рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА - раздел Математика, Министерство Образования И Науки Российской Федерации Казанский Госу...

Министерство образования и науки Российской Федерации

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. А.Н. ТУПОЛЕВА

 

 

Л.Е. Нестерова, И.В. Матвеев

Учебное пособие   Казань 2010

ВВЕДЕНИЕ

Решение многих задач естествознания и техники приводится к нахождению неизвестных функций, описывающих явления или процессы, когда известны соотношения, связывающие между собой эти функции и их производные. Такие соотношения называются дифференциальными уравнениями. Рассмотрим конкретный пример.

Пример. Рассмотрим процесс радиоактивного распада вещества, зная, что в соответствии с законом физики скорость распада отрицательна и пропорциональна массе не распавшегося на данный момент времени вещества– .

Установим вид дифференциального уравнения относительно неизвестной функции :

   

где a-параметр, независящий от времени, определяемый свойствами радиоактивного вещества.

Искомая функция имеет вид

   

ГдеС- произвольное постоянное, определяемое из начальных условий:

 

тогда  
   
     
окончательно,    

 


ГЛАВА 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИМЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

Основные понятия и определения

Дифференциальное уравнение- уравнение, в которое наряду с неизвестной функцией входят и ее производные.

Если неизвестная функция зависит от одного аргумента, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным.

Если неизвестная функция зависит от нескольких аргументов, то дифференциальное уравнение называется уравнением в частных производных.

В общем виде дифференциальное уравнение можно записать как

  (1.1)

где -независимая переменная, - искомая функция, - производные функции .

Порядок дифференциального уравнения–это наивысший порядок производной неизвестной функции ,входящей в уравнение.

Решение дифференциального уравнения- функция , определенная на некотором интервале, которая, будучи поставлена в исходное дифференциальное уравнение, обращает его в тождество:

(1.2)

Отсюда очевидно, что функция должна быть дифференцируема столько раз, каков порядок дифференциального уравнения.

Интервал определения решения - интервал, на котором определена функция .

Интегрирование дифференциального уравнения - процесс нахождения решения дифференциального уравнения.

Интегральная кривая дифференциального уравнения- график функции , являющейся решением этого уравнения.

Общим решением дифференциального уравнения первого порядка

  (1.3)

называется функция , где С- произвольное постоянное такое, что при любом значении С функция является решением дифференциального уравнения, и для любой точки можно найти такое числовое значение С, при котором интегральная кривая будет проходить через данную точку.

Общим интегралом дифференциального уравнения называется соотношение

  (1.4),

из которого при любом значении С может быть определена интегральная кривая.

Геометрически общее решение представляет собой семейство кривых, зависящих от параметра С.

Частное решение- одна из интегральных кривых этого семейства, проходящая через заданную точку .

Задачей Коши для дифференциального уравнения (1.3) называется задача определения такого решения этого уравнения, которое удовлетворяет заданному начальному условию

  (1.5)

.

Уравнения с разделенными и разделяющимися переменными

Простейшим дифференциальным уравнением первого порядка является уравнение, разрешенное относительно и не содержащееy:

  (1.6)

В этом случае для нахождения неизвестной функции достаточно найти неопределенный интеграл от функции , тогда общее решение уравнения (1) запишется в виде

  (1.7)

Если задано начальное условие, то можно вычислить значение С и получить частное решение.

Пример.Решить уравнение с начальным условием при

Решение.

Общее решение

 

Положим в общем решении при и найдем частное решение.

 

Дифференциальное уравнение вида

  (1.8)

где множителем при является функция, которая зависит только от x, а множителем при - функция, которая зависит только от , называется уравнением с разделенными переменными.

Предположим, функция является его решением. Если вычислить

и подставить в уравнение (1.8) вместо и их выражения и , то согласно определению решения, получим тождество которое можно проинтегрировать таким образом:

  (1.9)

где в левой части содержаться первообразные функции и , а произвольные постоянные от обоих интегралов объединены в одно произвольное постоянноеС, помещенное в правой части.

Второй интеграл можно преобразовать посредством замены переменного, считая что . При этом равенство (1.9) преобразуется к виду

  (1.10)

Данное равенство представляет собой конечное соотношение междуx иy, которому удовлетворяют все решения уравнения (1.8).

Если какая-нибудь функция при подстановке обращает уравнение (1.10) в тождество, то дифференцированием последнего устанавливаем, что она удовлетворяет уравнению (1.8). Следовательно, равенство (1.10) является общим интегралом уравнения (1.8).

