рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Раздел Математика
/
Вид работы: Лекции
/
Курс лекций к экспериментальной программе: Теория и методика начального курса математики

Реферат Курсовая Конспект

Выберите учебное заведение

Курс лекций к экспериментальной программе: Теория и методика начального курса математики

Курс лекций к экспериментальной программе: Теория и методика начального курса математики - Лекция, раздел Математика, Департамент Образования Г. Москвы ...

ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ г. МОСКВЫ

Педагогический колледж №8

Курс лекций

к экспериментальной программе

Quot;Теория и методика

начального курса математики"

(ТОНКМ С методикой её преподавания)

Составитель: Гаврилин Н.Н.,

преподаватель математики.

Москва

Содержание

Вопрос 1. Особенности математических понятий. Объем и содержание понятия. Структура определения понятия через род и видовое отличие. Способы определения понятий в начальном курсе математики. Ознакомление учащихся с геометрическими фигурами: прямоугольником, квадратом и их свойствами. Обучение учащихся распознаванию этих фигур. 4

Вопрос 2. Понятие высказывания и высказывательной формы. Высказывания с кванторами, способы установления значения их истинности. Приемы ознакомления учащихся младших классов с высказываниями, содержащими квантор общности (свойствами арифметических действий, геометрических фигур, правилами) 6

Вопрос 3. Понятие дедуктивного умозаключения. Простейшие схемы дедуктивных умозаключений. Примеры дедуктивных умозаключений из начального курса математики. Обучение доказательству младших школьников. 8

Вопрос 4. Понятие текстовой задачи, её структура. Основные этапы решения задачи и приёмы их выполнения. Методика формирования понятия «задача» в начальном курсе математики. Различные методические подходы к формированию умения решать задачи. 10

Вопрос 5. Определение отношений "больше на…" и "меньше на…" на множестве натуральных чисел, их теоретико-множественный смысл и способы моделирования. Методика формирования понятий "больше на…" и "меньше на…" в начальном курсе математики. Обучение младших школьников решению текстовых задач с данными отношениями. 12

Вопрос 6. Определение отношений "больше в … раз" и "меньше в … раз" для натуральных чисел, их теоретико-множественный смысл и способы моделирования. Методика формирования понятий "больше в … раз" и "меньше в … раз" в начальном курсе математики. Обучение младших школьников решению текстовых задач с данными отношениями. 14

Вопрос 7. Понятие разбиения множества на попарно непересекающиеся подмножества (классы). Отношение эквивалентности и его связь с разбиением множества на классы. Использование приема классификации при обучении математике в начальных классах. 16

Вопрос 8. Определение числовой функции. Способы задания функции. Прямая и обратная пропорциональности, их свойства и графики. Методика обучения решению задач с прямо пропорциональными и обратно пропорциональными величинами. 18

Вопрос 9. Понятие числового выражения и выражения с переменной. Тождественные преобразования выражений. Числовые равенства и неравенства, их основные свойства. Формирование понятия выражения в начальном курсе математики. Обучение нахождению значения выражений, содержащих более двух действий, в том числе и со скобками. Ознакомление учащихся с правилами порядка выполнения действий. 21

Вопрос 10. Понятие уравнения с одной переменной. Равносильные уравнения. Теоремы о равносильности уравнений. Формирование представлений об уравнении в начальном курсе математики. Методика обучения решению простейших уравнений. 24

Вопрос 11. Понятие отрезка натурального ряда чисел и счёта элементов конечного множества. Теоретико-множественный смысл натурального числа и нуля. Натуральное число как результат измерения величины. Определение отношения «меньше» для натуральных чисел, его теоретико-множественный смысл. Формирование у младших школьников представлений о счёте, порядковом и количественном числе, последовательности и названии чисел натурального ряда. Методика формирования у младших школьников понятий «меньше» и «больше» для натуральных чисел. 26

Вопрос 12. Теоретико-множественный смысл суммы натуральных чисел, смысл суммы натуральных чисел, полученных в результате измерения величин. Ознакомление учащихся младших классов со смыслом сложения. Типы ситуаций с предметными множествами, раскрывающими смысл сложения. 28

Вопрос 13. Теоретико-множественный смысл разности натуральных чисел. Условие существования разности на множестве натуральных чисел. Смысл разности натуральных чисел, полученных в результате измерения величин. Ознакомление учащихся младших классов со смыслом вычитания. Типы ситуаций с предметными действиями, раскрывающие смысл вычитания. 30

Вопрос 14. Определение умножения натуральных чисел через сложение, его теоретико-множественный смысл. Смысл произведения натуральных чисел, полученных в результате измерения величин. Методика ознакомления учащихся начальных классов со смыслом умножения целых неотрицательных чисел. 33

Вопрос 15. Теоретико-множественный смысл частного натуральных чисел. Условие существования частного натуральных чисел. Смысл частного натуральных чисел, полученных в результате измерения величин. Методика ознакомления учащихся начальных классов со смыслом деления натуральных чисел. 35

Вопрос 16. Множество целых неотрицательных чисел. Теоретико-множественный смысл нуля. Определение действий с нулем. Невозможность деления на нуль (с обоснованием). Методика ознакомления учащихся со случаями умножения и деления с 0 и 1. 37

Вопрос 17. Свойства сложения натуральных чисел, их назначение. Теоретико-множественный смысл этих свойств. Методика изучения свойств сложения в начальном курсе математики. Использование этих свойств при формировании устных приемов сложения чисел............................................................................ 39

Вопрос 18. Правила вычитания числа из суммы и суммы из числа, их теоретико-множественная интерпретация. Методика изучения правил вычитания в начальном курсе математики, их использование для устных приемов вычитания чисел. 40

Вопрос 19. Правила деления суммы на число и произведения на число, их теоретико-множественная интерпретация. Методика изучения этих правил деления в начальном курсе математики и их использование для устных приемов деления чисел. 42

Вопрос 20. Определение деления с остатком на множестве целых неотрицательных чисел, его теоретико-множественный смысл. Знакомство с понятием «деление с остатком» в начальном курсе математики. Обучение младших школьников приемам деления с остатком. 44

Вопрос 21. Свойства умножения натуральных чисел, их назначение и теоретико-множественная интерпретация. Методика изучения свойств умножения в начальном курсе математики. Использование этих свойств при формировании устных приемов умножения чисел. 46

Вопрос 22. Позиционные и непозиционные системы счисления. Особенности десятичной системы счисления. Сравнение чисел, записанных в этой системе. Методика изучения нумерации в пределах сотни, тысячи и миллиона. 47

Вопрос 23. Алгоритм сложения многозначных чисел в десятичной системе счисления; теоретические факты, лежащие в его основе. Методика ознакомления учащихся с алгоритмом письменного сложения. Формирование навыков письменного сложения. 50

Вопрос 24. Алгоритм вычитания многозначных чисел в десятичной системе счисления, теоретические факты, лежащие в его основе. Методика ознакомления учащихся с алгоритмом письменного вычитания. Формирование навыков письменного вычитания. 52

Вопрос 25. Алгоритм умножения многозначных чисел в десятичной системе счисления Теоретические факты, лежащие в его основе. Методика ознакомления учащихся с алгоритмом письменного умножения. Формирование навыков письменного умножения. 55

Вопрос 26. Алгоритм деления многозначных чисел в десятичной системе счисления, теоретические факты, лежащие в его основе. Методика ознакомления учащихся с алгоритмом письменного деления. Формирование навыков письменного деления. 57

Вопрос 27. Понятие положительной скалярной величины и ее измерения. Действия с величинами одного рода. Связь этих действий с действиями над числами. Методика формирования представлений о времени в начальном курсе математики. 59

Вопрос 28. Понятие длины отрезка и ее измерения. Действия над длинами. Методика формирования представлений о длине отрезков в начальном курсе математики. Ознакомление с единицами длины и их соотношением. 60

Вопрос 29. Понятие площади фигуры и ее измерения. Равновеликие фигуры. Измерение площади при помощи палетки. Теорема о площади прямоугольника. Методика формирования у младших школьников представлений о площади и ее измерении. Ознакомление с единицами площади и их соотношением. 62

Вопрос 30. Понятие дроби и положительного рационального числа. Определение арифметического действия над положительным рациональным числом. Свойства сложения и умножения положительного рационального числа. Методика изучения доли в начальном курсе математики. 64

Понятие - это логическая категория, которая в логике рассматривается, как форма мысли, отражающая объекты (предметы или явления) в их существенных и общих свойствах. Т.О понятие – это мысль, в которой отражаются существенные признаки объектов. Математические понятия обладают рядом особенностей. Главная заключается в том, что математические объекты, о которых необходимо составить понятие, в реальности не существуют. Они созданы умом человека. Когда говорят о математическом понятии, то обычно имеют в виду множество объектов, обозначаемых одним термином. Термин– это слово или словосочетание, которым обозначается понятие. Пример: Считают, что множество всех квадратов составляет объем понятия «квадрат».

Объем понятия – всё множество объектов, называемых одним термином. Любое понятие имеет не только объем, но и содержание. Содержание понятия – всё множество существенных признаков (свойств), однозначно определяющих принадлежность объекта объему данного понятия. Пример: Рассмотрим понятие «прямоугольник». Объем понятия – множество различных прямоугольников, а в его содержание входят такие свойства прямоугольников, как «иметь четыре прямых угла», «иметь равные противоположные стороны», «иметь равные диагонали» и т.д. Между объемом и содержанием понятия существует обратно пропорциональная зависимость.

Пример: Объем понятия «квадрат» является частью объема понятия «прямоугольник», а в содержании понятия «квадрат» содержится больше свойств, чем в содержании понятия «прямоугольник». Появление в математике новых понятий, а значит, и новых терминов, предполагает их определения.

Определением понятия называется логическая операция, раскрывающая содержание данного понятия. Чаще всего это повествовательное предложение, разъясняющее суть нового термина. Определяют понятия, как правило, на основе ранее изученного термина. Но в любом определении можно выделить две части – определяемое понятие (новый термин) и определяющее понятие (ранее изученный термин и свойства нового понятия). Пример: Прямоугольник можно определить так: «прямоугольник - это четырехугольник, у которого все углы прямые». В этом определении есть две части – определяемое понятие (прямоугольник) и определяющее (четырехугольник, у которого все углы прямые). Если мы обозначим буквой a определяемое понятие, а буквой b определяющее, то можно записать, что a есть b; а равносильно b по определению; a тогда и только тогда, когда b - такие определения называются явными.

Если рассматривать определяющее понятие, то можно выделить:

1. понятие «четырехугольник», которое является родовым по отношению к понятию «прямоугольник»;

2. свойство «иметь все углы прямые», которое позволяет выделить из всевозможных четырехугольников один вид – прямоугольники, поэтому его называют видовым отличием.

Вообще, видовое отличие – это свойства, которые позволяют выделить определяемые объекты из объема родового понятия. Все выше сказанное можно представить в виде схемы.

Определяемое понятие	=	Родовое понятие	+	Видовое отличие
	Определяющее понятие

Формулируя определения, нужно придерживаться ряда правил:

1. Определение должно быть соразмерным, то есть объемы определяемого и определяющего понятий не должны совпадать.

2. Не должно быть порочного круга, то есть в определяющем понятии не должно быть определяемого.

3. Определение должно быть ясным, то есть термины должны быть известны.

Через род и видовое отличие можно по-разному определить одно и то же понятие. Для того чтобы правильно дать определение нужно:

1. Назвать термин.

2. Указать ближайшее родовое понятие.

3. Перечислить свойства, выделяющие объекты из объема родового понятия.

4. Соблюдать правила определения понятия.

В начальном курсе математики выделяются четыре группы понятий:

· Понятия, связанные с числами, операциями над ними и отношениями между ними

· Алгебраические понятия (выражение, равенство и др.)

· Геометрические понятия (прямая, отрезок и др.)

· Понятия, связанные с величинами и их измерением

В методике преподавания курса математики различают несколько способов определения понятий:

· явный способ, структура которого содержит две части – определяющее и определяемое понятие (прямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы прямые.) (Моро М.И. 2кл.(1-4) стр. 52);

· неявный, в их структуре нельзя выделить определяемое и определяющее понятие. Среди них различают: контекстуальные – раскрытие нового понятия через отрывок текста, через контекст (Моро М.И. 3кл.1ч. (1-4) стр.10); остенсивные – определение путем показа. Они используются для введения терминов путем демонстрации объектов, которые этими терминами обозначают. (Истомина Н.Б. 2кл.(1-4) стр.66-67).

Основой формирования у детей представлений о геометрических фигурах является способность их к восприятию формы. Эта способность позволяет ребенку узнавать, различать и изображать различные геометрические фигуры: квадрат, прямоугольник и т.д. Для этого достаточно показать ему ту или иную геометрическую фигуру и назвать ее соответствующим термином. Например: это квадраты (рис. 1), это прямоугольники (рис. 2).

Рис. 1 Рис. 2

Такое знакомство учащихся с геометрическими фигурами позволяет им воспринимать их как целостный образ, поэтому, если изменить расположение или размер тех фигур, которые были предложены в образце, дети могут допускать ошибки. Поэтому восприятие геометрической фигуры как целостного образа – лишь первый этап в формировании геометрических представлений ребенка. В дальнейшем необходимо сосредоточить его внимание на выделении тех элементов, из которых состоят геометрические фигуры, и на их существенных признаках. Для этой цели геометрические фигуры изучают в определенной последовательности, выполняя с моделями различные практические действия. Рассмотрим возможный вариант такого изучения.

Определенную трудность для младших школьников представляет осознание того, что любой квадрат является прямоугольником. Причина в том, что целостный образ квадрата и прямоугольника уже сложился у большинства детей, а умением выделять существенные признаки фигуры они еще не овладели. Поэтому очень важно продумать последовательность вопросов, организующих деятельность детей, направленную на выделение существенных признаков прямоугольника и квадрата. Для этой цели учитель может поместить на фланелеграфе различные фигуры. Сначала следует выяснить, как можно их назвать (многоугольники). Затем предложить учащимся показать и назвать многоугольники, у которых три угла и три стороны; четыре угла и четыре стороны и т.д. После этого предложить им оставить на фланелеграфе только четырехугольники. Затем из них выделить те, у которых один, два, три, четыре прямых угла (учащиеся догадываются или им сообщается, что четырехугольников с тремя прямыми углами не может быть). Дети выполняют задание учителя, сначала прикладывая «на глаз», какие углы могут быть прямыми, затем проверяют свое предположение с помощью модели прямого угла. В результате выделяются четырехугольники, у которых все углы прямые. Они имеют название – прямоугольники. Среди прямоугольников можно выделить такие, у которых все стороны равны. Это квадраты. Отношения между понятиями многоугольник, четырехугольник, прямоугольник, квадрат представлены схематически.

Квадраты

Прямоугольники

Четырехугольники

Многоугольники

Эту схему можно затем использовать для проведения различных игр, например игры «Где мое место?». Для этого двум ученикам дается одинаковое количество различных многоугольников. Побеждает тот, кто быстро и правильно заполнит схему фигурами.

Так как первоначально даваемый образ является наиболее устойчивым, то в начальной школе особенно важно дать правильное представление о вводимых понятиях. Средство формирования понятий - система специально подобранных заданий, раскрывающая сущность понятия. При составлении таких заданий следует ориентироваться на следующие умения учащихся, которые характеризуют сформированность понятия:

· Давать, если того требует программа определение понятия.

· Самостоятельно формулировать существенные признаки понятия.

· Подводить объект под понятие.

· Выводить следствия из факта принадлежности объекта объему данного понятия.

· строить объект, принадлежащий объему данного понятия.

· приводить свои примеры объектов как принадлежащих, так и не принадлежащих понятию.

· рассматривать объект в плане разных понятий.

Исходя из этих умений, система закрепляющих упражнений может быть такая:

· Назовите фигуру, которую вы видите. Дайте определение этой фигуре.

· Чем отличается данная фигура от остальных?

· Приведите пример фигуры, у которой …… или которая…..

· Если фигура является ………, то, что это значит?

· Изобразите фигуру, которая называется …….

· Выберите (покажите, нарисуйте) фигуры, которые являются ………., не являются………

Чем похожи фигуры? Чем отличаются?

Таким образом, для лучшего усвоения геометрических понятий нужно предлагать учащимся следующие задания: назвать существенные признаки понятия, выбрать из предложенных геометрических фигур данное понятие, указать равные стороны, углы, самостоятельно начертить, привести примеры геометрических фигур, которые не являются данным понятием, найти в окружающей обстановке данное понятие.

