47)

то можно решить задачу по отысканию значений сверхпланового выпуска продукции , максимизирующих загрузку свободных остатков станочного времени. Обозначим свободные остатки фондов работы оборудования после обязательного выполнения плана

(2.48)

Модель задачи поиска сверхплановой продукции по критерию максимума загрузки оборудования примет вид

(2.53)

(2.54)

(2.55)

(2.56)

После решения задачи значения исходных переменных могут быть получены простым суммированием: .

Введение в модель ограничений по производственной программе, как и в задаче на максимум прибыли, целесообразно лишь при существовании нескольких способов производства одноименной продукции. Тогда оптимизация становится возможной за счет выбора наилучших способов производства каждой продукции в рамках заданных фиксированных планов их выпуска:

(2.53)

(2.54)

(2.55)

(2.56)

(2.57)

2.2.2 Модели загрузки взаимозаменяемых групп оборудования.

Модели загрузки взаимозаменяемых групп оборудования в процессе оптимизации использования производственных мощностей применяются при решения задачи оптимального распределения работ по группам взаимозаменяемого оборудования для выполнения заданной производственной программы по тому или иному критерию оптимальности.

Разработку модели загрузки взаимозаменяемого оборудования рассмотрим на следующем примере.

Пример 2.1. Найти оптимальный план распределения шести заказов между четырьмя взаимозаменяемыми станками с целью достижения максимума прибыли.

Исходные данные задачи представлены в таблице 2.2.

 

Таблица 2.2

 

№ заказа	Кол. Изделий (план)	Производительность по станкам (шт/час)	Себестоимость (тыс.руб/шт)	Цена (тыс.руб/шт.)
I	II	III	IV	I	II	III	IV
А						2,5	2,0	4,0	3,0	5,1
Б						1,2	1,0	1,7	1,5	2,0
В						0,65	0,6	0,7	1,8	1,5
Г					-	4,0	3,0	3,5	-	6,8
Д						3,0	2,5	3,2	3,4	4,0
Е		-		-	-	-	1,8	-	-	3,0

 

Полезный фонд времени работы станков составляет соответственно по станкам (в часах): 40,40, 80, 60.

Введем обозначения:

- объем выпуска -ой продукции на -ой разновидности оборудования,

C_hj- затраты в стоимостном выражении на производство - ой продукции на - той разновидности оборудования,

─ цена единицы - той продукции.

Экономико-математическая модель задачи распределения выполнения работ по станкам, обеспечив при этом максимум прибыли:

(2.58)

( ) (2.59)

( ) (2.60)

. (2.61)

Указанные задачи могут быть решены и на другие критерии оптимальности.

Отметим, что характерной особенностью задач оптимального распределения работ по группам взаимозаменяемого оборудования для выполнения заданной производственной программы является наличие ограничения по выпуску продукции. Указанное ограничение в задачах формирования оптимальной производственной программы, т.е. в моделях загрузки невзаимозаменяемого оборудования, может быть задано, однако не является обязательным.

 

Вопросы по теме

1. Понятие взаимозаменяемого и невзаимозаменяемого оборудования.

2. Как соотносятся модели загрузки невзаимозаменяемого оборудования и общая модель оптимизации производственной программы при ограниченных ресурсах.

3. В каких моделях загрузки оборудования обязательно наличие ограничения по выпуску продукции.

4. В модели (2.56)÷(2.59) чем является величина (экономический смысл).

5. В каких моделях может быть поставлена целевая функция на максимум загрузки оборудования.

6. Пусть в задаче п. 2.1.1 дополнительно в качестве исходных данных задан суточный план выпуска по видам продукции. Как изменится экономико-математическая модель задачи.

7. К задаче п. 2.2.1 составить модель максимизации сверхпланового выпуска продукции (по стоимости).

2.3 Оптимизационные модели экономии материальных ресурсов предприятия

Важнейшей частью производственного процесса на предприятии является технологическая подготовка производства (ТПП). Содержание ТПП определяется отраслевыми особенностями предприятия. На предприятиях машиностроения в подготовительных цехах, участках осуществляется подготовка заготовок из исходного материала – нарезкой, штамповкой и др., в прядильном производстве ТПП заключается в смешивании волокон для дальнейшего изготовления пряжи, в сталелитейных предприятиях ТПП ­ это составление шихты как смеси шихтовых материалов. Во всех этих случаях стоит задача оптимизации ТПП с целью экономии материальных ресурсов при получении заданного вида заготовок или смеси с заранее определенными свойствами при минимальных затратах. К этому же типу задач мы отнесли транспортную задачу, при решении которой оптимизируется доставка груза от многочисленных поставщиков многочисленным потребителям с целью минимизации суммарных затрат на перевозки.

2.3.1 Модели оптимизации состава промышленных смесей.

В ряде производств (металлургической, пищевой, нефтеперерабатывающей отраслях промышленности) готовая продукция получается путем смешивания различных исходных компонентов (сырья), при этом качество готовой продукции должно соответствовать определенным требованиям при достижении максимального экономического эффекта.

Проблема рационального использования сырья в этих случаях может быть решена путем применения экономико-математических моделей оптимального составления смесей.

Как правило, исходные компоненты смеси взаимозаменяемы по содержанию качественных характеристик. При этом важно обеспечить соответствие готовой продукции по указанным качественным характеристикам необходимым требованиям, которые определяются стандартами и сертификатами.

Модель задачи позволяет найти такой набор компонентов смесей и их количественное соотношение, которое удовлетворяет заданным технологическим требованиям по качеству, а также требованиям принятого критерия (минимальной себестоимости или максимальной прибыли).

Задача смешивания может быть рассмотрена в натуральных единицах или в долях.

Рассмотрим задачу определения количества сырья, необходимого для получения смеси заданного объема.

На предприятии изготавливается бензин А-76, в котором содержание серы не более 0,3%, а октановое число должно быть не ниже 76.

Данные об используемых компонентах (видах сырья ─ нефтепродуктах) приведены в таблице 2.3. Требуется определить, сколько тонн каждого компонента нужно взять для получения 1000 т бензина А-76, чтобы при этом себестоимость бензина была минимальной.

 

Таблица 2.3

Показатель	Компоненты автомобильного бензина (нефтепродукты)
Октановое число
Содержание серы, %	0,35	0,35	0,3	0,2
Ресурсы, т
Себестоимость (ден.ед.)

Пусть ─ оптимальные количества соответствующих компонентов, входящих в состав готовой смеси.

Математическая модель задачи представлена в (2.62)÷(2.67):

целевая функция:

(2.62)

ограничение по октановому числу:

; (2.63)

ограничение по содержанию серы:

; (2.64)

ограничение по объему готовой продукции:

; (2.65)

ограничение по имеющимся ресурсам:

(2.66)

условие неотрицательности переменных:

(2.67)

В общем виде задача формализуется следующим образом:

– индекс качественной характеристики; имеет отношение к исходным видам сырья, материалов и к готовой продукции ( );

- индекс исходных компонентов смеси ( );

─ имеющийся объем -ой компоненты (сырья);

- содержание -той качественной характеристики в единице -го исходного компонента;

- содержание -той качественной характеристики в единице готовой смеси; для качественных характеристик, ухудшающих качество продукции, задается верхняя граница содержания той или иной качественной характеристики, а для качественных характеристик, улучшающих качество продукции, задается нижняя граница содержания той или иной качественной характеристики;

─ имеющийся ресурс -ой компоненты;

- цена единицы - ой исходной компоненты (включая расходы на переработку);

- количество - ой исходной компоненты, которое входит в готовую смесь.

─ общее количество готовой продукции, которое следует изготовить по плану.

Формализованная модель задачи оптимизации состава требуемого объема смеси представлена в (2.68) ÷ (2.72)

Целевая функция:

(2.68)

ограничения, ухудшающие качества:

(2.69)

ограничения, улучшающие качества:

(2.70)

ограничение по плану производства продукции:

(2.71)

ограничение по ресурсам:

(2.72)

Вторая разновидность смесевых задач касается оптимизации структуры готовой продукции, безотносительно к объемам. Рассмотрим пример такой задачи.

Пример 2.2. Пусть требуется изготовить некоторую единицу объема сплава, содержащего не менее 4% никеля, не более 75% железа и 20% прочих веществ. Известна стоимость различных видов сырья и процентное содержание в них соответствующих элементов (табл. 2.4)

Таблица 2.4

Вещество	Содержание элементов для каждого вида сырья, %
Железо
Никель
Прочие
Стоимость единицы сырья (ден.ед.)

Определить оптимальную структуру сплава, при которой стоимость единицы сплава будет минимальной.

Математическая модель задачи:

(2.73)

; (2.74)

; (2.75)

(2.76)

; (2.77)

(2.78)

Экономико-математическая модель этой задачи будет включать выражения:

целевая функция:

(2.79)

ограничения на качество смеси:

(2.80)

(2.81)

ограничение по формированию структуры смеси:

. (2.82)

неотрицательность переменных:

. (2.83)

В данной задаче минимизируется стоимость единицы (кг, т и т.д.) смеси. Очевидно, что при любых объемах переработки сырья и выпуска готовой продукции, оптимальному плану будет соответствовать одна и та же структура смеси, т.е. соотношение в ней отдельных составных частей ­ видов сырья.

Модели общего вида применяются при решении “задач о диете” – а именно задач составления оптимальных кормовых рационов, задач составления смесей минеральных удобрений, задач составления смесей нескольких химических веществ.

Более сложные модели задач смешивания составляются в тех случаях, когда в результате смешивания одних и тех же исходных компонентов могут быть получены различные виды готовой продукции. Тогда наряду с ограничениями по исходным компонентам задаются объемные ограничения по выпуску готовой продукции. Типичным примером таких моделей является модель смешивания нефтепродуктов. Рассмотрим пример постановки задачи смешивания нефтепродуктов.

Для получения готовых бензинов на установку поступают различные исходные компоненты (нефтепродукты). Оптимальный план позволяет определить, в каких количествах должны смешиваться различные исходные компоненты, чтобы различные сорта бензина (готовой продукции) выпускались в соответствии с планом и заданными по стандарту качественными характеристиками при обеспечении рентабельной работы установки.

Введем обозначения:

- индекс качественной характеристики, применяется по отношению к исходным нефтепродуктам и к сортам бензина;

- индекс исходного нефтепродукта;

k –индекс вида готового бензина, ;

- ограниченное количество j-го вида исходного нефтепродукта;

B_k – плановое задание по выпуску бензина k-го сорта,

h_ij – содержание i – той качественной характеристики в единице j – го исходного нефтепродукта;

H_ik – содержание i - той качественной характеристики в бензине k- го вида;

C_j – цена исходного j- го нефтепродукта;

– цена бензина k - го вида.

Требуется определить X_jk – количество j–го вида исходного нефтепродукта, направляемое на получение k- го вида бензина.

Модель задачи представлена в выражениях (2.84)÷(2.88):

(2.84)

по объему ресурсов: ( ), (2.85)

по выпуску продукции: ( ), (2.86)

по качественным характеристикам:

( ; ) (2.87)

( ; ). (2.88)

Все сформулированные смесевые задачи решаются методами линейного программирования.

2.3.2 Модели оптимизации раскроя промышленных материалов

В промышленном производстве в процессе подготовки производства часто различные исходные материалы подвергаются разрезке на заготовки меньших размеров. Материалы могут быть в виде прутков, труб, листов. Раскрой материалов (из металла, картона, бумаги, фанеры, древесины и т.п.) может производиться где угодно: в заготовительных участках цехов предприятий, мастерских и других производствах. В процессе раскроя неизбежны отходы из-за некратности размеров заготовки размерам исходного материала; по этой причине имеются значительные потери материалов в виде отходов.

Свести отходы к минимуму позволяет применение принципов линейного программирования в виде планирования "совместных раскроев".

Совместный раскрой предполагает, что заранее разрабатывается ряд возможных вариантов разрезки материала определенного размера на произвольные комбинации различных заготовок. Каждый такой вариант характеризуется различным составом заготовок, выкраиваемых из единицы материала, и разной величиной отходов. В этих вариантах не учтено условие комплектности. Для удовлетворения требования комплектности уровни возможного использования этих вариантов принимаются за переменные, а затем методами линейного программирования решается задача с учетом условия комплектности заготовок. Рассмотрим типовую задачу на оптимизацию раскроя.

Пример 2.3.Снабженческо-сбытовая фирма получает от поставщиков прутки стального проката длиной 600см. Согласно заявкам потребителей, требуются заготовки трех видов в следующих количествах: 150 тыс.шт. длиной 250см., 140 тыс.шт. длиной 190см. и 48 тыс.шт. длиной 100см. Сформулируем модель задачи оптимального раскроя с минимумом отходов. Наиболее трудоемкий этап в процессе построения модели рассматриваемой задачи заключается в определении всех возможных вариантов раскроя. В таблице 2.5 перечислены варианты раскроя одного прутка и размер отхода, полученного при раскрое одного прутка по каждому варианту (в см):

Таблица 2.5

Номер варианта раскроя (j)	Количество заготовок (aij)	Остаток (сj)
L4=250см.	L2 =190 см.	L3= 100 см.
		-		-
		-
	-		-
	-
	-
	-	-		-

 

Пусть x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, x₆, x₇ ­ количество прутков, раскраиваемых по каждому варианту. Ниже приведена математическая модель задачи в виде выражений (2.89)÷(2.93):

целевая функция на минимум отходов:

, (2.89)

ограничения по условиям комплектности

(2.90)

(2.91)

(2.92)

условие неотрицательности

х_i ³ 0; (2.93)

Для построения экономико-математической модели задачи примем следующие обозначения:

i – индекс вида заготовки ( );

j – индекс варианта раскроя ( );

A_i- требуемое количество заготовок i – го вида, необходимое для комплектности;

a_ij – количество заготовок i-го вида при раскрое единицы исходного материала по j-му варианту;

c_j –длина отхода при раскрое по j-му варианту.

Требуется определить x_j – количество прутков, раскраиваемых по j-му варианту. Формализованный вид экономико-математической модели представлен выражениями (2.94)÷(2.97):

целевая функция по критерию минимум отходов имеет вид:

, (2.94)

а по критерию минимума раскраиваемых единиц исходного материала

(2.95)

при условиях:

( ); (2.96)

. (2.97)

Получилась обычная задача линейного программирования, которую можно дополнить требованием целочисленности величины x_j . Во многих случаях, решения задач с обеими указанными целевыми функциями совпадают.

При определении возможных вариантов раскроя необходимо учитывать ряд условий: пусть L ─ длина раскраиваемого материала, а l_i ─ длина заготовки i-го вида, тогда признак полноценности варианта раскроя представлен соотношением (2.98):

(2.98)

а длина отхода для любого варианта раскроя должна быть меньше длины самой короткой заготовки:

(2.99)

Рассмотренная задача предусматривает раскрой длинномерных материалов (прутков, труб, профильного проката и др.). На практике приходится вести раскрой как рулонного, так и листового материала.

Для экономико-математической модели задачи раскроя рулонного материала изменится экономический смысл ряда обозначений:

a_ij ─ количество полос i-го размера, раскраиваемых из рулона по j-му

варианту раскроя;

c_j ─ размер краевого отхода при раскрое рулона по j-му варианту;

A_i ─ общее количество полос i-го размера, которое нужно получить при раскрое.

Решения задач оптимизации промышленных смесей и раскроя, представленных моделями (2.68÷ 2.72), (2.79÷2.83) и (2.94÷ 2.97) производится по программе алгоритма симплексного метода.

Вопросы по теме

1. Виды моделей оптимизации состава промышленных смесей.

2. Понятие плана совместного раскроя.

3. Как удовлетворяется требование комплектности раскраиваемых материалов.

4. Приведите выражения, отражающие условия.

5. Составьте модель задачи раскроя листового материала.

2.3.3 Транспортная задача

Одной из часто решаемых задач хозяйственного управления является задача по разработке рационального плана транспортных перевозок. Основная цель оптимизации организации перевозок ­ минимизация затрат на их выполнение. В экономико-математическом моделировании эта задача получила название транспортной задачи (или задачей оптимизации прикрепления потребителей к поставщикам). Транспортные задачи нашли широкое применение при решении оптимизационных моделей регионального и межотраслевого регулирования, оптимизации размеров и размещения производств, которые рассматриваются в Разделе 4.2.

2.3.3.1 Общая постановка транспортной задачи.

В общем виде формулировка транспортной задачи осуществляется следующим образом: требуется перевезти определенное количество однородного груза из пунктов отправления в пунктов назначения. Известны расходы на перевозку единицы груза из каждого пункта отправления в каждый пункт назначения.

Требуется составить такой план прикрепления потребителей к поставщикам, т.е. план перевозок, при котором весь груз от поставщиков вывозится, каждый потребитель получает требуемое количество груза, и вместе с тем, общая величина транспортных издержек минимальна.

Для составления экономико-математической модели задачи введем обозначения:

­число пунктов отправления;

­ число пунктов назначения;

­ общее количество груза в i-м пункте отправления;

­ общее количество груза, необходимое в j-м пункте назначения;

­ затраты на транспортировку единицы груза из i-го пункта

отправления в j-й пункт назначения;

­ совокупные затраты на перевозку всего груза;

­ исходно неизвестное количество груза, которое перевозится из

i-го пункта отправления в j-й пункт назначения.

Экономико-математическая модель задачи представлена формулами (2.100)÷(2.103):

(2.100)

(2.101)

(2.102)

(2.103)

Целевая функция (2.100) минимизирует совокупные затраты на транспортировку всех партий грузов из всех пунктов отправления во все пункты назначения. Система ограничений (2.101) говорит о том, что весь груз из каждого пункта его сосредоточения должен быть вывезен. Система ограничений (2.102) говорит о том, что потребность в грузе в каждом пункте назначения должна быть удовлетворена. Система ограничений (2.103) говорит о том, что по любому маршруту некоторое количество груза либо перевозится, либо нет.

Транспортная задача является задачей линейного программирования с (n + m) ограничениями ­ уравнениями и (n x m) неизвестными.