Пример.Решить уравнение:

Решение.

 

откуда

Так как имеем

и

Дифференциальное уравнение вида

  (1.11)

где правая часть представляет собой произведение двух функций, одна из которых не зависит от , а вторая не зависит от , называется уравнением с разделяющимися переменными. Это уравнение интегрируется способом разделения переменных, сводящем его к рассмотренному выше типу уравнения с разделенными переменными (1.8). Для этого обе части уравнения (1.11) делим на и умножаем на . Получим уравнение

  (1.12)

в котором переменные разделены. Проинтегрировав, находим общий интеграл

  (1.13)

Уравнением с разделяющимися переменными называется также уравнение в дифференциалах вида

  (1.14)

так как делением на оно приводится к виду (1.8).Его общий интеграл

  (1.15)

Пример. Решить уравнение

Решение.

 

откуда

При делении на мы могли потерять , проверка показывает, что также решение.

 

Дифференциальные уравнения, однородные относительно х,уи приводящиеся к ним

Однородная функция нулевого измерения может быть записана в виде f(x,y)=φ(y/x). Действительно, пусть f(x,y) – однородная функция нулевого… Пример. тогда Разделив числитель и знаменатель дроби на x, получим

Линейные уравнения первого порядка и приводящие к ним

Если правая часть уравнения (1.21) равна 0, то уравнение (1.21) называется линейным однородным. Не следует смешивать линейное однородное уравнение с уравнением, однородным… Термин «однородное» появляется применительно к линейному уравнению потому, что выражение является однородной…

Уравнения в полных дифференциалах

представляет собой полный дифференциал некоторой функции , то есть, если то уравнение (1.32) называется уравнением в полных дифференциалах. В этом случае его можно записать как откуда интегрированием получим общий интеграл

Уравнения первого порядка n-степени, не разрешенные относительно производной

В этом случае интегрирование уравнения (1.41) свелось к интегрированию n уравнений первой степени. Пусть их общие интегралы будут соответственно: … Перемножим левые части интегралов (1.42) и приравняем произведение нулю: … Если разрешим уравнение (1.43) относительно y, то мы получим общее решение уравнения (1.41).

Задача Коши для дифференциального уравнения 1-го порядка.

Теорема о существовании единственного решения задачи Коши

  Лемма 1. Если функция удовлетворяет условию Липшшица на , то она будет… Лемма 2. Если функция дифференцируема на ,то есть

ГЛАВА 2. ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Уравнения высшего порядка. Общие сведения

Все дифференциальные уравнения порядка выше первого называются дифференциальными уравнениями высших порядков. Уравнение порядка nкроме производной , может содержать также и младшие производные, так что общий вид такого уравнения

  (2.1)

Или, если это возможно, в форме, разрешенной относительно старшей производной,

  (2.2)

Общим решением дифференциального уравнения (2.2) называется решение, содержащее произвольные постоянные, которые можно подобрать таким образом, чтобы удовлетворить любым начальным условиям, то есть выражение вида

  (2.3)

Как и для уравнений первого порядка, общее решение будет зависеть от произвольных постоянных. Поэтому для нахождения частного решения необходимо задать начальные условия:

, ,…, (2.4)

Любое решение, получаемое из общего решения при конкретных значениях произвольных постоянных С12,…,Сn, называется частным решением дифференциального уравнения (2.1).Задачу нахождения частного решения дифференциального уравнения (2.2), удовлетворяющего начальным условиям (2.4), называют задачей Коши.

Для задачи Коши (2.2), (2.4) имеет место теорема Пикара, которая формулируется и доказывается аналогично теореме Пикара для дифференциального уравнения первого порядка (глава 1). Существование и единственность решения задачи Коши геометрически означает, что через начальную точку (2.4) проходит единственная интегральная кривая.

Выражение вида , которое определяет неявно общее решение дифференциального уравнения, называется общим интегралом уравнения. Геометрически общее решение и общий интеграл дифференциального уравнения представляют собой семейство интегральных кривых. Частное решение дифференциального уравнения это интегральная кривая, проходящая через начальную точку (2.4).

Задача интегрирования дифференциальных уравнения высших порядков является значительно более сложной, чем задача интегрирования уравнений первого порядка и далеко не всегда может быть сведена к последней. Тем не менее, кроме линейных уравнений, рассмотрению которых будет посвящена глава 3, для всех остальных типов уравнений высших порядков основным методом интегрирования является понижение порядка.

Уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка

Рассмотрим три типа уравнений высших порядков, допускающих понижение порядка.