Высказыванием в математике называют предложение, относительно которого имеет смысл вопрос: истинно оно или ложно.Пример: предложение «число 12 – чётное» является высказыванием, и оно истинно. Предложение «2+5>8» является высказыванием, и оно ложно. Высказывания принято обозначать прописными буквами латинского алфавита: A, B, C… Z. Если высказывание А истинно, то записывают А – «и», если оно ложно, то записывают А – «л», можно также использовать элементы булевой алгебры, где «1» - истинное высказывание, а «0» - ложное. «Истина» и «ложь» называются значениями истинности высказывания. Каждое высказывание либо истинно, либо ложно, быть одновременно и тем и другим оно не может.

Предложение «х+5=8» называется высказывательной формой, т.к. относительно него нельзя сказать истинно оно или ложно, оно порождает множество высказываний одной и той же формы. Пример: при х=2 высказывание «х+5=8» ложное, а при х=3 – истинное. По числу переменных, входящих в высказывательную форму различают одноместные, двуместные и т.д. высказывательные формы и обозначают: А(х), А(х,у). Пример: х+5=8 – одноместная высказывательная форма, а предложение «прямая х параллельна прямой у» - двуместная (понятие высказывательной формы, содержащей 2 и более переменных, определяется аналогично). Значения переменной, которые обращают высказывательную форму в истинное высказывание, называют множеством истинности высказывательной формы. Например: х>5, множество истинности (5; +∞), х+5=8, множество истинности (3). Множество истинности высказывательной формы обозначают Т, Т Ì Х.

Слова «и», «или», «если…, то…», «тогда и только тогда, когда…», «не», «неверно, что…» называют логическими связками. Предложения, образованные из других предложений с помощью логических связок, называются составными. Предложения, не являющие составными, называются элементарными.Пример: «число 28 – четное и делится на 7». Чтобы определить значение истинности составного высказывания, надо знать смысл логических связок, с помощью которых оно образовано из элементарных, и умение выявлять логическую структуру высказывания.

Выражение «для всякого х» в логике называется квантором общности по переменной х (переменная может быть обозначена и другой буквой) и обозначается символом "х. Запись ("х) А(х) означает «для всякого значения х предложение А(х) – истинное высказывание». Иногда эту запись дополняют обозначением множества Х, на котором задана высказывательная форма А(х), и тогда предложение ("хÎХ) А(х) можно читать: а) для всякого х из множества Х истинно А(х);

б) всякий элемент из множества Х обладает свойством А.

Выражение «существует х такое, что…» в логике называется квантором существования по переменной х (переменная может быть обозначена и другой буквой) и обозначается символом $х.Запись ($х) А(х) означает: «существует такое значение х, что А(х) - истинное высказывание». Иногда эту запись дополняют обозначением множества Х, на котором задана высказывательная форма А(х), и тогда предложение ($хÎХ) А(х) можно читать: а) существует такое х из множества Х, что истинно А(х);

б) хотя бы один элемент х из множества Х обладает свойством А.

Примеры: «Произведение двух любых последовательных натуральных чисел кратно 2» - квантор общности. «Некоторые нечетные числа делятся на 5» - квантор существования.

Истинность высказывания с квантором общности устанавливается путем доказательства. Показать ложность таких высказываний можно, приведя контрпример.

Доказательство истинности высказываний, содержащих квантор общности, можно выполнять различными методами (рассуждения, перебор всех возможных вариантов и др.). Привести пример.

Истинность высказывания с квантором существования устанавливается при помощи конкретного примера. Чтобы убедиться в ложности такого высказывания, необходимо провести доказательство.

Заметим, что убедиться в ложности высказывания – это значит опровергнуть его.

В начальной школе высказывания с кванторами общности изучаются в неявном виде. Например, изучая свойства арифметических действий, дети узнают, что:

Ø Делить на 0 нельзя

Ø При умножении на 1 получается то же самое число, что и умножали ("аÎN) а×1=а

Ø При вычитании разность всегда меньше уменьшаемого (а-b=c, где с< а)

Ø При сложении, если к какому-либо (т.е. любому) числу прибавить 1, то получится последующее число.

При изучении данных правил учитель делает акцент на то, что все эти свойства арифметических действий характерны для любых чисел натурального ряда, и приводит в пример свои примеры:

Ø 2×1=2, 3×1=3, 5×1=5, 28×1=28 и т.д.

Ø 15-7=8, где 8<15; 32-11=21, где 21<32 и т.д.

Ø 3+1=4, 4+1=5, 47+1=48, 632+1=633 и т.д.

При изучении свойств геометрических фигур, например в теме «Квадрат. Площадь квадрата» дети знакомятся с признаком квадрата:

Ø «у квадрата все стороны равны, у квадрата 4 угла», который также характерен для любого (каждого) квадрата;

Ø также учитель показывает детям, что формула нахождения площади применима для квадрата любого размера. В качестве доказательства учитель рисует на доске несколько квадратов разного размера, показывая в каждом квадрате его признак, а затем находит площади этих фигур, показывая тем самым, что формулу эту можно применять к абсолютно любому квадрату.

При изучении правил в математике, учитель на основе закона коммутативности сложения (в начальных классах этот закон рассматривается как правило) «от перемены мест слагаемых сумма не меняется», тоже использует высказывание с квантором общности, т.к. это правило подходит для любых чисел натурального ряда. Учащиеся могут самостоятельно доказать это правило своими примерами:

15+8=23 17+4=21 6+19=25

8+15=23 4+17=21 19+6=25 и др.

Важно, чтобы дети сами сказали, что это свойство выполняется при сложении любой (всякой, каждой) пары чисел.

Или, например, при изучении правила прибавления числа к сумме (для того, чтобы прибавить число к сумме, можно прибавить это число к первому слагаемому суммы, а затем к полученному результату прибавить 2^е слагаемое. Учитель также подчеркивает, что данное правило характерно для любых чисел из натурального ряда, и показывает это на примере: (17+21)+3=(17+3)+21=41 и т.д.

Задания на знание точного смысла слов: и, или, все, каждый, некоторые.

Для уточнения смысла указанных слов целесообразно использовать первые уроки.

С помощью контрольных вопросов (заданий) выясняется, правильно ли дети понимают смысл слов: и, или, все, каждый. В случае затруднений учащихся необходимо раскрыть смысл указанных слов. Ввести слова все, каждый при выполнении, например, следующих заданий:

1) Обведите на одной строчке 3 клетки. Раскрасьте их. Вопросы: сколько клеток обвели? Сколько клеток раскрасили? (3 клетки обвели и 3 раскрыли. Можно сказать также, что обвели 3 клетки и все раскрасили, а можно сказать и по-другому: обвели 3 клетки и каждую раскрасили).

Для проверки понимания смысла введенных слов можно предложить следующие задания:

2) У Маши было 4 яблока. Все яблоки она отдала сестре?

3) Нарисуйте 5 флажков. Каждый из них раскрасьте красным карандашом. Сколько флажков нарисовали? Сколько флажков раскрасили? Почему? (Нарисовали 5 флажков и каждый раскрасили. Значит, раскрасили 5 флажков).

Умение правильно использовать слова: и, или, все, каждый, некоторые формируется при выполнении заданий, аналогичных следующим:

4) а) Верно ли, что все треугольники – красные; все круги – синие; некоторые круги – синие; каждый треугольник – красный; все квадраты – белые?

б) Выбери из слов все, некоторые, каждый нужное и запиши его вместо точек, чтобы предложения были верными:

…… треугольники – красные, …… круги – синие, …… квадрат – зеленый.

5) Учитель дал детям задание. Один ученик выполнил задание так:

Другой ученик выполнил то же самое задание так:

Учитель проверил и сказал, что оба ученика выполнили задание правильно.

Подумайте, каким было задание. Выберите правильный ответ из предложенных:

а) нарисуйте 3 квадрата и 2 треугольника. Раскрасьте 3 квадрата и 2 треугольника;

б) нарисуйте 3 квадрата или 2 треугольника. Раскрасьте 3 квадрата и 2 треугольника;

в) нарисуйте 3 квадрата или 2 треугольника. Раскрасьте 3 квадрата или 2 треугольника

г) нарисуйте 3 квадрата и 2 треугольника. Раскрасьте 3 квадрата или 2 треугольника.

Для нахождения ответа учащиеся могут для каждого из предложенных ответов дать интерпретацию и путем сравнения с данными рисунками указать правильный ответ.

Определение I.

Дедукция (от лат. deductio – выведение) – вывод по правилам логики; цель умозаключений (рассуждений), звенья которой (высказывания) связаны отношением логического следования. Началом (посылками) Д. являются аксиомы, постулаты или просто гипотезы, имеющие характер общих утверждений (“общее”), а концом – следствия из посылок, теоремы (“частное”). Если посылки Д. истинны, то истинны и её следствия. Д. – основное средство доказательства.

Определение II.

Умозаключение – это способ получения нового знания на основе некоторого имеющегося. Умозаключение состоит из посылок и заключения. Посылки – это… Если посылки дедуктивного умозаключения обозначить буквами А1, А2, ... , Аn, а… Часто используют такую запись:. В ней черта заменяет слово «следовательно». Дедуктивным является умозаключение,…

II. Схемы дедуктивных умозаключений.

В логике считают, что правильность умозаключения определяется его формой и не зависит от конкретного содержания входящих в него утверждений. Для… – правило заключения; – правило отрицания; – правило силлогизма.

Анализ задачи.

Известно несколько приёмов, которые можно использовать при анализе задачи. а) Задать официальные вопросы и ответить на них: О чем задача?

Поиск и составление плана решения задачи.

Поиск плана решения задачи может производиться по вспомогательной модели, выполненной при анализе задачи. 3.Осуществление плана решения. Назначение этапа: найти ответ на требование задачи, выполнив все действия в соответствии с планом.

Понятие «задача» в начальном курсе математики.

При обучении младших школьников математике решению текстовых задач уделяется большое внимание, т.к.:

1. В сюжетах находят отражение практические ситуации, имеющие место в жизни ребёнка.

2. Решение этих задач позволяет ребёнку осознать практическую значимость тех математических понятий, которыми он овладевает в начальном курсе математики.

3. В процессе их решения у ребёнка можно формировать умения, необходимые для решения любой математической задачи.

Вот, например, простейшая схема – введение в анализ задачи (1 класс.).

2 3	условие
?	вопрос
2+3=5	решение
	ответ

Она создается на первых уроках при разборе задачи в картинках: В вазе лежало 2 яблока. Мама положила туда еще 3 яблока. Сколько яблок стало в вазе? Цель таблицы – оставить наглядный след при первом объяснении элементов задачи. Выводу схемы сопутствуют вопросы учителя – “Что в задаче известно? Что мы знаем?" Хором говорим – “Мы знаем, что в вазе было 2 яблока, и мы знаем, что мама положила туда еще 3 яблока”. При этом учитель заполняет рамку таблицы на доске и сообщает, что это условие задачи. Мы выделили условие задачи. Что спрашивается в задаче? Сколько яблок стало в вазе? (Схема на доске дополняется знаком вопроса). Это вопрос задачи. Мы выделили вопрос задачи. Сколько же яблок стало в вазе? – спрашивает учитель. Пять, - отвечают дети. Как узнали? Что сделали? К двум прибавили три. Запись на доске продолжается (2+3=5). Это решение. Вы сказали решение задачи. Сколько же стало яблок в вазе, скажите еще раз. (5). “5“ – это ответ. Мы сказали ответ задачи. Далее учитель подводит детей к обобщению только что проведенного анализа задачи: Какие же части, элементы задачи мы выделили? (условие, вопрос, решение, ответ). Схема дополняется этими словами. На следующем уроке схема перед глазами детей. Задание учителя: Назовите части задачи. Далее ребята учатся составлять задачу по картинке, выделять условие, вопрос, решение и ответ задачи.

В настоящее время существует множество методических рекомендаций, связанных с обучением младших школьников решению задач.

Вопрос о том, как научить детей устанавливать связи между данными и искомыми в текстовой задаче и в соответствии с этим выбрать, а затем выполнить арифметические действия, решается в методической науке по-разному. Все многообразие методических рекомендаций, связанных с обучением младших школьников решению задач рассматривается с точки зрения 2^х принципиально отличающихся друг от друга подходов.

Один подход нацелен на формирование у учащихся умения решать задачи определенных типов (видов). Дети сначала учатся решать простые задачи, а затем составные, включающие в себя различные сочетания простых задач. При этом подходе многие учащиеся решают задачи лишь по образцу. А, встретившись с задачей незнакомого типа, заявляют: “А мы такие задачи не решали”. В этом огромный недостаток первого подхода.

Дети сначала учатся решать простые задачи, а затем составные, включающие в себя различные сочетания простых задач. М.А. Бантова и Г.В. Бельтюкова выделяют 3 группы простых задач:

1. Задачи, при решении которых дети усваивают конкретный смысл каждого из арифметических действий.

2. Задачи, при решении которых учащиеся усваивают связь между компонентами и результатами арифметических действий.

3. Простые задачи, при решении которых раскрывается понятия разности и кратного отношения.

Разнообразить урок позволяют следующие виды задач (по Царевой)

1) Задачи, не требующие полного решения.

2) Установление соответствия между задачей и графической моделью.

3) Выбор среди данных задач нужной (3 задачи – 1 рисунок)

4) Выбор подходящей схемы (1 задача – 3 схемы)

5) Нахождение ошибок в схеме.

6) Классификация простых задач по действиям, которыми они могут быть решены.

7) Выбор задач, ответ на вопрос которых может быть найден в заданной последовательности действий.

8) Обнаружение ошибок в решении.

9) В качестве творческого задания можно предлагать детям придумать задачу по графической схеме.

Цель другого подхода – научить детей выполнять семантический и математический анализ текстовых задач, выявить взаимосвязи между условием и вопросом, данными и искомыми и представлять эти связи в виде схематических и символических моделей. При этом подходе процесс решения задач (простых и со-ставных) рассматривается как переход от словесной модели к модели математической или схематической. В основе осуществления этого подхода лежит математический анализ текста. Учащиеся должны быть подготовлены к этой деятельности, поэтому знакомству младших школьников с текстовой задачей должна предшествовать специальная работа по формированию математических понятий и отношений. Также необходимо сформировать у младших школьников (до знакомства с задачей) те логические приемы мышления (анализ и синтез, сравнение, обобщение), которые обеспечивали бы их мыслительную деятельность в процессе решения задач. При этом подходе значительно сложнее подготовительная работа, но решение задач более осмысленно.

В основе определения отношений «больше на» и «меньше на» лежит. понятие равночисленности множеств Например, чтобы утверждать, что 6 больше 4 на 2, сравнивают два множества, устанавливая взаимно-однозначное соответствие между множеством Х, в котором 4 элемента, и подмножеством У₁ другого множества У, в котором 6 элементов, и делают вывод: треугольников столько же, сколько кружков, и еще 2. Другими словами, треугольников на 2 больше, чем кружков.

Для установления отношений «больше», «меньше», «равно» между числами младшие школьники могут использовать предметные, графические и символические модели. Установление взаимно-однозначного соответствия между элементами двух множеств выступает в качестве математической основы действий на предметном уровне.

С понятиями «больше на» и «меньше на» учащиеся знакомятся на первых уроках в первом классе в процессе установления взаимно-однозначного соответствия между предметными множествами. Для установления взаимно-однозначного соответствия между предметными множествами используют:

1. Наложение элементов одного множества на элементы другого:

Каких фигур больше?

Каких фигур меньше?

На сколько больше?

На сколько меньше?

2. Расположение элементов одного множества под элементами другого:

Каких фигур больше?

Каких фигур меньше?

На сколько больше?

На сколько меньше?

3. Образование пар, т. е. соединение элемента одного множества с одним элементом другого:

Каких фигур больше?

На сколько больше?

На сколько меньше?

Понятия «больше на», «меньше на» используются для случаев присчитывания и отсчитывания по единице при знакомстве с новым числом. В результате выполнения различных упражнений на каждом отрезке натурального ряда чисел, связанных с получением следующего числа (5+1=6; 6-1=5), дети убеждаются в том, что числа упорядочены по величине: после числа 1 называют при счете число 2, которое больше него на 1; перед числом 2 называют число 1, которое меньше него на 1 и т.п.

При обучении младших школьников решению текстовых задач с данными отношениями используют графическое моделирование и установление взаимно-однозначных соответствий. Например, задача: «Коля сделал 4 флажка, а Витя – 7 флажков. На сколько флажков Витя сделал больше».

1. Рисунок: 2.Условный рисунок:

3. Чертеж: 4.Схематичный чертеж:

Отношение «больше на» означает, что во множестве флажков, сделанных Витей, столько же элементов, сколько их во множестве флажков, сделанных Колей и еще 4.

