F(L,K,Y)=0

- в табличном виде:

 

Объем производства	Затраты труда	Затраты капитала
Y1	L1	K1
Y2	L2	K2
……	……	……
Yi	Li	Ki
……	……	……
Yn	Ln	Kn

 

- или в графическом виде. Представление факторов производства в виде набора двух агрегированных факторов – капитала K и труда L дает возможность графического представления факторов и функции в виде точки на плоскости. В этом случае производственная функция представляет поверхность в трехмерном пространстве капитала, труда и объема выпуска продукции.

При условии выполнения сделанных предположений график двухфакторной производственной функции Y(K, L) имеет вид,

YC=f(K,L)=const; Изокванта

Y

L

C

Yc

K

представленный на рис. 3.11:

 

Рис. 3.11 . График производственной функции

 

 

Возьмем точку Y_с, отражающую уровень производства Y_с. Проведем через эту точку плоскость, параллельную плоскости KOL и пересекающую производственную поверхность. Проекция линии пересечения на плоскость KOL называется изоквантой, или производственной кривой безразличия Y_с=F(K,L)=const.

Изокванта — геометрическое место точек, которым соответствует одинаковый уровень выпуска продукции.

K K* Yc=f(K,L) α L* L

Смысл изокванты состоит в том, что одно и то же количество продукции Y_с может быть произведено при различных сочетаниях ресурсов производства К и L. Пример изокванты изображен на рис. 3.12:

 

Рис. 3.12 Представление изокванты

 

Пример 3.6Производственная система описывается

производственной функцией:

y(K,L)=10K^0.25L^0.75;

Найти уравнение изокванты при уровне производства 20 единиц продукта.

Запишем условие, определяющее изокванту при 20 единицах продукта:

10K^0.25L^0.75=20, или:

K^0.25L^0.75=2

K*L³=2⁴,

Окончательно находим уравнение изокванты:

K=16/L³.

Графическое представление технологии может быть представленов в виде карты изоквант, которая является проекцией линий уровня производственной функции на плоскость (K,L) .

К     Y=200     Y=150   Y=100   L

Очевидно, что карта изоквант (рис. 3.13) очень похожа на карту кривых безразличия. Однако, в отличие от кривых безразличия, каждая изокванта представляет измеряемый и вполне определенный уровень выпуска. Изокванты не пересекают друг друга и они не пересекаются с осями координат.

Y=100

Y=130

Y=150

K

L

3.13 Карта изоквант.

 

Проекции производственной функции на плоскости YOK и YOL образуют кривые, которые называются кривыми "затраты-выпуск". Графики кривых "затраты-выпуск" представлены на рис. 3.14a и 3.14б.

 

 

Y а) Y б) К1 L1 K2 L2 K3 L3 O K O L K1>K2>K3 ; L1>L2>L3;

 

 

Рис.3.14 Примеры кривых "Затраты – выпуск"

 

Виды производственных функций (и их изокванты) могут различаться в зависимости от характера технологии, которая описывается той или иной функцией. В частности, для линейной производственной функции изокванты представляют прямые линии ( см. ниже п. 3.4).

 

3.3.3 Основные свойства и определения производственной функции

 

Производственные функции определяются двумя группами предположений: математических и экономических.

Математически предполагается, что ПФ должна быть непрерывной и дважды дифференцируемой.

Экономические свойства состоят в следующем:

· при отсутствии хотя бы одного производственного ресурса производство невозможно;

· рост использования ресурсов приводит к росту результата производства;

· увеличение затрат одного ресурса приводит к снижению эффективности его использования.

· При макроэкономическом моделировании используется предположение о пропорциональности роста результата росту затрат ресурсов.

Производственная функция, отвечающая всем перечисленным свойствам, называется неоклассической. В частности, производственная функция Кобба-Дугласа относится к неоклассическим ПФ.

Производственная система является эффективной, если фирма достигает целей при низких издержках, которые пропорциональны количеству потребляемых системой факторов производства за период

времени, при условии постоянства цен на рынке ресурсов. Математически эффективность производственного процесса или эффективность использования факторов производства определяется величиной средней и предельной отдачи ресурса. Более эффективная система производит большее количество продукта при заданных затратах факторов производства в единицу времени. Для понимания производственного процесса являются весьма важными приводимые ниже определения.

Средняя отдача ресурса – это отношение объема выпускаемой фирмой продукции к использованному количеству этого ресурса (затраты остальных факторов остаются неизменными).

i=l,2,...n (3.12)

Если фактором производства является труд, то это – средняя производительность труда.

Если фактором производства является капитал, то это – средняя фондоотдача.

Пример 3.7Производственная система произвела за период времени 150 единиц продукта и затратила 50 единиц капитала и 10 единиц труда. В этом случае, средняя производительность труда Ф_L определяется как Ф_L=150/10=15 единиц продукта на единицу труда, а средняя фондоотдача Ф_k вычисляется по формуле: Ф_k=150/50=3 единицы продукта на единицу капитала.

Предельная отдача ресурса (предельная производительность ресурса) – отношение величины изменения объема производимой продукции к величине изменения ресурса.

Предположим, на фирме работают 6 человек, и они вместе производят в день 90 единиц продукции. Предположим, что владелец фирмы нанял на работу еще одного человека. В результате общий объем продукции стал 98 единиц, т.е. увеличился на 8 единиц, В этом случае 8 единиц это и есть предельная отдача труда.

Если на предприятии работает не 8 человек, а 800 или 1500 человек, тогда прирост объема продукции на 1 единицу трудозатрат будет бесконечно малой величиной, и предельную отдачу переменного фактора можно представить как первую производную производственной функции.

В общем случае:

i=l,2,...n (3.13)

В случае двух факторов K и L :

- предельная фондоотдача (3.14)

предельная производительность труда. (3.15)

Пример 3.8Функционирование производственной системы описывается производственной функцией

f(K,L) = 20K^1/2L^1/2

Пусть за период потрачено 25 единиц капитала и 4 единицы труда.

Рассчитать значения средней и предельной отдачи ресурсов.

Количество произведенного продукта У равно:

У=20*25^1/2*4^1/2 = 200 единиц продукта

Средняя фондоотдача равна:

Фк=200/25=8 единиц продукта на единицу капитала

Средняя производительность труда равна:

Ф_L= 200/4=50 единиц продукта на единицу труда

Предельная фондоотдача равна:

Vk=∂Y/∂K=1/2*20*k-^1/2L^1/2 = 1/2*20*(1/5)*2 = 4 единиц продукта на единицу капитала.