I. Уравнение вида , где - некоторая непрерывная функция.

После n-кратного интегрирования получается общее решение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Проинтегрировав таким образом требуемое число раз, получим общее решение уравнения.

Пример.

Решение.

Решить уравнение

Интегрируем три раза и получаем общее решение

 

 

II. Дифференциальные уравнения n-го порядка, не содержащие неизвестной функции и младших производных до некоторого порядка (k-1) включительно

.

Порядок данного уравнения можно понизить на k единиц введением новой искомой функцииu=y(к)(x).

Тогда

.

Пусть общим решением этого уравнения является функция

.

Возвращаясь к yполучим дифференциальное уравнение

 

А это есть ничто иное как дифференциальное уравнение k-го порядка первого типа.

Пример.Решить уравнение

Решение.

Положим ,

тогда

разделяем переменные

 

и интегрируя, получим

Возвращаясь к y,получимуравнение первого типа

интегрируем его два раза

 

III. Уравнения, в которых отсутствует независимая переменная x

 

Понизить порядок этого уравнения на единицу удаётся путём замены .

Тогда

 

.

Заметим, что каждая производная по выражается через производные по порядка на единицу меньше.

Пример.

Решение.

Решить уравнение

Замена , тогда

Уравнение примет вид

или

Тогда

1) ,

2) ;

 

Интегрируя последнее уравнение, имеем

 

возвращаясь кy , получим

или

 

разделив переменные, получим

 

Интегрируруя, получим общее решение

 

 

Контрольные вопросы

52. Какое уравнение называется дифференциальным уравнением n-ого порядка?

53. Дать определение общего решения дифференциального уравнения n-ого порядка.

54. Дать определение частного решения дифференциального уравнения n-ого порядка.

55. Что представляет собой геометрически обще решение дифференциального уравнения n-ого порядка?

56. Что представляет собой геометрически частное решение дифференциального уравнения n-ого порядка.

57. Записать задачу Коши для дифференциального уравнения n-ого порядка.

58. Записать формулировку теоремы Пикара для дифференциального уравнения n-ого порядка.

59. Какие типы дифференциальных уравнений высшего порядка допускают понижение порядка?

60. Какой метод решения дифференциального уравнения вида ?

61. Какой метод решения дифференциального уравнения вида ?

62. Какой метод решения дифференциального уравнения вида ?

63. Какая замена используеся при решении дифференциального уравнения вида ?

64. Какая замена используеся при решении дифференциального уравнения вида ?

65. Привести пример дифференциального уравнения высшего порядка вида .

66. Привести пример дифференциального уравнения высшего порядка вида .

67. Привести пример дифференциального уравнения высшего порядка вида .


ГЛАВА 3. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

Основные понятия и определения

Линейным дифференциальным уравнениемn-го порядка называется уравнение, в которое неизвестная функция и её производные доn-го порядка входят в первой степени

  (3.1)

Коэффициенты этого уравнения и - непрерывные функции на отрезке [a,b], этого достаточно, чтобы выполнились все условия существования и единственности решения задачи Коши

или

 

Таким образом функция непрерывна и удовлетворяет в каждой точке условию Липшица поy, значит, существует единственное решение уравнения (3.1), удовлетворяющее начальным условиям:

  (3.2)

Если , уравнение (3.1) называется однородным. Чаще уравнение (3.1) записывается в виде .

Левая часть уравнения называется линейным дифференциальным оператором (ЛДО)

  (3.3)

Свойства линейного дифференциального оператора

1. ПостояннуюCможно выносить за знак линейного дифференциального оператора:

Докажем это

 

2. Линейный дифференциальный оператор, применённый к сумме двух функций равен сумме результатов применения линейного дифференциального оператора к каждой из этих функций в отдельности:

 

Докажем это

 

3. Результат применения линейного дифференциального оператора к линейной комбинации функций с постоянными коэффициентами равен линейной комбинации с теми же коэффициентами результатов применения линейного дифференциального оператора к каждой из функций

 

Доказательство основывается на 1 и 2 свойствах.

 

Линейные однородные дифференциальные уравнения. Свойства решений линейных однородных дифференциальных уравнений

Пусть дано линейное однородное дифференциальное уравнение (ЛОДУ)

  (3.4)

Используя свойства ЛДО, легко доказываются следующие теоремы, устанавливающие свойства решений ЛОДУ.

Теорема 1. Если есть решение ЛОДУ (3.4) на отрезке [a,b], то также решение этого уравнения.