Транспортная задача, у которой суммарное наличие груза совпадает с суммарной потребностью, т.е. выполняется равенство (2.104)

(2.104)

называется закрытой (сбалансированной) транспортной задачей. Если условие (2.104) выполняется, то доказано, что транспортная задача имеет оптимальное допустимое решение. В случае если условие (2.104) не выполняется, то транспортная задача называется открытой. Решение транспортных задач с открытой моделью сводится к решению задач с закрытой моделью путем добавления фиктивного поставщика или фиктивного потребителя так, чтобы выполнялось условие (2.104). Транспортная задача относится к задачам распределительного типа и решается симплексным методом. Приведем прием решения транспортной задачи с помощью средства «Поиск решения» EXCEL.

Пример 2.4. Условия транспортной задачи представлены в таблице 2.6.

Таблица 2.6

Поставщики	Мощности поставщиков (ai)	Мощности потребителей (bj)

 

В примере однородный груз должен быть доставлен от четырех поставщиков (n=4) четырем потребителям (m=4). Мощности поставщиков ( ) и потребность в этом грузе в каждом пункте назначения ( ) приведены в таблице 2.6. В левых нижних углах каждой клетки рабочей таблицы, которые соответствуют всем возможным путям перевозки груза из всех пунктов отправления во все пункты назначения, указаны затраты на транспортировку единицы груза по данному маршруту ( ). Суммарные запасы груза (550) и потребности в грузе (550) совпадают, значит это закрытая транспортная задача. Требуется составить план перевозок, обеспечивающий минимальные затраты на транспортировку всего груза.

2.3.3.2 Подготовка к решению транспортной задачи в EXCEL.

Для решения задачи средством EXCEL «Поиск решения» необходимо разместить в рабочем листе исходные данные и подготовить поля для размещения условий и результатов решения задачи (выбор ячеек листа произвольный). Таким образом будет создана «Электронная модель транспортной задачи».

На рис. 2.2 приведен пример подготовки данных на рабочем листе EXCEL для решения этой задачи.

 

 

Рис. 2.2 Пример подготовки размещения данных транспортной задачи для решения в EXCEL.

 

Рекомендуется следующий порядок работы в рабочем листе.

1) Выделить диапазон ячеек:

− для размещения исходной матрицы (A14:E19);

− для размещения матрицы оптимальных перевозок (матрица для размещения результатов после решения задачи) (A4:F9), рекомендуется для наглядности в обе матрицы внести текст пояснений;

2) матрицу исходных данных (A14:E19) заполнить исходными данными таблицы 2.6 (значения ai, bj, cij).

В матрице результата во все ячейки диапазона (B6:E9) внести «1» в качестве исходных значений объемов поставок xij, после решения задачи в этих ячейках будут находиться значения поставок, обеспечивающие минимальные затраты на перевозку груза.

3) ввести в ячейки (В10:Е10) итог поставок по потребителям: в ячейку В10 ввести формулу =СУММ(В6:В9) − итог поставок по 1-му потребителю, скопировать эту формулу в ячейки (С10:Е10);

4) ввести в ячейки (F6:F9) итоги реализации мощности каждого из поставщиков: в ячейку F6 ввести формулу =СУММ(В6:Е6) − итог реализации поставок от 1-го поставщика, скопировать эту формулу в ячейки (F7:F9);

5) выделить ячейку для ввода формулы целевой функции, например В21и ввести формулу =СУММПРОИЗВ(В16:Е19;В6:Е9) −суммарнаястоимость перевозок по всем направлениям.

6) в рабочем окне режима «Поиск решения» указать в качестве ячейки целевой функции В21, при вводе ограниченийделать ссылку на отведенные диапазоны (см. данные таблицы 2.7):

Таблица 2.7

Левая часть ограничения	Знак	Правая часть ограничения	Экономический смысл
(В10:Е10)	=	(В15:Е15)	Спрос потребителей должен быть удовлетворен
(F6:F9)	=	(А16:А19)	Весь груз от поставщиков должен быть вывезен

 

После проведенной подготовительной работы можно запустить задачу на выполнение. В результате решения ячейки (В6:Е9)будут заполнены значениями объемов перевозок, которые обеспечивают минимальные суммарные затраты на транспортировку всего груза, а величина затрат выдается в ячейке В21.

Приведенный алгоритм подготовки электронной модели транспортной задачи может быть использован для реализации любых моделей распределительных задач, например задач оптимизации загрузки взаимозаменяемого оборудования.

 

Вопросы по теме

1. Сформулируйте постановку транспортной задачи.

2. Опишите математическую модель задачи прикрепления потребителей к поставщикам.

3. Как решается транспортная задача с нарушенным балансом между спросом и потреблением.

4. Приведите запись формализованной модели транспортной задачи.

5. Приведите пример постановки транспортной задачи в табличной форме при трех поставщиках и пяти потребителях.

2.4 Модели формирования оптимального портфеля ценных бумаг.

Одной из систем в рыночной экономике является инвестирование через рынок капитала, т.е. система торговли финансовыми активами и инструментами .

Рынок капитала подразделяется на рынок ценных бумаг и рынок ссудного капитала. Выпуская ценные бумаги и продавая их, получая доход от операций с ценными бумагами, предприятия получают необходимые финансовые ресурсы. Поэтому перед банками, инвестиционными фондами, отделами ценных бумаг фирм стоит вопрос формирования оптимального портфеля ценных бумаг.

2.4.1 Общие вопросы формирования портфеля ценных бумаг.

Основы теории инвестиционного портфеля впервые были разработаны нобелевским лауреатом Гарри Марковицем в статье «Выбор портфеля» в 1952г.

Портфель ценных бумаг – это совокупность ценных бумаг, приобретенных инвестором (вкладчиком). Структура портфеля – это соотношение долей капитала, вложенных в ценные бумаги определенного вида. В портфель могут входить ценные бумаги только одного типа (акции или облигации), но чаще всего различные инвестиционные ценности: акции, облигации, депозитные сертификаты, недвижимость, земля. Главная цель формирования портфеля ценных бумаг – в достижении оптимального сочетания между риском и доходом, т.е. соответствующий набор инвестиционных инстументов должен снизить до минимума риск потерь и одновременно максимизировать доход.

доход.

На рис. 2.3 представлен график с осями «Доходность» и «Риск», где отмечены точки (*), соответствующие всем возможным портфелям. Эффективным портфелям соответствуют точки, расположенные на части АВ кривой, ограничивающей эту область, Эта часть кривой называется эффективной границей. Оптимальный портфель сочетает рисковые активы с безрисковыми ценными бумагами. Наилучшее соотношение между приростом доходности и возрастанием риска обеспечивается в точке О – точке касания прямой, проведенной из точки М (доходность безрискового актива) к эффективной границе.

Риск

Доходность

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

Доходность безрискового актива

О

В

М

А

Рисунок 2.3 Понятие эффективного портфеля.

Портфель ценных бумаг (ПЦБ)– это сложный финансовый объект, имеющий собственную теоретическую базу. Перед каждым, кто занимается данной практикой, встают серьезные расчетные и исследовательские задачи. В ряде случаев можно говорить не о портфеле, а о некоторых элементах “теории портфеля”, в рамках которой с помощью статистических методов осуществляются наиболее выгодное распределение риска ПЦБ и оценка прибыли. Эта теория состоит из четырех основных элементов:

- оценка активов;

- инвестиционные решения;

- оптимизация портфеля;

- оценка результатов.

Мы в дальнейшем будем рассматривать "идеальный конкурентный рынок". Все участники такого рынка имеют свободный доступ ко всей информации о ценных бумагах и стремятся сформировать оптимальный портфель ценных бумаг. Спрос на этом рынке равен предложению.

Как уже было отмечено выше, качество ПЦБ оценивается сочетанием двух факторов: доходности и риска.Риск и доходностьпортфеля – две взаимосвязанные категории.

Доход, обеспечиваемый каким либо активом, состоит из двух компонентов: полученных дивидендов и дохода от изменения стоимости актива. Доход, исчисленный в % к первоначальной стоимости актива, называется доходностью этого актива.

Существуют разные определения понятия риск. Чаще всего под риском понимают вероятность убытков или недополучение доходов по сравнению с прогнозируемым вариантом. В приложении к финансовым активам рисковость актива характеризуется степенью вариации дохода (доходности), который может быть получен благодаря владению данным активом. Так, государственные ценные бумаги обладают сравнительно небольшим риском, поскольку вариация доходности по ним в стабильной, не подверженной кризисам экономике практически равна нулю. Напротив, обыкновенная акция любой компании представляет собой значительно более рисковый актив, поскольку доход по такого рода акциям может существенно варьировать. Все используемые при составлении инвестиционного портфеля оценки носят вероятностный характер. При этом доходность и риск изменяются в одном направлении, т.е. пропорциональны друг другу.

Успех инвестиций зависит от правильности распределения средств по активам. Проведенные западными экспертами эксперименты показали, что прибыль на 94% определяется выбором типа используемых инвестиционных инструментов, на 4% - выбором конкретных ценных бумаг заданного типа и на 2% - оценкой момента закупки ценной бумаги.

Общая доходность и риск инвестиционного портфеля могут меняться путем варьирования его структуры (диверсификации портфеля).

Уменьшение риска за счет диверсификации достигается за счет того, что возможные невысокие доходы по одной ценной бумаге будут компенсироваться высокими доходами по другим. Минимизация риска достигается за счет включения в портфель бумаг разных отраслей, не связанных тесно между собой, чтобы избежать синхронности циклических колебаний их деловой активности. Исследования показали, что большая часть риска портфеля устраняется, если в него входит от 8 до 20 различных ценных бумаг, дальнейшее увеличение их количества уже незначительно уменьшает риск. Свести к нулю риск невозможно, т.к. риск портфеля состоит из двух частей: уникального риска и рыночного риска (см. Рис. 2.4).

Диверсификацией можно снизить только уникальный (специфический) риск, т.е. конкретный риск для каждого предприятия, не зависящий от общего состояния экономики. Рыночный риск (систематический) не поддается диверсификации.

Риск портфеля

Число финансовых инструментов

Уникальный риск

Рыночный риск

Рисунок 2.4 Составляющие риска портфеля ценных бумаг.

 

Этот риск обусловлен внешними событиями, влияющими на рынок в целом: инфляция, экономический спад, высокие ставки %, война и др. На систематический риск приходится от 25 до 50% общего риска и, поскольку в такой ситуации затрагиваются все компании, очевидно, что систематический риск нельзя устранить диверсификацией.

В процессе управления инвестиционным портфелем необходимо постоянно решать задачу отбора финансовых активов и анализа возможности их включения в портфель. Наибольшую известность для оценки доходности финансовых активов получили модель CAPM (Capital Asset Pricing Model) и модель арбитражного ценообразования АРТ (Arbitrage Pricing Theory).

Модель САРМ (предпосылки сформулированы М.Дженсеном в 1972 г.) может быть представлена следующей формулой:

, (2.105)

где К_l – ожидаемая доходность акций данной компании;

K_rf - доходность безрисковых ценных бумаг (государственные ценные бумаги);

K_m - ожидаемая доходность в среднем на рынке ценных бумаг;

b - бета-коэффициент данной компании.

Показатель (K_m – K_rf) представляет собой рыночную (т.е. в среднем) премию за риск вложения своего капитала не в безрисковые государственные ценные бумаги, а в рисковые ценные бумаги (акции, облигации предприятий, корпораций и пр.).

Показатель (K_l – K_rf) представляет собой премию за риск вложения капитала в ценные бумаги именно данной компании.

Модель САРМ означает, что премия за риск вложения капитала в ценные бумаги именно данной компании прямо пропорциональна рыночной премии за риск.

Модель САРМ позволяет спрогнозировать доходность финансового актива. В свою очередь, зная этот показатель и имея данные об ожидаемых доходах по этому активу, можно рассчитать его теоретическую стоимость.

Систематический риск в модели САРМ измеряется с помощью b - коэффициентов (бета – коэффициентов). Каждый вид ценной бумаги имеет собственный b - коэффициент, представляющий собой индекс доходности данного актива по отношению к доходности в среднем на рынке ценных бумаг. Значение показателя b рассчитывается по статистическим данным для каждой компании, котирующей свои ценные бумаги на бирже, и периодически публикуются в специальных справочниках. Для каждой компании b - коэффициент меняется с течением времени и зависит от многих факторов, имеющих отношение к характеристике деятельности с позиции долгосрочной перспективы.

В целом по рынку ценных бумаг b - коэффициент равен единице; для отдельных компаний он колеблется около единицы, причем большинство b - коэффициентов находится в интервале от 0,5 до 2,0.

Интерпретация b - коэффициента для акций конкретной компании заключается в следующем:

b=1 означает, что акции данной компании имеют среднюю степень риска, сложившуюся на рынке в целом;

b<1 означает, что ценные бумаги данной компании менее рискованны, чем в среднем на рынке;

b>1 означает, что ценные бумаги данной компании более рискованны, чем в среднем на рынке;

увеличение b - коэффициента в динамике означает, что вложения

в ценные бумаги данной компании становятся более рискованными;

снижение b - коэффициента в динамике означает, что вложения

в ценные бумаги данной компании становятся менее рискованными.

С 1995 г. b - коэффициенты появились и на отечественном рынке ценных бумаг. Так, в 1997г. нефтедобывающая отрасль имела b=0,93, а нефтехимическая - b=0,18. Значения b - коэффициентов периодически публикуются в газете "Финансовые известия".

Недостаток модели САРМ состоит в том, что:

1) она сопровождается целым рядом теоретических предпосылок, часть из которых не могут быть выполнены на практике, например: принимается, что деятельность инвесторов по покупке и продаже ценных бумаг не оказывает влияния на уровень цен на рынке этих бумаг, что все инвесторы находятся в одинаковых условиях, что отсутствуют расходы на покупку и продажу ценных бумаг; не принимаются во внимание налоги.

2) это однофакторная модель зависимости доходности от рыночного риска.

Известны и другие подходы, альтернативные модели САРМ, например, модель АРТ (модель теории арбитражного ценообразования).

Модель АРТ(автор Стивен Росс)лишена этих недостатков и может быть представлена формулой (2.106):

(2.106)

где:

K^{^}_j – фактическая доходность j-ой ценной бумаги;

K_j – ожидаемая доходность j-ой ценной бумаги;

f^{^}_i-– фактическое значение i-го экономического фактора;

f_i-– ожидаемое значение i-го экономического фактора;

b_jn – чувствительность j-ой ценной бумаги к i-ому экономическому фактору;

e_j – влияние не включенных в модель специфических факторов на изменение доходности j-ой ценной бумаги.

В основу модели АРТ заложено утверждение о том, что фактическая доходность любой акции складывается из двух частей: нормальной (ожидаемой) доходности и рисковой (неопределенной) доходности. Последняя составляющая определяется многими экономическими факторами, например, рыночной ситуацией в стране, оцениваемым ВВП, стабильностью мировой экономики, инфляцией, динамикой процентных ставок и др. Достоинство модели состоит в том, что доходность актива является функцией многих переменных, нет таких жестких предпосылок, как в модели САРМ, количество и состав внешних факторов определяется аналитиком и заранее не регламентируется.

Фактическая реализация модели требует привлечения сложного аппарата математической статистики.

2.4.2 Экономико-математические модели оптимизации портфеля ценных бумаг

При формировании портфеля возможны три основные формулировки задач оптимизации:

1) целевая функция – максимизация доходности, остальное – в ограничения;

2) целевая функция – минимизация риска, остальное – в ограничения;

3) двухмерная оптимизация по параметрам “доходность-надежность” c последующим получением некоторого приемлемого значения комбинации "доходность – риск".

Одним из ограничений в этих моделях может быть ликвидность портфеля ценных бумаг на случай непредусмотренной ранее необходимости срочного расформирования всего портфеля. Уровень ликвидности определяется как число дней, необходимых для полной конвертации всех активов портфеля в денежные средства и перевода их на счет клиента.

Для получения количественных характеристик портфеля используются следующие зависимости:

Доходность портфеля рассчитывается как средневзвешенная доходность его составляющих:

, (2.107)

где:

x_i доля инвестиций, помещенных в i-ый актив (портфельный вес i-го актива),

d_i – ожидаемая ставка дохода по i-му активу,

n – число активов в портфеле.

Риск портфеля d_p определяется как стандартное отклонение доходности по портфелю (d_p ² - дисперсия доходности)

(2.108)

где

d_i ─ стандартное отклонение доходности по i-активу,

r_ij ─ коэффициент корреляции доходностей i-го и j-го активов.

Варьируя портфельные веса x_i применяемых в составе портфеля активов, можно добиться оптимального, с точки зрения применяемого типа, портфеля.

Модель портфеля максимальной доходностипредставлена формулами (2.104)÷(2.111):

 

целевая функция:

max (2.104)

при ограничениях:

­ риск портфеля не должен превышать заданной величины

(2.110)

­ все средства должны быть полностью инвестированы:

 

(2.111)

Модель портфеля минимального риска представлена формулами (2.112)÷(2.114):

 

целевая функция:

min (2.112)

при ограничениях:

­ доходность портфеля должна быть не меньше заданной величины

(2.113)

­ все средства должны быть полностью инвестированы:

(2.114)

 

В результате решения этих задач находятся доли капитала xi , эффективного портфеля.

Если x_i > 0, то это означает, что инвестор должен вложить x_i долю своего капитала в i-вид ценных бумаг.

Если же x_i < 0, то инвестору следует взять в долг ценные бумаги i-го вида на сумму, равную x_i долей своего капитала. Если взятие в долг невозможно, то в задачу следует ввести дополнительное ограничение:

(2.115).

Для решения задач с дополнительным условием неотрицательности переменных и без него разработаны пакеты прикладных программ, но можно использовать и возможности электронной таблицы EXCEL.

 

Вопросы по теме

1. Дайте определение портфеля ценных бумаг (ПЦБ).

2. Понятие структуры ПЦБ.

3. Как оценивается качество ПЦБ.

4. Понятие диверсификации ПЦБ.

5. Способы оценки доходности финансовых активов.

6. Возможные модели оптимизации ПЦБ и составляющие моделей.

 

Раздел III Модели исследования операций.