Предельная производительность труда равна:

V_L= ∂Y/∂L = 1/2*20*K^1/2L^-1/2 = 1/2*20*5*(1/2) =25 единиц продукта на единицу труда.

Коэффициенты эластичности выпуска по ресурсам показывают, на сколько процентов изменится объем выпуска продукции при изменении затрат соответствующего производственного ресурса на один процент. В случае двух факторов K и L коэффициенты эластичности определяются следующими формулами:

-коэффициент эластичности продукта по фондам (3.16)

 

- коэффициент эластичности продукта по труду (3.17)

Коэффициенты эластичности вы­пуска E_k и E_L зависят от того, при каких значениях К и L они подсчитываются.

Эластичность продукта по i-му фактору можно выразить через средние и предельные отдачи фактора производства. Покажем это на примере коэффициента эластичности по фондам:

(3.18)

Таким образом, эластичность продукта по i-му фактору равна отношению величины предельной отдачи фактора к величине средней отдачи этого же фактора.

Пример 3.9Производственная система производит 150 единиц продукта при затратах 50 единиц капитала и 10 единиц труда. Каким станет выпуск продукта, если затраты капитала увеличатся до 54 единиц при постоянных затратах труда. Эластичность продукта по капиталу равна 0,25.

Порядок расчёта производства следующий:

 

Затраты капитала возросли в абсолютной величине на 4 единицы или в относительной величине на 4*100/50=8%. Это вызовет рост выпуска продукта в относительных величинах на 0,25*8%=2%. В абсолютной величине рост составит 2*150/100=3 единицы продукта. Следовательно, выпуск продукта возрастёт до 153 единиц за период времени.

Пример 3.10Производственная система производит 150 единиц продукта при затратах 50 единиц капитала и 10 единиц труда. Найти количество произведённого продукта при затратах 49 единиц капитала и 11 единиц труда, если коэффициенты эластичности по капиталу и труду равны 0,25 и 0,75 соответственно.

Раскладывая производственную функцию в ряд Тейлора имеем:

f(K + ΔK, L + ΔL) = f + (∂f/∂K)* ΔK + (∂f/∂L)* ΔL = Y + V_k*ΔK + V_L*ΔL

Вычислим приращения затрат капитала и труда:

∆К=49-50=-1; ∆L=11-10=1;

Средние продукты труда и капитала при затратах (50;10) равны:

 

 

Произведённый продукт у при затратах (49;11) равен:

у(49;11)=150+0,25*3*(-1)+0,75*15*1=160,5 единиц продукта.

Предельная норма замещения ресурсов.Перемещение точки затрат вдоль изокванты сопровождается непрерывным замещением i-го фактора j-м фактором при постоянном уровне производства продукта У. Это приводит к необходимости введения понятия предельной нормы замещения i-го фактора j-м фактором. Предельная норма замещения i-го фактора j-м фактором равна дополнительному количеству j-го фактора, которое компенсирует уменьшение i-го фактора на единицу при постоянном уровне производства продукта и постоянном потреблении других факторов:

(3.19)

Для двухфакторной производственной функции предельная норма замещения капитала трудомпоказывает, сколько единиц ресурса L может быть высвобождено (привлечено) при увеличении (уменьшении) затрат ресурса K на единицу:

(3.20)

Аналогично может быть определена предельная норма замещения труда L капиталом К.

Эластичность замещения ресурсов (σ) используется для количественной оценки скорости изменения предельной нормы замещения.

Величина (σ) показывает, на сколько процентов должно измениться отношение ресурса К к ресурсу L при движении вдоль изокванты, чтобы при этом предельная норма замещения изменилась на один процент (характеризует скорость изменения предельной нормы замещения γ при движении вдоль изокванты).

σ=[∂(K/L)/(K/L)]/(∂γ_LK/γ_LK) (3.21)

 

Закон уменьшающейся предельной производительности ресурса(или закон убывающей отдачи ресурса – пояснение к третьему свойству производственной функции). Смысл этого закона заключается в следующем. Если некоторые или хотя бы один из факторов производства, которые используются в производственном процессе, являются фиксированными в течение некоторого промежутка времени (например, количество станков предприятия может не изменяться в течение года), тогда предельная производительность переменных факторов производства либо сразу, либо начиная с определенного момента, непременно начнет снижаться.

Например, в краткосрочном периоде переменным фактором производства является труд. Можно изменить количество затрачиваемого труда, нанимая дополнительных работников. Последовательное привлечение дополнительных работников, при фиксированном количестве станков, хотя и будет увеличивать выпуск продукции фирмы, однако этот прирост продукции от работы каждого следующего нанимаемого работника окажется меньше по сравнению с тем приростом продукции, который был получен фирмой от работы предыдущего нанятого ею работника. Это означает, что предельная производительность, т.е. продукт последнего нанятого работника (предельный продукт труда) убывает по мере увеличения числа работников на фирме.

Закон относится не только к убыванию предельной производительности труда. Аналогичным образом он действует применительно к любому другому фактору производства, являющимся переменным. Например, если фиксированы затраты труда, но при этом наращивается количество сырья и материалов, используемых в процессе производства продукта, то материалоотдача от каждой дополнительной единицы затрат сырья будет снижаться.

Влияние масштаба производства и однородность производственной функции. Производственная функция обладает свойством однородности, которое математически выражает отдачу производственной системы от расширения масштабов производства. Пропорциональное увеличение всех факторов производства λ раз не изменяет структуру производства, а приводит к равному для всех факторов изменению средних и предельных продуктов. В общем случае, производственная функция удовлетворяет равенству:

(3.22)

где постояная δ называется степенью однородности производственной функции.

Для случая двух переменных K и L однородность производственной функции f(L,K) определяется в частности:

(3.23)

Неоклассическая производственная функция является однородной функцией первой степени, для которой справедливо:

3.24)

Поэтому говорят, что неоклассическая функция является линейно-однородной.

В случае неклассической производственной функции со степенью однородности равной единице, увеличение масштаба производства (увеличение всех затрат факторов в λ раз) приводит к пропорциональному увеличению выпущенного продукта в λ раз:

(3.25)

Можно доказать, что для производственной функции f(L,K) со степенью однородности равной единице, имеет место тождество, имеющее важное экономическое значение:

(3.26)

Т.е. произведённый продукт Y может быть представлен в виде суммы и разделён на две части. Первое слагаемое V_kК показывает вклад затраченного капитала в полученный продукт Y. Второе слагаемое V_LL представляет вклад затрат труда в произведённом продукте Y. Это позволяет оценить вклад труда и капитала в произведённый продукт.