Доказательство.

Пусть - решение уравнения (3.4), то есть но тогда - решение ЛОДУ (3.4).

Теорема 2. Сумма двух решений и ЛОДУ (3.4) есть решение этого уравнения.

Доказательство.

- решение уравнения (4) , - решение (3.4) , тогда -решение уравнения (3.4).

Теорема 3. Линейная комбинация частных решений ЛОДУ (4) с произвольными коэффициентами являются также решением этого уравнения.

Доказательство.

На основании теоремы 1 и теоремы 2.

Теорема 4.Если ЛОДУ (3.4) имеет комплекснозначное решение , то его действительная и мнимая части, каждая в отдельности, также является решениями этого уравнения.

Доказательство.

Пусть функция - решение ЛОДУ (3.4), то есть но тогда по теоремам 1 и 2 Комплексная величина обращается в нуль тогда и только тогда, когда обращаются в нуль её действительная и мнимая части, то есть

- решение(3.4),

- решение(3.4).

 

Линейная зависимость функций. Определитель Вронского и его применения

Система функций называется линейно зависимой на отрезке [a,b], если найдутся коэффициенты не все равные нулю, такие что . … Система функций называется линейно независимой, если равенство (3.5)… Пример 1.Пусть дана система функций

Доказательство.

Пусть система функций - линейно зависима, то есть

Продифференцируем последнее равенство(n-1) раз. Тогда получим систему линейных алгебраических уравнений относительно

 

Известно, что эта система имеет не нулевое решение (по условию теоремы). Но эта система однородная, следовательно, имеет также нулевое решение. Отличие определителя системы от нуля является условием единственности решения. Поэтому ненулевое решение системы возможно только в том случае, когда определитель равен нулю.

Определитель системы состоит из коэффициентов при неизвестных и равен нулю, то есть

 

А это и есть определитель Вронского для функций и он равен нулю, что и требовалось доказать.

Фундаментальная система решений линейного однородного дифференциального уравнения

Рассмотрим линейное однородное уравнение n-го порядка

  (3.6)

здесь -непрерывная на отрезке[a,b] функция.

Теорема. Если линейно независимые частные решения ЛОДУ (3.6) с непрерывными на отрезке [a,b] коэффициентами, то их определитель Вронского не может обращаться в нуль ни в одной точке этого отрезка.

Доказательство.

Составим систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных , определителем которой являлся бы определитель Вронского для функций… Если то система имеет множество решений, то есть кроме нулевого решения ( … Выберем эти в качестве коэффициентов линейной комбинации

Доказательство.

Выберем произвольных чисел, так чтобы составленный из них определитель не был равен нулю, то есть . Сформулируем для уравнения (3.8) n задач Коши с начальными условиями:   . (3.9)

Теорема о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение n- порядка

  (3.10)

с непрерывными на [a,b] коэффициентами , .

Теорема. Общим решением ЛОДУ (3.10) с непрерывными на [a,b]коэффициентами является линейная комбинация с произвольными постоянными коэффициентами частных решений ЛОДУ, образующих фундаментальную систему решений этого ЛОДУ.

Доказательство.

Необходимо доказать, что функция (3.11) является общим решением ЛОДУ (1). В соответствии с определением общего решения функция y(x) является общим решением ЛОДУ (3.10), если:

Следствие из теоремы.

Число независимых частных решений ЛОДУ, образующих ФСР, равно порядку этого уравнения.

Свойства решений линейного неоднородного дифференциального уравнения

  (3.14)

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение (ЛНДУ) n-го порядка, здесь коэффициенты ( ), непрерывные на отрезке функции.

Дифференциальное уравнение вида

  (3.15)

является однородным уравнением, соответствующим неоднородному уравнению (3.15).

На основании свойств линейного дифференциального оператора доказываются свойства решений ЛНДУ.

1. Сумма функций , где - решение ЛНДУ (3.15) и - решение соответствующего ему ЛОДУ (3.15), есть решение ЛНДУ (3.14).

Доказательство.

 

таким образом -решение ЛНДУ (1).

2.Если являются решениями соответствующих ЛНДУ вида , тогда линейная комбинация с произвольными постоянными коэффициентами , то есть будет являться решением ЛНДУ вида Свойство носит название - принцип суперпозиции решений.

Доказательство.

функция -решение ЛНДУ вида

3.Если комплекснозначная функция является решением

ЛНДУ вида то действительная часть - решение ЛНДУ а мнимая часть - решение ЛНДУ

Доказательство аналогичное доказательству первого свойства, при этом надо помнить, что комплексное выражение равно нулю в том случае, когда равны нулю его действительная и мнимая части.