Учителю необходимо подвести детей к выводу: чтобы узнать, на сколько одно число больше или меньше другого, можно из большего вычесть меньшее.

Упражнения для закрепления.

1. Каких элементов больше? На сколько? Каких элементов меньше?

Прием классификации.

Умение выделять признаки предметов и устанавливать между ними сходство и различие – основа приема классификации.

Прием классификации – это прием разбиения множества на классы. В начальной школе можно использовать следующие упражнения, которые бы могли разделяться на разные виды:

1. Подготовительные задания. К ним относятся:

Убери (назови) "лишний" предмет (число). Назови лишнее число (пример):

8; 6; 3; 2; 10 6+1; 8+1; 3+5; 9+4; 2+7

"Нарисуй предметы такой же формы до равного количества". Сюда же можно отнести задание на развитие внимания и наблюдательности: "Какой предмет убрали?", "Что изменилось?"

2. Задания, в которых на основание классификации указывает учитель: 37; 61; 57; 34; 81; 64; 27 – разбейте данные числа на три группы, ориентируясь на цифры, записанные в разряде единиц; – на две группы, ориентируясь на цифры, записанные в разряде десятков.

3. Задания, при выполнении которых дети сами выделяют основание классификации. Переходя к таким упражнениям полезно указывать количество групп разбиения.

– разбейте данные выражения на группы; – на две группы; – на четыре группы;

3+2; 6-3; 4+5; 9-2; 4+1; 7-2; 10-1; 6+1; 3+4

В качестве основания для разбиения выражений на группы может выступать и вычислительный прием. Для этого можно использовать следующие задания:

По какому признаку можно разбить данные выражения на две группы 57+4; 23+4; 36+2; 75+2; 68+4; 52+7; 76+7; 44+3; 88+6; 82+6

Если учащиеся не могут увидеть нужное основание для классификации, то учитель может помочь им следующим образом: "В одну группу я запишу 57+4, в другую 23+4, в какую вы запишите выражение 36+9".

Психологи утверждают, что, так как основой формирования у детей представления о геометрических фигурах является способность к восприятию формы, что позволяет ребенку различать и изображать различные геометрические фигуры, то достаточно показать ему ту или иную геометрическую фигуру и назвать ее соответствующим термином. Классификация геометрических фигур как прием введения понятия "прямоугольник":

1. Уберите фигуры, не имеющие прямых углов.

2. Из оставшихся выберите фигуры, имеющие хотя бы один прямой угол.

3. Из оставшихся выберите фигуры, у которых все углы прямые.

Применение приема классификации на уроках позволяет значительно расширить имеющиеся в практике приемы работы, способствует формированию положительных мотивов в учебной деятельности, так как подобная работа содержит и элемент игры и элемент поисковой деятельности, что в свою очередь повышает активность учащихся и обеспечивает самостоятельное выполнение работы.

В школьном курсе математики основное внимание уделяется числовым функциям. Причиной этого является тесная связь математики с естественными науками, в частности, с физикой, для которой числовые функции служат средством количественного описания различных зависимостей между величинами. В начальном курсе математики понятие функции и всё, что с ним связано, в явном виде не изучается.

Числовой функциейназывается такое соответствие между числовыми множествами Х и R, при котором каждому числу из множества Х сопоставляется единственное число из множества R.

Для задания функции необходимо указать, во-первых, числовое множество Х, т.е. область определения функции, и, во-вторых, правило, по которому каждому числу из множества Х соответствует единственное действительное число. Существует 2 способа задания функций:1 – перечисление всех пар, участвующих в функциональном соответствии. Приёмы: график в прямоугольной (декартовой) системе координат, таблица. 2. – указание характеристического свойства (вербально – словесно или аналитически – формулой у = f(x)). Числовые функции можно представить наглядно на координатной плоскости.

Графиком функции у=2x-3, заданной на множестве R, является прямая, а графиком функции у=х², заданной также на множестве R, – парабола.

Прямой пропорциональностью называется функция, которая может быть задана при помощи формулы у=kx, где k не равное нулю действительное число.

Пример: Если в одном пакете муки 2кг, а куплено x таких пакетов, то всю массу купленной муки (обозначим её через y) можно представить в виде формулы y=2x, т. е. зависимость между количеством пакетов и всей массой купленной муки является прямой пропорциональностью с коэффициентом k=2.

Свойства прямой пропорциональности.

2.Графиком прямой пропорциональности является прямая, проходящая через начало координат. Для построения графика достаточно найти лишь одну точку,… Пример: Чтобы построить график функции y=2x, достаточно иметь точку с… 3.При k>0 функция y=kx возрастает на всей области определения; при k<0 – убывает на всей области определения. …

Обратной пропорциональностью называется функция, которая может быть задана при помощи формулы: у=, где k - не равное нулю действительное число.

Пример: Если купили 12 кг муки и разложили ее в х пакетов по у кг в каждый, то зависимость между данными величинами можно представить в виде х•у=12, т.е. она является обратной пропорциональностью с коэффициентом k=12.

Свойства обратной пропорциональности

2.Графиком обратной пропорциональности является гипербола. (рис. 1) 3.При k > 0 ветви гиперболы расположены в 1-й и 3-й четвертях и функция… 4.Сформулируем основной признак обратной пропорциональности. С увеличением (уменьшением) значения переменной х в…

Тождественное преобразование выражений.

Пример: 5(х+2) и 5х+10 – тождественно равные выражения, так как при любых значения «х» их значения равны. Если два тождественно равных на некотором… Замена выражения другим, тождественно равным ему на некотором множестве,… Например, чтобы найти произведение 35•4 можно выполнить преобразование: 35•4=(30+5)•4=30•4+5•4= 120+20=140. Числовые…

Обучение нахождения значения выражений, содержащих более двух действий, в том числе со скобками.

В дальнейшем рассматриваются новые для учащихся правила о порядке выполнений действий в выражениях, содержащих две пары скобок или два действия… Задания: 1 класс (1 – 4) М.И.Моро. стр. 86 № 1 стр. 87 № 1 …

Ознакомление учащихся с правилами порядка выполнения действий.

Правило 1. В выражениях без скобок, содержащих только сложение и вычитание, или умножение и деление, действия выполняются в том порядке, как они… Правило 2. В выражения без скобок сначала выполняется по порядку слева направо… Правило 3. В выражениях со скобками сначала вычисляют значение выражений в скобках, затем по порядку слева направо…

Задания.

1. Сравни выражения в каждой паре, чем они похожи? Чем отличаются? Чем похожи все вторые выражения в каждой паре? Чем похожи первые выражения в каждой паре?

72–9–3+6 48–6+7+8 27–3+2–7

72:9•3:6 48:6•7:8 27:3•2:7

2. Догадайся! По какому признаку записаны выражения в каждом столбике?

29–8+24 72:9•3

32+9–7+14 48:6•7:8

64–7+16–8 27:3•2:6•9

3. Можно ли утверждать, что значение выражений в каждом столбике одинаковы?

56:7 54:9

7•8(32:4) 9•6:(36:4)

(65–9):(24:3) (72–18):(27:3)

4. Какие числа нужно вставить в «окошко» чтобы получить верное неравенство?

24+4•3= +24

5. Расставь порядок выполнения действий на каждой схеме:

1 + 1 : 1 + 1 • 1 - 1

1 • 1 + ( 1 +1) - 1

1 : 1 + 1 -1 - (1 +1)

1 - 1 • (1 +1) + 1 :1 -1

(1 -1) : (1 - 1) • ( 1+1) +1

(1 - 1) •1 +1 + (1 - 1) • 1 - 1 : 1

6. Вычисли:

(25–5):4+2 (13 • 2) + ( 4 • 3) (12 + 4) • (5 + 2) • (5 – 1)

Возьмем 2 выражения с переменной: 4х и 5х+2, соединим их знаком равенства, получим предложение: 4х=5х+2. При х=–2 предложение обращается в истинное числовое равенство, а при х=1 – ложное. Предложение 4х=5х+2 – высказывательная форма. Ее называют уравнением с одной переменной.

Определение: Пусть f(х) и g(х) – два выражения с переменной х и областью определения Х. Тогда высказывательная форма вида f(х)=g(х)называется уравнением с одной переменной. Значение переменной «х» из множества Х, при котором уравнение обращается в истинное числовое равенство, называется корнем уравнения.Решить уравнение – это значит найти множество его корней. Следовательно, корнем уравнения 4х=5х+2 на множестве R действительных чисел является –2.

Чтобы решить какое-либо уравнение, его преобразовывают, заменяя более простым. Этот процесс продолжают до тех пор, пока не получают уравнение, корни которого можно найти известным способом. Два уравнения, множества корней которых совпадают, называют равносильными.

Определение: Два уравнения f₁(х)=g₁(х) и f₂(х)=g₂(х) называются равносильными, если множества их корней совпадают. Пример: уравнения х²–9=0 и (2х+6)•(х–3)=0 равносильны, так как имеют своими корнями числа 3 и –3. Для выяснения вопроса о видах преобразований, позволяющих получать равносильные уравнения, рассмотрим теоремы.

Теорема №1. Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же число или выражение, имеющее смысл, то получим уравнение, равносильное данному.

Следствие из Т1. Если какое-либо слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, поменяв знак слагаемого на противоположный, то получим уравнение, равносильное данному.

Теорема №2. Если обе части уравнения с областью определения Х умножить на одно и то же число или выражение, которое определено на том же множестве и не обращается на нем в нуль, то получим уравнение равносильное данному.

Следствие из Т2. Если обе части уравнения умножить (или разделить) на одно и то же число или выражение, отличное от нуля, то получи уравнение, равносильное данному.

Пример: 6–2х=х

6=х+2х по Т1

6=3х : 3≠0 по Т2

х=2.

В курсе математики начальных классов уравнение рассматривается как истинное равенство, содержащее неизвестное число, и решается оно на основе правил взаимосвязи между компонентами и результатами арифметических действий. Этот вопрос изучается в традиционной образовательной системе по программе 1 – 4 в 3 классе на стр. 133. Вводится это понятие контекстуально – остенсивно. Даны 2 предложения +4=12 и х+4=12. Буквой х(икс) обозначено неизвестное число, которое надо найти. х+4=12 – это уравнение. Решим уравнение: узнаем, какое число надо представить вместо «х», чтобы равенство было верным. Это число 8, так как 8+4=12 – верное равенство.

Недостатки такого подхода: при введении понятия уравнения в данном виде не ясно по какой причине только предложение х+4=12 является уравнением. Следовательно, например, предложение 5–у=12 – не уравнение. Необходимо обговорить все возможные варианты, не только сумму, но и разность, произведение и частное.

Пример: d–4=10

17:х=17 все это уравнения

12ху=24

Так же необходимо вводить не только букву «х» для обозначения неизвестного, но и рассматривать другие буквы латинского алфавита. Знакомство младших школьников с понятием уравнения можно разделить на 3 этапа:

1 этап – подготовительный. Это примеры с окошками. Учащиеся решают данные примеры с помощью подбора. Вводятся с 1 кл. Пример: +2=10.

На данном этапе учащиеся учатся читать, записывать и решать данные выражения. Пример: Запиши. Если к неизвестному числу прибавить 2, то получим 10. Реши данный пример.

2 этап – В 3 классе вводятся буквенные обозначения. Так же решаются подбором. Пример х+7=14

На данном этапе вводится и существенные признаки: 1. Знак равенства.

На выделение существенных признаков необходимо прорешать систему упражнений (см. далее).

3 этап – Уравнение решаем на основе зависимости компонентов. По алгоритму:

o На какое действие данное уравнение?

o Назови компоненты этого действия?

o Какой компонент неизвестен?

o Как найти неизвестный компонент?

Важным является то, что учащихся надо приучить делать проверку. Пример.

Термин «решение» употребляется в 2-х смыслах:

ü Обозначает как число (корень), при подстановке которого уравнение обращается в верное числовое равенство;

ü Процесс отыскания этого числа, то есть способ решения уравнения.

Можно познакомить учащихся с уравнениями как можно раньше и в процессе их решения осуществлять работу по усвоению детьми правил о взаимосвязи компонентов и результатов действий. Можно приступать к решению уравнений после того, как учащиеся усвоят необходимую терминологию и те правила, которыми они будут пользоваться для решения уравнений. Для осознания взаимосвязи между компонентами и результатами арифметических действий, необходимо опираться на предметную деятельность. В противном случае при решении уравнений мы вынуждены идти через образ и большое количество тренировочных упражнений. Учащиеся руководствуются внешними признаками. Например, 8+х=6 – получаем от учащихся х=8–6, это наиболее распространенная ошибка. Более позднее изучение уравнений позволяет использовать в уравнениях многозначные числа и ранее изученные понятия.

Система упражнений:

1. Из данных выражений выдели уравнения.

а + 2 = 4

10 + 1 = 11

d – 4 = 17

2 + х = 13

14 - = 2

2. Придумайте свое уравнение.

3. Реши сказочные уравнения (2 кл.).

€ + 3 = 12 7 + €= 25

£ – 10 = 15 1000 – ¥= 5

4. Составь уравнение по схеме (3 кл.).

5. Объясни, почему уравнение соответствует данной схеме (3 кл.).

х + 40 = 56 + 32

6. По данному рисунку придумай задачу, которую можно записать уравнением (3 кл.).

40х=28•20

40 см

В аксиоматике раскрывается порядковый смысл натурального числа, но натуральные числа имеют и количественный смысл. Чтобы выяснить, как взаимосвязаны эти два смысла, рассмотрим такие понятия, как отрезок натурального ряда, счёт элементов конечного множества.

Определение: Отрезком N_a натурального ряда называется множество натуральных чисел, не превосходящих натурального числа . Таким образом, можно записать: N_a= {и }. Например: Отрезок N₇– множество натуральных чисел, не превосходящих числа 7, тот есть N₇= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.

Отметим важные свойства отрезков натурального ряда:

1) любой отрезок N_a содержит единицу (свойство вытекает из определения отрезка N_a).

2) Если число содержится в отрезке N_a и , то и непосредственно следующее за ним число также содержится в N_a.

Определение: Множество A называется конечным, если оно равномощно некоторому отрезку N_a натурального ряда. Например: Множество A вершин треугольника – конечное множество, так как оно равномощно отрезку N₃= {1, 2, 3}, то есть A ~ N₃.

Определение: Если непустое конечное множество A равномощно отрезку N_a, то натуральное числоназывают числом элементов множества A и пишут n(A)=. Например: A – множество вершин четырёхугольника, то n (A)=4.

Определение: Установление взаимно однозначного соответствия между элементами непустого конечного дискретного множества A и отрезком натурального ряда называется счётом элементов множества A. Таким образом, всякое натуральное число можно рассматривать как характеристику численности некоторого конечного множества A. Натуральное число имеет при этом количественный смысл. С теоретико-множественной точки зрения, натуральное число – это общее свойство класса конечных равномощных множеств. Например: Натуральное число «три» – это общее свойство класса множеств, равномощных, например, множеству сторон треугольника.

Число «нуль» с теоретико-множественной позиции рассматривается как число элементов пустого множества: 0=n(Ø). Таким образом, натуральное число как характеристику количественного множества можно рассматривать с двух позиций:

1) как число элементов во множестве A, получаемых при счёте, то есть =n(A), причём A~N_a;

2) как общее свойство класса конечных равномощных дискретных множеств.

Натуральное число как результат измерения величины, показывает, из скольких мерок состоит величина, значение которой измеряется.

Связь между конечными множествами и натуральными числами позволяет дать теоретико-множественное истолкование отношения «меньше».

Число меньше числатогда и только тогда, когда при счёте числоназывают раньше числа. Данная трактовка позволяет сравнивать числа, опираясь на знание их места в натуральном ряду.

Число играет огромную роль в жизни людей, следовательно, необходимо раннее формирование числовых представлений у ребёнка. Слова – числительные ребёнок соотносит с определённым образом: 2 – глаза, 1- рот и т. д. Таким образом, натуральное число – это целостный наглядный образ, в котором он не выделяет единичных предметов, следовательно, на вопрос «сколько?» он может ответить, не владея операцией счёта. Ребёнок осознаёт количественную характеристику групп предметов, устанавливая взаимно однозначное соответствие между ними. Тогда количественная характеристика числа выражается в понятиях «больше», «меньше», «столько же». При обучении учащихся устанавливать взаимно однозначное соответствие можно использовать следующие приёмы:

наложение предметов одного множества на предметы другого;
расположение предметов одного множества под предметами другого;
образование пар.