Существует большое количество экономических задач, в которых невозможно однозначно определить основные параметры и переменные модели изучаемого процесса или явления. В этом случае говорят, что принятие хозяйственных решений осуществляется в условиях неопределенности. Тогда предполагается для неопределенных параметров получить вероятностные характеристики (функцию плотности вероятности, среднее значение, дисперсию). В конечном счете делают вывод о допустимом варианте хозяйственного решения по некоторому, как правило, заранее определенному пороговому критерию

3.1 Модели систем массового обслуживания (СМО)

Во многих областях экономики, финансов, производства и быта важную роль играют системы, реализующие многократное выполнение однотипных задач. Такие системы называются системами массового обслуживания (СМО). Примерами СМО являются: банки различных типов, страховые организации, налоговые инспекции, аудиторские службы, различные системы связи, погрузочно-разгрузочные комплексы, автозаправочные станции, различные предприятия и организации сферы обслуживания.

3.1.1 Общие сведения о системах массового обслуживания

Каждая СМО предназначена для обслуживания (выполнения) некоторого потока заявок (требований), поступающих на вход системы большей частью не регулярно, а в случайные моменты времени. Обслуживание заявок также длится не постоянное, заранее известное время, а случайное, которое зависит от многих случайных, порой неизвестных нам, причин. После обслуживания заявки канал освобождается и готов к приёму следующей заявки. Случайный характер потока заявок и времени их обслуживания приводит к неравномерной загруженности СМО. В некоторые промежутки времени на входе СМО могут скапливаться заявки, что приводит к перегрузке СМО, в некоторые же другие интервалы времени при свободных каналах (устройствах обслуживания) на входе СМО заявок не будет, что приводит к недогрузке СМО, т.е. к простаиванию её каналов. Заявки, скапливающиеся на входе СМО, либо «становятся» в очередь, либо по какой-то причине невозможности дальнейшего пребывания в очереди покидают СМО необслуженными.

На рис 3.1 изображена схема СМО.

Основными элементами (признаками) систем массового обслуживания являются:

Обслуживающий узел (блок),

Поток заявок,

Очередь в ожидании обслуживания (дисциплина очереди).

Обслуживающий блок предназначен для осуществления действий согласно требованиям поступающих в систему заявок.

 

n

Входящий поток заявок

Вход

Очередь заявок

Каналы

Поток обслуженных заявок

Выход

Поток необслуженных (покинувших очередь) заявок.

Рис. 3.1 Схема системы массового обслуживания

 

Вторая составляющая систем массового обслуживания — входной поток заявок. Заявки поступают в систему случайным образом. Обычно предполагают, что входной поток подчиняется некоторому вероятностному закону для длительности интервалов между двумя последовательно поступающими заявками, причем закон распределения считается не изменяющимся в течение некоторого достаточно продолжительного времени. Источник заявок — неограничен.

Третья составляющая — дисциплина очереди. Эта характеристика описывает порядок обслуживания заявок, поступающих на вход системы. Поскольку обслуживающий блок, как правило, имеет ограниченную пропускную способность, а заявки поступают нерегулярно, то периодически создается очередь заявок в ожидании обслуживания, а иногда обслуживающая система простаивает в ожидании заявок.

Главная особенность процессов массового обслуживания – случайность. При этом имеются две взаимодействующие стороны: обслуживаемая и обслуживающая. Случайное поведение хотя бы одной из сторон приводит к случайному характеру протекания процесса обслуживания в целом. Источниками случайности взаимодействия этих двух сторон являются случайные события двух типов.

1. Появление заявки (требования) на обслуживание. Причиной случайности данного события часто является массовый характер потребности в обслуживании.

2. Окончание обслуживания очередной заявки. Причинами случайности этого события является как случайность начала обслуживания, так и случайная продолжительность самого обслуживания.

Указанные случайные события составляют систему двух потоков в СМО: входного потока заявок на обслуживание и выходного потока обслуженных заявок.

Результатом взаимодействия указанных потоков случайных событий является число находящихся в СМО заявок в данный момент, которое принято называть состоянием системы.

Каждая СМО в зависимости от своих параметров ­ характера потока заявок, числа каналов обслуживания и их производительности, от правил организации работы, ­ обладает определенной эффективностью функционирования (пропускной способностью), позволяющей ей успешно справляться с потоком заявок.

Специальная область прикладной математики ­ теория массовогообслуживания (ТМО) – занимается анализом процессов в системах массового обслуживания. Предметом изучения теории массового обслуживания является СМО.

Цель теории массового обслуживания ­ выработка рекомендаций по рациональному построению СМО, рациональной организации их работы и регулированию потока заявок для обеспечения высокой эффективности функционирования СМО. Для достижения этой цели ставятся задачи теории массового обслуживания, состоящие в установлении зависимостей эффективности функционирования СМО от её организации.

Задачи теории массового обслуживания носят оптимизационный характер и в конечном счете направлены на определение такого варианта системы, при котором будет обеспечен минимум суммарных затрат от ожидания обслуживания, потерь времени и ресурсов на обслуживание и от простоя обслуживающего блока. Знание таких характеристик дает менеджеру информацию для выработки направленного воздействия на эти характеристики для управления эффективностью процессов массового обслуживания.

В качестве характеристик эффективности функционирования СМО обычно выбираются три следующие основные группы (обычно средних) показателей:

1. Показатели эффективности использования СМО:

· Абсолютная пропускная способность СМО - среднее число заявок, которое сможет обслужить СМО в единицу времени.

· Относительная пропускная способность СМО - отношение среднего числа заявок, обслуживаемых СМО в единицу времени, к среднему числу заявок поступивших за это же время.

· Средняя продолжительность периода занятости СМО.

· Коэффициент использования СМО - средняя доля времени, в течении которого СМО занята обслуживанием заявок, и т.п.

2. Показатели качества обслуживания заявок:

· Среднее время ожидания заявки в очереди.

· Среднее время пребывания заявки в СМО.

· Вероятность отказа заявке в обслуживании без ожидания.

· Вероятность того, что поступившая заявка немедленно будет принята к обслуживанию.

· Закон распределения времени пребывания заявки в очереди.

· Закон распределения времени пребывания заявки в СМО.

· Среднее число заявок, пребывающих в очереди.

· Среднее число заявок, находящихся в СМО, и т.п.

3. Показатели эффективности функционирования пары «СМО − потребитель», где под «потребителем» понимают всю совокупность заявок или некий их источник: средний доход, приносимый СМО в единицу времени и т.п.

Отметим, что третья группа показателей оказывается полезной в тех случаях, когда некоторый доход, получаемый от обслуживания заявок и затраты на обслуживание измеряются в одних и тех же единицах. Эти показатели обычно носят вполне конкретный характер и определяются спецификой СМО, обслуживаемых заявок и дисциплиной обслуживания.

Впервые задачи такого типа были решены в работах А. К. Эрланга в начале прошлого века и легли в основу «Теории массового обслуживания», которая успешно развивается в настоящее время. Большой вклад в развитие этой теории внесли российские математики А.Я.Хинчин, Б.В.Гнеденко, А.Н.Колмогоров, Е.С.Вентцель и др.

3.1.2 Классификация и способы представления СМО.

Классификация СМО осуществляется по различным признакам:

· По числу обслуживающих приборов (под прибором понимается устройство или человек, обслуживающий заявки) – одноканальные, многоканальные. Например, в магазине может быть одна или несколько касс. В первом случае система называется одноканальной, во втором — многоканальной.

· В зависимости от последовательности обслуживания каждой заявки системы массового обслуживания могут быть однофазными и многофазными. В первом случае заявка обслуживается только одним прибором, во втором — последовательностью приборов. Например, касса в магазине — однофазная система, сберкасса — двухфазная, поскольку сначала клиент обслуживается контролером, а только затем получает деньги у кассира.

· В зависимости от числа мест в очереди:

Системы с отказами: число мест в очереди m является конечным, т е некоторым заявкам могут предоставляться отказы в обслуживании;

Системы с ожиданием: заявка ожидает обслуживания при любой длине очереди и любом по длительности времени ожидания.

· По способу отбора для обслуживания заявок из очереди:

Чаще всего применяется дисциплина: «первым пришел — первым обслуживается». Но возможны и другие порядки обслуживания:

ü «первым пришел — последним обслужен»,

ü случайный порядок обслуживания,

ü обслуживание с приоритетами.

· В зависимости от расположения каналов в системе обслуживания:

- параллельное расположение каналов обслуживания;

- последовательное расположение каналов обслуживания..

При параллельном расположении каналов обслуживания заявка может быть обслужена любым свободным каналом. Примером такой системы является расчетный узел в магазине самообслуживания, где число каналов обслуживания совпадает с числом кассиров-контролеров.

При последовательном расположении каналов обслуживания очередной канал обслуживания начинает работу по обслуживанию заявки после того, как предыдущий канал закончил свою работу. Например, в цехе детали после обработки рабочим поступают к контролеру.

В зависимости от характера потоков событий СМО и числа каналов для СМО принята следующая система обозначений:

А/В/m/k/M (жирным шрифтом выделены обязательные для заполнения поля), где:

А – распределение времени между поступлением заявок,

В - распределение времени обслуживания заявок,

m – количество обслуживающих приборов,

к – ограничение на количество мест в очереди (по умолчанию − ∞),

М - ограничение на количество заявок в системе (по умолчанию − ∞),

В полях А и Вдопускаются следующие обозначения:

М – экспоненциальный (показательный) закон

распределения вероятностей соответствующей

случайной величины,

D – постоянное время обслуживания,

G – любой (произвольный) закон.

Например, М/М/1 – это обозначение СМО с одним обслуживающим устройством, в котором поступление заявок и время их обслуживания распределены по пуассоновскому (экспоненциальному) закону распределения.

При анализе случайных процессов с дискретными состояниями и непрерывным временем удобно пользоваться вариантом схематического изображения возможных состояний СМО в виде графа с разметкой его возможных фиксированных состояний. Состояния СМО изображаются обычно либо прямоугольниками, либо кружками, а возможные направления переходов из одного состояния в другое ориентированы стрелками, соединяющими эти состояния.

Например, размеченный граф состояний одноканальной системы процесса о газетном киоске приведен на рис. й одноканальной системы массового обслуживанияпереходов из одного состояния в другое ориентирбслуживания в газетном киоске приведен на рис.3.2:

S2

S1

S0

λ01

λ10

λ21

λ12

Рис. 3.2 Размеченный граф состояний СМО.

 

Система может находиться в одном из трех состояний: S₀ – канал свободен, простаивает; S₁ – канал занят обслуживанием; S₂ - канал занят обслуживанием и одна заявка в очереди.

Переход системы из состояния S0 в S1 происходит под воздействием простейшего потока заявок интенсивностью λ₀₁ , а из состояния S1 в состояние S0 систему переводит поток обслуживания с интенсивностью λ₁₀. Граф состояний системы обслуживания с проставленными интенсивностями потоков у стрелок называется размеченным. Поскольку пребывание системы в том или ином состоянии носит вероятностный характер, то вероятность рi(t) того, что система будет находиться в состоянии Si в момент времени t, называется вероятностью i-го состояния СМО и определяется числом поступивших заявок k на обслуживание.

Случайный процесс, происходящий в системе, заключается в том, что в случайные моменты времени t0, t1, t2, ….., tk ,….., tn система оказывается в том или другом заранее известном дискретном состоянии последовательно. Такая случайная последовательность событий называется Марковской цепью, если для каждого шага вероятность перехода из одного состояния Si в любое другое Sj не зависит от того, когда и как система перешла в состояние Si. Описывается Марковская цепь с помощью вероятности состояний, причем они образуют полную группу событий, поэтому их сумма равна единице. Если вероятность перехода не зависит от номера k, то Марковская цепь называется однородной. Зная начальное состояние системы обслуживания, можно найти вероятность состояний для любого значения k – числа заявок, поступивших на обслуживание.

Математическое изучение функционирования СМО значительно упрощается, если протекающий в ней случайный процесс является Марковским. В этом случае работа СМО сравнительно легко описывается с помощью аппарата конечных систем обыкновенных линейных дифференциальных уравнений первого порядка. В предельном режиме (при достаточно длительном функционировании сложных систем) работа СМО может быть представлена с помощью аппарата конечных систем линейных алгебраических уравнений, в результате удаётся выразить в явном виде основные характеристики эффективности функционирования СМО через параметры СМО, потока заявок и дисциплины работы СМО.

3.1.3 Потоки событий СМО.

Потоки случайных событий в СМО (времени появления заявки, времени простоя в очереди, времени обслуживания) могут быть различными и отличаться своими характеристиками. Основными характеристиками потоков являются: регулярность, стационарность, отсутствие последействия и ординарность.

Поток событий называется регулярным, если в нем события наступают последовательно через заранее заданные и строго определенные промежутки времени. Чаще встречаются нерегулярные потоки.

Поток событий называется стационарным, если вероятность наступления того или иного числа событий за какой-либо промежуток времени зависит только от длины этого промежутка и не зависит от момента его начала. Стационарность потока означает, что его вероятностные характеристики не зависят от времени. На практике потоки могут считаться стационарными только на некотором ограниченном промежутке времени (поток покупателей в магазине меняется в течение рабочего дня, но в течение разных временных интервалов поток может рассматриваться как стационарный).

Поток событий называется потоком без последействия, если число событий, попадающих на один из произвольно выбранных промежутков времени, не зависит от числа событий, попавших на другой, также произвольно выбранный промежуток при условии, что эти промежутки не пересекаются между собой. Отсутствие последействия показывает, что последовательные события в таком потоке наступают независимо друг от друга.

Поток событий называется ординарным, если вероятность наступления за очень маленький отрезок времени сразу двух или более событий пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания только одного события. Ординарность потока означает, что события в нем за достаточно малый промежуток времени либо не наступают, либо наступают по одному, а не по несколько.

В зависимости от сочетания перечисленных свойств существуют разные потоки. Если поток одновременно обладает свойствами стационарности, ординарности и отсутствием последействия, то такой поток называетсяпростейшим потоком событий (или пуассоновским ­ по имени французского математика). Математическое описание воздействия такого потока на системы оказывается наиболее простым.

Чаще всего считается, что входной и выходной потоки могут быть отнесены к простейшим. Предположим, статистические наблюдения позволили получить величину λ­ среднего число заявок, появляющихся за единицу времени (интенсивность входного потока). Интенсивность простейшего потока постоянна в силу его стационарности. Обратная ей величина 1/ λ, — средний интервал времени между двумя соседними заявками.

λ ­ параметр потока, может быть выражен в разных единицах:

 

Плотность вероятности входного потока описывается функцией:

f (t) = λ e^-λτ, t≥0. (3.1)

Математическое ожидание ­1/ λ, (3.2)

Дисперсия ­ 1/ λ2, (3.3)

Среднеквадратичное отклонение ­ 1/ λ. (3.4)

Поток с такими свойствами называется потоком с показательным (экспоненциальным) законом распределения.

Для выходного потока: среднее количество заявок, обслуживаемых в единицу времени, является интенсивностью обслуживания ─ μ.

Обратная величина 1/ μ определяет среднее время обслуживания одной заявки.

Имеет смысл рассматривать те проекты СМО, для которых среднее время обслуживания 1/μ меньше среднего промежутка времени 1/λ между поступлением заявок, ибо в противном случае очередь будет постоянно расти. В том же случае, когда 1/μ < 1/λ, через некоторое время после начала работы система перейдет в стационарный режим.

Обозначив отношение λ/μ через р, можно показать, что стационарный режим устанавливается при р < 1. Величину р называют нагрузкой системы.

Пользуясь приведенными выше параметрами входного и выходного потоков можно определить основные показатели одноканальной системы массового обслуживания с простейшими потоками по формулам:

• коэффициент простоя системы

Е₁ = 1-р, (3.5)

• среднее число заявок в системе

Е₂ = p/(1-p), (3.6)

• средняя длина очереди

Е₃= p²(1-p), (3.7)

• среднее время пребывания заявки в системе

Е₄ =l /(μ-λ), (3.8)

• время пребывания заявки в очереди

Е₅ = р/(μ-λ). (3.9)

На основе анализа значений приведенной системы показателей, характеризующих систему массового обслуживания можно сделать вывод о целесообразности выбора одного из вариантов функционирования СМО.

3.1.4 Пример простой СМО.

В качестве примера применения системы массового обслуживания рассмотрим задачу проектирования автозаправочной станции (АЗС).

Пример 3.1 Пусть необходимо выбрать один из нескольких вариантов строительства АЗС. Автомобили прибывают на станцию случайным образом и, если не могут быть обслужены сразу, становятся в очередь. Дисциплина очереди: «первым пришел — первым обслужен». Предположим для простоты, что во всех вариантах рассматривается только одна бензоколонка, а вариант от варианта отличается лишь ее мощностью. Средний интервал времени между прибытием автомобилей ( ) составляет 4 минуты и не зависит от варианта строительства.

Величина среднего времени обслуживания одного автомобиля ( )зависит от выбранного варианта строительства АЭС и составляет (соответственно вариантам): 5 мин, 3,5 мин, 2 мин, 1 мин, 0,5 мин. Результаты расчетов по исследованию раз­личных вариантов строительства АЗС по формулам (3.5 ÷3.9) сведены в табл. 3.1:

Таблица 3.1

Характеристики СМО	Варианты строительства АЗС
Среднее время прибытия одного клиента (мин)	1/λ
Среднее число клиентов в единицу времени	λ	0,25	0,25	0,25	0,25	0,25
Среднее время обслуживания одного клиента (мин)	1/μ		3,5			0,5
Среднее количество клиентов, обслуженных в единицу времени	μ	0,2	0,29	0,5
Нагрузка системы	р	1,25	0,88	0,5	0,25	0,13
Коэффициент простоя системы	e 1	-0,25	0,13	0,5	0,75	0,88
Среднее число клиентов в системе	e 2	-5			0,33	0,14
Средняя длина очереди	e з	-6,25	6,13	0,5	0,08	0,02
Среднее время пребывания клиента в системе	e 4	-20	27,48		1,33	0,57
Время пребывания клиента в системе	e5	-25	24,31		0,33	0,07

 

Из анализа результатов расчетов следует.

Первый вариант строительства АЗС не годен из-за того, что очередь в этом случае будет расти до бесконечности (р>1).

Второй вариант приемлем по показателю загруженности оборудования

р = 0,88 и, следовательно, малой средней доли простоя оборудо­вания Е₁ = 0,13, но при этом варианте возникают большие очереди и, следовательно, большие средние времена простоя автомобилей Е₄ ≈ 27 мин.

Третий вариант приводит к тому, что оборудование в среднем половину времени простаивает, но среднее число автомобилей в системе равно только 1, а средние потери времени равны 4 мин при среднем времени обслуживания 2 мин.