Пример 3.11.Производственная система описывается производственной функцией со степенью однородности равной единице. Система за период времени произвела 200 единиц продукции, затратив 50 единиц капитала и 10 единиц труда. Коэффициенты эластичности по капиталу и труду равны 0,25 и 0,75. Определить вклад труда и вклад капитала в произведенную продукцию.

Средние отдачи капитала и труда равны:

 

Предельные отдачи капитала и труда находим с помощью коэффициентов эластичности:

 

Окончательно, вычисляем вклад затрат капитала и труда в произведённую продукцию:

 

Следовательно, производственная система создала 50 единиц продукции за счёт потребления 50 единиц капитала и 150 единиц продукции в результате преобразования 10 единиц труда.

3.3.4 Графический анализ производственной функции, средней и предельной отдачи ресурса.

Кривая совокупного продукта отражает, как изменяется выпуск продукции при изменении одного из факторов, когда другие остаются постоянными. На рис. 3.15а изображена кривая совокупного продукта, отражающая соотношение между количеством применяемого труда и объёмом продукции. Кривая показывает, что максимально возможный выпуск продукции при постоянном количестве всех других факторов, может быть достигнут в точке С, когда количество часов труда в месяц равно L^**. Если применить большее количество часов труда, в соответствии с той частью кривой, которая обозначена пунктиром, производство продукции уменьшится. Естественно, точки, принадлежащие этой части кривой, не включаются в производственную функцию, так как объём продукции, соответствующий этим точкам, может быть произведён с меньшими затратами труда и при том же количестве других факторов производства.

Можно построить кривые средней и предельной отдачи ресурсов, используя кривую совокупного продукта (см.рис. 15а, 15б). Средний продукт труда можно определить, измерив наклон луча, исходящего из начала координат и проходящего через точку на кривой общего продукта. Так, на рис.3.15а тангенс угла наклона луча, проведённого из начала координат через точку А, равен У₁/L₁ , т.е. среднему продукту при трудозатратах L₁.

Средний продукт труда достигает максимума при использовании количества часов труда, соответствующего точке касания луча, выходящего из начала координат, к кривой совокупного продукта. Это точка В на графике (рис.3.15а), в которой используется L^* часов труда в месяц, при неизменных других факторах, и объём выпуска равен Y^*. В этой точке средний продукт труда равен Y^*/ L^*, чем измеряется наклон луча ОВ. Проведя различные лучи через кривую совокупного продукта, и определив их наклон, можно увидеть, что средний продукт труда увеличивается до точки В, которой соответствует применение L* часов труда, и потом начинает снижаться по мере увеличения применяемого труда. Кривая среднего продукта показана на Рис.3.15б. По вертикальной оси откладывается величина средней величины продукта, измеряемая в единицах произведенной продукции за час труда.

Поскольку предельный продукт есть первая производная функции совокупного продукта, то можно измерить предельную отдачу как тангенс угла наклона касательной, проведенной к данной точке кривой совокупного продукта.

Выпуск продукции в месяц (У)

А

В

С

У**

У*

У1

L1

L*

L**

Человеко-часы труда в месяц (L)

L*

L**

Человеко-часы труда в месяц (L)

Рис. 3.15б

Рис. 3.15а

L1

Кривая средней отдачи ресурса

Кривая предельной отдачи ресурса

Рис. 3.2 Графическое представление производственной функции, средней и предельной отдачи ресурса.

Наклон касательной к каждой точке кривой совокупного продукта определяет изменение объема выпуска продукции для очень малых изменений в затратах труда: . Эта величина показывает предельный продукт каждого часа труда. Точка А −это точка перегиба кривой совокупного продукта, в которой изменяется вогнутость кривой. Наклон кривой совокупного продукта, а следовательно, и предельный продукт труда, увеличиваются до точки А;после прохождения точки Аэти величины начинают уменьшаться. В точке перегиба вторая производная производственной функции по L равна нулю. В этой точке первая производная имеет максимальное значение.

На рис. 3.15б кривая предельного продукта построена в той же системе координат, которая используется для кривой среднего продукта. Предельный продукт достигает своего максимума раньше, чем средний продукт. Предельный продукт снижается до нуля в точке L^** часов труда, в которой тангенс угла наклона кривой совокупного продукта равен нулю. Если производство продолжать после достижения точки С,объем выпуска будет сокращаться. У предельного продукта дополнительных затрат труда после точки L^** будет отрицательное значение.

Таким образом, динамика среднего и предельного продуктов переменного фактора основывается на конфигурации кривой совокупного продукта.

В общем виде можно сформулировать правило взаимосвязи между средними и предельными величинами. До тех пор, пока значение предельного показателя больше значения среднего показателя, последний возрастает. С того момента, когда значение предельного показателя становится меньше значения среднего показателя, последний начинает убывать. Значение предельного показателя равно значению среднего показателя в той точке, где функция, описывающая средний показатель, достигает своего экстремума (максимума или минимума).

3.3.5 Основные зависимости для линейной производственной функции.

Рассмотрим использование факторов производства, при котором возможно как компенсация уменьшения затрат одного фактора увеличением другого, так и полное замещение одного фактора производства другим. Производственный процесс, который удовлетворяет условиям совершенной взаимной дополняемости факторов, называется гибким производственным процессом. Производственная функция для системы с гибким производственным процессом, для которой характерна линейная связь между затратами факторов и выпуском продукта, называется линейной производственной функцией.

Линейная производственная функция задаётся уравнением:

y=f(L,K)=aL+bK, (3.27)

где а и b- положительные постоянные.

Следует отметить, что линейная производственная функция не обладает рядом основных свойств, которые присущи по определению неоклассическим производственным функциям. Нарушается первое свойство производственной функции, согласно которому при отсутствии затрат одного из факторов производится нулевой продукт. Пусть затраты труда равны нулю, тогда продукт неокласической производственной функции также равен нулю. Однако, для линейной производственной функции продукт равен:

y=f(0,K)=bK

Другими словами, изокванты линейной производственной функции пересекают оси координат.