Это подготавливает детей к сознательному овладению операцией счёта. Для овладения операцией счёта необходимо запомнить порядок слов – числительных. Эта деятельность выполняется по образцу в процессе однотипных упражнений, увеличивая количество пересчитываемых предметов. Выполнение данных упражнений приводит к непроизвольному запоминанию порядка слов – числительных. В 6-7 лет дети уже владеют этим навыком, однако, возможны и ошибки. Для усвоения и уточнения порядка слов – числительных при счёте можно использовать различные формулировки заданий. Анализируя картинки с точки зрения различных признаков предметов (цвет, форма, количество), учащиеся упражняются в счёте. Таким образом, операция счёта есть нумерация данных объектов в определённой последовательности.

После усвоения слов – числительных можно переходить к формированию операции счёта и к обозначению каждого числа (к цифрам). Необязательно ориентироваться на порядок чисел в натуральном ряду (точка зрения Н.Б. Истоминой). Учащиеся должны осознавать различия между числом и цифрой. Это является сложной задачей и для ребенка, и для учителя. Рекомендуется познакомить учащихся с другим обозначением чисел: I, II, III, IV и т.д. Необходимо понять связь между количественным и порядковым числом. Каждое число, названное при счёте – и количественное, и порядковое, так как указывает на порядок предмета при счёте, а количественное, так как указывает на количество всех перечисленных предметов. Усвоить разницу помогут задания, при выполнении которых нужно ответить на вопросы: «который по счёту?», «сколько?». Порядковая и количественная характеристики тесно связаны. Овладение учащимися операцией счёта предполагает усвоение порядка слов – числительных и определённых правил: первым при счёте может быть указан любой объект совокупности, важно, чтобы ему соответствовало числительное «один». Ни одному объекту нельзя поставить в соответствие два слова – числительных. Ни один объект не должен быть пропущен при счёте.

Таким образом. В основе формирования понятия «число» лежит:

· счёт предметов;

· общая характеристика класса эквивалентных множеств;

· установление взаимно однозначного соответствия.

Определим, какие задачи стоят перед учителем при изучении этой темы:

Научить образовывать числа первого десятка;
совершенствовать умение называть эти числа;
научить читать и записывать числа от 1 до 10;
систематизировать знания о составе чисел 1 – 10;
формировать представления о месте каждого числа в натуральном ряде.

Сложение целых неотрицательных чисел связано с объединением конечных непересекающихся множеств. Например, если множество А содержит 5 элементов, а множество В – 4 элемента и пересечение множеств А и В пусто, то число элементов в их объединении равно сумме 5+4.

Теорема: Пусть А и В – конечные множества, не имеющие общих элементов. Тогда их объединение тоже конечно, причем n(AÈB)=n(A) + n(B).

Из рассмотренной теоремы следует, что с теоретико-множественных позиций сумма натуральных чисел аи в представляет собой число элементов в объединении конечных непересекающихся множеств А и В таких, что а=n(А), в=n(В): а+в = n(А) + n(В) = n(АÈВ), если АÇВ=Æ

Взаимосвязь сложения целых неотрицательных чисел и объединения множеств позволяет также обосновать выбор действий при решении текстовых задач определенного вида. Выясним, например, почему следующая задача решается при помощи сложения: «Катя нашла 3 гриба, а Миша – 4. Сколько всего грибов нашли девочки?». В задаче рассматриваются три множества: множество А грибов Кати, множество В грибов Маши и множество, являющееся их объединением. Требуется узнать число элементов в этом объединении, а оно находится сложением. Так как n(A)=3, n(B)=4 и АÇВ=Æ, то n(АÈВ)=3 + 4. Сумма 3 + 4 – это математическая модель данной задачи. Вычислив значение этого выражения, получим ответ на вопрос задачи: 3 + 4 =7. Следовательно, девочки нашли 7 грибов.

Выясним, кокой смысл имеет сумма натуральных чисел, полученных в результате измерения величин.

Теорема: Если отрезок х состоит из отрезков у и z и длины отрезков у и zвыражаются натуральными числами, то мера длины отрезка х равна сумме мер длин его частей.

Из этой теоремы следует, что сумму натуральных чисел аи в можно рассматривать как меру длины отрезка х, состоящего из отрезков у и z, мерами длин которых являются числа аи в:а+в=m_e(Y) + m_e(Z) = m_e(Y+Z). Аналогичный смысл имеет сумма натуральных чисел, полученных в результате измерения других положительных скалярных величин.

Покажем, как используется данный подход к обоснованию выбора действия сложения при решении текстовых задач: «В саду собрали 7 кг смородины и 3 кг малины. Сколько всего килограммов ягод собрали?»

В задаче две величины – масса смородины и масса малины. Известны их численные значения. Требуется найти численное значение массы, которая получится, если данные массы сложить. Для этого, согласно рассмотренной теореме, надо сложить численные значения массы смородины и массы малины, т.е. получить выражение 7 + 3. Это математическая модель данной задачи. Вычислив значение выражения 7 + 3, получим ответ на вопрос задачи.

При помощи сложения решаются также текстовые задачи, в которых величины связаны отношением «больше на» или «меньше на». Например: «Купили 3 кг моркови, а картофеля на 2 кг больше. Сколько килограммов картофеля купили?». В задаче речь идет о двух величинах – массе моркови и массе картофеля. Численное значение первой массы известно, а численное значение второй надо найти, зная, что картофеля на 2 кг больше, чем моркови. Если построить вспомогательную модель задачи, то можно сразу увидеть, что картофеля купили столько же, сколько моркови, и еще 2 кг, т.е. масса картофеля складывается из двух масс (3 кг и 2 кг), и чтобы найти ее численное значение, надо сложить численные значения масс – слагаемых. Получаем выражение 3 + 2, значение которого и будет ответом на вопрос задачи.

В курсе математики начальных классов находит отражение теоретико-множественный подход к истолкованию сложения и вычитания целых неотрицательных чисел в соответствии с которыми сложение целых неотрицательных чисел связано с операцией объединения попарно пересекающихся конечных множеств. При этом теоретико-множественная терминология и символика не используются. Далее учащиеся интерпретируют предметные действия в виде графических и символических моделей и устанавливают соответствия между различными моделями. Основная цель – осознание предметного смысла числовых выражений и равенств. При формировании у детей представлений о сложении можно условно ориентироваться на следующие предметные ситуации:

Название ситуации	Модель	Пример
а) увеличение данного предметного множества на несколько предметов	оооо¬оо	У Коли было 4 марки. Ему подарили еще 2 марки. Покажи, сколько марок стало у Коли.	Дети выкладывают 4 марки (круга, квадрата, треугольника) и движением руки показывают, сколько марок было у Коли. Затем добавляют 2 марки и движением руки показывают, сколько марок стало у Коли. Далее предметное действие описывается математическими знаками, используя для этой цели цифры, знаки «плюс» и «равно» (4 + 2 = 6). Целесообразно уже на этом этапе употреблять термины «выражение» и «равенство».
б) увеличение на несколько предметов множества, равносильного данному	оооо оооо¬оо	В вазе лежало 4 груши, а апельсинов столько же и еще 2. Покажи, сколько апельсинов в вазе.	В процессе выполнения предметных действий, связанных с данной предметной ситуацией, у детей формируются представления о понятии «больше на», которые связаны с построением совокупности, равночисленной данной («взять столько же») и ее увеличении на несколько предметов («еще»). Совокупность, полученная в результате, является объединением совокупностей предметов, обозначаемых терминами «столько же» и «еще».
в) составление одного предметного множества из двух данных	оооо оо	У Коли было 4 марки. Ему подарили еще 2. Покажи, сколько марок стало у Коли.	Ситуацию вида а) фактически можно свести к ситуации в), рассматривая марки, которые были у Коли, как одно предметное множество, а марки, которые ему подарили, как другое предметное множество. Для разъяснения смысла сложения можно также опираться на представления детей о соотношение целого и его частей. В этом случае для приведенной ситуации все марки Коли (целое) будут состоять из двух частей: марки, которые у него «были», и марки, которые ему «подарили». Обозначая целое и части их числовыми значениями, дети получают выражение 4 + 2 или 4 + 2 = 6.

Практически работу по ознакомлению учащихся со смыслом сложения можно организовать так:

1.Подготовительная работа:

Может быть направлена на соотнесение числа и предметного множества и наоборот (учитель показывает определенное количество предметов, ученики называют цифру, которой можно их обозначить; учитель называет, показывает цифру, учащиеся составляют соответствующее предметное множество), повторение понятий «больше», «меньше», «столько же» (положите 5 О, под ними расположите столько Ñ, чтобы можно было сказать, что их меньше, чем О. Положите столько ð, чтобы можно было сказать, что их больше, чем О. Что можно сказать о Ñ и ð?; какие предметы изображены, сосчитайте их; о каких предметах можно сказать, что их «больше», «меньше», «столько же»?

Ñ Ñ Ñ Ñ ¶¶¶¶

О О О О О О %%%%

2.Объяснение нового

В учебнике Математика 1 класс (1-4) стр.21 для ознакомления учащихся со знаком «+» и смыслом сложения предлагается последовательно рассмотреть 3 сюжетные картинки и составить к каждой из них математическую модель. Работу можно построить следующим образом: – Что изображено на 1-ой картинке? (1 кошка). – Как записать это на языке математики? (цифрой «1») (учитель записывает на доске).

– Что изменилось на следующей картинке? (пришла еще одна кошка). – Как обозначить количество пришедших кошек? (число 1) (учитель записывает рядом с числом 1 еще число 1) Можно ли по этой записи определить, увеличилось или уменьшилось количество кошек? (нет). Увеличение некоторого количества предметов называется сложением. Это действие обозначается знаком «+» (учитель записывает на доске 1+1). Эта запись читается так: «к одному прибавить один». – Что изображено на последней картинке? (2 кошки). – Как это записать? (числом 2). Чтобы показать на языке математики, что к 1 прибавить 1 получится 2, используем знак «=».

3.Система закрепляющих упражнений.

Для закрепления изученного материала можно использовать следующие задания:

1) соотнесение предметных действий с математическими записями:

У Димы было 2 ручки. Еще одну ручку ему дал брат. Сколько ручек стало у Димы?

Ученик выполняет предметные действия у доски и выбирает, какое из предложенных математических записей к ним подходит: 2 – 1 = 1; 3 – 1 = 2; 2 + 1 = 3; 3 – 2 = 1

2) соотнесение математической записи с графическими моделями

О О ¬ 2 + 3 = 5 О О О

“

¬ “ 2 + 1 = 3

“

3) заполнение окошек в выражениях и равенствах на основе анализа предложенных сюжетных картинок (с.23, 24) – Сколько белочек на левой картинке? (2). Как обозначено их количество? – Что произошло с белочками? (пришла еще 1). Как записать, что белочек стало на 1 больше? Прочитайте эту запись (к 2 прибавить 1).

4) чтение математических выражений и равенств и создание на их основе предметных ситуаций.

Прочитайте запись. Придумайте ситуацию, которую можно записать этой записью.

1 +1 = 2 2 + 1 = 3

5) создание на основе сюжетной картинки графической, а затем и математической модели:

___ ^^^^^ О О О “ “ “ “ “ 3+5=8

Следует добавить, что изучение смысла сложения и вычитания происходит параллельно. Поэтому можно использовать в данных заданиях как ситуации связанные со сложением, так и с вычитанием.

С теоретико-множественных позиций разность натуральных чисел a и b представляет собой число элементов в дополнении множества B до множества A, если a=n(A), b=n(B) и BÌA:

a–b = n(A) – n(B) = n(A\B), если BÌA

Пример: Объясним, используя данное определение, что 8 – 3 = 5. 8 = n(A), 3 = n(B), причем BÌA. Возьмем, например, множества A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, B={1, 2, 3} => A\B={4, 5, 6, 7, 8,} => n(A\B)=5 => 8 – 3 = 5. Очевидно, что в качестве множеств A и B можно выбрать множества, отличные от рассматриваемых, поскольку разность a –b не зависит от выбора множеств A и B, удовлетворяющих условиям n(A) = a, n(B) = b и BÌA.

Взаимосвязь вычитания чисел и вычитания множеств позволяет обосновать выбор действия при решении задач. Выясним, например, почему следующая задача решается при помощи вычитания: «В аквариуме живет 7 рыбок, из них 4 золотые рыбки, остальные – сомики. Сколько сомиков живет в аквариуме?». В задаче рассматриваются 3 множества: A – множество всех рыбок, B – множество золотых рыбок, C = B\A – множество сомиков. В задаче требуется найти число элементов в этом дополнении. Т.к. по условию n(A) = 7, n(B) = 4 и BÌA, то n(C) = n(A\B) = n(A)–n(B) = 7– 4. Разность 7– 4 – математическая модель данной задачи. Вычислив значение этого выражения, получим ответ на вопрос задачи: 7– 4 = 3 => в аквариуме живет 3 сомика.

Разность натуральных чисел существует не всегда, т.к. BÌA => n(B) <n(A) => a – b натуральных чисел, таких, что a=n(A), b=n(B) и BÌA, существует тогда и только тогда, когда b<a. Действие, при помощи которого находят разность a-b – вычитание, a – уменьшаемое, b – вычитаемое. Действие вычитания является обратным сложению, а разность натуральных чисел a и b можно определить, как такое натуральное число c, сумма которого и числа b равна a

Выясним теперь, какой смысл приобретает вычитание натуральных чисел, если эти числа получены в результате измерения величин. Например, длины отрезка. Пусть отрезок а состоит из отрезков b и c и длинны отрезков а и b выражаются натуральными числами m_e и n_e (е – мерка), то значение длины отрезка с равно разности значений длин отрезков a и b: c = m_e – n_e, т.е. разность натуральных чисел m – n можно рассматривать как значение длины отрезка c, являющейся разностью длин отрезков a и b, выраженных натуральными числами m и n соответственно. Подход к вычитанию натуральных чисел связан не только с измерением длин отрезков, но и с измерением других величин.

В учебниках математики для начальных классов много задач, в которых рассматриваются различные величины и действия над ними. Определение смысла вычитания натуральных чисел, являющихся значениями величин, позволяет обосновать выбор действия при решении таких задач.

Например, рассмотрим задачу: «Масса гуся 7 кг, а кролик на 3 кг легче. Узнай массу кролика». В задаче рассматривается величина – масса. Е = 1 кг. m_e = 7 – численное значение массы гуся, n_e = 3 – численное значение дополнения к массе кролика до массы гуся. Необходимо найти численное значение массы кролика – с, по определению, численное значение массы кролика с = m_e – n_e = 7 – 3 = 4.

В начальном курсе математики первоначально вычитание целых неотрицательных чисел рассматривается на основе практических упражнений, связанных с выделением подмножества данного множества и образованием нового множества – дополнения выделенного подмножества, при этом теоретико-множественная терминология и символика не используется. Далее учащиеся интерпретируют предметные действия в виде графических и символических моделей и устанавливают соответствие между различными моделями. Основная цель – осознание предметного смысла числовых выражений и равенств.

При формировании у детей представлений о вычитании можно условно ориентироваться на следующие предметные ситуации.

Название ситуации	Модель	Пример
I. Уменьшение данного предметного множества на несколько предметов		У Маши было 5 шаров. 2 она подарила Тане. Покажи шары, которые у Маши остались.	Для разъяснения смысла вычитания можно использовать представление детей о соотношении целого и части. В этом случае шары, которые были у Маши («целое»), состоят из 2 частей: «Шары, которые она подарила и шары, которые у нее остались». Часть всегда меньше целого, поэтому нахождение части связано с вычитанием. Обозначая целое и части их числовыми значениями, дети получают выражение 6 – 2 или равенство 6–2=4
II. Уменьшение множества, равночисленного данному, на несколько предметов.		В вазе лежало 5 груш, а апельсинов столько же, но без 2. Покажи сколько апельсинов в вазе?	В процессе выполнения предметных действий, связанных с данной предметной ситуацией, у детей формируются представления о понятии «меньше на», которые связаны с построением совокупности, равночисленной данной («взять столько же») и ее уменьшением на несколько предметов («без»). В этом случае совокупность, обозначаемая термином «без», включается в совокупность, обозначаемую термином «столько же». Совокупность, полученная в результате вычитания, является дополнением до совокупности предметов, обозначаемой термином «столько же».
III. сравнение двух предметных множеств, т.е. ответить на вопрос: На сколько предметов в одном множестве больше (меньше) чем в другом?»		В каком ряду кругов больше? На сколько?	При рассмотрении данной ситуации детям предлагается установить взаимно однозначное соответствие между элементами 2^х пре-дметных множеств на основе практических действий, удаление парных элементов, а затем ответить на вопрос: «В каком множестве элементов больше?» Далее учащимся предлагается решить ту же задачу без опоры на наглядность. В результате у учащихся формируется представление о разностном сравнении чисел, которое можно обобщить в виде правила: чтобы узнать, насколько одно число больше (меньше) другого, можно из большего числа вычесть меньшее.

