Линейные уравнения первого порядка и приводящие к ним

Дифференциальное уравнение называется линейным, если оно линейно (то есть первой степени) относительно искомой функции и ее производной . Общий вид линейного уравнения первого порядка

(1.21)

Если правая часть уравнения (1.21) равна 0, то уравнение (1.21) называется линейным однородным.

Не следует смешивать линейное однородное уравнение с уравнением, однородным относительно и .

Термин «однородное» появляется применительно к линейному уравнению потому, что выражение является однородной функцией первого измерения относительно и , в противном случае оно называется неоднородным.

Предположим, что уравнение (1.21) неоднородное, то есть ≠0. Приведем два способа интегрирования этого уравнения: способ подстановки и способ вариации произвольного постоянного. Случай однородного линейного уравнения не требует специального рассмотрения, поскольку при уравнение (1.21) одновременно является уравнением с разделяющимися переменными.

 

Способ подстановки.Произведем в уравнении (1.21) замену переменной, положив . Тем самым вместо в качестве искомой функции введем новую переменную, например, . Вторую переменную можно рассматривать как вспомогательную и выбирать ее по своему усмотрению. Вычислим и подставим выражение и (через и ) в уравнение (1.21), так как то уравнение (1.21) примет вид

(1.22)

Пользуясь тем, что вспомогательная переменная может быть выбрана произвольно, подберем ее так, чтобы выражение, содержащееся в квадратных скобках, обратилось в нуль, то есть потребуем, чтобы

(1.23)

Это уравнение с разделяющимися переменными. Поделив обе его части на и умножив на , получим откуда интегрированием найдем или

.

(1.24)

Подставив выражение для (1.24) в уравнение (1.22), получим для уравнение с разделяющимися переменными

.

(1.25)

Умножая обе части его на , имеем

.

(1.26)

Формулы (1.26) и (1.24) дают выражения и через , так как нам нужно найти зависимость от , а , то окончательно общее решение уравнения (1.21) запишется в виде

.

(1.27)

В решении (1.24) можно заранее положить и взять частное решение уравнения (1.23) вместо общего, как обычно и поступают на практике.

Этот способ подстановки позволяет свести задачу интегрирования одного линейного уравнения (1.21) к отысканию решений двух уравнений с разделяющимися переменными (1.23) и (1.25).

Пример.Найти общее решение линейного уравнения

Решение.

Положим , тогда и уравнение преобразуется к виду .

Потребуем, чтобы

Разделяя переменные, получим откуда

Можно ограничиться частным решением Подставив выражение в преобразованное уравнение будем иметь или откуда если и если

Так как то общее решение получается в виде если и если

 

Способ вариации произвольного постоянного.Вместо того чтобы искать решение неоднородного уравнения (1.21), где , решим сначала соответствующее ему однородное уравнение

(1.28)

которое является уравнением с разделяющимися переменными. Его общее решение

(1.29)

Найденная функция , в выражении которой – произвольное постоянное, не может быть решением неоднородного уравнения. Действительно, при подстановке вместе со своей производной в уравнение (1.21) она обратит левую часть уравнения тождественно в нуль, в то время как правая часть не равна нулю. Однако если рассматривать не как произвольное постоянное, а как некоторую функцию от , то есть , то оказывается, что можно подобрать функцию так, чтобы функция (1.29) стала решением неоднородного уравнения (1.21).

Для нахождения функции вычислим производную функции , подставим выражение и в уравнение (1.21). Так как то уравнение (1.21) переходит в уравнение

(1.30)

Получили уравнение с разделяющимися переменными и неизвестной функцией Его общее решение

Подставляя найденное выражение в равенство (1.29), получим искомое решение неоднородного уравнения (1.21) в виде:

Название способа происходит от того, что мы варьируем (изменяем) произвольное постоянное , считая его функцией от . Этот способ, как и предыдущий, свел уравнение (1.21) к двум уравнениям с разделяющимися переменными (1.28) и (1.30).

Пример.Решить уравнение

Решение.

Сначала найдем решение уравнения Разделением этого уравнения получим и

Будем варьировать полагая При этом и

Выражения для и подставим в исходное уравнение, получим или после упрощений откуда

Подставляем выражение в решение однородного уравнения, придем к общему решению исходного уравнения

 

Уравнение Бернулли.Общий вид уравнения Бернулли

(1.31)

где . При уравнение Бернулли переходит в линейное неоднородное уравнение; при оно является уравнением с разделяющимися переменными, так как может быть преобразовано к виду

 

и, следовательно, может быть проинтегрировано разделением переменных.

Предположим, что . Уравнение Бернулли можно соответствующей подстановкой привести к линейному виду. Для этого разделим обе части этого уравнения на

 

Положим . Тогда , и уравнение Бернулли принимает вид

Это линейное уравнение первого порядка с неизвестной функцией . Его можно проинтегрировать способом подстановки или способом вариации произвольного постоянного и найти как функцию от . Возвращаясь к первоначальной функции путем обратной замены на , получим общий интеграл уравнения Бернулли. Кроме того, решением любого дифференциального уравнения Бернулли при >0 является функция .

Замечание. Из сказанного выше следует, что любой из этих способов может быть применен к уравнению Бернулли непосредственно, минуя промежуточный этап и сведение последнего к линейному виду.

Пример.Решить уравнение

Решение.

Разделив обе части уравнения на получим

Положим тогда и уравнение принимает вид

Это линейное уравнение проинтегрируем методом вариации. Общее решение однородного уравнения есть

Полагая вычислим

и, подставив в линейное неоднородное уравнение, получаем

или

откуда и, следовательно, общее решение неоднородного уравнения

Заменив через , получим или