Уравнения изокванты линейной производственной функции (ЛПФ) определяются выражением

: (3.28)

Семейство изоквант ЛПФ имеет вид параллельных прямых с угловым

коэффициентом –a/b (рис. 3.16):

K

L

K2

K111

 

Рис. 3.16 Карта изоквант линейной производственной функции.

 

Экономический смысл ЛПФ: эта функция описывает технологию, характеризующуюся тем, что факторы производства, используемые в производственном процессе, являются абсолютно взаимозаменяемыми, т.е. менеджеру все равно, использовать только труд или только капитал. Понятно, что в реальной жизни такая ситуация вряд ли возможна, потому что машины все равно управляются людьми.

Линейная производственная функция обладает свойством постоянства предельной отдачи каждого фактора производства. Увеличение одного фактора при фиксации затрат другого фактора не уменьшает величину предельной отдачи (производительности) ресурса.

Это позволяет дать экономическую интерпретацию постоянных коэффициентов линейной производственной функции как значений предельной отдачи труда и капитала соответственно:

 

V_L= a

(3.29)

V_k= b

 

Для средней отдачи труда и капитала получаем:

(3.30)

где к- фондовооруженность.

Если предельные отдачи ресурсов есть величины постоянные, то средние отдачи изменяются в зависимости от фондовооружённости k. С ростом фондовооруженности средняя производительность труда увеличивается, а средняя отдача капитала уменьшается.

Коэффициенты эластичности выпуска по ресурсам:

(3.31)

Предельная норма замещения труда капиталом для линейной производственной функции есть величина постоянная:

(3.32)

Эластичность замещения труда капиталом линейной производственной функции равна бесконечности, так как .

Определить коэффициенты линейной производственной функции можно методом множественной линейной регрессии по эмпирическим данным о системе производства, которые должны включать величины затрат труда и капитала и количество произведённого продукта.

Несмотря на указанные недостатки линейных производственных функций, они получили широкое распространение при моделировании крупномасштабных производственных систем, таких как отрасли промышленности и национальные экономики, когда выпуск агрегатированного продукта обеспечивается одновременным функционированием огромного множества разнообразных технологических процессов.

3.4 Экономико-математические модели управления запасами.

Основной функцией управления запасами является обеспечение производственного процесса необходимым количеством сырья, материалов, полуфабрикатов, комплектующих изделий, тары и т.д. по мере возникновения потребности, а также обеспечение наличия готовой продукции к моменту ее поставки потребителю.

Практически трудно обеспечить такую степень координации планов снабжения, производства и поставки с тем, чтобы сырье поступало именно в тот момент, когда оно включается в процесс производства, и чтобы производственный цикл заканчивался именно тогда, когда продукция должна быть отправлена потребителю.

Поэтому необходимо планировать создание запасов как сырья, материалов (производственные запасы), так и готовой продукции (товарные запасы).

3.4.1 Понятие и классификация систем управления запасами.

Выделяют основные условия, которым должны удовлетворять системы управления материальными запасами: во-первых, объем запасов должен обеспечивать непрерывность производственного процесса; во-вторых, размер запасов должен быть минимальным в целях сокращения затрат на хранение запасов, на строительство складских помещений и иммобилизацию ресурсов.

В процессе управления запасами возникают следующие виды затрат:

· затраты на приобретение запасов,

· затраты на организацию заказа,

· на содержание и хранения запасов,

· потери от дефицита.

Затраты на приобретение запасов учитываются только в том случае, если цена единицы приобретаемой продукции зависит от величины партии, обычно это выражается в виде оптовых скидок. Поскольку эти затраты не зависят непосредственно от системы управления запасами на самом предприятии, они, как правило, не учитываются при построении моделей управления запасами.

Затраты на организацию заказа представляют постоянные расходы, связанные с размещением заказа (затраты по размещению заказов и заключению договоров, оплата всех услуг по доставке товарных запасов на склад), и чаще всего не зависят от размера заказываемой партии. Условно принимается, что эти затраты не зависят от величины заказа, а зависят от количества заказов в планируемом периоде.

Издержки хранения запасов зависят от величины запасов и связаны с хранением запасов на складе и естественной убылью. К ним относят постоянные расходы, связанные с содержание складов (аренда, отопление), а так же затраты, находящиеся в прямой зависимости от уровня запасов (расходы на переработку товарных запасов, потери от порчи, потери от иммобилизации средств в запасах, издержки учета и др.). При расчетах на основе экономико-математических моделей управления запасами обычно пользуются удельной величиной издержек хранения, равной издержкам на единицу хранимого товара в единицу времени. Если рассматривать средства, вложенные в запасы как банковскую ссуду, то этот вид издержек может быть ассоциирован с процентной ставкой за кредит.

Потери от дефицита это расходы, обусловленные отсутствием запаса необходимо ресурса. Эти издержки могут быть связаны с простоем оборудования, рабочих, переналадкой производственного процесса, оплатой сверхурочных часов работы, заменой материалов менее экономичными или более дефицитными, выплатой штрафов за несвоевременную – вследствие простоя производства – поставку произведенной продукции.

В практической деятельности используются разные системы регулирования запасов, основанные на разных стратегиях их пополнения. Параметрами этих систем являются: величина имеющихся на складе запасов, допустимые колебания их уровня, размер заказа на пополнение, периодичность заказа и др. На системы управления запасами оказывает влияние множество факторов, и это вызывает колебания величины параметров, становящихся таким образом случайными величинами. Случайной величиной может быть потребление и поступление материалов или время выполнения заказа. Системы различаются между собой в зависимости от того, какие из параметров выбраны в качестве регулирующих. В соответствии с данным признаком различают: модели систем с фиксированным размером заказа и модели систем с фиксированной периодичностью заказа.

В системах с фиксированным размером заказа размер заказа на пополнение запасов является величиной постоянной, а интервалы времени поставок ­ величина переменная.

В связи с этим регулируемым параметром является точка заказа, а именно критический уровень запаса :

(3.33)

где - страховой запас (для обеспечения работы в случае перебоев в снабжении или колебаниях в процессе потребления),

- среднесуточное потребление материалов,

- заготовительный период.

В качестве недостатка системы с фиксированным размером заказа выделяется необходимость регулярного учета движения остатков товаров на складе, чтобы не упустить момент наступления «точки заказа».