Практически работу по ознакомлению учащихся со смыслом вычитания можно организовать так:

1. Подготовительная работа.

Может быть направлена на соотношение числа и предметного множества. И наоборот. Учитель показывает определенное количество предметов 1 или 2, ученики называют цифру, которой можно его обозначить; учитель называет, показывает цифру, учащиеся составляют соответствующее ей предметное множество. Повторение понятий «больше», «меньше», «столько же» (положите 5 кружков, под ними расположите столько треугольников, чтобы можно было сказать, что их меньше, чем кружков, положите столько четырехугольников, чтобы можно было сказать, что их больше, чем кружков. Что можно сказать о и ?; Какие предметы изображены, сосчитайте их; о каких предметах можно сказать что их «больше», «меньше», «столько же».

2. Объяснение нового.

В учебнике М1(1-4) стр. 21 для ознакомления учащихся со знаком "–" и смыслом вычитания предлагается последовательно рассмотреть 3 сюжетные картинки и составить к каждой из них математическую модель. Работу можно построить следующим образом. Что изображено на 1-ой картинке? (2 воробья). Как записать это на языке математики? (цифрой 2, учитель записывает на доске). Что изменилось на следующей картинке? (1 воробей улетел). Как обозначить количество улетевших воробьев? (числом 1, учитель записывает рядом с числом 2 число 1). Можно ли по этой записи определить, увеличилось ли количество воробьев или уменьшилось? (нет). Уменьшение некоторого количества предметов на несколько предметов называется вычитанием. Это действие обозначается знаком "–" (учитель записывает на доске 2–1). Эта запись читается так: из 2 вычесть 1. Что изображено на следующей картинке? (1 воробей остался). Как это записать? (1). Это можно обозначить знаком "=" (из 2 вычесть 1 получится 1).

3. Закрепление.

Для закрепления изученного материала можно использовать следующие задания:

1) Соотнесение предметных действий с математическими записями.

Было 3 , 2 убрали. Сколько осталось?

(Ученик выполняет предметные действия у доски и выбирает, какая из предложенных математических записей к ним подходит.). 2+1=3, 3–1=2, 2–1=1, 3–2=1

Ученик должен не только соотнести ситуацию и ее запись, но и правильно прочитать запись

У Светы было 2 яблока, одно она отдала Маше. Сколько яблок осталось у Светы? 2–1=1

2) Соотнесение математической записи с графическими моделями.

3) Заполнение окошек в выражениях и равенствах на основе анализа предложенных сюжетных картинок (стр. 23, стр. 25).

Сколько зайчиков на левой картинке? (3). Верно ли обозначено их количество? Что изменилось на следующей картинке? (2 ушли). Как записали, что зайцев стало 3 без 2 (на 2 меньше)? Прочитайте эту запись (из 3 вычесть 2). Сколько зайчиков осталось, запишите это? (1)

Пользуясь рисунком вставьте числа в «окошки».

____

4) Чтение математических выражений и равенств. И создание на их основе предметных ситуаций.

Прочитай запись. Придумай ситуацию, которую можно определить этой записью.

3–2=1 3–1=2

5) Создание на основе сюжетной картинки графической, а затем и математической модели.

Следует добавить, что изучения смысла сложения и вычитания происходит параллельно, поэтому можно использовать в данных записях как ситуации, связанные с вычитанием, так и со сложением. Понимание учащимися смысла вычитания очень важно, т.к. создает основу для дальнейшего изучения арифметического материала.

В начальной школе умножение рассматривается как сложение одинаковых слагаемых, что соответствует следующему определению: Если а,b – целые неотрицательные числа, то произведением a b называется число, удовлетворяющее следующим условиям:

1) а • b = а + а + … + а, если b>1

b слагаемых

2) а • b = а, если b=1

3) a • b = 0, если b=0

Случаю 1) этого определения можно дать теоретико-множественную трактовку. Если множества А₁, А₂,…,А_bимеют по а элементов, то их объединение А₁È А₂È … È А_b содержит a • b элементов. ТО, с точки зрения теоретико-множественной трактовки произведение a • b (b>1) представляет собой число элементов в объединении b множеств, каждое из которых содержит по а элементов и никакие два из них не пересекаются.

а • b = n(A₁ È A₂ È … È A_b), если n(А₁)=n(A₂)= … =n(A_b)=a и А₁, А₂,…,А_b попарно не пересекаются.

Можно дать другое теоретико-множественное истолкование произведения целых неотрицательных чисел. Оно связано с понятием декартова произведения множеств.

Теорема.Пусть А и B – конечные множества. Тогда их декартово произведение также является конечным множеством, причем выполняется равенство: n(AхB)= n(A) х n(B).

Из рассмотренной теоремы следует, что с теоретико-множественной точки зрения произведение а • b целых неотрицательных чисел есть число элементов в декартовом произведении множеств А и В, таких, что n(A)=a, n(B)=b, а • b = n(A) х n(B) = n(AхB)

Рассматривая смысл умножения натуральных чисел, являющихся мерами величин, возникает вопрос: с каким действием над величинами связано умножение натуральных чисел? Что бы ответить на него, проанализируем задачу: Купили 3 пакета муки по 2 кг в каждом. Сколько кг муки купили? В этой задаче речь идет о массе муки, которая сначала измерена пакетами, и известно численное значение этой массы при указанной единице массы. Требуется найти результат измерения той же массы муки, но при помощи другой единицы – килограмма при условии, что 1 пакет – это 2 кг муки. Рассуждения, связанные с поиском численного значения, массы муки при единице – кг, можно представить в таком виде: 3пак.=3х1пак.=3х(2кг)=3х2кг =(3х2)кг. Видим, что ответ на вопрос задачи находится умножением, и что оно оказалось связанным с переходом (в процессе измерения массы) от одной единицы массы к другой, более мелкой.

Теорема. Если отрезок х состоит из а отрезков, длина которого равна Е, а отрезок длины Е состоит из b отрезков, длина которых равна Е₁, то мера длины отрезка х при единице длины Е₁ равна а х b.

Из этой теоремы следует, что умножение натуральных чисел связано с переходом в процессе измерения к новой единице длины: если натуральное число а – мера длины отрезка Х при единице длины Е, натуральное число b – мера длины Е при единице длины Е₁, то произведение а • b – это мера длины отрезка х при единице длины Е₁: а • b = m_Е(Х) m_Е(Е)= m_Е(Х)

Аналогичный смысл имеет произведение натуральных чисел, полученных в результате измерения других (положительных) скалярных величин.

Данный вопрос в традиционной образовательной системе (1-4) изучается во 2 классе. Для подготовки учащихся к усвоению смысла умножения целых неотрицательных чисел, целесообразно вести счет групп предметов. Например: считай двойками, считай тройками и т.д. А так же предлагать задачи (примеры) на нахождение суммы одинаковых и неодинаковых слагаемых.

Например:

1) В трех коробках лежит по 6 карандашей в каждой. Сколько всего карандашей в коробках?

2) В первой коробке 3 карандаша, во второй – 6, в третьей – 8. сколько всего карандашей в коробках?

Подобные задачи полезно иллюстрировать предметными рисунками. Решая такие задачи и примеры, учащиеся замечают, что есть суммы с одинаковыми слагаемыми, и считают, сколько таких слагаемых. Затем сумма одинаковых слагаемых заменяется произведением (6+6+6+6=24; 6 • 4=24). Выполняя эту операцию, дети знакомятся с действием умножения, записью умножения, усваивают роль множителей.

Пример. Девочка наклеила марки на 4 страницы альбома по 5 марок на каждую. Сколько всего марок наклеила девочка? Учащиеся записывают решение: 5+5+5+5=20 Что можно сказать о слагаемых этой суммы? (они одинаковые). Сколько их?(4). Здесь по 5 взяли 4 раза. Если слагаемые одинаковые, то сумму можно записать иначе: 5 • 4=20. Читают эту запись так: по 5 взяли 4 раза, получили 20. здесь выполнили действие умножения. Сложение одинаковых слагаемых называется умножением. Умножение обозначается знаком (•). Что показывает в этой записи число 5? (число 5 – слагаемое). Что показывает число 4? (сколько раз взяли слагаемым число 5).

Умножение целых неотрицательных чисел можно ввести иначе: при помощи предметных действий, что позволяет для усвоения нового понятия активно использовать ранее изучаемый материал.

Учащимся предлагается схематический рисунок поля прямоугольной формы, которое разбито на равные части (квадраты). Нужно определить, на сколько участков (квадратов) разбито данное поле. Учащиеся, естественно, начинают действовать способом поединичного счета клеток, но скоро обнаруживают трудоемкость такой работы. Учитель ставит задачу: найти более простой путь поиска ответа. Достаточно посчитать число квадратов в одном ряду (9) и повторить это число слагаемым 6 раз (9+9+9+9+9+9). После этого учитель вводит новую запись: 9 • 6=54 и предлагает сопоставить эти две записи. Выясняется, что обозначает во втором равенстве первый множитель (какие слагаемые складываются) и второй множитель (сколько таких слагаемых).

Проверить усвоение смысла умножения целых неотрицательных чисел можно при помощи следующей системы закрепляющих упражнений:

1) замени, где возможно, сложение умножением:

7+7+7+7 19+19+119

3+3+13+3+13 0+0+0+0

8+8+8 1+1+1+1+1+11

2) замени умножение сложением:

6 • 5, 9 • 2, 3 • 8

3) выбери рисунок, который соответствует записи 2 • 6

4) не вычисляя значений произведений, поставь знаки < или >, чтобы получить верные неравенства:

12 • 9 … 12 • 11

24 • 7 … 24 • 5

5) можно ли, не вычисляя произведений, ответить на вопрос: на сколько значение первого произведения в каждом столбике меньше значения второго произведения?

6 • 4 5 • 3 7 • 8 6 • 3 7 • 2

6 • 5 5 • 4 7 • 9 6 • 5 7 • 4

6) вычисли значения произведений в каждом столбике, пользуясь данным равенством:

9 • 5=45 8 • 7=56 7 • 6 =42

9 • 4 8 • 6 7 • 5

9 • 6 8 • 8 7 • 7

В аксиоматической теории деление рассматривается как операция, обратная умножению, таким образом между делением и умножением устанавливается тесная взаимосвязь. Если а•в=с, то, зная произведение с и один из множителей, можно при помощи деления найти другой множитель. Если а•в=с, то а=с:в, в=с:а.

Выясним теоретико-множественный смысл полученных частных с:в и с:а. Произведение а•в=с – это число элементов в объединении впопарно непересекающихся множеств, в каждом из которых содержится аэлементов, т. е. с = а•в=n(А₁ÈА₂È_…ÈА_в), где n(А₁)= n (А₂)=…=n(А_в). Т.к. множества А₁, А₂,…, А_впопарно не пересекаются, а при их объединении получается множество А, в котором с элементов, то можно говорить о разбиении множества А на равночисленные подмножества А₁, А_2,…, А_в. Тогда частное с:а – это число подмножеств в разбиении множества А, а частное с:в– число элементов в каждом подмножестве этого разбиения. Т.о., если а=n(A) и множество А разбито на попарно непересекающиеся подмножества и если:

в – число элементов в каждом подмножестве, то частное а:в – это число таких подмножеств;

в – число подмножеств, то частное а:в – это число элементов в каждом подмножестве.

Например: «12 карандашей разложили в 3 коробки поровну. Сколько карандашей в каждой коробке?» и «12 карандашей надо разложить в коробки по 3 карандаша в каждую. Сколько надо коробок?».

Для того чтобы существовало частное двух натуральных чисел а и b, необходимо, чтобы b≤a. Если частное натуральных чисел а и b существует, то оно единственно.

Выясним теперь смысл частного, полученного в результате измерения величин. Рассмотрим задачу: «6 кг муки надо разложить в пакеты по 2 кг в каждый. Сколько понадобится пакетов?». В задаче рассматривается масса муки, которая сначала измерена при помощи единицы массы – кг, и известно численное значение этой массы. Требуется найти результат измерения этой же массы, но уже при помощи другой единицы – пакета, причем известно, что 1п.=2кг; 1кг=½ п.=½ • (1п.); 6кг=6•1кг=6•(½ п.)=(6•½)•1 п.=(6:2) п.

Ответ на вопрос задачи находится делением, и оно связано с переходом от одной единицы массы к другой.

Теорема: Если отрезок хсостоит из а отрезков, длина которых равна Е, а отрезок длины Е₁ состоит из в отрезков длины Е, то мера длины отрезка х при единице длины Е₁ равна а:в.

Если натуральное число а – мера длины отрезка х при единице длины Е, а натуральное число в – мера новой единицы длины Е₁при единице длины Е, то частное а:в– это мера длины отрезка х при единице длины Е₁: а:в=м_Е(х):м_Е(Е₁)=м_Е(х). Например: «Из 12м ткани сшили платья, расходуя на каждое по 4м. Сколько платьев сшили?». 12м=12•1 м=12•(¼ пл.)=(12•¼) пл.=(12:4) пл.

В традиционной образовательной системе 1-4 этот вопрос изучается во 2 классе. Деление как алгебраическая операция вводится на основе предметных действий. Основой формирования у младших школьников представления о смысле деления служит теоретико-множественный подход к трактовке частного, суть которого сводится к разбиению конечных множеств на равночисленные подмножества, не имеющие общих элементов. Этот подход позволяет опираться на жизненный опыт ребенка при введении новой терминологии и математической записи. Например: « Раздали 10 яблок по 2 каждой девочке. Сколько яблок получила каждая девочка?». Получить ответ на вопрос ребенку помогает наглядное изображение.

šš šš šš šš šš šš. На языке ребенка это означает, что он разделил все яблоки на части по два яблока в каждой, т.е. узнал, «сколько раз по два содержится в 10». Математическая запись: 10:2=5. Доступно и такое задание: «Раздай 10 яблок двум девочкам поровну».

а) одни будут брать по одному яблоку и раздавать девочкам по очереди, пока не раздадут все;

б) другие могут брать по два яблока и делить их между девочками, пока не раздадут все.

Можно использовать рисунок для того, чтобы учащиеся осознали результат выполненного предметного действия. ššššš ššššš.

Первый случай (5 частей по 2 яблока) – деление по содержанию. Второй (2 части по 5 яблок) – деление на равные части.

В практике сначала рассматривается первый случай, затем второй. Можно ввести соответствующие термины. В первом случае нужно говорить «10 разделили по 2», а во втором – « 10 разделили на 2».

Есть и другой подход, когда учащиеся устанавливают смысл деления не в процессе решения простых задач, а устанавливая соответствие между предметными моделями и математической записью (М₂)

š š š š

1. 2.

š š š š

Необходимо выяснить, чем похожи и чем отличаются картинки (в каждой 12 кружков, они разделены на части, в каждой части одинаковое количество кружков. Части равны). Это позволяет им самостоятельно выполнить рисунки других способов деления 12 кругов на равные части:

3. 4. 5.

š š š š š š

š š	š š	š š
š š	š š	š š

š	š	š	š
š	š	š	š
š	š	š	š

Последующая работа сводится к выбору выражения, соответствующего каждой картинке.

Например, выражение 12:4 соответствует 1. и 2. картинкам.

В результате такой деятельности у детей формируется представление о предметном смысле деления.

Система закрепляющих упражнений может включать следующие задания:

1. Сравни рисунки в каждой паре и объясни, что обозначает каждое число в данных равенствах.

š š

ššššš

ššššš 10:2=5 8:2=4

2. Какому рисунку соответствуют 3 выражения:

2•6 12:2 12:6

а) ššššš½ššššš½ššššš

б) šššš½šššš

в) šš½šš½šš½šš½šš½šš

3. Сделай рисунок, к которому можно записать 3 выражения:

а) 5•4, 20:4, 20:5

б) 4•5, 20:4, 20:5

Запиши к каждому рисунку 3 выражения:

а) šššššššš½šššššššš

б) šš½šš½šš½šš½šš½šš½šš½šš

В процессе выполнения заданий учащиеся осознают связь умножения и деления, которая обобщается в виде правил:

Если значение произведения разделить на один множитель, то получим другой множитель.

Если делитель умножить на значение частного, то получим делимое.

Если делимое разделить на значение частного, то получим делитель.

Присоединим ко множеству N натуральных чисел еще один элемент, который называется нулем и обозначается 0. Полученное множество – множество целых неотрицательных чисел и обозначается Z₀ или N₀, т.о. Z₀=NÈí0ý. Относительно числа 0 условимся, что оно меньше любого натурального числа, арифметические операции в случае, когда один из компонентов равен 0, определяются равенствами:

(" а Î N) a + 0 = 0 + a; (" а Î N) a – 0 = a

(" а Î N) a • 0 = 0; (" а Î N) 0 : a = 0

Кроме того, будем считать, что:

0 + 0 = 0; 0 • 0 = 0; 0 – 0 = 0; а – а = 0.