В остальных вариантах очереди практически нет, но большую часть времени оборудование простаивает, поэтому эти варианты целесообразно отбросить как неэффективные.

Окончательный выбор варианта проекта АЗС, очевидно, принадлежит лицу, принимающему решение (ЛПР), но предварительная рекомендация по результатам анализа может состоять в предложении третьего варианта, если исходить из того, что наблюдается постоянная тенденция роста автомобильного парка в стране.

Методы анализа СМО (простые, как приведено выше, и гораздо более сложные) широко применяются на практике для стационарных режимов работы системы. Кроме этого в этих моделях СМО предполагается воздействие на СМО только простейших потоков случайных событий. Если нарушается хотя бы одно из этих условий, исследование СМО сильно усложняется или становится вообще невозможным с применением конечных методов. В этом случае для анализа сложной системы приходится пользоваться методом имитационного моделирования.

 

Вопросы по теме

1. Каковы основные составляющие систем массового обслуживания? Каковы могут быть устройства блоков обслуживания?

2. Каковы могут быть порядки обслуживания очередей?

3. Какими показателями характеризуются системы массового обслуживания?

4. Как определяются основные показатели, характеризующие СМО, для случая экспоненциальных распределений вероятностей поступления заявок и вероятностей времени их обслуживания?

5. Приведите примеры систем, в которых появление заявки на обслуживание является случайной величиной.

6. Приведите примеры систем, в которых время обслуживания (продолжительность обслуживания) заявки является случайной величиной.

3.2 Имитационное моделирование

Имитационное моделирование (ИМ) определяет в моделировании такую область, в которой экспериментальная информация о сложном объекте может быть получена только путем экспериментов с его моделью на ЭВМ.

Имитационное моделирование широко используется на различных этапах жизненного цикла сложных систем: при проектировании – для осуществления многовариантного анализа; при вводе в действие – для поиска "узких" мест; при эксплуатации – для прогнозирования эффекта от возможных модернизаций состава и структуры сложной системы. Сложная система, для которой предполагается создать имитационную модель, должна иметь вероятностный характер функционирования. Поэтому определяющей особенностью имитационного моделирования является требование повторяемости. Выводы, получаемые в результате имитационного моделирования, носят характер статистических показателей, в которых исследуемым параметрам ставятся в соответствие определенные средние значения с набором характеристик их распределения (например, ожидаемое значение с возможными отклонениями), без получения зависимости в аналитическом виде. Особенностью имитационного моделирования является снятие требования единственности критерия, выраженного целевой функцией, так как возможно присоединение к главной цели (например, достижению наименьшей себестоимости или максимума выпуска продукции) дополнительных требований, которые обязательно будут учитываться при поиске оптимального плана управления производством, такие как надежность этого плана.

3.2.1 Общие сведения о GPSSW (язык имитационного моделирования GPSS в среде ОС WINDOWS).

Для моделирования сложных систем, формализуемых в виде систем массового обслуживания, наиболее широко применяется специальный язык программирования GPSS (General Purpose Simulation System). В качестве объектов языка используются аналоги таких стандартных компонентов СМО, как заявки, обслуживающие приборы, очереди, что позволяет конструировать сложные имитационные модели, сохраняя привычную терминологию СМО.

Имитационная модель отображает стохастический процесс смены дискретных состояний СМО в непрерывном времени в форме моделирующего алгоритма. Для имитации потоков случайных чисел предусмотрен встроенный датчик случайных чисел, заданный закон распределения получается программным способом. При реализации на ЭВМ имитационной модели производится накопление статистических данных по тем атрибутам модели, характеристики которых являются предметом исследований. По окончании моделирования накопленная статистика обрабатывается, и результаты моделирования получаются в виде выборочных распределений исследуемых величин. Таким образом, при имитационном моделировании систем массового обслуживания речь всегда идет о статистическом моделировании.

Программа, составленная на языке GPSSW, близка к описаниям моделируемых систем на естественном языке, что позволяет конструировать сложные имитационные модели пользователям, не являющимся профессиональными программистами.

Основной модуль пакета представляет собой интегрированную среду, включающую помимо транслятора с входного языка средства ввода и редактирования текста модели, ее отладки и наблюдения за процессом моделирования, а также средства накопления результатов моделирования в базе данных и их статистической обработки. Кроме основного модуля в состав пакета входит модуль создания стандартного отчета GPSS. Этапы моделирования представлены на рис.3.3:

Стандартный отчет

Текст исходной программы (ввод с клавиатуры)

Текущая модель

Трансляция

Прогон программы

 

 

Рисунок 3.3 Процесс моделирования в GPSSW.

 

Ввод текста исходной программы осуществляется в режиме полноэкранного редактирования, он подвергается трансляции (перевод исходного текста программы во внутренний цифровой код), и в памяти ПК создается так называемая текущая модель, готовая к выполнению.

Текущая модель подвергается "прогону", т.е. непосредственно процессу моделирования. Испытание модели происходит в течение определенного периода, задаваемого пользователем. По результатам прогона создается отчет со стандартными терминами. Процесс моделирования носит циклический характер: в случае необходимости по результатам моделирования вносятся исправления в исходный текст программы, и весь процесс повторяется по вышеприведенной схеме.

Текущая модель, созданная в результате трансляции исходного текста, является совокупностью разного типа объектов, каждый из которых представляет собой некоторый набор чисел в памяти ПК, описывающих свойства и текущее состояние объекта. Объекты GPSSW можно разделить на семь классов: динамические, операционные, аппаратные, статистические, вычислительные, запоминающие и группирующие.

· Динамические объекты, соответствующие заявкам в системах массового обслуживания, называются в GPSSW транзактами. Они «создаются» и «уничтожаются» так, как это необходимо по логике модели в процессе моделирования. С каждым транзактом может быть связано произвольное число параметров, несущих в себе необходимую информацию об этом транзакте. Кроме того, транзакты могут иметь различные приоритеты.

· Операционные объекты GPSSW, называемые блоками, соответствуют операторам-блокам исходной программы. Они формируют логику модели, давая транзактам указания: куда идти и что делать дальше. Модель системы на GPSSW можно представить совокупностью блоков, объединенных в соответствии с логикой работы реальной системы.

· Аппаратные объекты GPSSW — соответствуют обслуживающим приборам (устройствам) в СМО. К ним относятся одноканальные и многоканальные устройства. Одноканальное устройство, которое для краткости далее будем называть просто устройством, может обслуживать одновременно только один транзакт. Многоканальное устройство (МКУ) может обслуживать одновременно несколько транзактов. Многоканальное устройство иногда называют памятью.

· Статистические объекты GPSSW служат для сбора и обработки статистических данных о функционировании модели. К ним относятся очереди и таблицы. Каждая очередь обеспечивает сбор и обработку данных о транзактах, задержанных в какой-либо точке модели, например перед одноканальным устройством.

· К вычислительным объектам GPSSW относятся переменные (например, арифметические) и функции. Они используются для вычисления некоторых величин, заданных арифметическими или логическими выражениями либо табличными зависимостями.

· Запоминающие объекты GPSS/PC обеспечивают хранение в памяти ПК отдельных величин, используемых в модели, а также массивов таких величин. К ним относятся так называемые сохраняемые величины и матрицы сохраняемых величин.

Каждому объекту того или иного класса соответствуют числовые атрибуты, описывающие его состояние в данный момент модельного времени. Кроме того, имеются системные атрибуты, относящиеся не к отдельным объектам, а к модели в целом. Значения атрибутов всех объектов модели по окончании моделирования выводятся в стандартный отчет GPSSW.

3.2.2 Управление последовательностью выполнения программы GPSS: понятие симулятора и таймера модельного времени.

Прогон текущей модели выполняется с помощью специальной управляющей программы, которую называют симулятором (от английского SIMULATE —моделировать, имитировать). Работа GPSS-модели под управлением симулятора заключается в перемещении транзактов от одних блоков к другим аналогично тому, как в моделируемой СМО перемещаются заявки.

В начальный момент времени в GPSS-модели нет ни одного транзакта. В процессе моделирования симулятор генерирует транзакты в определенные моменты времени в соответствии с теми логическими потребностями, которые возникают в моделируемой системе. Подобным же образом транзакты покидают модель в определенные моменты времени в зависимости от специфики моделируемой системы. В общем случае в модели одновременно существует большое число транзактов, однако в каждый момент времени симулятор осуществляет продвижение только какого-либо одного транзакта. Центральной задачей, выполняемой симулятором, является определение того, какой транзакт надо выбрать следующим для продвижения в модели, когда его предшественник прекратил свое продвижение. Продвижение транзактов на обслуживание организуется в порядке убывания приоритетов транзактов, а в пределах каждого уровня приоритета — в порядке поступления транзактов.

Если транзакт начал свое движение, он перемещается от блока к блоку по пути, предписанному блок-схемой. В тот 'момент, когда транзакт входит в некоторый блок, на исполнение вызывается подпрограмма симулятора, соответствующая типу этого блока, а после ее выполнения, при котором реализуется функция данного блока, транзакт «пытается» войти в следующий блок. Такое продвижение транзакта продолжается до тех пор, пока не произойдет одно из следующих возможных событий:

1) транзакт входит в блок, функцией которого является удаление транзакта из модели;

2) транзакт входит в блок, функцией которого является задержка транзакта на некоторое определенное в модели время;

3) транзакт «пытается» войти в следующий блок, однако блок «отказывается» принять его. В этом случае транзакт остается в том блоке, где находился, и позднее будет повторять свою попытку войти в следующий блок. Когда условия в модели изменятся, такая попытка может оказаться успешной, и транзакт сможет продолжить свое перемещение по блок-схеме.

Если возникло одно из описанных выше условий, обработка данного транзакта прекращается, и начинается перемещение другого транзакта. Таким образом, выполнение моделирования симулятором продолжается постоянно.

Каждое продвижение транзакта в модели является событием, которое должно произойти в определенный момент модельного времени. Для того чтобы поддерживать правильную временную последовательность событий, симулятор имеет таймер модельного времени, который автоматически корректируется в соответствии с логикой, предписанной моделью.

Таймер GPSS/PC имеет следующие особенности:

1) регистрируются только целые значения (все временные интервалы в модели изображаются целыми числами);

2) единица модельного времени определяется разработчиком модели, который задает все временные интервалы в одних и тех же, выбранных им единицах;

3) симулятор не анализирует состояние модели в каждый следующий момент модельного времени (отстоящий от текущего на единицу модельного времени), а продвигает таймер к моменту времени, когда происходит ближайшее следующее событие.

Центральной задачей, выполняемой симулятором, является определение того, какой транзакт надо выбрать следующим для продвижения в модели, когда его предшественник прекратил свое продвижение. С этой целью симулятор рассматривает каждый транзакт как элемент некоторого списка. В относительно простых моделях используются лишь два основных списка: список текущих событий и список будущих событий.

Список текущих событий включает в себя те транзакты, планируемое время продвижения которых равно или меньше текущего модельного времени (к последним относятся транзакты, движение которых было заблокировано ранее). Он организуется в порядке убывания приоритетов транзактов, а в пределах каждого уровня приоритета — в порядке поступления транзактов.

Список будущих событий включает в себя транзакты, планируемое время продвижения которых больше текущего времени, т.е. события, связанные с продвижением этих транзактов, должны произойти в будущем. Этот список организуется в порядке возрастания планируемого времени продвижения транзактов.

Симулятор GPSS/PC помещает транзакты в зависимости от условий в модели в тот или иной список и переносит транзакты из списка в список, просматривает списки, выбирая следующий транзакт для обработки, корректирует таймер модельного времени после обработки всех транзактов в списке текущих событий.

3.2.3 Основные операторы GPSSW и связанные с ними объекты.

Исходная программа на языке GPSSW, как и программа на любом языке программирования, представляет собой последовательность операторов. Операторы исходного текста GPSSW записываются и вводятся в ПК в следующем формате (в скобках указаны необязательные части):

[ имя ] операция операнды [; комментарии]

Отдельные операторы могут иметь имя для ссылки на эти операторы в других операторах. Если такие ссылки отсутствуют, то этот элемент оператора не является обязательным.

В поле операции записывается ключевое слово (название оператора), указывающее конкретную функцию, выполняемую данным оператором. Это поле оператора является обязательным.

В полях операндов записывается информация, уточняющая и конкретизирующая выполнение функции, определенной в поле операции. Эти поля в зависимости от типа операции содержат до семи операндов, расположенных в определенной последовательности и обозначаемых обычно первыми буквами латинского алфавита от А до G. В некоторых операторах операнды могут быть опущены, при этом устанавливаются их стандартные значения (по умолчанию). При записи операндов используется позиционный принцип: пропуск операнда отмечается запятой.

Необязательные комментарии в случае их присутствия отделяются от поля операндов точкой с запятой. Комментарии не могут содержать букв русского алфавита.

Ниже рассматриваются операторы, необходимые для начального ознакомления с основами моделирования в GPSSW.

1) Операторы связанные с транзактами.

С транзактами связаны операторы создания, уничтожения и задержки транзактов.

Для создания транзактов, входящих в модель, служит оператор GENERATE (генерировать), имеющий следующий формат:

имя GENERATE A,B,C,D,E

В поле А задается среднее значение интервала времени между моментами поступления в модель двух последовательных транзактов. Поле В показывает отклонение от среднего значения интервала. Если этот интервал постоянен, то поле В не используется. Если интервал поступления транзактов является случайной величиной с равномерным законом распределения вероятностей, то диапазон изменения интервала поступления имеет границы А-В, А+В.

Например,оператор GENERATE 100,40

создает транзакты через случайные интервалы времени, равномерно распределенные на отрезке [60;140].

В поле С задается момент поступления в модель первого транзакта. Если это поле пусто или равно 0, то момент появления первого транзакта определяется операндами А и В.

Поле D задает общее число транзактов, которое должно быть создано оператором GENERATE. Если это поле пусто, то блок генерирует неограниченное число транзактов до завершения моделирования.

В поле Е задается приоритет, присваиваемый генерируемым транзактам. Число уровней приоритетов неограничено, причем самый низкий приоритет — нулевой. Если поле Е пусто, то генерируемые транзакты имеют нулевой приоритет.

Для удаления транзактов из модели служит блок TERMINATE (завершить), имеющий следующий формат:

имя TERMINATE A

Значение поля А указывает, на сколько единиц уменьшается содержимое так называемого счетчика завершений при входе транзакта в данный оператор TERMINATE. Если поле А не определено, то оно считается равным 0, и транзакты, проходящие через такой блок, не уменьшают содержимого счетчика завершений.

Блок TERMINATE A с ненулевым полем А используется для управления временем моделирования (см. рис.3.4):

 

 

Рисунок 3.4 Управление временем моделирования в GPSSW.

 

Начальное значение счетчика завершений устанавливается управляющим оператором START А (начать), предназначенным для запуска прогона модели. Поле А этого оператора содержит начальное значение счетчика завершений. Прогон модели заканчивается, когда содержимое счетчика завершений обращается в 0. Таким образом, в модели должен быть хотя бы один блок TERMINATE с непустым полем А, иначе процесс моделирования никогда не завершится.

Для задержки транзактов на определенный отрезок модельного времени служит блок ADVANCE (задержать), имеющий следующий формат:

имя ADVANCE А,В

Операнды в полях А и В имеют тот же смысл, что и в соответствующих полях блока GENERATE. Следует отметить, что транзакты, входящие в блок ADVANCE, по истечении вычисленного времени задержки продолжают продвижение по блок-схеме. Если вычисленное время задержки равно 0, то транзакт в тот же момент модельного времени переходит в следующий блок.

GENERATE 100,40

ADVANCE 80,50

TERMINATE

Рис. 3.5 Например, в сегменте, приведенном на рис.3.5, транзакты, поступающие в модель… 2) Блоки, связанные с аппаратными объектами.

TERMINATE 1

  Рис. 3.7 Текст программы к примеру 3.3 Модель, приведенная на рис.3.7, состоит из двух сегментов. Первый сегмент выполняет те же функции, что и в предыдущем…

GENERATE 2400

Сектор времени

TERMINATE 1

START 1

  До начала каждого нового прогона в первом операторе GENERATE задать новое… Число сборщиков Прибыль Оптим.…

SAVEVALUE KOLOBSL+,1

TERMINATE

OTKAZ1 SAVEVALUE KOLN+, 1

TERMINATE

VTOR GATE NU ZAPR2,OTKAZ2

SEIZEZAPR2

ADVANCE 4,2 работа 2-ой колонки

RELEASE ZAPR2

SAVEVALUE KOLOBSL+,1

TERMINATE

OTKAZ2 SAVEVALUE KOLN+,1

TERMINATE

 

>GENERATE ,,100800,1

TERMINATE 1 сектор времени

START 1

Рис.3.10 Программа модели работы АЗС. 3.3 Производственные функции Аппарат производственных функций широко используется в микроэкономическом и макроэкономическом анализе при…

F(L,K,Y)=0

  Объем производства Затраты труда Затраты капитала Y1 L1 K1 Y2 L2 …   - или в графическом виде. Представление факторов производства в виде набора двух агрегированных факторов – капитала K…

Вопросы по теме

1. В чем суть балансового метода в экономических исследованиях?

2. Поясните принципиальную схему межотраслевого баланса и раскройте экономическое содержание ее ресурсов.

3. Опишите экономико-математическую модель статистического межотраслевого материального баланса и поясните экономический смысл входящих в нее элементов.

4. Дайте определение коэффициентов прямых и полных материальных затрат, укажите связь между ними и методы расчетов.

5. Поясните понятие продуктивности матрицы коэффициентов прямых материальных затрат.

4.2 Модели межотраслевого баланса в развитии

Модели межотраслевого баланса находятся в постоянном развитии. С переходом национальной статистики на принятую в международной практике систему счетов меняется структура схемы МОБ и метод формирования информационной базы. Различные модификации рассмотренного выше межотраслевого баланса производства и распределения продукции в народном хозяйстве позволяют расширить круг показателей, охватываемых моделью. На основе модели МОБ разрабатываются балансы затрат труда, распределение трудовых ресурсов между отраслями, обеспечивается увязка планируемых объемов производства с трудовыми ресурсами общества. Развитие модели МОБ достигается и за счет включения в нее показателей фондоемкости продукции, что позволяет производить анализ структуры и использования фондов в народном хозяйстве, обосновать планы капитальных вложений. Использование модели МОБ позволяет качественно оценить на прогнозируемый период индексы экономических показателей, в частности определить влияние изменения цен на продукцию в одной из отраслей на цены в других отраслях. И, наконец, все большее применение находят динамические модели межотраслевого баланса.