В системах с фиксированной периодичностью заказа товар поступает на склад через равные отрезки времени, а размер запаса регулируется за счет изменения объема партии. Регулируемым параметром является максимальный уровень запасов, до которого осуществляется их пополнение. При этом под максимальным уровнем запаса рассматривается сумма страхового запаса, подготовительного запаса и максимального текущего запаса. Недостатком данной системы является необходимость делать заказ даже на незначительное количество материала, поскольку период поставки является величиной постоянной.

Модификацией двух рассмотренных систем является система «максимум-минимум», где интервал поставки не является фиксированным, заказы подаются при снижении запаса до минимального уровня, а размер заказа регулируется максимальным уровнем запаса.

В зависимости от характера спроса (потребности в ресурсах) различают детерминированные и стохастические модели управления запасами.

Детерминированные модели, в свою очередь, по учету фактора времени делятся на динамические, в которых спрос со временем меняется, и статические, в которых спрос во времени остается неизменным.

Стохастические модели могут быть стационарными, в которых плотность вероятности спроса неизменна во времени, и нестационарными, в которых плотность вероятности случайной величины спроса изменяется во времени.

Другим важным фактором, учитываемым при моделировании систем управления запасами, является срок выполнения заказа (интервал времени между размещением заказа и его поставкой). Если этот фактор учитывается, то модель называется моделью с запаздыванием поставок.

В моделях может быть учтена интенсивность поставок. Как правило, при пополнении запаса из внешнего источника вся партия поставляется одновременно. Пополнение же запаса с некоторой интенсивностью чаще всего осуществляется самим предприятием, когда продукция одного цеха (полуфабрикат) передается в другой цех.

По допущению дефицитов запасов различают модели, допускающие дефицит, и модели, требующие бездефицитной работы.

И, наконец, по количеству разновидностей рассматриваемых в процессе моделирования запасов могут быть выделены однономенклатурные модели (создается один вид запасов) и многономенклатурные.

3.4.2 Простая однономенклатурная статическая модель управления запасами.

Рассмотрим модель простой системы управления запасами на примере склада. Эффективность работы склада оценивается по его затратам на пополнение запасов и их хранение. Работа реального склада сопровождается множеством отклонений от идеального режима, но для составления простейшей однопродуктовой статической модели управления запасами делаются следующие предположения:

- скорость расходования запасов со склада (спрос) является постоянной величиной, обозначим ее v (единиц товарных запасов в единицу времени),

- объем поступающей партии qявляется постоянной величиной,

- интервал времени между двумя поставки t (цикл) является постоянным,

дефицит недопустим,

- запас пополняется мгновенно от 0 до величины .

Динамика изменения уровня запаса на складе имеет вид, представленный на рис.3.17:

t

t

q

Величина запасов

Рис. 3.17 График пополнения запаса идеального склада.

Обоснуем формулу для определения оптимального размера партии заказа, который обеспечивает минимум затрат.

Введем обозначения:

К ­ затраты, не зависящие от объема партии,

S ­ затраты на хранение одной единицы запасов в течение одной единицы времени.

Издержки хранения запасов будем считать пропорциональными величине хранящихся запасов и времени их хранения. Величина среднего размера запасов за время t равна .

Таким образом, суммарные затраты за время t при размере партии равны:

(3.34)

Учитывая, что , величина затрат на пополнение и хранение запасов в единицу времени равна:

(3.35)

Это выражение является целевой функцией, минимизация которой позволяет определить оптимальные режим работы склада. Так, оптимальный размер партии, при котором обеспечивается минимум затрат на пополнение и хранение запаса, можно определить методами дифференциального исчисления:

,

откуда оптимальный размер партии:

. (3.36)

Эта формула называется формулой Уилсона по имени английского ученого­экономиста, который ее вывел в 20-х годах XX столетия.

Используя формулу Уилсона можно определить ряд расчетных характеристик работы идеального склада в оптимальном режиме:

оптимальная периодичность пополнения запасов

, (3.37)

минимальные суммарные затраты на управление запасами в единицу времени

. (3.38)

 

Пример 3.12Растительное масло разливается по бутылкам на линии разлива и упаковки. Затраты на организацию поставок масла составляют 700 ден.ед., спрос на масло 140 тыс. литров в месяц, стоимость хранения 1 литра в течение месяца ­ 4 ден.ед. Определить оптимальные параметры системы. Сравнить рассчитанные оптимальные затраты с затратами по действующей системе разлива партии в течение 3-х дней.

Исходные данные: К=700 ден.ед, =140000 л., S=4 ден.ед., =3 дня.

Расчет оптимальных параметров:

· оптимальный размер партии

литров,

· оптимальная длительность цикла

мес. = 1,5 (дня),

· затраты на поставку и хранение

ден.ед. (в месяц).

Фактические показатели работы:

· цикл поставки составляет 3 дня или 0,1 месяца,

· размер партии литра,

· затраты за месяц составляют (из формулы 3.34)

ден. ед.

Сравнивая рассчитанные оптимальные показатели работы системы с их фактическими значениями, можно сделать следующий вывод. Если установить цикл поставки в 1,5 дня (вместо 3-х дней), а размер партии поставки сделать равным 7000 литрам (вместо фактических 14000 литров), можно снизить издержки функционирования системы с 35000 ден. ед. до 28000 ден. ед. в месяц.

 

РАЗДЕЛ IV. Модели народно-хозяйственного, отраслевого и регионального регулирования.

В этот раздел вошли балансовые модели, позволяющие органам государственного управления проводить комплексные многовариантные расчеты для оценивания влияния параметров государственного регулирования на макроэкономические показатели, а так же модели оптимального отраслевого и регионального регулирования. Последний вид моделей занимает промежуточное положение между моделями оптимального планирования микроэкономики и макроэкономическими моделями регулирования структуры общественного продукта, создаваемого всеми отраслями народного хозяйства.

4.1 Общие модели развития экономики. Балансовые методы в моделировании социально-экономических систем.

Производственный сектор экономики страны является наиболее важным объектов, функционирующий в сложной сети межотраслевых связей. Межотраслевые модели, разработанные лауреатом Нобелевской премии Леонтьевым В.В., как раз и предназначены для получения информации о производственном секторе экономики страны с целью обоснованного планирования межотраслевых поставок продукции по заданным количествам конечных спросов продукции. С этой же целью этот тип моделей может быть использован и на уровне мировой экономики, и на уровне отдельного региона и отдельного предприятия. Межотраслевые модели занимают вполне определенное место в классификации экономико-математических моделей. Они являются (по признакам целевого назначения, характеру моделируемых экономических отношений, используемых математических отношений) прикладными структурными линейными детерминированными моделями. Чаще межотраслевые модели называют моделями межотраслевого баланса (МОБ).