Теорема: Деление на нуль невозможно.

Доказательство: Пусть а Î N, а в = 0.

1. Если а ≠ 0 и частное а и в существуют, тогда найдется с Î Z₀, что а= с• 0, Þ а = 0. Мы пришли к противоречию с условием Þ частное чисел а ≠ 0 и в = 0 не существует.

2. Если а = 0 и частное а = 0 и в = 0 существует, тогда найдется с Î Z₀ и выполняется равенство 0 =с• 0, истинное при любых значениях с Þ частноеа = 0 и в = 0 может быть любым числом Î Z₀, т.е. результат деления определяется не единственным образом, а это невозможно. Поэтому в математике считают, что деление на 0 также невозможно.

Если число а получено в результате счета элементов конечного множества А: а = n(А), то это же число может быть получено и при пересчете элементов другого множества, например, В: а = n(В). Число же «нуль» с теоретико-множественной позиции рассматривается как число элементов пустого множества 0 = n (ø). Привести примеры пустых множеств.

Методика ознакомления учащихся со случаями умножения и деления с 0 и 1 начинается в 3 классе (1–4) с включения в ряд предложенных примеров вида: 0 • 8; 1 • 5; 0 • 18 и т.д. Эти примеры дети решают на основе конкретного смысла умножения путем сложения одинаковых слагаемых, например:

0 • 8 = 0+0+0+0+0+0+0+0 = 0 или 1 • 5 = 1+1+1+1+1 = 5

После этого уже на стр. 64. детям непосредственно предлагается правило умножения числа на единицу, которое звучит так: «При умножении любого числа на единицу получается то число, которое умножали». Правило вводится дедуктивно. Предлагаются примеры вида: 4 • 1; 32 • 1. Усвоив это правило, дети без труда решают такие примеры: 4 • 1 = 4; 32 • 1 = 32. Далее предлагается задание на сравнение: 1 • 4 … 4 • 1. Выполнив это задание (1 • 4 = 1+1+1+1 = 4 и 4 • 1 = 4) и ряд подобных, дети методом сравнения и, зная правило перестановки множителей, делают вывод, что результат не изменяется в зависимости от того, что единицу умножали на число или число на единицу, результат все равно будет одинаков. Можно предложить обобщение: если один из множителей равен 1, то…?

Далее на стр. 65 вводится следующее правило: «При умножении любого числа на нуль получается нуль». Предлагаются примеры вида: 3 • 0 = 0; 12 • 0 = 0 и т.д., а также задания на сравнения: 33 • 0 … 0 • 33.

Деление на единицу вводится на конкретном примере на стр.67, учитывая правило нахождения частного:8:1 = 8, т.к. 1•8 = 8. На закрепление этого свойства предлагается ряд подобных примеров.

Деление на 0 не рассматривается, т.к. на стр.65 введено запрещающее правило: «Делить на 0 нельзя».

Также (на стр. 68) на конкретном примере показано деление нуля на число: 0 : 8 = 0, т.к. 0 • 8 = 0. Дети пользуются этим свойством при дальнейшем решении подобных примеров.

Система закрепляющих упражнений.

1. Найдите значение выражения:

0 • 16 0 • 3 + 1 0 • 5 + 3 • 2

1 • 12 1 • 7 + 5 1 • 8 + (10 – 6)

2. Сравнить выражения:

0 • 7 … 7 • 0 1 • 15 ... 15 • 1 0 • 3 ... 3 • 1

12 • 1 … 1 • 3 • 4 2 • 3 ... 6 • 1 7 • 1 ... (2 • 2 + 3) • 1

3. Разбить на столбики и объяснить принцип разбиения:

0 : 3, 15 : 1, 15 • 0, ( 12 – 6 ) • 0, (3 • 4 + 3), (3 +7) • 1, 3 • 0, 1 • 15

4. Соедини стрелочками пример и ответ:

17 • 1 + 3 • 0 12

(43 + 0) • 1 + 3 77

9 +2 • 7 • 1 17

14 • 0 + 14 • 1 14

3 • 2 • 0 + (17 – 5) 46

5. Вычисли с устным объяснением:

1 • 15 = 151 • 27 = ™

15 : 15 = ™ 27 : 27 = ™

15 : 1 = ™ 27 : 1 = ™

6. Вставь в окошко число так, чтобы равенство было верным:

™ • 12 = 0 ™ : 9 = 1 25 : ™ = 25

™ • 12 = 12 ™ : 9 = 0 25 : ™ = 1

7. Найти значения выражений:

а • 9 и 36 : а, если а = 1, а = 0

8. Вставь вместо * нужный знак:

0 * 7 = 7 5 * 0 = 0 9 * 1 = 9 0 * 3 = 0 17 * 0 = 17

9. Составь все возможные равенства, используя числа 0, 1, 12 и знак деления (числа могут повторяться).

10. Составь задачу, чтобы она решалась так: 28 : 28 = 1.

Сложение как алгебраическая операция обладает такими свойствами как ассоциативность и коммутативность:

"(а,b,cÎN) : (a+b)+c=a+(b+c)
"(а,bÎN) : a+b=a+b

С точки зрения теоретико-множественных позиций коммутативность сложения связана с тем, что для любых множеств А и В выполняется равенство: АÈВ=ВÈА.

Действительно, если а=n(A), b=n(b) и АÇВ=Æ, то а+b=n(АÈВ)=n(ВÈА)=b+a

^{по опр. сложения}

Ассоциативность рассматривается аналогично. Пусть а=n(A), b=n(b), c=n(C) и АÇВÇC=Æ, то (а+b)+c= n(АÈВ)+n(C)=n((АÈВ)ÈC)=n(АÈ(ВÈC))=n(A)+n(BÈC)=a+(b+c)

^{по ассоциативности операции объединения множеств}

Оба свойства обобщаются на сложение нескольких слагаемых: коммутативность означает, что при любой перестановке слагаемых сумма не изменяется. Например: 2+6+11=6+2+11=11+2+6=2+11+6=6+11+2

Ассоциативность сложения нескольких слагаемых означает, что сумма не изменяется при любой группировке слагаемых (без изменения их порядка). Например: ((3+6)+5)+8=(3+6)+(5+8)=3+(6+(5+8))

В начальном курсе математики изучаются оба свойства. Коммутативность носит название переместительного закона. Ассоциативность в явном виде не изучается, но используется вместе с коммутативностью при изучении правил прибавления числа к сумме и суммы к числу.

При аксиоматическом построении теории натуральных чисел вычитание обычно определяется как операция, обратная сложению. Вычитанием натуральных чисел а и b называется операция, удовлетворяющая условию: a–b=c тогда и только тогда, когда b+c=a. Число a–b – разность чисел а и b, число а – уменьшаемое, b – вычитаемое. Если уменьшаемое или вычитаемое представлено суммой двух чисел, то для того, чтобы правильно вычесть число из суммы чисел или сумму чисел из числа, необходимо знать и пользоваться следующими теоремами:

1. Пусть a,b и c – натуральные числа. Если a>c, то (a+b)–c=(a–c)+b. Если b>c, то (a+b)–c=a+(b–c). Если a>c и b>c, то можно использовать любую из данных формул.

2. Пусть a,b и c – натуральные числа. Если a>d+c, то a–(b+c)=(a–b)–c или a–(b+c)=(a–c)+b

Этим теоремам соответствуют правила:

1. Для того, чтобы вычесть число из суммы, достаточно вычесть это число из одного слагаемого этой суммы и к полученному результату прибавить другое слагаемое.

2. Для того, чтобы вычесть из числа сумму чисел, достаточно вычесть из этого числа последовательно каждое слагаемое одно за другим.

A\B

С теоретико-множественной точки зрения разность натуральных чисел a и b представляет собой число элементов в дополнении множества B до множества А, если а=n(A), b=n(B) и ВÌА: a–b=n(A)–n(B)=n(A\B), если ВÌА. Взаимосвязь вычитания чисел позволяет обосновать выбор действия при решении текстовых задач. Рассматриваемый подход к сложению и вычитанию целых неотрицательных чисел позволяет истолковать с теоретико-множественных позиций правила вычитания числа из суммы и суммы из числа.

Рассмотрим правило вычитания числа из суммы [(a+b)–c]. Пусть а, b и с – такие множества, что n(A)=a, n(B)=b и АÇВ=Æ, СÌА. Для данных множеств А, В и С имеет место равенство: (AÈB)\C=(A\C)ÈВ. Но n((AÈВ)\С)=n(AÈВ)–n(C)=(a+b)–c, а n((A\C)ÈВ)=n(A\C)+n(B)=(a–c)+b. Следовательно, (a+b)–c=(a–c)+b. Правило вычитания суммы из числа [a–(b+c)] рассматривается аналогично.

В учебнике М.И. Моро 2 класса правила вычитания не формулируются. Они представлены в неявном виде:

36– 2 = (30+6) – 2=30 + (6 – 2) Единицы вычитают из единиц.

36-20 = (30+6) –20=(30 – 20) + 6 Десятки вычитают из десятков.

60-24 = 60-(20+4)=(60 – 20) – 4

Эти правила используются для удобства вычислений.

В учебнике Н.Б. Истоминой эти правила формулируются. Они вводятся дедуктивно и на их основе выполняются практические упражнения.

Рассмотрим подробнее методику изучения свойств и вычислительных приёмов. Введению свойства вычитания числа из суммы должна предшествовать подготовит. работа, в результате которой уч-ся знакомятся с матем. выражениями "сумма чисел","разность чисел", учатся читать и записывать выражения со скобками, заменять двузначные неразрядные числа суммой их разрядных слагаемых. Эти вопросы вводятся при изучении сложения и вычитания чисел в приделах 10 и нумерации чисел в пределах 100. Изучение св-в строится по плану: сначала, используя наглядные пособия, надо раскрыть суть самого св-ва, затем научить детей применять их при выполнении разл, упражнений учеб. хар-ра и, наконец, научить, пользуясь знанием св-ва, находить рациональные приемы вычисления с учетом особенностей каждого конкретного случая. Рассмотрим, как можно провести ознакомление детей со св-вом вычитания числа из суммы.

Раскрывая суть св-ва, надо показать детям, что вычесть число из суммы можно различными способами: можно сначала вычесть это число из первого слагаемого, а затем к полученному рез-ту прибавить 2^е слагаемое. А можно из 2 слагаемого вычесть число и к полученному рез-ту прибавить 1^е слагаемое. Или найти значение суммы, и из полученного рез-та вычесть число. Учитель пишет на доске: (5+3)-2. Прочит. пример. Назовите сумму. Назовите 1 слаг. этой суммы. Второе слаг. Назовите число, которое надо вычесть из этой суммы. Как найти рез-т. На доске: (5+3)-2=6. При раскрытии св-в можно испол. и др. наглядные пособия: на тарелке раскладывать фрукты, в конверты вкладывать открытки и т.п.

На сл. уроке одновременно с исп. нагл. пособий выполняют развернутую запись (учитель на доске, учащийся в тетради). Выполнение каждой записи учащийся сопровождает объяснением. Закрепление св-в, которые дети формулируют в виде правил, происходит в рез-те применения при выполнении спец. упр.:

1. Прочитай пример и вычисли рез-т разн. способами: (6+1)-2.

2. Найди рез-т удобным способом: (4+6)-1; (20+3)-10; (6+30)-20.

3. Закончи запись: (8+7)-2=(8-2)…; (40+7)-5=(7-5)…; (10+3)-3=(…)+10.

Как только учащиеся освоят св-во вычитания числа из суммы, вводятся одновременно приемы для случаев: 57-30 и 57-3; а несколько позднее- прием для случая 60-3. В кач-ве подготовки учащимся предлагается решить удобным способом примеры вида: (60+8)-50 и (60+8)-5. Выполняя такие задания, ученики замечают, что удобнее единицы вычитать из ед., а десятки из десятков. Новые приемы для случаев 57-30 и 57-3 раскрываются примерно так: учащиеся должны под руководством учителя, но с большой долей самостоятельности дать пояснение в соответствии с раннее данным планом. 1) Заменю; 2) Получится пример; 3) Удобнее. Случай 60-3 отличается от предыд. тем, что здесь уменьшаемое явл. разрядным числом и его нельзя заменить суммой его разрядных слаг-ых. Находя рез-т, удобнее уменьшаемое заменить суммой таких 2^х слаг-ых, одно из которых 10. Такие слаг-ые наз. "удобными". Чтобы научить детей выделять такие удобные слагаемые можно использовать спец. упр.:

1. Замените число суммой по образцу:30=20+10; 40=…+10; 90=…+10; 50=…+10.

2. Решите удобным способом (50+10)-7; (90+10)-3.

При ознакомлении с приёмом исп. пучки палочек (один пучок развязывают). Св-во вычит. суммы из числа изучается по той же мет-ке.

Как только будут усвоены вычислит. приёмы, необх. проводить раб. по формированию вычисл. навыков.

1 стадия. Уч-ся сам-но выполняют все развёрнутые записи, комментируя вслух.

2 стадия. Частичное свёртыв. Сворачив-ся вспомог-ые операции. Вслух проговариваются только основные операции.

3 стадия. Полное свёртывание. Уч-ся про себя выделяют и вып-ют все основные операции. Происходит свёртывание основных операций.

4 стадия. Уч-ся вып-ют все операции в свёрнутом виде предельно быстро.

Опр. Делением натуральных чисел a и b называется операция, удовлетворяющая условию: a : b = с тогда и только тогда, когда b • c = a. Число a : b называется частным чисел а и b, число а – делимым, число b –делителем.

Исходя из определения частного натуральных чисел и условия его существования, можно обосновать известные правила деления суммы и произведения на число.

Для того чтобы определить правило деления суммы на число, необходимо рассмотреть следующую теорему:Если числа а и b делятся на число с, то и сумма а+b делится на с, причем частное, получаемое при делении суммы а+b на число с равно сумме частных, получаемых при делении а на с и b на с, то есть (а+b):с=а:с + b:с. На основе этой теоремы сформулируем правило деления суммы на число: Для того, чтобы разделить сумму на число, достаточно разделить на это число каждое слагаемое и полученные результаты сложить.

Аналогично рассматривается правило деления произведения на число.

Теорема: Если натуральное число а делится на натуральное число с, то для любого натурального числа b произведение a•b делится на с. При этом частное, получаемое при делении а на с и числа b равно: (а•b):с = (а:с) • b. Правило деления произведения на число: Для того чтобы разделить произведение на число, достаточно разделить на это число один из множителей и полученный результат умножить на второй множитель.

Теоретико-множественное истолкование правила деления суммы на число.

Если частное а:с и b:с существуют, то (а+b):с = а:с + b:с. Пусть а = n(А) и b = n(B), причем АÇВ=Æ. Если множества А и В можно разбить на равночисленные подмножества, состоящие из с элементов каждое, то и объединение этих множеств допускает такое разбиение. Если при этом множество А состоит из а:с подмножеств, а множество В из b:с подмножеств, то АÈВ состоит из а:с + b:с подмножеств. Это значит, что:

(а+b):с = а:с + b:с

Аналогично проводятся рассуждения и в случае, когда с рассматривается как число равночисленных подмножеств в разбиении множеств А и В.

Знакомство со свойством деления суммы на число происходит в 3 классе (1–4). Методика знакомства такова. Учитель дает пример (6+4):2 и предлагает решить его. Дети вычисляют сумму и делят на число. Затем учитель предлагает решить пример другим способом (для этого он использует рисунок). Дети, опираясь на графическую модель, делят на число каждое слагаемое и полеченные результаты складывают:

(6+4):2=6:2+4:2=3+2=5

Далее даются следующие упражнения на закрепление:

1.Сделай рисунок и реши двумя способами.

(6+3):3

2.Вычисли с устным объяснением:

(11+13):6

(80+16):4

(30+21):3

3.Составь задачу по выражению:

(20+30):5

Объясни разными способами ее решения.

4.Замени числа 60 и 75 суммой двух слагаемых, каждое их которых делится на 5.

5.Выполни действия в указанном порядке:

(62+18):8

(36+27):9

(46+16):7

Свойство деления произведения на число вводится в 4 классе. Но после знакомства детей со свойством деления суммы на число можно познакомить детей со свойством деления произведения на число.