4.2.1 Использование статической модели межотраслевого баланса в прогнозировании цен.

Использование информации о межотраслевых взаимосвязяхпозволяет, в частности, отслеживать - в какой мере изменение цен на продукцию одной отрасли повлияет на изменение цен на продукцию других отраслей.

Согласно упрощенному подходу индекс цен на продукцию j-той потребляющей отрасли в зависимости от изменения цен на продукцию i-той производящей отрасли определяется по следующей формуле:

, (4.23)

где P_i и P_j - соответственно, индексы цен на продукцию i-той производящей и j-той потребляющей отраслей.

Пусть речь идет о двух отраслях: пищевой (n=2) и энергетической (n=1). Как изменение цен на энергоресурсы при прочих неизменных условиях отразится на росте цен на продукцию пищевой промышленности?

Согласно (4.23) можно записать:

Недостатком данной формулы является рассмотрение только прямых затрат электроэнергии на производство продукции пищевой промышленности, при этом косвенные затраты не рассматриваются. Но для производства продукции пищевой промышленности в технологическом процессе используется продукция сельского хозяйства, на производство которой тоже необходима электроэнергия. Эти косвенные затраты не учитываются в формуле (4.23).

Использование модели МОБ позволяет учитывать полные затраты электроэнергии в производстве и дать более точный прогноз изменения цены продукции пищевой промышленности.

Обоснуем формулу, позволяющую увязать изменение индексов цен в различных отраслях. В качестве основы используем уравнение взаимосвязи I и III квадрантов МОБ (4.2):

Прогноз цен на период t производится на основе данных МОБ предыдущего периода (t-1).

Пусть в результате инфляции в прогнозном периоде предполагается рост цен, который характеризуется индексом роста цен в i-той отрасли Pi. При этом структура затрат в сопоставимых ценах не изменилась, а индекс роста всех элементов условно-чистой продукции j-той отрасли совпадает с индексом роста цен в этой же отрасли.

В таблице 4.3 показано, как изменение цены в i-ой отрасли отразилось на содержании схемы МОБ :

Таблица 4.3

Схема первого и третьего квадрантов МОБ в текущих ценах

Отрасли ­ производители	Отрасли ­ потребители
		…	n
. . n	x11p1 x21p2 . .   xn1pn	x12p1 x22p2 . .   xn2pn	… … … … …	x1np1 x2np2 . .   xnnpn
Чистая продукция отрасли	z1	z2	…	zn

Тогда уравнение (4.2) запишется так:

(4.24)

разделим обе части на Xj

(4.25)

Уравнения (4.24) и (4.25) позволяют производить расчеты по влиянию изменения цен продукции i-ых отраслей на изменение цен по всей совокупности отраслей народного хозяйства.

Пример 4.2. Пусть данные о структуре затрат отчетного периода представлены в таблице 4.4.

Таблица 4.4

Содержание первого и третьего квадрантов трехотраслевого МОБ

Отрасли ­ производители	Отрасли ­ потребители
	984,4 227,1 37,9	173,7 86,9 37,2	59,1 136,3 48,3
Добавленная (вновь созданная) стоимость в отрасли	643,6	1023,2	293,3
Валовая продукция

Предположим, что цена продукции в первой отрасли выросла в 10 раз, что привело к увеличению цен на продукцию других отраслей в р₂ и р₃ раза соответственно при той же структуре затрат. Поскольку задан индекс цен на продукцию первой отрасли, считается, что величина затрат на продукцию первой отрасли не влияет на формирование цены в этой отрасли. Система (4.24) будет состоять из двух балансовых уравнений для второй и третьей отраслей:

 

После приведения подобных и решения системы получается решение:

Р₂ = 10,2; р₃ = 11,3.

Таким образом, повышение цен на продукцию первой отрасли в 10 раз приведет к повышению цен на продукцию второй отрасли в 10,2 раза, и третьей отрасли ­ в 11,3 раза (при условии, что индекс роста всех элементов добавленной стоимости совпадает с индексом роста цен).

Как правило, индекс роста заработной платы отстает от роста цен. Так, в 1995 году коэффициент эластичности заработной платы от цен составил 0,75. Это условие может быть отражено в предыдущей модели. В третьем квадранте в составе вновь созданной стоимости выделим заработную плату:

1 2 3

Добавленная (вновь созданная) стоимость в отрасли	Заработная плата	377,1	351,9	75,4
Остальные элементы	266,5	671,3	217,9

/>Тогда модель (4.21) должна быть записана в виде:

Уравнение (4.24) может быть использовано также для обоснования последствий изменения отдельных элементов условно-чистой продукции (амортизации, косвенных налогов, прибыли).

4.2.2 Балансовые модели в задачах анализа трудовых показателей и показателей использования основных фондов.

Различные модификации рассмотренной выше модели межотраслевого баланса производства и распределения продукции в народном хозяйстве позволяют расширить круг показателей, охватываемых моделью. Рассмотрим применение межотраслевого балансового метода для анализа трудовых показателей.

К числу важнейших аналитических возможностей балансового метода относится определение прямых и полных затрат труда на единицу продукции и разработка на этой основе балансовых продуктово-трудовых моделей, при этом исходной моделью служит отчетный межпродуктовый баланс в натуральном выражении. В этом балансе по строкам представлено распределение каждого отдельного продукта на производство других продуктов и конечное потребление (первый и второй квадранты схемы межотраслевого баланса.) Отдельной строкой дается распределение затрат живого труда в производстве всех видов продукции; предполагается, что трудовые затраты выражены в единицах труда одинаковой степени сложности.

Обозначим затраты живого труда в производстве j – го продукта через L_j, а объем производства этого продукта (валовой выпуск), как и раньше, через X_j. Тогда прямые затраты труда на единицу j – го продукции (коэффициент прямой трудоемкости) можно задать следующей формулой:

. (4.26)

Введем понятие полных затрат труда как суммы прямых затрат живого труда и затрат овеществленного труда, перенесенных на продукт через израсходованные средства производства. Если обозначить величину полных затрат труда на единицу продукции j – го вида через T_j, то произведения вида a_ij T_j отражают затраты овеществленного труда, перенесенного на единицу j – го продукта через i – е средство производства; при этом предполагается, что коэффициенты прямых материальных затрат a_ij выражены в натуральных единицах. Тогда полные трудовые затраты на единицу j – й продукции (коэффициент полной трудоемкости) будут равны

. (4.27)

Введем в рассмотрение вектор-строку коэффициентов прямой трудоемкости t = (t₁, t₂, …, t_n) и вектор-строку коэффициентов полной трудоемкости T = (T₁, T₂, …, T_n).

Тогда с использованием уже рассматриваемой выше матрицы коэффициентов прямых материальных затрат A (в натуральном выражении) систему уравнений () можно переписать в матричном виде:

T = TA + t. (4.28)

Произведя очевидные матричные преобразования с использованием единичной матрицы Е

Т – ТА = ТЕ – ТА = Т (Е - A) = t, (4.29)

Получим следующее соотношение для вектора коэффициентов полной трудоемкости:

T = t (E - A)^-1. (4.30)

Матрица (E - A)^-1 представляет матрицу В коэффициентов полных материальных затрат, так что последнее равенство можно переписать в виде

T = t B. (4.31)

Обозначим через L величину совокупных затрат живого труда по всем видам продукции, которая с учетом формулы () будет равна

. (4.32)

Используя соотношения () () и (), приходим к следующему равенству:

tX = TY, (4.33)

где t и T – вектор-строки коэффициентов прямой и полной трудоемкости, а X и Y – вектор-столбцы валовой и конечной продукции соответственно.

Соотношение (4.339) представляет собой основное балансовое равенство в теории межотраслевого баланса труда. В данном случае его конкретное экономическое содержание заключается в том, что стоимость конечной продукции, оцененной по полным затратам труда, равна совокупным затратам живого труда. Сопоставляя потребительский эффект различных взаимозаменяемых продуктов с полными трудовыми затратами на их выпуск, можно судить о сравнительной эффективности их производства. С помощью показателей полной трудоемкости более полно и точно, чем при использовании существующих стоимостных показателей, выявляется структура затрат на выпуск различных видов продукции и прежде всего соотношение между затратами живого и овеществленного труда.

На основе коэффициентов прямой и полной трудоемкости могут быть разработаны межотраслевые и межпродуктовые балансы затрат труда и использования трудовых ресурсов. Схематически эти балансы строятся по общему типу матричных моделей, однако все показатели в них (межотраслевые связи, конечный продукт, условно чистая продукция и др.) выражены в трудовых измерителях.

Рассмотрим пример.

Пример 4.3. Пусть в дополнение к исходным данным примера 4.1 заданы затраты живого труда (трудовые ресурсы) в трех отраслях: L₁ = 1160, L₂ = 460, L₃ = 875 в некоторых единицах измерения трудовых затрат. Требуется определить коэффициенты прямой и полной трудоемкости и составить межотраслевой баланс затрат труда.

1. Воспользовавшись формулой (4.26) и результатами примера 4.1, находим коэффициенты прямой трудоемкости:

; ; .

2. По формуле (4.31), в которой в качестве матрицы Bберется матрица коэффициентов полных материальных затрат, найденная в примере 4.1, находим коэффициенты полной трудоемкости:

.

3. Умножая первую, вторую и третью строки первого и второго квадрантов межотраслевого материального баланса, построенного в примере 4.1, на соответствующие коэффициенты прямой трудоемкости, получаем схему межотраслевого баланса труда (в трудовых измерителях) (табл.4.5).

Схема межотраслевого баланса труда Таблица 4.5

Производящие отрасли	Потребляющие отрасли	Затраты труда на конечную продукцию	Затраты труда в отраслях (трудовые ресурсы)
Межотраслевые затраты овеществленного труда
	348,4 350,6 435,7	115,8 112,3 89,7	60,2 18,3 89,7	635,6 458,2 512,6	1160,0 939,4 1127,8

 

Незначительные расхождения между данными таблицы и исходными данными вызваны погрешностями округления при вычислениях.

Развитие основной модели межотраслевого баланса достигается также путем включения в нее показателей фондоемкости продукции. В этом случае модель дополняется отдельной строкой, в которой указаны в стоимостном выражении объемы производственных фондов Фj , занятые в каждой j-й отрасли. На основании этих данных и объемов валовой продукции всех отраслей определяются коэффициенты прямой фондоемкости продукции j-й отрасли:

(4.34)

Коэффициент прямой фондоемкости показывает величину производственных фондов, непосредственно занятых в производстве данной отрасли, в расчете на единицу ее валовой продукции. В отличие от этого показателя коэффициент полной фондоемкости отражает объем фондов, необходимых во всех отраслях для выпуска единицы конечной продукции j-й отрасли. Для коэффициента полной фондоемкости справедливо равенство, аналогичное равенству (4.27) для коэффициента полной трудоемкости:

(4.35)

Аналогично преобразованиям, применяемым выше для коэффициентов трудоемкости, можно получить следующее выражение для расчета коэффициентов полной фондоемкости:

. (4.36)

Для более глубокого анализа необходимо дифференцировать фонды на основные и оборотные, а в пределах основных ­ на здания, сооружения, производственное оборудование, транспортные средства и т.д.

4.2.3 Динамическая модель межотраслевого баланса.

Статические модели, рассмотренные выше, разрабатываются для отдельных периодов, а изменение состояния экономики отображается последовательно рассчитанными независимыми моделями. Для того, чтобы в одной модели отразить процесс развития экономики разрабатываются динамические модели.

Рассмотрим пример построения динамической модели, отражающей влияние капиталовложений на рост объемов производства. В статической модели межотраслевого баланса капиталовложения отражаются во втором квадранте с предметами потребления и непроизводственными затратами. В динамической модели МОБ капиталовложения выделяются из состава конечной продукции, в первый квадрант добавляется еще одна матрица межотраслевых потоков. Содержимое первых двух квадрантов представлено в таблице 4.6.

Матрица текущих производственных затрат совпадает с аналогичной матрицей статического баланса.

Элементы второй матрицы этого же квадранта показывают количество продукции i-ой отрасли, направляемое в текущем периоде на инвестиционные цели в j-ю отрасль (для производственных вложений в ее основные фонды: прирост в потребляющих отраслях оборудования, сооружений, производственных площадей, транспортных средств и т.д.).

 

Схема динамического межотраслевого баланса Таблица 4.6

Производящие отрасли	Межотраслевые потоки текущих затрат	Межотраслевые потоки производственных капиталовложений	Конечный продукт	Валовая продукция
		…	n			…	n
	X11	X12	…	X1n	K11	K12	…	K1n
	X21	X22	…	X2n	K21	K22	…	K2n
…		…	…	…		…	…	…	…	…
n	Xn1	Xn2	…	Xnn	Kn1	Kn2	…	Knn

 

Каждый элемент второго квадранта представляет объем чистого конечного продукта i-ой отрасли (конечный продукт i-ой отрасли за вычетом капитальных вложений).

Для построения динамической модели необходимо найти математическую зависимость между величиной капитальных вложений и приростом продукции над уровнем предшествующего периода.

Пусть ­ прирост валовой продукции в i-ой отрасли за период .

Делается предположение о пропорциональности между размером капитальных вложений и приростом продукции

, (4.37)

отсюда (4.38)

коэффициент называют коэффициентом вложений, он показывает, сколько продукции i-й отрасли должно быть вложено в j-ю отрасль для увеличения производства годовой продукции j-й отрасли на единицу.

C помощью введенных обозначений упрощенная динамическая трехотраслевая модель МОБ может быть представлена в следующем виде (сравнить с системой 4.4):

(4.39)

В динамической трех отраслевой модели МОБ предполагается, что в периоде (t-1) производственные мощности используются полностью и весь прирост продукции обеспечивается за счет капиталовложений .

Для решения задачи определения объемов производства на основе чистого конечного продукта используется система (4.36), полученная из (4.35) и имеющая вид:

(4.40)

Из системы (4.40) можно определить валовую продукцию отраслей , зная

Ø уровни производства в предыдущем периоде ,

Ø прогноз чистого продукта в разрезе отраслей .

При этом полагают неизменными технологию и капиталоемкость .

В рассмотренной динамической модели прирост продукции текущего периода получен за счет инвестиций, осуществленных за этот же период . Более сложные варианты динамических моделей МОБ учитывают отставание во времени между капитальными вложениями в основной капитал и приростом выпуска продукции (временной лаг) и непропорциональность величины капитальных вложений приросту продукции.

4.2.4 Межотраслевой баланс денежного оборота.

Процесс общественного воспроизводства сопровождается движением денежных средств между его участниками в наличной и безналичной формах. Экономические субъекты выступают плательщиками и получателями денег, заёмщиками и кредиторами. В целях глубокого и подробного изучения движения денежных средств во взаимосвязи с материальными потоками разрабатывается сводный материально- финансовый баланс, который представляет собой систему таблиц (балансов), ориентированных на исследование различных аспектов материально- финансовых отношений субъектов народного хозяйства. Одним из примеров таких таблиц является межотраслевой баланс денежного оборота (МБДО).

По принципам и методике построения, по информационному обеспечению (уравнениям), нормативной базе МБДО тесно связан с рассмотренным ранее МОБ общественного продукта.

Система показателей МБДО образует шахматную таблицу (см. табл. 4.7), в которой по строкам (получатели денег) и по столбцам (плательщики) показываются одни и те же экономические субъекты, т.е. отрасли материального и нематериального производства, население и финансово-кредитные органы.

В первом квадранте отражаются денежные потоки между всеми субъектами.

Второй и третий квадранты ─ содержат денежные потоки (доходы и расходы) между финансово-кредитной системой и субъектами.

В IV квадранте в развёрнутом виде отражаются денежные потоки между отдельными звеньями финансово-кредитной системы.

Введем обозначения:

x_i- общий доход i-го субъекта;

x_ij- доход, получаемый i-м субъектом от j-го субъекта;

y_i- доход i-го субъекта, получаемый от финансово-кредитной системы.

Укрупнённая схема МБДО Таблица 4.7

	Плательщики денег	Отрасли материального производства	Отрасли непроизводственной сферы	Население	Итого	Финансово-кредитная система (расходы)	Итого доходов
Получатели денег
1. Отрасли материального производства	Х11	Х12	Х13		Y1	X1
2. Отрасли непроизводственной сферы	Х21	Х22	Х23		Y2	X2
3. Население	Х31	Х32	Х33		Y3	X3
Итого расходов
Финансово-кредитная система (доходы)	Z1	Z2	Z3
Всего расходов	X1	X2	X3

 

В общем случае можно выделить следующие направления использования денежных средств финансово - кредитной системы: денежные потоки в бюджетную сферу; платежи за государственные заказы; выплаты населению, не связанные с оплатой труда (компенсации, субсидии, пенсии).

z_j- доход j-го субъекта, передаваемый в финансово-кредитную систему, т.е. это доходы финансово-кредитной системы, которые складываются из налоговых и прочих платежей в бюджет (арендная плата за использование государственного имущества и др.).

Суммы элементов I и II квадрантов по каждой строке являются уравнением доходов i-го субъекта:

(4.41)

Сумма всех элементов I и III квадрантов по каждому столбцу является уравнением расходов j-го субъекта:

(4.42)

Таким образом, каждая пара одноимённых строк и столбцов характеризует баланс доходов и расходов соответствующего экономического субъекта.

В МБДО делается предположение о пропорциональности денежных потоков общим доходам плательщиков, в качестве коэффициента пропорциональности принимается a_ij:

(4.43)

(4.44)

Коэффициент aij называется коэффициентом прямых денежных затрат. Экономическая интерпретация коэффициента прямых денежных затрат: это доход i-го субъекта, получаемый от j-го субъекта в расчёте на общий доход j-го субъекта.

Модель МБДО в алгебраическом виде:

; (4.45)

в матричном виде:

(4.46)

где |Е-А|-1 ­ матрица коэффициентов полных денежных затрат. Каждый элемент этой матрицы bij показывает, на сколько увеличивается общий доход i-го субъекта при увеличении на единицу выплат j-му субъекту из финансово-кредитной системы.