4.1.1 Предпосылки формирования и классификация МОБ

Под балансовой моделью понимают систему уравнений, которые удовлетворяют требованию соответствия наличия ресурса и его использования. Примерами могут быть необходимость соответствия между производимым количеством продукции и совокупной потребностью в этой продукции, соответствие наличия рабочей силы и количества рабочих мест, платежеспособного спроса населения и предложения товаров и услуг и т.д. В общем случае балансовые модели позволяют исследовать, какими должны быть пропорции и каков механизм их установления и поддержания в экономической системе для нормального протекания процесса воспроизводства. Это единственный вид моделей, которые позволяют установить основные макроэкономические пропорции ­ народнохозяйственные, внутриотраслевые и территориальные. Их развернутое описание содержит система балансов народного хозяйства, разработка которой явилась в свое время большим достижением экономической науки. Наиболее общие народнохозяйственные пропорции описываются балансами производства, потребления и накопления совокупного общественного продукта; производства, распределения, перераспределения и использования национального дохода; трудовых ресурсов; основных фондов, оборотных средств.

В межотраслевых балансовых моделях предполагается, что производственный сектор экономики разделен на некоторое количество отраслей. По многим причинам исходные данные реальных хозяйственных отраслей не могут быть использованы в балансовых моделях непосредственно, поэтому весьма серьезной проблемой является подготовка информации для ввода в модель. Поэтому при построении модели межотраслевого баланса используется понятие чистой (или технологической) отрасли. В отрасль объединяются все процессы производства одного продукта независимо от ведомственной (административной) подчиненности и форм собственности предприятий и фирм. Переход от реальных хозяйственных отраслей к чистым отраслям требует специального преобразования реальных данных хозяйственных объектов, агрегирования отраслей, исключения внутриотраслевого оборота и др.

Предпосылки формирования метода межотраслевого баланса:

а) необходимость согласования системы балансов, отражающих отдельные аспекты воспроизводства с наиболее общими пропорциями развития экономики.

Основу системы балансов составляют: баланс производства и распределения общественного продукта; баланс трудовых ресурсов; материально-финансовый баланс. Эти балансы дополняются балансами: основных фондов; денежного оборота; доходов и расходов населения

б) Необходимость разделения совокупного общественного продукта на промежуточный и конечный, при этом показатели конечного потребления рассматриваются в качестве отправного момента в расчете всей системы показателей производства.

в) Необходимость обеспечения многовариантности расчетов показателей производства в зависимости от изменяющихся показателей конечного потребления.

Различают варианты классификаций межотраслевых балансов по следующим признакам:

· по степени детализации номенклатуры: укрупненные и развернутые;

· по применяемым измерителям: натуральные, стоимостные, натурально–стоимостные;

· по характеру экономико-математической модели: статические и динамические;

· по широте охвата экономических процессов: макроэкономические межотраслевые балансы, отраслевые балансы и балансы промышленных предприятий.

Все виды балансовых моделей на всех уровнях объединяет не только матричный принцип построения и единство системы расчетов, но и аналогичность ряда экономических характеристик. Это позволяет рассматривать структуру, содержание и основные зависимости балансовых моделей на примере одной из них, а именно на примере межотраслевого баланса производства и распределения продукции в народном хозяйстве.

4.1.2 Схема межотраслевого баланса производства и распределения продукции.

Рассмотрим принципиальную схему межотраслевого баланса производства и распределения общественного продукта в стоимостном выражении.

Построение схемы МОБ основано на принципах деления валового общественного продукта по материально- вещественному и стоимостному составу.

Основу баланса составляет совокупность всех отраслей материального производства (промышленность, строительство, сельское хозяйство, прочие отрасли материального производства), число которых равно n. Каждая отрасль дважды фигурирует в балансе: как производящая и потребляющая.

Отрасли как производителю продукции соответствует определенная i-ая строка, как потребителю продукции – определенный j-ый столбец. Таким образом, i=j=n.

Перейдем к рассмотрению межотраслевого баланса в разрезе его крупных составных частей (см. табл. 4.1).

Таблица 4.1

Схема межотраслевого баланса производства и распределения продукции.

 

 

Производящие отрасли

Текущее производственное потребление в отраслях(Xij)

Конечный продукт(Yi)

Валовая продукция(Xi)

Потребляющие отрасли

…j…

n

x11

x12

…x1j…

x1n

Y1

x1

x21

x22

…x2j…

x2n

Y2

x2

… …

xi1

xi2

…xij…

xin

Yi

xi

n

xn1

xn2

…xnj…

xnn

Yn

xn

Условно-чистая продукция (Zj)

Z1

Z2

…Zj…

Zn

Валовая продукция (Xj)

x1

x2

…xj…

xn

 

Выделяются четыре части (квадранта), имеющие различное экономическое содержание (I – IV)

В I-ом квадранте содержатся межотраслевые потоки средств производства. По виду представляет собой квадратную матрицу порядка n, элементами матрицы являются Xij – затраты на текущее производственное потребление в качестве материальных затрат в j-ой отрасли продукции, произведенной в i-ой отрасли.

Во II-ом квадранте представлена конечная продукция Y_i всех отраслей материального производства. При этом под конечной понимается продукция, которая выходит из сферы производства в область конечного использования (на потребление и накопление). Структура конечного продукта рассматривается по направлениям его использования - на личное потребление населения, общественное потребление, на накопление (накопление основного капитала и изменение запасов материальных оборотных средств), а также экспорт (сальдоэкспорта-импорта). Второй квадрант характеризует отраслевую материальную структуру национального дохода.

III–ий квадрант характеризует национальный доход с позиции его стоимостного состава. В третьем квадранте представлена условно-чистая продукция Z_j , которая определяется как сумма амортизации и чистой продукции. В свою очередь, чистая продукция равна сумме оплаты труда и чистого дохода отрасли.

IV-ый квадрант находится на пересечении столбцов II и III квадрантов, отражает конечное распределение и использование национального дохода. В результате перераспределения первоначально созданного национального дохода образуются конечные доходы населения, предприятий, государства через различные каналы распределения (финанасово-кредитную сферу, сферу обслуживания и т.д.). Данные четвертого квадранта важны для отражения в межотраслевой модели баланса доходов и расходов населения, источников финансирования капитальных вложений, текущих затрат непроизводственной сферы, для анализа общей структуры конечных доходов по группам потребителей. Общий итог IV квадранта, также как и II, и III, должен быть равен созданному за период национальному доходу.