В этом случае можно предложить детям ситуацию: заменить в выражении знак сложения на знак умножения и вычислить: (4+6):2 (4•6):2=24:2=12 (дети перемножают числа в скобках, и полученный результат делят на 2). Затем можно предложить детям решить другим способом. У них может получится: (4+6):2= 4:2+6:2=2+3=5. Получились разные ответы. Почему? В чем ошибка? Какое действие потеряли? Учитель подводит детей к выводу: второй способ решения таков: разделить один из множителей на число и умножить полученный результат на второй множитель то есть: (4+6):2=4:2•6=2•6=12 или (4+6):2= 6:2•4=3•4=12.

Далее даются упражнения для закрепления:

1. Найди значение выражения двумя способами

(8•6):2

2. Вычисли произведение и раздели полученный результат на число:

(3•9):3

3. Раздели на число один из множителей, а потом полученное число умножь на другой множитель(18•4):2

4. Выполни действия в указанном порядке:

(6•7):3

(5•9):3

(10•4):2

Какие примеры можно решить двумя способами? Почему?

5. Составь задачу по выражению:

(14•6):3

В начальном курсе математики приемы устного деления используются при делении двузначного числа на однозначное и при делении двузначного числа на двузначное. В основе вычислительного приема при делении двузначного числа на однозначное лежит св-во деления суммы на число. Однако методика формирования вычислительных умений может быть различной.

1 ПОДХОД

В учебнике М₂М выделяются 3 случая деления двузначного числа на однозначное и каждый из них отрабатывается отдельно:

1) 46 : 2, 96 : 3

2) 36 : 2, 65 : 5

3) 70 : 2, 96 : 4

Для каждого случая дается образец действия:

1) 46 : 2 = (40 + 6) : 2 = 40 : 2 + 6 : 2 = 20 + 3 = 23

2) 36 : 2 = (20 + 16) : 2 = 20 : 2 + 16 : 2 = 10 + 8 = 18

3) 96 : 4 = (80 + 16) : 4 = 80 : 4 + 16 : 4 = 20 + 4 = 24

Ориентируясь на образец, уч-ся выполняют тренировочные упражнения, в процессе которых закрепляются определенные способы действия.

В 1-ом случае делимое представляется в виде суммы разрядных слагаемых и затем используется св-во деления суммы на число.

Во 2-ом случае делимое представляется в виде суммы «удобных слагаемых». В кач-ве одного из таких слагаемых, выделяются разрядные десятки, которые дети умеют делить на данное число.

В 3-ем случае в качестве одного из слагаемых выступает наибольшее число разрядных десятков, которые делятся на данный делитель.

2 ПОДХОД

Учебник М₂И сориентирован на формирование общего способа действия, (т.е. делимое представляется в виде суммы 2-х слагаемых, каждое из которых делится на данное число) и на осознание его частных вариантов.

Задания:

1) вычисли значение выражения 52 : 4

Миша: я думаю, нужно представить 52 в виде суммы 2-х слагаемых, которые делятся на 4 и полученные результаты сложить:

(28 + 24) : 4 = 28 : 4 + 24 : 4 = 7 + 6 = 13

какие еще выражения можно составить?

2) догадайся, как рассуждал Миша, вычисляя значение выражения:

72 : 6 = (60 + 12) : 6 =...

84 : 7 = (70 + 14) : 7 =...

чем похожи выражения в скобках?

3) какие числа надо вставить в Š, чтобы получились верные равенства:

(30 + Š) : 3 = 30 : 3 + Š : 3

4) запиши выражение в виде частного 2-х чисел и найди значение: (80+4) : 4;

5) на какие группы можно разбить все выражения:

64 : 8 36 : 2 48 : 8

48 : 4 48 : 3 36 : 9

36 : 3 64 : 2 64 : 4

При делении двузначных чисел на двузначное число уч-ся пользуются приемом подбора частного. В основе этого приема лежит взаимосвязь умножения и деления.

Не хватает итогов!

Вопрос 20. Определение деления с остатком на множестве целых неотрицательных чисел, его теоретико-множественный смысл. Знакомство с понятием «деление с остатком» в начальном курсе математики. Обучение младших школьников приемам деления с остатком.

Число 37 не делится нацело на 8. Но существуют числа 4 и 5 такие, что 37 = 8 • 4 + 5. Говорят, что деление числа 37 на 8 выполнено с остатком, при этом найдено неполное частное 4 и остаток 5.

Опр. Разделить с остатком целое неотрицательное число ана натуральное число в – это значит найти такие целые неотрицательные числа qиr,что а=вq+r и 0£ r< в. Из определения вытекает, что остаток есть натуральное число, меньшее делителя в,поэтому при делении целых неотрицательных чисел на вможет получиться всего вразличных остатков: 0;1;2;3;…в–1. Например, при делении с остатком целых неотрицательных чисел на 5 возможны остатки: 0; 1; 2; 3; 4. Если а<в,то при делении а на в с остатком неполное частное q = 0,а остаток r = а, т.е. q = 0 • в + а.

Теорема.Для любого целого неотрицательного числа аи натурального числа в существуют целые неотрицательные числа q и r,такие, что а = вq + r, причем 0 £ r< в.Пара целых неотрицательных чисел (q; r), обладающая этим свойством, единственная. Эта теорема отвечает на вопрос: «Всегда ли можно выполнить деление а на в с остатком?».

Теоретико-множественный смысл деления с остатком заключается в следующем: пусть а = n (A) и множество А разбито на подмножества А₁; А₂;…А_n…Х так, что множества А₁; А₂;…А_n равномощны и содержат по вэлементов, а множество х содержит меньше элементов, чем каждое из множеств А₁; А₂; …A_n,например n(x) = r. Тогда а = вq + r, где 0 £ r< в. Т.о. неполное частное q – это число равномощных подмножеств (в каждом из которых в элементов) в разбиении множества А, а остаток r – это число элементов во множестве Х. Теоретико-множественный смысл деления с остатком можно рассмотреть на примере задачи: «У учительницы было 9 мячей. Она раздала по 2 мяча каждому ученику. Сколько детей получило мячи и сколько мячей осталось?». 9 : 2 = 4 (ост. 1). В этой задаче речь идет о множестве мячей с численностью n(A) = 9, которое разбито на подмножества по 2 элемента в каждом. Тогда 4 – это количество таких равномощных подмножеств. Кроме этого в разбиении получилось некоторое множество с численностью 1 меньше 2.

Данный вопрос изучается в традиционной образовательной системе 1-4 в 3 классе. Программой на это отведено 10 часов. Рассматриваются такие вопросы:

1) Понятие деления с остатком.

2) Величина остатка.

3) Подбор частного.

4) Подбор делителя.

5) Подбор делимого.

Учитель организует деятельность учащихся, направленную на усвоение понятия «деления с остатком». Для разъяснения смысла этого и знакомства учащихся с новой формой записи используется простая задача: «11 флажков раздали детям по 2 флажка каждому. Сколько детей получили флажки, и сколько флажков осталось?». OO OO OO OO OO O. Решение задачи можно записать так: 11:2=5 (ост. 1). При введении понятия «деление с остатком» наряду с упражнениями в учебнике можно выполнять и такие:

1) объясни запись:

17 : 3 = 5 (ост. 2)

15 : 4 = 3 (ост. 3)

9 : 2 = 4 (ост. 1)

2) выполни деление, сделав рисунок:

12 : 12

23 : 11

3) сравни и реши примеры каждой пары:

66 : 11 75 : 25

69 : 11 80 : 25

4) запиши число, при делении которого на 33 получится остаток 1.

В курсе начальной школы деление с остатком обычно рассматривается для случая, когда делимое больше делителя. Для закрепления смысла деления с остатком и новой формы записи учащимся предлагаются задания на соотнесение рисунка и математической записи.

Например:

1) 7 : 3 = 2 (ост. 1) 2) 12 : 5 = 2 (ост. 2) 3) 10 : 3 = 3 (ост. 1) 4) 11 : 2 = 5 (ост. 1) 1) QQQ QQQ Q 2) TT TT TT TT TT T 3) ((( ((( ((( ( 4) &&&&& &&&&& &&

В процессе выполнения этих заданий их внимание обращается на остатки, которые получаются при делении различных чисел на данное число. После этого формулируется условие выполнения деления с остатком. А именно: остаток при делении всегда должен быть меньше делителя.

Для усвоения свойства остатка можно выполнять такие задания:

1) Назови возможные остатки при делении на 2; 8; 21;

2) При делении нескольких чисел на одно и то же число получились остатки: 9; 1; 2; 3; 4; 5;. Как ты думаешь, на какое число производили деление?

3) Правильно ли выполнено деление? Если неправильно, то подумай, как можно исправить ошибку. Запиши правильное решение:

: 12 = 22 (ост. 17)

: 21 = 1 (ост. 46)

Основным способом действия при делении с остатком является подбор делимого, которое без остатка делится на данное число. Образец способа действия разъясняется на конкретном примере: 23 : 4.

23 не делится на 4 без остатка. Самое большое число до 23, которое делится на 4 без остатка, это 20. Разделим 20 на 4, получится частное 5. Вычтем 20 из 23, получится остаток 3. 24 : 4 = 5 (ост. 3). (3 < 4).

В качестве закрепляющих упражнений можно использовать:

1) Найди делимое

: 17 = 3 (ост. 15)

: 5 = 15 (ост. 4)

: 82 = 0 (ост. 5)

2) Можно ли разделить 36 на 6 с остатком?

3) Выполни деление:

(15 + 13) : 7

(24 • 3 – 50) : 20

4) Какие цифры можно записать в окошке так, чтобы получилось верное равенство

5 : 7 = 8 (ост. 3)

4 : 6 = 7 (ост. )

6 : = 9 (ост. )

5) Из ряда чисел 2; 3; 5; 7; 11; 17; 19; 39; выбери делимое, делитель, частное и остаток.

Все эти задания рационально включать в устный счет. (Сначала предложить сильным учащимся, а затем и для всего класса.)

Итог:

1. Приведенные задания доступны для учащихся.

2. Вызывают интерес не только к результату деятельности, что имеет большое значение для формирования интереса к математике.

3. Задания положительно влияют на развитие учащихся и способствуют формированию одного из ведущих качеств математического стиля мышления – гибкости.

Вопрос 21. Свойства умножения натуральных чисел, их назначение и теоретико-множественная интерпретация. Методика изучения свойств умножения в начальном курсе математики. Использование этих свойств при формировании устных приемов умножения чисел.

С теоретико-множественной точки зрения произведение a•b целых неотрицательных чисел есть число элементов в декартовом произведении множеств A и B, таких, что n(A)=a, n(B)=b. a•b=n(A)•n(B)=n(A´B)

Этот подход к определению умножения позволяет раскрыть теоретико-множественный смысл свойств умножения: коммутативности, ассоциативности, дистрибутивности относительно сложения и вычитания:

1. a•b=b•a, n(A´B)=n(B´A)

2. a•(b•c)=(a•b)•c, n(A´(B´C))=n((A´B)´C)

3. a•(b+c)=a•b+a•c, n(A´(BC))=n((A´B)(A´C))

4. a•(b-c)=a•b-a•c, n(A´(B\C))=n((A´B)\(A´C))

Анализируя действия над числами, можно сделать вывод: при действии умножения над числами участвуют операции над множествами.

Каково назначение свойств умножения?

В курсе математики для начальной школы нашли отражение все свойства умножения: коммутативное (переместительное), ассоциативное (сочетательное) и дистрибутивное левое и правое (распределительное).

К коммутативности умножения можно подвести детей, используя прием аналогии (повторить свойство сложения и попробовать это же свойство для умножения):

3+2=5 2+4=6 7+3=10 3•2=6 2•4=8 7•3=21

2+3=5 4+2=6 3+7=10 2•3=6 4•2=8 3•7=21

Замени сложение умножением (суммой одинаковых слагаемых) и вычисли результат. Сравни полученные результаты в парах. Какой вывод можно сделать? Дети делают вывод: от перестановки множителей значение произведения не меняется.

Изучение других свойств умножения проходит индуктивно. В программе М. И. Моро при изучении предлагаются различные способы вычислений, анализируя которые дети приходят к выводам. В программе Н. Б. Истоминой предложен другой вариант изучения: учащиеся усваивают свойства умножения в процессе выполнения заданий и анализируя графические модели. Делать комментарии по страницам учебников.

Для выполнения устного умножения учащиеся используют различные вычислительные приемы, что предполагает усвоение нумерации в пределах 100, табличных случаев умножения, знание переместительного, сочетательного и распределительного свойств умножения. В начальном курсе математики приемы устного умножения используются при умножении двузначного числа на однозначное. Основным способом знакомства с вычислительным приемом является показ образца действий и его закрепление в процессе выполнения тренировочных упражнений (в учебниках М. И. Моро).

Но есть и другой подход (Н. Б. Истомина): детям предлагается вычислить произведение 13•7.

Маша вычисляла так: 6•7+7•7=42+49=91, Миша – так: 10•7+3•7=70+21=91. Объясни, как рассуждали Миша и Маша. Попробуй рассуждать так же, вычисляя значения произведений:

16•6 12•6 14•5 15•3

После этого задания выполняются тренировочные упражнения, дается правило(как формулируется правило в программе Истоминой Н.Б.?): при умножении двузначного числа на однозначное можно представить двузначное число в виде суммы разрядных слагаемых и воспользоваться распределительным свойством умножения.

По каждому свойству рассмотреть соответствующие страницы учебников Моро и Истоминой.

Вопрос 22. Позиционные и непозиционные системы счисления. Особенности десятичной системы счисления. Сравнение чисел, записанных в этой системе. Методика изучения нумерации в пределах сотни, тысячи и миллиона.

Система счисления –это язык для наименования, записи чисел и выполнения действий над ними. Различают позиционные и непозиционные системы счисления.

В непозиционных системах счисления каждый знак всегда обозначает одно и то же число, независимо от места, занимаемого знаком в записи числа. Примером непозиционной системы счисления может служить римская система счисления.

В римской системе счисления используются следующие символы:

· I - один

· V - пять

· X - десять

· L - пятьдесят

· C - сто

· D - пятьсот

· M - тысяча

· m (mille) - тысяча

· M_m – миллион

Правила записи чисел в римской системе счисления:

1. Каждый символ может быть использован не более трёх раз.

2. Символ меньшего значения, стоящий перед символом большего значения, может использоваться только один раз и уменьшает его значение.

3. Символ, стоящий справа, увеличивает значение.

Для позиционных систем счисления характерны понятия «разряд» и «класс», а также понятие основания системы счисления.

Основание системы счисления – это число, обозначающее, сколько единиц высшего разряда образуют одну единицу следующего разряда. Основанием позиционной системы счисления может служить любое натуральное число р≥2. Для записи чисел в системе счисления с основанием р необходимо p символов.

Записью натурального числа в системе счисления с основанием р называется его представление в виде х= а_npⁿ+ a_n_-1pⁿ^-1+ … + a₁p + a₀, где коэффициенты а_n_, a_n_{-1, …}a₁,a₀принимают значение 0,1, 2…,р-1 и а_n≠ 0.

Так как понятия числа и его записи нетождественны, то существование и единственность записи числа надо доказывать.

Теорема: Пусть р≥2 – заданное натуральное число. Тогда любое натуральное число х представимо и притом единственным образом в виде х= а_npⁿ+ a_n_-1pⁿ^-1+ … + a₁p + a_0.

Примером позиционной системы счисления может служить десятичная система счисления (ДСС), которая наиболее распространена. Она основана на группировании десятками и берет свое начало от счета на пальцах, возникла в Индии в VI веке. В ДСС основанием системы счисления является число 10. Для записи чисел в ДСС используется 10 знаков: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Десятичной записью натурального числа называется его представление в виде х= а_n10n+ a_n-110^n-1+ … + a₁10 + a_0,где коэффициенты а_n,a_{n-1, …}a₁,a₀принимают значение 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и а_n≠ 0.

Десятичная запись числа позволяет просто решать вопрос о том, какое из чисел меньше.

Теорема: Пусть х и у – натуральные числа, запись которых дана в ДСС.

х= а_m10n+ a_n-110^n-1+ … + a₁10 + a₀

у= а_m10m+ a_m-110^m-1+ … + a₁10 + a₀

Тогда число х меньше числа у, если выполнено одно из условий:

1. n<m

2. n=m, но a_n , b_m

3. n=m, a_n= b_m, … , a_k=b_k, но a_k-1<b_k-1

Например: х=3456, у=3467; х<у, так как число тысяч и сотен одинаковое, но в числе х десятков меньше.

В ДСС всем числам можно дать имя. Имеются названия первых десяти чисел; затем из них в соответствии с определением десятичной записи числа и путем прибавления ещё немногих слов образуются названия последующих чисел.

