Свойства обратной пропорциональности

1.Областью определения функции у=и областью ее значений х является множество действительных чисел, отличных от нуля.

(рис. 2)

2.Графиком обратной пропорциональности является гипербола.

(рис. 1)

3.При k > 0 ветви гиперболы расположены в 1-й и 3-й четвертях и функция является убывающей на всей области определения х (рис. 1). При k < 0 ветви гиперболы располо­жены во 2-й и 4-й четвертях и функция является возрастающей на всей области определения х (рис.2).

4.Сформулируем основной признак обратной пропорциональности. С увеличением (уменьшением) значения переменной х в несколько раз соответствующее значение переменной у уменьшается (увеличивается) во столько же раз.

Это свойство присуще только обратной пропорциональности, и им можно пользоваться при решении текстовых задач, в которых рассматриваются обратно пропорциональ­ные величины.

Пример: Велосипедист, двигаясь со скоростью 10 км/ч, проехал расстояние от А до В за 6 ч. Сколько времени потратит велосипедист на обратный путь, если будет ехать со ско­ростью 20 км/ч?

Решение: В задаче рассматриваются величины: скорость, время, расстояние, причем последняя величина постоянна, а две другие принимают различные значения. Скорость и время движения – величины обратно пропорциональные. Если время движения велосипедиста обозначить буквой у, скорость – х, а расстояние АВ – k, то получим у=т.е. математической моделью ситуации, представленной в задаче, является обратная пропорциональность. Решить задачу можно двумя способами:

1 способ: 2 способ:

1) 10•6=60 (км.) 1) 20:10 = 2 (раза)

2) 60:20 = 3(ч) 2) 6:2 = 3(ч)

Решая задачу первым способом, мы сначала нашли коэффициент пропорциональности k, он равен 60, а затем, зная, что у=, нашли значение у при условии, что х=20.

При решении задачи вторым способом мы воспользовались свойством обратной пропорциональности: во сколько раз увеличивается скорость движения, во столько же раз уменьшается время на прохождение одного и того же расстояния.

Задача – это сформулированный словами вопрос, ответ на который можно получить, выполнив алгебраические операции. Задачи с пропорциональными величинами для младших школьников представляют особую сложность. Одна из причин возникающих у детей трудностей в процессе решения этих задач заключается в том, что понятие «пропорциональная зависимость» не является предметом специального изучения и усвоения. Связи между пропорциональными величинами раскрываются с помощью решения простых задач на нахождения одной из величин по данным, соответствующим значениям двух других величин (например, задача на нахождение стоимости по известным цене и количеству). Поэтому при решении простой задачи с пропорциональными величинами целесообразно использовать те приёмы, которые способствуют формированию у учащихся представлений о пропорциональной зависимости величин:

a) изменения одного из данных задачи.

b) сравнение результатов решения задач, в которых изменено одно из данных.

c) интерпретация задачи в виде схемы, запись задачи в таблице.

d) анализ текстовых задач с недостающими и лишними данными.

Для того чтобы дети не подходили формально к решению этих задач, необходимо варьировать в их сюжетах постоянную величину. Тогда запись задачи в таблице и её схематическая интерпретация будут восприниматься ребёнком с необходимостью активизировать его мыслительную деятельность. В противном случае он будет ориентироваться на образец. С самого начала знакомства с задачей нужно вести целенаправленную работу по формированию учащихся умение анализировать текст задачи, выявлять в нем математические отношения, устанавливать взаимосвязь между данными и искомыми величинами и соотносить текстовую и схематическую модель задачи.

Для выделения в тексте задачи пропорциональных величин, можно использовать таблицу, в которой верхняя часть может заменяться карточками с названиями различных величин (длинна одного куска проволоки, количество кусков, общая длинна; V; t; S; время чтения одной страницы, количество страниц, общее время; масса одного ящика, количество ящиков масса и т д.). Если такие карточки заготовлены заранее, то учащиеся могут сами выбрать те из них, названия которых соответствуют величинам, рассматриваемых в задачи, и приготовить таблицу к работе, а затем самостоятельно заполнить её.

Расход ситца на одну наволочку	Количество наволочек	Общий расход материала
Одинаковый	8 н.	24 м
?	15 м.

Рассмотрим, например, задачу на нахождение 4^го пропорционального: "Из 24 метров ситца сшили 8 наволочек. Сколько таких же наволочек можно сшить из 15 м. ситца".

В эту составную задачу входят 2 простые задачи:

1. Из 24 метров ситца сшили 8 наволочек. Сколько ситца понадобится для шитья одной наволочки?

2. Сколько таких же наволочек можно сшить из 15 м. ситца, если на шитьё одной наволочки нужно 3 м?

При решении задач с пропорциональными величинами полезно использовать схемы.

Обозначив отрезками, общий расход материала 24 м и 15 м, дети обозначают маленькими отрезками расход материала на одну наволочку.

Анализируя схему, необходимо обратить внимание учащихся на то, что один и тот же отрезок одновременно обозначает и количество метров, и количество наволочек (чем больше материи, тем больше наволочек; чем меньше отрезок, тем меньше наволочек.). Использование схем при решении задач на нахождение 4^го пропорционального поможет учащимся самостоятельно найти способ решения таких видов задач, как задачи на пропорциональное деление и задачи на нахождение неизвестного по двум разностям.

На автозаправочной станции первый водитель залил в бак 25 л бензина, второй 40 л. того же бензина. Сколько заплатил за бензин каждый водитель, если вместе они заплатили 715 руб.?

На автозаправочной станции первый водитель залил в бак 25 л. бензина, второй 40 л того же бензина. Первый заплатил на 165 руб. меньше второго. Сколько заплатил за бензин каждый водитель?

 

Вопрос 9. Понятие числового выражения и выражения с переменной. Тождественные преобразования выражений. Числовые равенства и неравенства, их основные свойства. Формирование понятия выражения в начальном курсе математики. Обучение нахождению значения выражений, содержащих более двух действий, в том числе и со скобками. Ознакомление учащихся с правилами порядка выполнения действий.

Понятие числового выражения и выражения с переменной. Записи вида 3+7, 24:8, 3•2–4, (25+3)•2–17 называется числовыми выражениями. Они образуются из чисел, знаков действий и скобок. Если выполнить все действия, указанные в выражении, получим число, которое называется значением числового выражения. Так значение числового выражения 3•2–4 равно 2. Существуют числовые выражения, значения которых нельзя найти. Про такие выражения говорят, что они не имеют смысла. Например, 8:(4–4) не имеет смысла, так как его значение найти нельзя: 4–4=0, а деление на "0" не определено. Рассмотрим запись 2а+3. Она образована из чисел, знаков действий и буквы "а". Если вместо "а" подставлять числа, то будут получаться разные числовые выражения:

если а=7, то 2•7+3;

если а=0, то 2•0+3;

если а=-4, то 2•(-4)+3.

В записях вида 2а+3, 4в–2, 3с+4, 2в–2 буква называется переменной, а сама запись – выражением с переменной. Переменную в математике, как правило, обозначают любой строчной буквой латинского алфавита. В начальной школе используются кроме букв еще и символы, например . Тогда запись выражения с переменной имеет вид: 2• +3.

Определение: если f и g – числовые выражения, то f+g, f–g, f•g, f:g – числовые выражения. Считают, что каждое число является числовым выражением.