(4.1)

Валовая продукция отраслей непосредственно не входит в рассмотренные выше квадранты, однако она иногда представляется на схеме МОБ в виде последнего столбца и последней строки. С точки зрения показателя валовой продукции рассматриваются взаимосвязи между квадрантами МОБ.

В столбцах баланса отражается структура материальных затрат и условно-чистой продукции каждой отрасли.

Предположим, что на нашей схеме 1-ая отрасль – это производство электроэнергии, 2-ая – угольная промышленность. Тогда величина X₁₁ показывает стоимость электроэнергии, израсходованной внутри 1-ой отрасли для собственных производственных нужд. Величина X₂₁ отражает затраты угля в производстве электроэнергии. В целом же столбец X₁₁, X₂₁, X₃₁, … X_n1 характеризует структуру материальных затрат 1-ой отрасли в разрезе отраслей – поставщиков. Очевидно, что сумма материальных затрат и добавленной стоимости для любой j-той потребляющей отрасли равна валовой продукции этой отрасли:

(4.2)

Уравнение (4.2) выражает взаимосвязь I и III квадрантов и характеризует стоимостной состав (структуру) продукции j-той отрасли.

 

По всей экономике для всех j-тых потребляющих отраслей:

( ) (4.3)

В строках межотраслевого баланса содержатся данные о распределении годового объема продукции каждой отрасли материального производства.

Так, в строке 1-ой отрасли величины X₁₁, X₁₂, X₁₃, … X_1n обозначают количество электроэнергии, израсходованной внутри самой отрасли, в угольной промышленности и во всех остальных отраслях. Величина Y₁ – это затраты электроэнергии вне сферы материального производства, то есть для целей конечного потребления (личного и общественного). Суммирование всех величин первой строки позволяет рассмотреть взаимосвязи I и II квадрантов и выражают направления использования валовой продукции, созданной i-тыми производящими отраслями.

Запишем уравнение взаимосвязи между I и II квадрантами, для i-той отрасли

(4.4)

Для всех i-тых производящих отраслей по всему народному хозяйству

( ) (4.5)

Это уравнение характеризует материально-вещественную структуру валовой продукции отрасли.

Суммирование всех величин первой строки должно привести к тому же итогу, что и суммирование в первом столбце, так как в обоих случаях речь идет об одной и той же величине - валовой продукции определенной отрасли.

(4.6)

На основании (4.2), (4.4) и (4.5) можно вывести:

(4.7)

Смысл выражения (4.7): материально-вещественный состав производимой продукции тождественнен своему стоимостному составу.

На основании (4.3) , (4.5) и (4.6) можно вывести:

, т.е.

(4.8)

 

Левая часть выражения (4.8) есть сумма элементов третьего квадранта, а правая часть ­ итог второго квадранта. Это уравнение показывает, что в межотраслевом балансе соблюдается важнейший принцип единства материально-вещественного и стоимостного состава национального дохода.

4.1.3 Экономико-математическая модель межотраслевого баланса.

Расчеты межотраслевого баланса на основе уравнений (4.4) производить трудно из-за сложности информационного обеспечения элементов промежуточного потребления . Поэтому расчеты основываются на системе нормативов расходов факторов производства. В составе этой системы важное место занимают коэффициенты прямых и полных затрат материальных ресурсов (коэффициенты прямых и полных материальных затрат).

Введем понятие «Коэффициент прямых материальных затрат» а_ij, который показывает, какое количество продукции i-той отрасли непосредственно необходимо, если учитывать только прямые затраты, для производства единицы продукции j -ой отрасли. Значение а_ij не зависит от объемов производства в j-ой отрасли и является довольно стабильной величиной во времени, отражая сложившиеся нормы затрат на производство единицы продукции j-ой отрасли. Они могут быть выражены в натуральной или стоимостной форме.

Коэффициенты прямых затрат а_ij рассчитываются по формуле

i, j =1,2,…., n (4.9)

отсюда следует

(4.10)

Подставляя выражение (4.10) в систему уравнений баланса (4.4) получим:

(4.11)

Выражение (4.11) представляет статическую модель МОБ в виде системы уравнений. Это модель «затраты ­ выпуск», предложенная В.Леонтьевым.

Модель МОБ можно представить в компактной (векторной форме).

Положим А ­ матрица коэффициентов прямых материальных затрат (технологическая матрица):

 

Вектор ­ столбец валовой продукции Хи вектор ­ столбец конечной продукции Y:

 

Система уравнений (4.11) в матричной форме примет вид:

. (4.12)

Выражение (4.12) представляет матричную форму модели межотраслевого баланса.

С помощью этих моделей можно решать три варианта задач:

1) известны величины валовой продукции каждой отрасли , определить объем конечной продукции каждой отрасли .

Введем единичную матрицу размерности (n x n), диагональные элементы которой равны единице, а остальные ­ нулю.

Тогда на основе (4.12) можно записать:

(4.13),

это уравнение (4.13) позволяет решить задачу первого типа.

2) Известны величины конечной продукции всех отраслей , требуется определить величины валовой продукции каждой отрасли . Из (4.13) получим:

, (4.14)

где ­ матрица, обратная матрице .

4) Для ряда отраслей известны значения валовой продукции, а для всех остальных отраслей заданы объемы конечной продукции. Требуется найти величины конечной продукции первых отраслей и объемы валовой продукции вторых отраслей. Для решения этой задачи удобнее пользоваться не матричной формой модели МОБ, а системой линейных уравнений (4.4).

Введем понятие коэффициентов полных материальных затрат, для этого обозначим новую матрицу:

, (4.15)

Тогда систему уравнений в матричной форме (4.14) можно записать в виде:

. (4.16)

Элементы матрицы обозначим , тогда из матричного уравнения (4.16) для любой отрасли можно получить следующее соотношение:

, i = 1,2, …,n. (4.17)

Коэффициенты называются коэффициентами полных материальных затрат, а матрица , определяемая как , называется матрицей коэффициентов полных материальных затрат.

Чтобы пояснить экономический смысл коэффициентов полных затрат , перепишем (4.15) в развернутом виде (как результат перемножения матрицы на вектор ):

/> (4.18)

Предположим, что осуществляется выпуск конечной продукции только одной (например, первой отрасли) в размере 1млрд руб., т.е.