Теорема о структуре общего решения ЛНДУ. Общее решение ЛНДУ (3.14) с непрерывными на отрезке коэффициентами и непрерывной правой частью равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения (3.15) и какого-нибудь частного решения неоднородного уравнения (3.14).

Доказательство.

Пусть - некоторое частное решение ЛНДУ (3.14), а система функций - ФСР соответствующего ЛОДУ (3.16). Необходимо доказать, что - общее решение ЛНДУ (3.15).

Доказательство основывается на использовании свойств решений ЛНДУ и определении общего решения (аналогично теореме об общем решении ЛОДУ).

Доказанная теорема позволяет построить общее решение ЛНДУ по общему решению соответствующего ЛОДУ и какому-нибудь частному решению ЛНДУ. В случае, если частного решения мы указать не можем, но общее решение соответствующего ЛОДУ известно, можно проинтегрировать ЛНДУ методом вариации постоянных

 

Интегрирование линейного неоднородного дифференциального уравнения методом вариации постоянных

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнения (ЛНДУ)

(3.16)

здесь ( ), непрерывные на отрезке функции. Пусть известно общее решение ЛОДУ

 

Метод вариации постоянных состоит в том, что решение находится в виде общего решения соответствующего ЛОДУ, но считаются зависящими от х

  (3.17)

Для того, чтобы найти неизвестные функции необходимо найти и эти функции подставить в уравнение (3.16).

Найдем :

 

 

здесь приравнивать к нулю вторую сумму нельзя, так как nначальных условий уже исчерпано.

Подставим в уравнение (3.16), получим

 

– Конец работы –

Используемые теги: Дифференциальные, уравнения, Первого, порядка0.071

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным для Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Еще рефераты, курсовые, дипломные работы на эту тему:

Расчет дифференциального уравнения первого, второго и третьего порядка методом Эйлера
Величина hxk-xk-1 называется шагом интегрирования. Метод Эйлера относиться к численным методам, дающим решение в виде таблицы… В методе Эйлера приближенные значения ухiyi вычисляются последовательно по формулам уihfxi, yi i0,1,2. При этом…

Дифференциальные уравнения первого порядка
Введение... Глава Дифференциальные уравнения первого порядка...

Реализация примера решений дифференциального уравнения второго порядка методом Рунга-Кутта при использовании компилятора C+

Уравнения, в которых неизвестная функция входит под знак производной или диффе-ренциала, называется дифференциальным уравнением. Например
семестр часть Дифференциальные уравнения... В каждой лекции все формулы определения и теоремы нумеруются так же как и в... Лекция Общие понятия Начальная задача задача Коши и теорема существования и единственности решения задачи Коши...

Решение систем дифференциальных уравнений методом Рунге-Куты 4 порядка
Листов 28 Таблиц 2 Графиков 4 Решить систему дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутты 4 порядка, расчитать записимость концентрации веществ в… Переходные процессы в радиотехнике, кинетика химических реакций, динамика… Единственные решения выделяют с помощью дополнительных условий, которым должны удовлетворять искомые решения.

Дифференциальные уравнения I и II порядка
Для того, чтобы последняя была успешной и современной, необходимо знать закон распространения информации о новом товаре среди ее потенциальных… Предположим, что информация о товаре распространяется среди покупателей… Таким образом, получаем уравнение или . Данное уравнение содержит величину x и ее производную , т.е. является…

Раздел 2. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные уравнения. Ряды
Тема Интегралы... Лекция Первообразная и неопредел нный интеграл...

31. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений методом Эйлера-Коши.
На сайте allrefs.net читайте: 31. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений методом Эйлера-Коши....

Численное решение задачи Коши (ЗК) для системы обыкновенных дифференциальных уравнений (Delphi)
Если , то сетка называется равномерной. Многошаговые методы. В многошаговых методах обычно используют равномерную… Для МТРК эта формула верна, если метод имеет порядок точности Сетка может быть равномерной или не равномерной.

Применение дифференциальных уравнений для решения задач естествознания
Многочисленные задачи естествознания, техники и механики, биологии, медицины и других отраслей научных знаний сводятся к математическому… Так, например, переходные процессы в радиотехнике, кинетика химических… Вс это и явилось главной причиной выбора темы работы. Материалом для данной работы послужила теория дифференциальных…

0.035
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • По категориям
  • По работам