Например: название чисел второго десятка образуются из соединения первых девяти названий и измененного слова «десять»

Для того, чтобы назвать все числа в пределах миллиарда, нужно знать16 слов: один, два, три, четыре, пять, шесть, семь, восемь, девять, десять, сорок, девяносто, сто, тысяча, миллион, миллиард.

Данный вопрос изучается в начальной школе в теме «Нумерация».

В изучении нумерации в пределах сотни, тысячи и миллиона выделяются 2 этапа: изучение устной нумерации и изучение письменной нумерации.Методики изучения нумерации в пределах сотни, тысячи и миллиона сходны, так как нумерация этих чисел опирается на группирование единиц десятками при счете.

В изучении нумерации сотни выделяются 2 этапа:

· нумерация чисел от 11 до 20

· нумерация чисел от 21 до 100

Изучение нумерации чисел с 11 до 20.

Изучение устной нумерации начинается с формирования у детей понятия о десятке (отсчет по 10 палочек). Затем, выполняя упражнения в счете десятков палочек, дети убеждаются, что десятки, так же, как и единицы, можно считать, складывать и вычитать (используется прием аналогии).

Например: 2+3=5, 2 дес. + 3 дес. = 5 дес.

Далее рассматривается образование чисел от 11 до 20 из десятков и единиц и поясняются их названия, дается этимология названий чисел.

Можно использовать такие виды закрепляющих упражнений:

· Отсчитай 15 палочек, узнай, сколько это десятков и единиц.

· Возьми 1 десяток палочек и еще 4 палочки. Сколько палочек ты взял?

· Сколько десятков и единиц в числе 17?

· Какое число состоит из 1 десятка и 9 единиц?

Необходимо добиться усвоения учащимися новых понятий и терминов: единицы первого и второго разряда, разрядное число, сумма разрядных слагаемых, однозначное и двузначное число.

При изучении письменной нумерации, чтобы раскрыть принцип записи двузначных чисел, используют абак. Переходя к обозначению чисел, выясняют десятичный состав числа и, опираясь на него, записывают цифрами, сколько в числе десятков и сколько единиц. Сразу же закрепляют полученные знания о принципе записи двузначных чисел:

· Что обозначает цифра 7, что обозначает цифра 1? (в числе 17)

Изучение нумерации чисел от 21 до 100.
Усвоению десятичного состава числа способствуют упражнения в образовании и замене чисел суммой разрядных слагаемых: · Какое число составляет 5 дес и 7 ед.? (57) · Сколько десятков и единиц в числе 62 (6 дес и 2 ед.)
Доля –одна из равных частей целого. Дробь –совокупность нескольких долей. В записи дроби m/nчисла mи nназываются m – числителем, n – знаменателем. Дробь m/n называется правильной, если ее числитель меньше знаменателя, и неправильной, если ее числитель больше знаменателя или равен ему. Дроби, являющиеся численным значением одной и той же величины, называются равными.

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится дробь равная данной. На этом свойстве основано 2 операции с дробями:

а) сокращение дроби – это замена дроби ей равной, но с меньшими числителем и знаменателем;

б) приведение дробей к общему знаменателю – это замена дробей им равными, но с одинаковым знаменателем.

Если числитель и знаменатель дроби взаимно простые числа, т.е. одновременно делятся только на единицу, то дробь называется несократимой.

Для того чтобы дроби m/n и p/q выражали длину одного и того же отрезка, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенствоmq=np Þ две дроби равны тогда и только тогда, когда они выражают длину одного и того же отрезка.

Отношение равенства дробей рефлексивно (m/n=m/n, т.к. mn=nm), симметрично (если m/n=p/q, то p/q=m/n, т.к. mq=npÞpn=qm) и транзитивно (если m/n=p/q и p/q=r/s, то m/n=r/s), т.е. является отношением эквивалентности. На множестве рациональных чисел отношение эквивалентности можно задать двуместным предикатом: Р(x;y)=«дробь х=дроби у». Это отношение разбивает множество рациональных чисел на классы эквивалентных (равных) дробей. Каждый класс данного разбиения есть положительное рациональное число. Положительное рациональное число – это класс равных дробей, где каждая дробь этого класса есть запись положительного рационального числа. Среди равных между собой дробей всегда существует одна единственная несократимая дробь. Количество классов эквивалентности дробей и количество дробей в каждом классе бесконечно. Множество всех п.р.ч. обозначают Q₊. Отношение равенства: если п.р.ч. а представлена дробью m/n, а п.р.ч. в – p/q, то а=в тогда и только тогда, когда mq=npÞравные рациональные числа представляются равными дробями.

Если п.р.ч. а представлено дробью m/n, а п.р.ч. в – дробью p/n, то их суммой называется число а+в, которое представляется дробью. Сложение п.р.ч. коммутативно и ассоциативно.

Если п.р.ч. а представлено дробью m/n, а п.р.ч. в – дробью p/q, то их произведением называется число ав, которое представляется дробью . Умножение п.р.ч. коммутативно, ассоциативно и дистрибутивно относительно сложения и вычитания.

Вычитание п.р.ч. удовлетворяет условию: а-в=с тогда и только тогда, когда а=в+с. Равность а-в п.р.ч. существует тогда и только, когда в<а.Если разность а-в существует, то она единственна. Правило вычитания: .

Деление удов. условию: а:в=с тогда и только, когда а=вс

Правило деления: Þ частное п.р.ч. существует всегда!

Согласно программе начального курса математики при изучении темы «Доли» ставятся следующие задачи:

§ сформировать у учащихся представление о доле величины;

§ научить читать и записывать доли;

§ научить сравнивать доли одной и той же величины на наглядной основе;

§ решать задачи на нахождение доли числа и числа по его доле.

Для формирования представления о дроби используется решение текстовых задач. Сначала предлагается задача: «Два брата разделили поровну между собой 6 яблок. Сколько яблок досталось каждому?»

Ученики самостоятельно записывают решение задачи (6:2=3) и дают ответ на ее вопрос, объясняя выбор арифметического действия. Далее предлагается следующая задача: «Два брата разделили между собой 1 яблоко поровну. Сколько яблок досталось каждому брату?». Учитель берет яблоко и просит разделить его поровну. Ученики предлагают разрезать яблоко на две равные части. Учитель разрезает яблоко и показывает одну из равных частей. Спрашивает: как можно назвать эту часть яблока (половина). Почему? (разделили пополам). Кто догадался, как можно по-другому назвать половину? (одна вторая). Докажите. После этого дети отвечают на вопрос задачи.

Одна вторая – это дробное число: ½. На доске оформляется решение задачи: 1:2=1/2???.

Далее поясняется, что в записи дроби ½ число под чертой показывает, на сколько равных частей делят предмет. Это знаменатель дроби. Число над чертой показывает, сколько таких частей взяли. Это числитель дроби.

Чтобы научить детей сравнивать дроби на основе наглядности, можно использовать элементы самоконтроля. На доске нарисованы отрезки, разделенные на равные части различным образом.

Убедившись в том, что у учеников сформировались представления о дроби и умение сравнивать дроби с опорой на наглядность, вводятся дроби с числителем, большим единицы. Для этого предлагается задача: «Мама к чаю подала торт, разрезанный на 10 равных кусков. Брат съел 2 куска торта, а сестра съела одну часть. Какую часть торта съел брат? Сестра? Для решения используем круг, разделенный на 10 равных частей:

1. На сколько равных кусков мама разрезала торт?

2. Сколько съела сестра? Покажите.

3. Какую часть торта составляет один кусок?

4. Кто может записать соответствующую дробь?

5. Сколько съел брат?

6. Какую часть торта составляют два куска?

7. Кто может записать дробь две десятых?

Назовите знаменатель, числитель этой дроби. Что они означают?

Затем учащиеся выполняют сравнение дробей с опорой на наглядность и записывают:

1/10<2/10; 2/10>1/10

Кому из детей досталось больше (меньше) торта? Сколько всего кусков съели дети? Какую часть торта составляют съеденные куски? Запишите.

Выполнение этого задания вызывает интерес у класса.

Далее ведется работа по изучению тем: «Нахождение доли числа и нахождение числа по доли».

Вначале учащимся предлагается задача: «Береза прожила 50 лет, что составляет 1/5 часть продолжительности ее жизни. Какова продолжительность жизни березы?»

На доске модель задачи. Дети рассуждают: 1/5 часть составляет 50 лет, а в целом 5 таких частей. Можно узнать продолжительность жизни березы, для этого 50•5=250

Учитель предлагает составить задачу, обратную данной « Продолжительность жизни березы 250 лет. Она прожила одну пятую часть своей жизни. Сколько лет прожила береза?». Составленную задачу дети решают самостоятельно. Получив ответ, они убеждаются в правильности решения исходной задачи.

Рассмотренная методика доказывает, что применение нестандартных учебных заданий при изучении темы способствует активизации деятельности и интереса учащихся к изучаемому материалу.

Методы и приемы работы учителя:

· Наглядный метод – ведущий, иллюстрирует все основные положения;

· Практическая деятельность детей – на закрепление (выделение доли, перегибание, штриховка)

· Большая роль – система закрепляющих упражнений, которые может составить сам учитель, так как в учебниках мало материала;

· Полезно использовать эвристические беседы, кот следует продумывать так, чтобы дети сами делали выводы.

Материал темы в программе:

Моро М.И. 3 класс, тема: Умножение и деление – нахождение доли числа и части по его доле.

Моро М.И. 4 класс, тема: Умножение и деление – задачи на нахождение нескольких долей числа.

Материал темы в учебниках:

Моро М.И. 3 класс 1 часть.

1 урок: стр. 96 – 8 заданий, «Доли». Дети узнают, как образуются, называются, сравниваются дроби с опорой на бытовые представления о делении поровну. Дается определение доли: одна из равных частей целого, показывается запись: . Дети узнают, что означает числитель и знаменатель, учатся сравнивать доли с опорой на наглядный материал (стр.97), стр. 102 – закрепление.

2 урок: стр. 98 – решение задач.

Моро М.И. 4 класс 2 часть – стр.103 «Материал для углубления знаний о долях». Образование долей и дробей, запись и сравнение, задач нет.

Истомина Н.Б.4 класс – стр. 212 – Образование дробей, название, запись, определение, что означает числитель и знаменатель. Особенность – все называют дробями, отсутствует термин доля. Решение задач на дроби – много заданий.

Развернуть

Открыть в широком формате

– Конец работы –

Используемые теги: курс, лекций, экспериментальной, программе, Теория, Методика, начального, курса, математики0.103

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Курс лекций к экспериментальной программе: Теория и методика начального курса математики

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным для Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Твитнуть

Еще рефераты, курсовые, дипломные работы на эту тему:

Краткий курс механики в качестве программы и методических указаний по изучению курса Физика Краткий курс механики: Программа и методические указания по изучению курса Физика / С
Федеральное агентство железнодорожного транспорта... Омский государственный университет путей сообщения...

КУРС ЛЕКЦИЙ по дисциплине Железобетонные конструкции Курс лекций. Для специальностей «Архитектура» и «Промышленное и гражданское строительство»
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ... ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ...

Математические основы программирования. Теория схем программ. Семантическая теория программ
Следуя А П Ершову мы употребляем термин теоретическое программирование в качестве названия математической дисциплины изучающей синтаксические... В настоящее время сложились следующие основные направления исследований... Математические основы программирования Основная цель исследований развитие математического аппарата...

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ по курсу Архитектурное материаловедение Конспект лекций по курсу Архитектурное материаловедение
ФГОУ ВПО ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ... ИНСТИТУТ Архитектуры и искусств... КАФЕДРА ИНЖЕНЕРНО строительных ДИСЦИПЛИН...

Курс офтальмологии КУРС ЛЕКЦИЙ ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН ЛЕКЦИЙ 1. Введение. Офтальмология и ее место среди других медицинских дисциплин. История офтальмологии. Анатомо-физиологические особенности органа зрения. 2. Зрительные функции и методы их исследования
Курс офтальмологии... КОРОЕВ О А...

МАСТЕРСКАЯ ПРАКТИЧЕСКОГО ПСИХОЛОГА КУРС ЛЕКЦИЙ Введение в общую психодиагностику. Курс лекций
ИНСТИТУТ ИНФОРМАТИЗАЦИИ СОЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ... МАСТЕРСКАЯ ПРАКТИЧЕСКОГО ПСИХОЛОГА...

ТЕОРИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА В ОМД КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ «ТЕОРИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА»
ДОНБАССКИЙ государственный... технический университет... В М ДАНЬКО...

Конспект лекций по курсу Теория паровых и газовых турбин Лекция № 1
Лекция... Введение Конспект по курсу Теория паровых и газовых турбин часть I составлен на основании лекций по этому предмету читавшихся для студентов направления...

Экономическая теория: конспект лекций Введение в курс экономической теории Тема 1
Тема Введение в курс экономической теории Предмет методы функции принципы и законы экономической... Микроэкономика... Тема Товарное производство Товар и деньги Сущность и причины...

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА 4 ПРОГРАММА КУРСА 6 ПО КУРСУ ОТЕЧЕСТВЕННАЯ ИСТОРИЯ 33 ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Положение на стыке цивилизаций постоянно ставило Россию перед выбором западного или восточного варианта развития
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА... ПРОГРАММА КУРСА УЧЕБНАЯ ЛИТЕРАТУРА...
0.035

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?

Подпишитесь на Нашу рассылку

Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail

Новости и инфо для студентов

Свежие новости

Актуальные обзоры событий

Студенческая жизнь

Реклама

Соответствующий теме материал

Похожее

По категориям

По работам

Методика работы с уже решенной задачей на примере ее преобразования на уроках математики в начальной школе Но чтобы решить проблему, нужно понять ее суть и сформулировать словесно. Поэтому очень важно научить школьников формулировать задачу. Опыт многих учителей показывает, что эта проблема трудно разрешима. В школе большое внимание уделяется решению…

Примерная программа дисциплины «Методика преподавания бального танца: Латиноамериканская программа» I ОРГАНИЗАЦИОННО МЕТОДИЧЕСКИЙ РАЗДЕЛ Цель курса... Овладение танцевальной техникой и методикой преподавания бальных танцев Латиноамериканской программы...

Теория государства и права. Курс лекций. Издание второе Под ред Н И Матузова и А В Малько Содержание... СОДЕРЖАНИЕ Предисловие Н И Матузов Тема ПРЕДМЕТ И МЕТОД ТЕОРИИ ГОСУДАРСТВА И ПРАВА М И Байтин...

Основные принципы построения методики изучения стохастической линии в курсе математики основной школы Сейчас без достаточно развитых представлений о случайных событиях и их вероятностях, без хорошего представления о том, что явления и процессы, с… Общество все глубже начинает изучать себя и стремиться сделать прогнозы о себе… Как известно, современная концепция школьного математического образования ориентирована, прежде всего, на учет…

Курс лекций По дисциплине ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ... ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ УПРАВЛЕНИЯ И ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ В СТРОИТЕЛЬСТВЕ... ИЭУИС...

Философия

История

Социология

Демография

Экономика

Государство

Юриспруденция

Право

Политика

Науковедение

Культура

Образование

Педагогика

Психология

Лингвистика

Литература

Искусство

Журналистика и СМИ

Компьютеры

Программирование

Информатика

Религия

Математика

Физика

Механика

Химия

Биология

Геология

География

Астрономия

Энергетика

Электротехника

Электроника

Связь

Высокие технологии

Машиностроение

Ядерная техника

Приборостроение

Полиграфия

Биотехнологии

Промышленность

Производство

Строительство

Архитектура

Сельское хозяйство

Торговля

Туризм

Транспорт

Медицина

Спорт

Военное дело

Изобретательство

Охрана труда

Экология

Маркетинг

Менеджмент

Иностранные языки

Финансы

Кулинария

Косметика

Домостроительство

Без категории

Рефераты

Контрольные Работы

Шпоры

Домашние Задания

Доклады

Курсовые Работы

Курсовые Проекты

Отчетные Работы

Расчетно-пояснительные Записки

Лабораторно-практические Работы

Самостоятельные Работы

Дипломные Работы

Зачетные Работы

Комплексные Задания

Расчетно-графические Работы

Индивидуальные Работы

Домашние Работы

Семинары

Отчеты по Практике

Лекции

Методические Указания

Лабораторные Работы

Расчетно-графические Задания

Дипломные Работы

Дипломные Проекты

Конспекты Лекций

Конспекты

Курс лекций к экспериментальной программе: Теория и методика начального курса математики

Что будем делать с полученным материалом:

Еще рефераты, курсовые, дипломные работы на эту тему:

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?

Подпишитесь на Нашу рассылку

Новости и инфо для студентов

Реклама

Соответствующий теме материал

О Сайте