 

Подставляя значения конечной продукции в систему (4.18), получим, что для того, чтобы обеспечить конечную продукцию первой отрасли в указанном объеме необходимо обеспечить валовой выпуск продукции остальных отраслей соответственно в объеме , , …., . Таким образом, элементы первого столбца матрицы показывают количество валовой продукции всех отраслей, необходимых для производства единицы конечной продукции первой отрасли. Аналогично можно показать, что элементы j-го столбца матрицы показывают количество валовой продукции отраслей, необходимых для производства единицы конечной продукции j-ой отрасли. Другими словами, каждый из коэффициентов полных материальных затрат показывает, сколько всего нужно произвести продукции i-ой отраслью для выпуска в сферу конечного использования единицы продукции j-ой отрасли.

В отличие от коэффициентов прямых затрат а_ij , коэффициенты полных материальных затрат включают в себя как прямые затраты (затраты, возникающие непосредственно при изготовлении данной продукции), так и косвенные затраты (затраты в предшествующие стадии производства, отраженные в средствах производства).

4.1.4 Свойства коэффициентов прямых и полных материальных затрат, связь между ними, методы расчета.

Рассмотрим основные свойства коэффициентов прямых материальных затрат. Коэффициенты прямых затрат по определению являются неотрицательными , следовательно, матрица А неотрицательна: А³0. Так как процесс расширенного воспроизводства невозможно было бы осуществлять, если бы для собственного воспроизводства в отрасли затрачивалось большее количество продукта, чем создавалось, то очевидно, что диагональные элементы матрицы А меньше единицы: < 1. Также следует отметить, что сумма элементов каждого столбца матрицы коэффициентов прямых затрат меньше единицы: . Это очевидно, т.к. величина представляет промежуточные затраты отрасли j, которые являются составной частью валового выпуска отрасли :

. (4.19)

В матрице Анет нулевых столбцов, в противном случае это означало бы, что при производстве собственной продукции отрасль ничего не потребляет.

Показатель представляет собой материалоемкость j-ой отрасли. Материалоемкость общественного продукта может быть рассчитана как средневзвешенная материалоемкость отраслей , весами при этом выступает валовая продукция отраслей :

(4.20)

Коэффициенты полных материальных затрат включают в себя прямые и косвенные затраты. Если прямые затраты отражают количество предметов труда, израсходованных непосредственно при изготовлении данного продукта, то косвенные относятся к предшествующим стадиям производства и входят в состав продукта не прямо, а через другие предметы труда. Для примера рассмотрим затраты электроэнергии на производство стального проката. Прямые затраты – это количество энергии, непосредственно израсходованное в прокатных цехах. Но в производстве проката, кроме электроэнергии, затрачивается сталь и другие предметы труда, а на их выпуск также потребовалось известное количество электроэнергии. В свою очередь, на выплавку стали расходуется чугун, на производство чугуна – руда, и на каждой из этих стадий производства затрачивается электроэнергия, как схематично показано на рисунке 4.1.

 

РУДА

ЧУГУН

СТАЛЬ

ПРОКАТ

Электроэнергия

Для проката

Прямые затраты эл/эн

Для стали

Прямые затраты эл/эн

Косвенные затраты эл/эн 2-го порядка

Косвенные затраты эл/эн 1-го порядка

Косвенные затраты эл/эн 1-го порядка

Для чугуна

Прямые затраты эл/эн

Рисунок 4.1 Возникновение косвенных затрат.

 

Существуют два способа расчета коэффициентов полных затрат:

1) подсчет коэффициента полных затрат как суммы прямых и косвеннных затрат продукции i- той отрасли для производства единицы продукции j – той отрасли через все продукты на всех предыдущих стадиях производства.

(4.21)

где ­ косвенные затраты s-го порядка.

Поэлементную формулу (4.20) можно записать в матричном виде:

(4.22)

где ­ матрица коэффициентов косвенных материальных затрат порядка s.

2) Если матрица коэффициентов прямых материальных затрат задана и является продуктивной, то матрицу коэффициентов полных материальных затрат находят по формуле обращения матриц |Е-А|^-1.

Основной объем расчетов модели межотраслевого баланса связан с вычислением матрицы коэффициентов полных материальных затрат. Операция обращения матрицы тем сложнее, чем больше размерность матрицы.Теоретическая подготовленность, возросшие требования планирования и современные программные средства серийных ЭВМ позволяют производить операции обращения с матрицами любой размерности.

Из смысла коэффициентов прямых и полных материальных затрат вытекает соотношение: ³ .

Исходя из экономического смысла коэффициентов полных материальных затрат (количество валовой продукции i-ой отрасли, которое необходимо для производства единицы конечной продукции j-ой отрасли), а также из соотношения конечной и валовой продукции, можно заключить, что диагональные элементы матрицы полных затрат не меньше единицы, т.е.

³ 1 .

Пример 4.1. Для трех отраслей дан вектор конечной продукции отраслей Y и матрица коэффициентов прямых затрат A:

 

Найти коэффициенты полных материальных затрат ; плановые объемы валовой продукции ; величину межотраслевых потоков, т.е. значения ; заполнить схему межотраслевого баланса; по заданному вектору увеличения выпуска конечной продукции отраслей определить изменения в объемах валового выпуска продукции.

Находим матрицу :

 

Для нахождения матрицы прямых затрат вычисляем матрицу обратную найденной (пользуясь функцией Excel MОБР):

.

Находим объемы валовой продукции отраслей перемножением матрицы на вектор (функция МУМНОЖ):

 

Следовательно, плановые объемы валовой продукции трех отраслей, необходимые для обеспечения заданного уровня конечной продукции равны:

х₁ = 102,2; х₂ = 41,0; х₃ = 26,4.

Межотраслевые поставки рассчитываем по формуле т.е. каждый элемент столбца матрицы коэффициентов прямых затрат умножаем на соответствующий столбцу объем валовой продукции отрасли:

 

По результатам расчетов заполним схему межотраслевого баланса (таблица 4.2).

 

 

Таблица 4.2

	Потребляющие отрасли				Конечная продукция	Валовая продукция
Производящие отрасли
	30,7	10,2	5,3		102,2
	15,3	4,9	0,8		41,0
	10,2	2,1	2,1		26,4

Твитнуть