4.2.5 Модели межотраслевого баланса в системе национальных счетов.

Рассмотренная выше (разделы 4.1.1÷4.1.3) модель МОБ построена в методологии баланса народного хозяйства (БНХ).

В условиях рыночной экономики широкое распространение получило использование системы национальных счетов.(СНС): СНС отражает идею общего экономического равновесия в стране и дает информацию по стандартному набору счетов для всех секторов экономики. Использование СНС необходимо для проведения макроэкономической политики государства, экономического прогнозирования, а также для международных сопоставлений показателей валового внутреннего продукта.

Рассмотрим различия модели МОБ в методологии баланса народного хозяйства и методологии СНС.

Общий вид схем балансов различается несущественно: в модели по СНС процесс воспроизводства общественного продукта отражается тремя квадрантами, а в модели БНХ - четырьмя.

Существенно различается методология формирования информационной базы МОБ. Если схема БНХ включает только отрасли материального производства, то в СНС в набор отраслей МОБ включаются как отрасли материального производства, так и сфера услуг ­ ЖКХ, здравоохранение, образование, наука, культура, искусство. Следовательно, в МОБ СНС в состав промежуточного потребления всех потребленных в процессе производства товаров и услуг включаются как товары и услуги отраслей материального производства (промышленность, строительство, сельское хозяйство и прочие отрасли материального производства), а также и отраслей нематериального производства.

Изменения в наборе отраслей первого квадранта привело к изменению в формировании столбцов второго и третьего квадрантов.

Второй квадрант (конечное использование) МОБ в СНС подразделяется на три столбца: конечное потребление, валовое накопление и сальдо экспорта­импорта.

1) Конечное потребление рассматривается в сфере материального и нематериального производства. В сфере материального производства ­ потребление конечных товаров и материальных услуг, купленных домашними хозяйствами за счет своих доходов, продукция личного подсобного хозяйства и другие доходы домашних хозяйств в натуральном виде, а также покупка государственными учреждениями и некоммерческими организациями товаров и услуг для передачи домашним хозяйствам. В сфере нематериального производства ­ объем платных услуг, потребляемых домашними хозяйствами за счет своих доходов, а также стоимость нерыночных услуг, оказываемых бюджетными организациями здравоохранения, образования, социального обеспечения, культуры и др.

2) валовое накопление включает накопления основного капитала и изменение запасов материальных оборотных средств и отражается только в разрезе отраслей материального производства.

3) сальдо экспорта-импорта ­ отражается как по товарам, так и по услугам (т.е. рассматривается в сфере материального и нематериального производства).

Экономическое содержание каждого столбца II квадранта в МОБ СНС дается описанием соответствующего сводного счета СНС: счет использования доходов, счет капитальных затрат и счет текущих операций по внешнеэкономическим связям.

Показатели развернутого III квадранта МОБ (потребление основного капитала, зарплата, прибыль, косвенные налоги, субсидии) корреспондируют с аналогичными показателями национальных счетов (счета, связанные с образованием и первичным распределением доходов).

В соответствии с указанными особенностями формирования схемы МОБ СНС величины итоговых показателей 2-го и 3-го квадрантов МОБ в СНС («Конечное использование ­ всего» и «Валовая добавленная стоимость ­ всего») представляют собой ВВП (валовой внутренний продукт), в то время как в МОБ БНХ эти итоги представляют национальный доход.

Вопросы по теме

6. Какое соотношение схемы МОБ используется для прогнозирования изменения индексов цен.

7. Раскройте экономическое содержание коэффициентов прямой и полной трудоемкости.

8. Раскройте экономическое содержание коэффициентов прямой и полной фондоемкости.

9. Дайте описание экономико-математической модели межотраслевого баланса затрат труда и раскройте экономический смысл входящих в нее величин.

10. Раскройте экономическое содержание элементов первого и второго квадрантов динамической модели МОБ.

11. Раскройте экономическое назначение и содержание квадрантов межотраслевого баланса денежного оборота.

12. В чем различие в подходах к построению схемы МОБ в системе народного хозяйства (традиционный подход) и в системе международных счетов.

4.3 Система моделей оптимального развития и размещения производств.

Важнейшее значения для развития любого производства имеет его рациональное размещение. При этом важно теоретически и методологически правильно обосновать варианты развития и размещения промышленного производства, т. к. неправильный выбор месторасположения, специализации, номенклатуры и объема продаж ведет к огромным потерям. В этой связи разработка теоретических и практических аспектов оптимального размещения становится одной из важнейших задач экономической науки и практики. Наибольшее развитие эти задачи получили в 70 - 80 годы в условиях отраслевой системы управления. Обоснование размещения промышленных предприятий с помощью оптимизационных моделей дало экономический эффект на 15 % больше, чем другими традиционными методами.

Методы решения задач оптимизации размера и размещения производств применяются во многих странах мира при планировании деятельности крупных концернов, корпораций, фирм, а так же при государственном программировании и планировании развития экономики.

Целью решения этих задач являются: выбор наиболее экономичного варианта строительства, реконструкции и расширения промышленного предприятия; выбор их территориального размещения; расчет оптимальных размеров, выбор оптимальной специализации производства; установление кооперативных связей.

4.3.1 Основные положения оптимизации размещения крупных производств в регионах.

Оптимальным вариантом развития и размещения производств (РРП) является такой вариант строительства новых, реконструкции и расширения существующих хозяйственных объектов который бы обеспечил удовлетворение спроса на продукцию и эффективное развитие производства.

В качестве критерия оптимальности в большинстве задач выступают минимум затрат на заданный объем конечного продукта, или максимум прибыли, или максимум производства высокоэффективной продукции отрасли.

Варианты РРП, оптимальные с точки зрения выбранного критерия, должны включать описание следующих условий:

- спрос на продукцию и другие условия реализации;

- возможность использования дефицитных ресурсов (ограничения по ресурсам);

- устоявшиеся взаимосвязи между отдельными хозяйствующими объектами;

- транспортные условия по доставке сырья, материалов, готовой продукции и т.д.

- социальные, экологические и другие внешние условия.

Экономико-математические модели данных задач формируются для определенного отрезка времени, поэтому здесь уместна динамическая постановка задачи. Поскольку в реализации динамических задач имеется ряд трудностей методического и информационного характера, чаще рассматривается упрощенная статическая модель. Экономические показатели, используемые при расчетах, учитывают изменение во времени оценок ресурсов и продукции, для этого используются коэффициенты дисконтирования.

Классификация РРП задач может производится по нескольким признакам:

1. В зависимости от способа задания варианта развития и размещения:

- в безвариантной постановке,

- в вариантной постановке.

2. В зависимости от характера переменной

- с непрерывными переменными,

- с дискретными переменными.

3. По степени влияния транспортного фактора:

- транспортно – производственные задачи,

- производственные задачи.

4. По числу позиций номенклатуры выпускаемой продукции:

- однопродуктовые,

- многопродуктовые.

5. По степени возможной локализации системы:

- одноэтапные (поставщик – потребитель),

- многоэтапные (поставщик – изготовитель (переработчик) – потребитель).

Простейшие модели РРП относятся к отраслям, производящим один вид продукции в количестве, достаточном для удовлетворения спроса потребителей. Задача может быть сведена к обычной транспортной задаче, т.е. к закреплению потребителей за поставщиками, которое обеспечивает минимум транспортных затрат. Модель простой транспортной задачи, рассмотренная в разделе 2.3, являлась закрытой, однопродуктовой, транспортно-производственной (одноэтапной), безвариантной.

Однако задача отраслевого размещения усложняется в условиях, когда мощности поставщиков не удовлетворяют спрос потребителей. Это требует ввода новых мощностей путем строительства новых промышленных предприятий, путем расширения, реконструкции действующих.

Введем следующие обозначения:

– индекс пункта производства (строительства, реконструкции) ;

– индекс пункта потребления ;

a_i – верхний предел мощности в i–м пункте производства (строительства, реконструкции);

b_j – спрос j -го потребителя на продукцию отрасли;

– затраты на производство единицы продукции в i-м пункте нового строительства (расширения, реконструкции действующего предприятия);

t_ij – транспортные расходы по перевозке продукции от i-го пункта строительства к j-тому пункту потребления,

x_ij – объем поставок продукции от i-го пункта производства к j-му пункту потребления,

x_i –размер производства в i-ом пункте.

Требуется определить значения величин x_ij и x_i , минимизирующих суммарный объем затрат на производство и доставку продукции

(4.47)

при выполнении следующих ограничений:

· суммарный ввоз продукции в каждый из пунктов потребления должен быть равен его потребностям

(j=1,n), (4.48)

· Суммарный вывоз продукции из каждого пункта производства должен быть равен размеру производства, а последний не может быть больше предельного значения

, (4.49)

· объемы перевозок по всем направлениям и размеры производства в каждом из пунктов производства должны быть неотрицательны

(4.50)

 

 

Результат решения задачи по алгоритму транспортной задачи дает оптимальную схему транспортных связей и оптимальный вариант размещения производства. Причем решение дает ограничение типа (4.49) , из которого следует: в пунктах, которые в оптимальном распределении окажутся связанными с реальными потребителями, целесообразно развивать производство в размере: .

С учетом условия (4.49) критерий оптимальности (4.47) можно переписать:

(4.51)

или после преобразований

(4.52)

В этой модели принято, что величина производственных затрат пропорциональна объемам производства. Однако экономическая теория и практика свидетельствуют, что величина производственных затрат существенно зависит от объемов производства продукции, т.е. являются функцией от них. Концентрация производства приводит к снижению удельных производственных затрат вследствие экономии, например, на накладных расходах, вследствие чего общую величину производственных затрат надо определять как произведение переменного норматива, представляющего собой функцию от размеров производства, на объем производства (нелинейная зависимость). Поэтому решение модели данной задачи можно использовать только для предварительных (эскизных) расчетов на начальных этапах исследования.

4.3.2 Виды моделей однопродуктовой одноэтапной задачи размещения и развития производства.

Для получения более точных результатов решения задач РРП следует учесть следующие факторы:

· нелинейная зависимость затрат от объёмов производства продукции. В результате целевая функция должна учитывать эту нелинейность в производственных затратах и линейность в транспортных затратах;

· характер переменной модели. Переменная может быть непрерывной, т.е. объем производства может изменяться от нижнего до верхнего предела, а может быть и дискретной, т.е. принимать определённые значения.

С учётом этих факторов можно выделить два типа моделей задачи РРП:

­ модель нелинейной задачи с непрерывными переменными (безвариантная постановка);

­ модель нелинейной задачи с дискретными переменными (вариантная постановка).

Вид модели безвариантной постановки:

(4.53)

(4.54)

где:

j_i(x_i)- функция удельных производственных затрат, показывающая зависимость их уровня от объема производства в пункте i.

d_i- нижний предел мощности производства;

t_ij- транспортные затраты на единицу продукции от i-го пункта производства до j-го потребителя.

Основной путь решения таких задач состоит в минимизации соответствующих нелинейных зависимостей и последующем решении целого ряда линейных задач, а так же выбора из полученных результатов наилучшего варианта, отвечающего требованиям критерия оптимальности. Этот метод носит название аппроксимации кусочно-линейными функциями, в этом случае нелинейную зависимость представляют в виде линейной для более узкого интервала между нижним и верхним пределами интервала.

 

Рисунок 4.2 Представление нелинейной зависимости суммарных затрат от объемов производства.

Выпуклая кривая на графике по определённому интервалу делится на отрезки, крайние точки которых соединяются прямыми. Для каждого из интервалов решаются задачи линейного программирования и находятся значения целевой функции. Из всех вариантов выбирается минимальное значение, ему и будет соответствовать оптимальный план развития производства. Решение тем точнее, чем на большее количество интервалов разделена эта зависимость.

Исходя из специфики химических, металлургических производств мощность предприятия может формироваться за счет крупных неделимых агрегатов и изменяться дискретно. В таких случаях искомые переменные ­ перспективные производственные мощности предприятий могут принимать не любые значения на всем интервале изменения мощности, а лишь некоторые, строго определенные значения, кратные величинам мощностей имеющихся на предприятии агрегатов, технологических линий, т.е. в этом случае получается задача развития и размещения с дискретными (целочисленными) переменными.

Для представления модели задачи РРП с дискретными переменными и нелинейной зависимостью удельных производственных затрат от мощности дополнительно введем следующие обозначения:

­ индекс типового проекта; число используемых типовых проектов для разных пунктов производства неодинаково, поэтому = 1,2,…., ;

­ мощность предприятия в i-м пункте производства по -му типовому проекту.

В модели (4.53 ÷ 4.54 ) изменится только вид ограничения по возможной мощности в пункте строительства:

(4.55)

 

Условия (4.55) отражают тот факт, что размер мощности предприятия в i-м пункте может быть равен одному из возможных вариантов типовых проектов (или нулю).

4.3.3 Решение одноэтапной целочисленной задачи методом коэффициента интенсивности.

Введение в модель задачи РРП нелинейности и дискретности (целочисленности) значительно затрудняет решение. Универсальных методов решения таких задач не существует, но часто используется приближенный метод «коэффициентов интенсивности».

Метод «коэффициентов интенсивности» основан на замене однократного решения нелинейной задачи развития и размещения производства с дискретными переменными многократным решением последовательности обычных линейных транспортных задач с дискретными переменными. Переход от одной транспортной задачи к другой осуществляется взаимосвязанным изменением мощности и соответствующих ей удельных производственных затрат для какого-либо одного пункта производства.

Таким образом, решение задачи состоит из последовательности этапов. На первом этапе решается открытая транспортная задача с неизвестными .

Ограничение (4.55) на этом этапе выглядит так:

(4.56)

где ­ максимально возможная мощность в i-м пункте строительства.

*После распределения поставок по потребителям производится проверка целочисленности решения. Для этого для каждого i-го пункта строительства рассчитывается коэффициент интенсивности.

Коэффициент интенсивности ( ) представляет дробь, в числителе которой сумма поставок реальным потребителям, а в знаменателе производственная мощность поставщика на данном этапе:

(4.57)

По результатам расчета коэффициент интенсивности может принимать следующие значения:

если ­ соответствующий вариант мощности отвергается полностью;

если ­ данный вариант мощности поставщика может быть включен в оптимальный план развития и размещения;

если ­ смешанная строка, мощность поставщика используется не полностью, только часть продукции, произведенной в i-м пункте по k- му проекту, распределяется между реальными потребителями, часть продукции закрепляется за фиктивным потребителем.

Задача будет решена, если для всех строк будут равны 1 или 0.

При наличии смешанной строки, что свидетельствует о нецелочисленном решении, осуществляется переход к следующему этапу. Для этого из всех смешанных строк выбирается та, которой соответствует минимальное значение . Поставщика с минимальным называют переходным, и при переходе к следующему этапу только у этого производителя меняется мощность на ближайшее меньшее значение, что ведет к увеличению удельных затрат, а значит к уменьшению конкурентоспособности этого производителя. Решается новая транспортная задача, после чего процесс повторяется, начиная с позиции, помеченной звездочкой*.

Расчеты повторяют до получения целочисленного решения, т.е. на каком-то s-ом этапе моделирования ограничение (4.56) принимает вид

где (4.58)

(4.59)

что означает: каждый из вариантов строительства либо используется в полном объеме, либо не используется совсем.

Пример 4.4. Пусть новые предприятия по производству одинакового продукта могут быть построены в четырех пунктах А,Б,С,Д. а их продукция может поставляться в четыре пункта потребления (I, II, III и IV). Варианты мощностей предприятий и соответствующие им удельные производственные затраты представлении в табл. 4.8, а потребности и удельные транспортные затраты ­ в табл. 4.9:

Таблица 4.8

Предприятие	Варианты мощности (т)	Удельные приведенные затраты, (тыс.руб/т).
А
В
С
Д

 

Таблица 4.9

Поставщики	I	II	III	IV
A
B
C
D

 

Мощности в каждом пункте производства могут принимать лишь отдельные дискретные значения, поэтому зависимость удельных производственных затрат от размеров мощности задана не в виде функции, а в табличном виде.

Требуется определить оптимальную мощность промышленных предприятий в пунктах строительства и рациональную схему прикрепления поставщиков к потребителям, которые обеспечивает минимум затрат.

 

На первом этапе данного метода в каждом пункте производства принимаются максимальные проектные мощности . Соответствующие им удельные производственные затраты построчно суммируются с транспортными. Получается схема обычной транспортной задачи (см. Табл. 4.10):

Таблица 4.10

Мощность постав-щика	Потребители и их спрос	Фиктивный потребитель
I - 600	II- 400	III - 400	1V – 200
А - 400					-
B - 600					400	0,33
C - 600					_
D - 600					200	0,67

 

Решаем открытую транспортную задачу: закрепляем потребителей за поставщиками по «методу наименьших стоимостей». Для этого выбираем клетку с наименьшими затратами и заполняем ее объемом поставок - в соответствии со спросом потребителей и мощностью поставщика. Далее переходим к следующей незаполненной клетке с наименьшими затратами и заполняем таким образом всю таблицу. При этом ставится задача полного обеспечения спроса каждого из потребителей. Мощности поставщиков могут быть задействованы не полностью; неиспользуемые реальными поставками мощности проставляем в колонке «фиктивный потребитель».

Далее переходим к проверке условия целочисленности. Для этого по каждому i-му пункту строительства рассчитывается коэффициент интенсивности как отношение суммы реальных поставок к мощности, взятой на данном этапе.

Из таблицы 4.10 видно, что минимальный коэффициент интенсивности 0,33 соответствует поставщику В. Переходим к новому этапу решения задачи, изменив для строительства в пункте В мощность с 600 на 500 тонн (по данным табл. 4.8) и, соответственно, суммарные удельные затраты от этого поставщика.

Таблица 4.11

Пункты строительства	потребители
I-600	II-400	III-400	IV–200	Фиктивный потребитель
А - 400	--
				--
В - 500	--	--
С - 600		--
				--
D - 600	--
				--

 

После решения второго этапа (см. таблицу 4.11) все коэффициенты интенсивности равны 0 или 1, это значит, что решение окончательное, найдено оптимальное решение: план размещения и развития включает строительство предприятий в трех пунктах: пункт А (предприятие мощностью 400 т), пункт С (предприятие мощностью 600 т), пункт Д (предприятие мощностью 600 т).

Доставка продукции будет производиться по следующим направлениям:

· из пункта А ­ второму потребителю в объеме400 т (X₁₂=400);

· из пункта С ­ первому потребителю в объеме 600 т (X ₃₁=600);

· из пункта Д ­ третьему потребителю в объеме 400 т (X₄₃ =400);

­ четвертому потребителю в объеме 200 т (X₄₄=200).

Общая стоимость затрат на производство и доставку продукции составит 292 млн. руб.

.

4.3.4 Модель многоэтапной задачи развития и размещения производства.

В многоэтапных моделях развития и размещения производства учитываются более сложные связи пунктов нового строительства или реконструкции, которые одновременно выступают как в роли поставщика готовой продукции, так и в роли потребителя сырья и материалов.

Необходимость в применении многоэтапной модели возникает и при отсутствии прямых связей по поставкам продукции, наличии перевалки, длительного хранения и т.п.

Рассмотрим модели и методы решения трёхэтапной задачи, включающей: пункты добычи сырья, пункты переработки (производство продукции), пункты потребителей готовой продукции.

При фиксированных объёмах производства и размещения предприятий первого этапа, а также фиксированном спросе конечного потребителя, рассматриваются варианты размещения предприятий второго этапа, т.е. пунктов переработки, мощности которых и требуется определить. При этом связи между предприятиями всех этапов надо рассматривать в комплексе.

Введем обозначения:

i - индекс пункта переработки

j - индекс потребителя

r - индекс пункта поставки сырья (поставляющих или добывающих районов)

Q_r- фиксированный объём сырья в r-м районе добычи;

a_i- верхний предел мощности в i-м пункте переработки;

b_j- спрос j-го потребителя на готовую продукцию;

с_ri- затраты на добычу и транспортировку единицы сырья от r-го пункта добычи к i-му пункту переработки;

сij - затраты на производство и транспортировку единицы готовой продукции от i-го пункта переработки к j-му потребителю;

λ - норма расхода сырья на единицу готовой продукции.

Необходимо определить:

x_i- мощность предприятия в i-м пункте переработки;

x_ri- объём поставок сырья от r-го пункта добычи к i-му пункту переработки;

x_ij- объём поставок готовой продукции от i-го пункта переработки к j-му потребителю.

При этом совокупные затраты по перевозке как сырья, так и готовой продукции должны быть минимальны на всех этапах.

Модель многоэтапной задачи РРП будет выглядеть следующим образом.

Критерий оптимальности ­ минимум суммарных производственно-транспортных затрат на всех этапах: от пунктов добычи сырья до пунктов потребления

. (4.60)

Ограничения:

¾ по вывозу продукции из пунктов добычи сырья

(4.61)

¾ по обеспеченности сырьем пунктов производства продукции

(4.62)

¾ по удовлетворению спроса каждого потребителя:

(4.63)

¾ по полному использованию продукции из каждого пункта производства:

(4.64)

запрет на обратные перевозки:

(4.65)

 

условие неотрицательности:

(4.66)

Один из методов решения многоэтапных задач будет рассмотрен ниже.

4.3.5. Решение однопродуктовой многоэтапной модели задачи методом фиктивной диагонали.

Для решения такого рода задач используются специальные способы построения матриц. Матрица 3-х этапной задачи выглядит следующим образом (см. таблицу 4.12).

Матрица состоит из четырех блоков.

В I блоке (левый верхний блок) отражаются связи между предприятиями 1 и 2 этапа, т.е. пунктами поставок сырья и предприятиями − производителями готовой продукции. В клетках блока указываются реальные показатели удельных транспортных затрат.

Во II блоке (правый верхний блок) описываются связи поставщиков сырья и потребителей готовой продукции, если такие связи имеются. Если такие связи запрещены, все показатели транспортных затрат обозначены «х» (запретительный тариф).

III блок (левый нижний блок) отображает связи пунктов производства продукции с пунктами производства продукции. Поскольку по условию задачи перевозки готовой продукции от производителей к производителям не допускаются, во всех клетках этого блока (за исключением главной диагонали) проставлен запретительный тариф (х).

Матрица трехэтапной модели задачи РРП Таблица 4.12

	Потребители	Предприятия II этапа	Предприятия III этапа
Поставщики		A1	A2	Ai	Am	Aфикт	B1	B2	…Bj…	Bn
Предприятия I этапа	Q1						х	х	х	х
Q2						х	х	х	х
…Qr...			Xri Cri			х	х	х	х
Qp				I	блок	х	х	х	II блок х
Предприятия II этапа	A1	Х1ф	х	х	Х
A2	х	Х2ф	х	х
…Ai…	х	х	Хiф	х				Хij Cij
Am	х	х	х	Хmф	III блок				IVблок

 

Каждая клетка главной диагонали описывает связь каждого предприятия, производящего продукцию, с самим собой. В этих клетках производственно-транспортные затраты принимаются равными нулю. Если в результате решения задачи клетка главной диагонали оказывается заполненной, то число в ней будет показывать недоиспользованную мощность предприятия. Главная диагональ нижнего левого блока называется фиктивной диагональю, поэтому и метод решения многоэтапной задачи размещения производства называется методом фиктивной диагонали.

В IV блоке (правом нижнем блоке) описываются связи пунктов производства продукции с пунктами потребления, в клетках этого блока указываются реальные производственно-транспорные затраты.

Решение задачи включает все 4 блока и производится с помощью любого алгоритма транспортной задачи. Процесс решения начинается с заполнения блочной матрицы так, как это было описано выше. Поскольку целью задачи является полное удовлетворение спроса конечных потребителей, решается транспортная задача по данным IV блока, находятся маршруты и объемы распределения поставок от предприятий к потребителям. Далее осуществляется переход к III блоку. По результатам распределения поставок между предприятиями и потребителями заполняются диагональные клетки третьего блока для тех предприятий, производственная мощность которых недоиспользуется, в соответствующих диагональных клетках проставляется недоиспользуемая мощность таких предприятий.

Далее осуществляется переход к I блоку. Мощность предприятий ­ производителей продукции корректируется по результатам работы с третьим блоком: величина мощности предприятия определяется как разность между исходящей и мощностью, отражённой по диагонали в III блоке. При определении оптимальных связей в I блоке каждое предприятие получает сырья столько, сколько это необходимо для функционирования с скорректированной мощностью. Нераспределённое сырьё прикрепляется к фиктивным предприятиям.

Проверка на оптимальность производится методом потенциалов (метод дается в курсе «Экономико-математические методы»).

Пример 4.5. Исходная информация представлена в таблицах 4.13 ÷ 4.14.

Таблица 4.13

Поставщики сырья и их мощности (т)	Перерабатывающие предприятия и их мощности (т)
А1	А2
Q1
Q2
Q3
Q4

 

 

Таблица 4.14

Перерабатывающие предприятия и их мощности (т)	Потребители готовой продукции и их спрос (т)
В1	В2	В3
А1
А2

 

В правом нижнем углу каждой клетки таблиц проставлены удельные производственно-транспортные расходы (в тыс.руб/тонну). Норма расхода сырья λ=1. Определить оптимальную мощность перерабатывающих предприятий и найти рациональную схему распределения поставок между предприятиями на всех этапах так, чтобы совокупные затраты были минимальными.

Заполнение блочной матрицы и результаты распределения поставок сырья и готовой продукции, обоснованные размеры мощностей перерабатывающих предприятий показаны в табл. 4.15 .

 

Таблица 4.15

	Потребители	Предприятия и их мощность (т)	Потребители и их спрос (т)
Поставщики		A1=100	A2=150 А2=50	Aфикт	B1=50	B2=60	B3=40
Поставщики сырья и их мощность	Q1 =100		-	-	х	х	х
Q2 =100	-	-		х	х	х
Q3 =40	-	-		х	х	х
Q4=50	-		-	х	х	х
Прпедриятия ─ производители продукции их мощность	A1=100	-	х				-
А2=150	х			-

 

Данное распределение является оптимальным (можно проверить методом потенциалов). По результатам решения задачи можно сделать следующие выводы. Для удовлетворения спроса потребителей требуется построить два перерабатывающих предприятия: в пункте А1 мощностью 100 тонн, в пункте А2 мощностью 50 тонн. С целью полной загрузки перерабатывающих предприятий необходимы поставки сырья из пункта Q1 в объеме 100 тонн и из пункта Q4 в объеме 50 тонн (в поставках сырья из пунктов Q2, Q3 необходимости нет).

Суммарные производственно-транспортные расходы составят 410 тыс.руб: Z_min=(1∙100+1∙50)+(1∙50+2∙50+3∙10+2∙40)=410 тыс.руб.

 

4.3.6 Многопродуктовые задачи развития и размещения производства.

Более широкую сферу применения имеют задачи развития и размещения многономенклатурного производства, т.к. практически любое производство является многопродуктовым. В этих задачах определяются не только пункты нового строительства и расширения (реконструкции) действующих предприятий и размеры производства для них, но и объемы производства каждого продукта в рамках общей мощности предприятия, т.е. специализация.

Задача ставится следующим образом: определить пункты строительства, мощности и специализацию многономенклатурных производств при известной потребности каждого из потребителей в каждом виде продукции и известной зависимости затрат от объёма производства данной продукции, а так же транспортных затрат на перевозку единицы каждого вида продукции по каждому направлению.

Введем обозначения:

_i - пункта производства (строительства), ;

_j - индекс пункта потребления,

_k - индекс видов продукции, ;

─ максимально возможная мощность предприятия в пункте i;

─ размер потребности пункта j в продукции вида к;

─ затраты на производство единицы продукции вида k в пункте i в части, зависящей от специализации (и функционально зависящие объема выпуска k -го вида продукции);

─ удельные затраты на производство единицы продукции в пункте i в части, функционально зависящие от концентрации, т.е. от общей мощности предприятия в данном пункте);

─ транспортные затраты на перевозку единицы k -ой продукции от i-пункта к j-му потребителю;

─ объем производства k-ой продукции на i-ом предприятии;

─ общая мощность предприятия в i-ом пункте строительства;

─ объем поставок k-ой продукции от i-пункта к j-му потребителю.

Модель нелинейной безвариантной задачи размещения многономенклатурного производства при принятых обозначениях выглядит следующим образом.

Совокупные затраты на производство и перевозку всех видов продукции от всех пунктов строительства ко всем потребителям должны быть минимальными

(4.67)

при выполнении следующих ограничений:

Ø потребность каждого потребителя должна быть удовлетворена по каждому виду продукции

; (4.68)

Ø объем вывоза каждого вида продукции от каждого предприятия должен быть равен объему производства

; (4.69)

Ø суммарный выпуск всех видов продукции предприятия не должен превосходить максимально возможных размеров производства в данном пункте

; (4.70)

Ø неотрицательность переменных

. (4.71)

Раздельный учет в целевой функции (4.67) производственных затрат и вызван различным характером зависимости отдельных статей или категорий затрат от концентрации и специализации производства. Так, например, общезаводские расходы (в составе текущих затрат) и капитальные вложения в пассивную часть фондов (в составе единовременных затрат) зависят лишь от общей мощности предприятия (т.е. концентрации) и, как правило, мало зависят от структуры выпуска продукции по видам. И наоборот, затраты на сырье и на приобретение основного технологического оборудования служат примером той части текущих и единовременных затрат, которые непосредственно зависят от размеров выпуска того или иного вида продукции (т.е. от специализации).

В этом разделе рассмотрена безвариантная модель развития производства, т.к. мощность и специализация каждого предприятия не выбираются из заранее заданных вариантов (проектов), а формируются в процессе решения задачи.

Существуют другие модификации задач, учитывающих некоторые отраслевые особенности, например вариантная или сетевая модели. Одну из них, вариантную, рассмотрим в следующем разделе.

4.3.7 Модификации многопродуктовых задач развития и размещения производств.

Вариантные многопродуктовые модели задач РРП обладают большей гибкостью, позволяют отказаться от нелинейной зависимости затрат от объема производства. В таких задачах требуется выбрать из множества проектов строительства предприятий (с фиксированной специализацией, мощностью и производственными затратами) проекты, обеспечивающие полное удовлетворение потребителей по каждому виду продукции в целом по району с минимумом затрат на производство.

В дополнении к обозначениям, введенным в предыдущем разделе к безвариантной постановке, примем следующие:

пусть s ­индекс варианта строительства предприятия, так как число вариантов для различных пунктов производства различно, то ;

i ­индекс пункта производства , причем пункты, где уже действуют предприятия, но предлагаются варианты их реконструкции или развития, обозначим , пункты нового строительства обозначим .

­ общий объем производственных затрат при реализации варианта s в пункте i;

­ объем производства продукции вида к в пункте i при строительстве по варианту s;

­ общая потребность района в к-ой продукции.

Требуется найти переменную , означающую интенсивность использования s-го варианта развития производства в i-м пункте при совокупных минимальных затратах. Величина равна единице, если вариант (проект) принимается и включается в план развития и размещения производства, и равна нулю, если вариант отвергается.

C учетом введенных обозначений модель вариантной задачи примет следующий вид:

минимизировать общую сумму производственных затрат

(4.72)

при условиях:

Ø общий объем производства по каждому виду продукции должен быть не меньше потребности в ней:

(4.73)

Ø каждый вариант должен быть принят или отвергнут целиком (условие целочисленности):

(4.74)

 

Ø для действующих предприятий обязателен выбор одного из вариантов его развития (расширения):

(4.75)

 

Ø для каждой точки нового строительства может быть выбрано не более одного (один или ни одного) из возможных вариантов:

(4.76)

В вариантной постановке многопродуктовой задачи РРП каждый из предложенных вариантов характеризуется набором показателей , задающих объем выпуска по отдельным видам продукции и в целом, и показателя , отражающего общий объем текущих (на функционирование) и единовременных (на строительство) затрат по данному варианту. Значения этих показателей определяются в результате разработки технико-экономического проекта нового строительства (реконструкции) или типовым проектом.

Целочисленность вариантной модели помогает избавиться от нелинейности. При любой форме зависимости затрат от концентрации и специализации производства критерий оптимальности всегда будет линейным, т.к. для каждого из имеющихся проектов рассчитывается один показатель общего уровня затрат , который используется в целевой функции модели в качестве постоянного коэффициента при неизвестных . Это позволяет отказаться от выделения в производственных затратах частей, зависящих от концентрации и специализации производства.

Пример 4.6.Определить оптимальный план специализации трех предприятий, выпускающих 2 вида продукции, потребность в продукции составляет 14’000 тонн и 5’000 тонн соответственно. Дополнительно данные о мощности каждого варианта предприятия и суммарных затратах на строительство приведены в таблице 4.16:

 

 

Таблица 4.16

Выпуск продукции и затраты	Пункты строительства предприятий и варианты строительства
I	II	III
1 вариант	2 вариант	1 вариант	2 вариант	1 вариант	2 вариант
	Х11	Х12	Х21	Х22	Х31	Х32
Выпуск продукции (тыс.т) - 1 вид продукции - 2 вид продукции	-
Затраты на выпуск годовой (Cis) продукции (млн.руб.)				59,5

 

Требуется найти целочисленное решение, обеспечивающее выпуск каждого вида продукции в заданном объеме с минимальными производственными затратами. Причём в пункте I обязательно строительство предприятия, а в пунктах II и III не обязательно.

Ниже (4.77÷4.79) представлена математическая модель задачи:

 

(4.77)

(4.78)

(4.79)

 

Дальнейшее усложнение экономико-математических моделей задач РРП может заключаться в сочетании многономенклатурных производств с многоэтапностями перевозок, связанными с многообразием используемых ресурсов, пунктов доставки сырья от источников сырья к каждому пункту производства и от производств к многочисленным потребителям с разными запросами. Такие задачи решаются на основе комбинации рассмотренных выше моделей.

 

Вопросы по теме.

1. Назначение задач развития и размещения производств.

2. Классификация задач развития и размещения производств (РРП).

3. Различия в модели простой транспортной задачи от простой одноэтапной однономенклатурной модели задачи РРП.

4. Что означает целочисленность решения задачи РРП.

5. Каким образом преодолевается в моделях задач РРП нелинейность зависимости затрат от объемов производства.

6. Составьте экономико-математическая модель к задаче раздела 4.2.7.

Раздел V. Экономико-математические модели социально-экономических систем

В условиях рыночной экономики в основе принятия хозяйственных решений лежит рыночная информация, а обоснованность решений проверяется рынком в ходе реализации товаров и услуг. Поэтому начальным этапом предпринимательской деятельности должно быть изучение потребительского спроса. В этом разделе рассматриваются некоторые вопросы моделирования спроса и потребления.

5.1 Математические модели анализа потребительского поведения и спроса

5.1.1 Анализ полезности товаров, кривые безразличия.

В качестве основных факторов потребительского выбора рассматриваются полезность товара, цена на товар, доход покупателя. Существуют два основных подхода к анализу полезности как основного фактора потребительского выбора – количественный и порядковый.

Количественный подход к анализу полезности основан на представлении о возможности измерения полезности различных благ в гипотетических единицах - ютилах (utility-полезность). Количественная функция общей полезности (TU) вначале возрастающая, имеет точку максимума (S), после которой она становится убывающей (см. рис.5.1).

Предельная полезность (MU) показывает прирост общей полезности товарного набора при увеличении объема потребления данного товара на единицу и рассчитывается по следующей формуле:

(5.1)

Чаще всего, как видно на рисунке 5.1, предельная полезность падает и в точке максимума становится равной нулю, а далее - отрицательной.

 

TU

 

S

 

 

QA

MU

 

 

 

 

 

 

QA

 

Рис. 5.1 График функции общей (TU) и предельной (MU) полезности.

 

Порядковый подход к анализу полезности является более распространенным и исходит из того, что человеку присущи отношения предпочтения при оценке им полезности тех или иных товаров.

Рассмотрим основную предпосылку теории оптимального выбора потребителя: потребитель осуществляет право сравнения и свободного выбора на некотором множестве X потребительских наборов, в каждый из которых включаются все виды продукции, которые являются предметами потребления для данной группы семей (потребителей). Можно считать, что всякий такой набор состоит из фиксированного числа ( n ) элементов и имеет вид:

Х = (x1, . . . , xj, . . . , xn) ,

где элементы x_j ³ 0 , поскольку они выражают количество потребляемой продукции.

Далее предполагается, что сравнительная оценка различных наборов данным потребителем с точки зрения его вкусов, привычек, традиций и т.д., может быть выражена при помощи т.н. бинарного отношения слабого предпочтения.

Это отношение определено на множестве потребительских наборов X , выражается формулой “предпочтительнее чем ...или равноценен”, записывается при помощи знака “=”.

Формула “x=y” , где x и y суть потребительские наборы означает, что данный потребитель (группа семей) в равных условиях либо предпочтет набор x набору y, либо не видит различия между ними, т.е. считает их равноценными.

На базе отношения слабого предпочтения вводится отношение безразличия (равноценности): два набора x и y безразличны для потребителя, если одновременно выполняются условия “x=y” и “y=x”. Факт равноценности двух наборов обычно записывается при помощи выражение “y ~ x”. Понятие строгого (сильного) предпочтения определяется следующим образом: “x y” тогда и только тогда, когда “x=y”, а соотношение “y= x” не имеет места.

Рассмотрим наборы только из двух товаров C и U. (Товары C и U можно рассматривать как комбинированные товары). Отношения предпочтения, характерные для каждого индивида, отражают посредством кривой безразличия, изображенной на рисунке 5.2.

Кривая безразличия отражает множество точек, каждая из которых представляет собой такой набор из двух товаров, что потребителю безразлично (равноценно), какой из этих наборов выбрать.

Наборы А и В с точки зрения данного потребления равноценны и лежат на одной и той же кривой безразличия I. Для нашего потребителя любой набор, лежащий на кривой II, предпочтительнее любого набора, лежащего на кривой I и т. д.

 

Рис. 5.2 Кривые безразличия

 

Предельная норма замещения (MRS - marginal rate of substitution) - основное рабочее понятие порядковой теории полезности.

Предельной нормой замещения блага X благом Y (MRSxy) называют количество блага Y, которое должно быть сокращено «в обмен» на увеличение количества блага X на единицу, с тем чтобы уровень удовлетворения потребителя остался неизменным:

при условии, что U= const (5.2)

Выделяют следующие типы кривых безразличия в зависимости от функций полезности: кривые безразличия линейного типа; неоклассического типа; кривые безразличия функций с полным взаимодополнением благ.

Кривые безразличия линейного типа соответствуют функции полезности с полным взаимозамещением благ (чай и кофе), которая имеет следующий вид:

(5.3)

где - параметры;

- полезность;

- товары.

Из функции полезности (5.3) можно найти Y:

(5.4)

и построить кривые безразличия линейного типа (см. рис. 5.3):

Y

X

U1

U2

U3

U1< U2 < U3

Рис. 5.3 Кривые безразличия линейного типа

 

Неоклассическая функция полезности имеет вид:

, где . (5.5)

Чтобы построить кривые безразличия необходимо найти Y:

(5.6)

Y

X

Рис.5.4 Кривые безразличия неоклассического типа

Функции с полным взаимодополнением благ имеют кривые безразличия в виде точки на пересечении двух прямых. При этом полные взаимодополнение благ предполагает, что при увеличении спроса на одно из двух благ растет спрос и на второе благо, например, сахар и чай, бензин и моторное масло. Избыток одного блага не имеет значения, полезность достигается лишь при определенной комбинации обоих благ:

(5.7)

Y

X

Рис. 5.5 Кривые безразличия функций с полным взаимодополнением благ

5.1.2 Решение задачи об оптимальном выборе потребителя.

Кривые безразличия графически отражают систему предпочтений потребителя. Естественно, потребитель стремится приобрести товарный набор, принадлежащий наиболее удаленной от начала координат кривой безразличия. Однако, это не всегда возможно, т.к. выбор набора ограничивается средствами, которыми располагает потребитель.

Обозначим рыночные цены блага X через Р_х, цены блага Y через P_y, доход потребителя через I; тогда бюджетное ограничение потребителя можно записать в виде уравнения:

. (5.8)

т.е. доход потребителя равен сумме его расходов на покупку товаров X и Y.

Преобразуем уравнение (5.8) и получим уравнение бюджетной линии (5.9), которая имеет вид прямой линии (рисунок 5.6). Чем выше доход, тем дальше от начала координат находится линия бюджетного ограничения.

. (5.9)

Y

X

I

Рис. 5.6 Бюджетная линия

 

Пусть задана линия бюджетного ограничения и несколько кривых безразличия. В рамках бюджетного ограничения потребитель постарается так распределить свой доход между различными благами, чтобы максимизировать полезность U. Соответствующий набор благ называется оптимальным планом потребления и обычно обозначается точкой касания бюджетной линии и кривой безразличия.

 

Рис. 5.7 Оптимальный выбор потребителя

 

Для ситуации, представленной на рисунке 5.7, оптимум потребителя будет в точке С.

В точке оптимума соотношение цены блага X к цене блага Y равно предельной норме замещения блага X благом Y, т.е. выполняется равенство:

(5.10)

Во многих прикладных исследованиях важную роль играет коэффициент эластичности. Под эластичностью понимают меру реагирования эндогенной (зависимой) переменной на изменение экзогенной (независимой) переменной.

Приведем также более конкретное определение: эластичность - предел соотношения между относительным приращением функции y (зависимой переменной) и относительным приращением независимой переменной x когда и обозначается E_x(y).

Таким образом, эластичность можно выразить формулой:

при (5.11)

или в непрерывном случае:

. (5.12)

На практике эластичность относят к проценту прироста независимой переменной. Тогда эластичность показывает, на сколько процентов повышается или понижается эндогенная переменная Y, если независимая переменная X изменяется на 1%.

Различают дуговую эластичность, то есть среднюю на каком-то отрезке кривой, и точечную эластичность - значение производной в заданной точке. Для практического вычисления эластичности используется формула английского математика и экономиста Рой Аллена (1906­1983). Он предложил использовать среднюю точку интервала, по которому происходит изменение, в качестве знаменателя дроби. Тогда вычисляются:

относительное изменение эндогенной переменной:

и относительное изменение экзогенной переменной:

.

Затем вычисляется отношение первого ко второму.

Формула Аллена имеет широкое распространение, однако ее не следует применять к очень широким интервалам, поскольку в этом случае она может ввести в заблуждение.

Для определения эластичности спроса от цены можно воспользоваться формулой:

при (5.13)

Коэффициент эластичности спроса по цене показывает, на сколько процентов уменьшится (увеличится) спрос, если цена товара увеличится (уменьшится) на 1%.

И, наконец, существуют различные степени эластичности спроса по цене. Так, спрос неэластичен по цене, если спрос на товар практически не зависит от его цены, в этом случае коэффициент эластичности близок к нулю. Примером товаров с неэластичным спросом являются предметы первой необходимости. Спрос нормально эластичен, если E_d.p » 1, что имеет место для товаров длительного пользования. Спрос является суперэластичным для предметов роскоши E_d.p > 1.

5.2 Модели микроэкономического анализа рынка

5.2.1 Спрос, предложение, равновесная цена.

Важнейшими категориями микроэкономического анализа являются спрос и предложение на отдельных рынках.

Под спросом понимают количество товаров (услуг), которое будет куплено по определенной цене за определенный период.

Закон спроса означает, что при прочих равных условиях спрос на товары в количественном выражении изменяется в обратной зависимости от цены.

Под предложением понимают количество товаров (услуг), которое производители готовы продать по определенной цене за определенный период.

Закон предложения означает, что предложение, при прочих равных условиях, изменяется в прямой зависимости от изменения цены.

Точка равновесия – это точка пересечения кривых спроса (D - demand) и предложения (S - supply), в которой фиксируется равновесная цена.

Равновесная цена (цена равновесия) ­ рыночная цена, которая устанавливается в результате взаимодействия спроса и предложения и устраивает одновременно и покупателя, и продавца.

(5.14)

 

pD

D

D

SD

SD

D, B

 

Рис. 5.8 Формирование равновесной цены

 

Выделяют следующие принципы формирования равновесной цены: во-первых, цена стремится к такому уровню, при котором спрос равен предложению; во-вторых, цена может меняться под влиянием неценовых факторов. Во втором случае к возрастанию цены приводит повышение спроса при неизменном предложении или сокращение предложения при неизменном спросе, и к снижению цены приводит сокращение спроса при неизменном предложении или увеличение предложения при неизменном спросе.

Существуют также неценовые факторы спроса и предложения.

Так, в качестве неценового фактора спроса выступают изменения в денежных доходах населения: в случае увеличения дохода ( ) кривая спроса занимает более высокое положение (рис.5.9) и новая цена равновесия ( ) оказывается большей, чем прежняя ( ). При этом объем продаж товара в денежном выражении увеличивается ( ).

S

S

D'

DS

D'

DS

D, S

p

 

 

Рис. 5.9 Смещение кривой спроса при увеличении дохода

 

Неценовыми факторами спроса являются также изменение потребительских предпочтений под воздействием рекламы, моды, а также появление на рынке более дешевых и эффективных заменителей товаров. В последнем случае покупатели уменьшают ту долю дохода, которую они предназначали ранее для покупки товара ( ), и спрос на этот товар падает. В следствии этого кривая спроса сдвигается вниз и налево (рис. 5.10) и новая цена равновесия становится более низкой, нежели прежняя ( ).

D

D''

D''

D''

D''

D

S

S

D, S

 

Рис. 5.10 Смещение кривой спроса при появлении на рынке более дешевого аналогичного товара

В качестве неценовых факторов предложения выступают изменение издержек производства в результате технических нововведений, изменения стоимости факторов производства, налоговой политики. При этом при снижении издержек кривая предложения смещается налево вверх ( ) и цена равновесия уменьшается ( ).

D, S

S

S

S''

D

S''

D

 

 

Рис. 5.11 Смещение кривой спроса при снижении издержек производства

5.2.2 Моделирование процесса достижения рыночного равновесия

Равновесная цена в конкурентной экономике без сговора достигается в результате стихийного процесса: при любой цене, превышающей равновесную, количество товара, которое стремятся предложить продавцы (производители), будет превосходить то количество, на которое покупатели (потребители) намерены предъявить спрос; в результате возникает давление на цену в сторону ее понижения. Аналогично цена, находящаяся ниже уровня равновесия, испытывает давление в сторону повышения.

По А. Маршаллу различают мгновенное, кратковременное и длительное рыночное равновесие в зависимости от цены, т.е. наличии не меняющейся во времени функции спроса D(p).

Мгновенное равновесие достигается в обстановке, когда предложение фиксировано ( ), т.е. производители товара не готовы к расширению производства или не в состоянии это сделать; равновесие такого рода обычно достигается при достаточно высокой цене , что и является стимулом для последующих действий производителей.

Кратковременное равновесие возникает тогда, когда в действие вводятся наличные резервы (свободные производственные мощности) и предложение несколько увеличивается, причем ; равновесная цена в этой ситуации оказывается ниже , но и остается еще довольно высокой.

Длительное нормальное равновесие устанавливается в ситуации, когда в деле принимают участие практически все производители, способные производить данный товар без резкой перестройки своей хозяйственной деятельности. Функция предложения также возрастающая и равновесная цена соответствует нормальным издержкам производства.

Процесс приближения к нормальному равновесию во времени можно представить при помощи последовательности малых дискретных шагов; при этом функции спроса и предложения сами могут изменяться в ходе указанного процесса вследствие изменения условий производства и потребления.

D, S

S3

S3

S2

S3

D

Рис. 5.12 Длительное нормальное равновесие на рынке

 

Рассмотрим паутинообразную модель процесса достижения рыночного равновесия.

В процессе моделирования используется дискретное представление процесса с помощью так называемых “торговых” дней с номерами

Предполагается, что к началу торгового дня t известна начальная цена товара , которая полностью определяет объем предложения

. (5.15)

Далее считается, что в течение дня предложенный товар полностью реализуется по цене , которая определяется из условия временного равновесия (5.16)

и является исходной ценой для следующего торгового дня (t+1) и т.д.

Геометрическая иллюстрация этого процесса приближения к равновесию (рис.5.13) напоминает паутину и поэтому сама модель часто называется паутинообразной. Можно показать, что сходимость указанного рыночного процесса будет гарантирована, если выполнено условие

. (5.17)

D, S

D

S

S

S

P1

P2

P3

P4

P5

P

D

D

 

Рис. 5.13 Паутинообразная модель

 

 

Последнее означает, что для сходимости достаточно, чтобы маргинальное предложение не превосходило бы маргинального спроса, или, иными словами, положительная реакция производителя на повышение цены не была бы столь же значительной как отрицательная реакция потребителя, т.е. это процесс в обстановке относительно неактивных производителей. Заметим, что если , то возникает ситуация так называемого “свиного цикла”, при которой состояние равновесия оказывается недостижимым. В случае, если наклон линии спроса круче наклона линии предложения, спираль будет раскручиваться в обратном порядке. Если наклоны линий спроса и предложения одинаковы, то паутина закольцуется (Рис. 5.14):

 

P1

P2

P

S

D

D, S

 

 

Рис. 5.14 Закольцованная паутинообразная модель

(равновесие на рынке недостижимо)

 

Рассмотрим ситуацию наличия активных производителей, готовых сразу же откликнуться на возникающий спрос. В этом случае процесс задается при помощи следующей системы соотношений:

- в торговый день t задано предложение и оно определяет цену как решение уравнения (5.18):

. (5.18)

- эта цена характеризует объем спроса:

(5.19)

- а предложение на следующий торговый день прямо ориентируется на спрос предыдущего дня:

(5.20)

Описанный процесс также может быть представлен при помощи паутинообразной модели, причем достаточное условие сходимости имеет вид: что соответствует более сильной реакции производителей по сравнению с потребителями.

Рассмотрим процесс достижения равновесия на следующем примере.

Пусть функция предложения S(p) = 4p - 3,

а функция спроса

Основное соотношение имеет вид:

 

Отсюда цена в каждый следующий рыночный день определяется через цену в предыдущий день по формуле:

 

Предположим, что начальная цена , и сведем результаты расчета в таблицу 5.1.:

Сходимость цены к равновесной во времени Таблица 5.1

p	D	S	Δ =D-S
1,5	6,67		3,67
2,42	4,14	6,67	-2,53
1,78	5,61	4,14	1,47
2,15	4,65	5,61	-0,96
1,91	5,23	4,65	0,58
2,06	4,85	5,23	-0,38
1,96	5,10	4,85	0,25
2,02	4,95	5,10	-0,15
1,99	5,02	4,95	0,07
2,01	4,98	5,02	-0,04
2,00		4,98	0,02

 

Таким образом, мы видим, что по прошествии 11 “рыночных” дней процесс установления цены сходится к состоянию равновесия, причем получается уже известное нам значение равновесной цены . Заметим, что промежуточные значения цены попеременно становятся то больше, то меньше равновесной величины. Это означает, что процесс имеет колебательный характер с уменьшающейся амплитудой (см. рис. 5.15).

 

 

 

Рис.5.15 Процесс сходимости цены к равновесной.

ЛИТЕРАТУРА

1. Основная

1.1 Дорохина Е.Ю., Халиков М. А. Моделирование микроэкономики. ─М.: ЭКЗАМЕН, 2003.

1.2 Экономико-метематические методы и модели. Под ред. проф. А.В. Кузнецова. ─ Минск: БГЭУ, 2000.

1.3 Экономико-математические методы и прикладные модели / под ред. Федосеева В.В. – М.: ЮНИТИ, 1999.

1.4 Шелобаев С.И. Математические методы и модели в экономике, финансах, бизнесе. Учебное пособие для ВУЗов. ─ М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2000.

1.5 Экономико-математическое моделирование. Под ред. проф. И.Н.Дрогобыцкого. Учебник. ФИНАНСОВАЯ АКАДЕМИЯ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РФ. – М.:ЭКЗАМЕН, 2004.

1.6 Федосеев В.В., Эриашвили Н.Д. Экономико-математические методы и модели в маркетинге. Учебное пособие для ВУЗов. / Под ред. В.В. Федосеева. ─ М.:

1.7 Шелобаев С. И. Экономико-математические методы и модели. Второе издание. ─ М.: ЮНИТИ, 2005.

 

2 Дополнительная

2.1 Абчук В.А. Экономико-математические методы. ─СПб: Союз, 1999.

2.2 Багриновский К.А., Матюшок В.М. Экономико-математические методы и модели (микроэкономика). – М.: Изд-во Российского университета дружбы народов, 1999.

2.3 Большаков А.С. Моделирование в менеджменте. Учебное пособие. - М.: Филинъ, 2000.

3 Горчаков А.А., Орлова И.В. Компьютерные экономико-математические модели. – М.: «Компьютер» Изд-во ЮНИТИ, 1995.

4 Замков О.О., Черемных Ю.А., Толстопятенко А.В. Математические методы в экономике. Под общей ред. Сидоровича А.В. 2-ое издание. – М.: Дело и сервис, 1999.

5 Ильченко А.Н. Экономико-математические методы. М.: Финансы и статистика, 2006.

6 Лопатников Л.И. Экономико-математический словарь 4-е издание – М.: Наука, 1996.

7 Монахов А. В. Математические методы анализа экономики. Учебное пособие. СПб.: ПИТЕР, 2002.

8 Малыхин В.И. Математика в экономике. Учебное пособие. ─ М.: ИНФРА-М, 2001.

9 Орлова И.В. Экономико-математические методы и модели. Выполнение расчетов в вреде Excel / Практикум. Учебное пособие для ВУЗов. - М.: Финстатинформ, 2000.

10 Тарасевич В.М. Экономико-математические методы и модели в ценообразовании. В 2-х частях – Л.: ЛФЭИ, 1991 .

11 Томас Р. Количественные методы анализа хозяйственной деятельности / пер. с англ. - М.: Дело и сервис, 1999.

12 Хайман Д.Н. Современная микроэкономика: анализ и применение. В 2-х томах. Пер. с англ. – М.: Финансы и статистика, 1992.

13 Шрайбер Т.Дж. Моделирование на GPSS. Пер. с англ. Под ред Файнберга. – М.: Машиностроение, 1980.

14 Эддоус М., Стэнннсфилд Р. Методы принятия решений / Пер. с англ. под ред. член-корр. РАН И.И.Елисеевой. – М.: Аудит, ЮНИТИ, 1997.

 

[1] Гранберг А.Г. Моделирование социалистической экономики. – М.: Экономика, 1988.