рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

  • Раздел Математика
  •  / 
  • Уравнения первого порядка n-степени, не разрешенные относительно производной

Реферат Курсовая Конспект

Уравнения первого порядка n-степени, не разрешенные относительно производной

Уравнения первого порядка n-степени, не разрешенные относительно производной - раздел Математика, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Уравнения Первого Порядка N-Степени. Левая Часть Уравнения Представляе...

Уравнения первого порядка n-степени. Левая часть уравнения представляет собой целую рациональную функцию относительно . При этом, вообще говоря, получается n различных выражений для

 

В этом случае интегрирование уравнения (1.41) свелось к интегрированию n уравнений первой степени. Пусть их общие интегралы будут соответственно:

  (1.42)

Перемножим левые части интегралов (1.42) и приравняем произведение нулю:

  (1.43)

Если разрешим уравнение (1.43) относительно y, то мы получим общее решение уравнения (1.41).

Пример.Решить уравнение

(1.44)

В этом случае целесообразно применить метод введения параметра. Он заключается в том, что рассматриваемые переменные выражаются через параметр и решение ищется в параметрической форме.

Положим в виде ; отсюда . К интегралу применим формулу интегрирования по частям, получим

 

Следовательно,

  (1.46)

Система уравнений (1.45) и (1.46) является общим решением уравнения (5) в параметрической форме. Исключая, если это возможно, параметр из этих уравнений, получим общий интеграл в форме .

Пример. Решить уравнение .

Решение.

. Или, т.к.

(1.47)

Поступаем аналогично предыдущему. Положим . Тогда уравнение запишется в виде

  (1.48)

Равенство тогда .

Равенство перепишем Так как , то следовательно . Общее решение запишем в виде

 

 

Уравнение, не содержащееили, но не обязательно разрешенное относительноили Уравнение имеет вид

или  

причем мы предполагаем, что из уравнения удается выразить (в первом) или (во втором), а также . Сравнивая оба выражения для , получим

и .

Решение.

Положим . Тогда уравнение запишется в виде

  (1.51)

Дифференцируя по , получим

через , умножения на и алгебраических преобразований,
   

Это линейное уравнение относительно функции и производной . Его общий интеграл имеет вид

  (1.53)

Вместе с уравнением (1.51) он дает общий интеграл уравнения Лагранжа в параметрической форме. Исключая p из равенств (1.51) и (1.53), получим общий интеграл уравнения Лагранжа .

Заметим, что произведенное нами преобразование уравнения (1.52) возможно, если . Если уравнение имеет корни , то они дадут также решения .

Пример. Решить уравнение

Решение.

Положим

После несложных преобразований получим

 

откуда

Проведя потенцирование, находим

 

Следовательно, общее решение в параметрической форме имеет вид

 

 

Исключим параметр и найдем общее решение:

 

Уравнение Клеро.Уравнением Клеро называется частный случай уравнения Лагранжа, когда . Общий вид уравнения Клеро . Положим , тогда . Продифференцировав по , получим, то есть , откуда или . Из уравнения получаем, что . Подставляя вместо в , получим общее решение уравнения Клеро , представляющее собой геометрически семейство прямых.

Решение уравнения Клеро в параметрической форме имеет вид: .

В самом деле, из этих уравнений находим, что

откуда . Подстановка в уравнение Клеро приводит к тождеству . Исключая из двух уравнений системы параметр , получим интеграл уравнения Клеро.

Развернуть
Открыть в широком формате

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им А Н ТУПОЛЕВА... Л Е Нестерова И В Матвеев Учебное пособие Казань...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Уравнения первого порядка n-степени, не разрешенные относительно производной

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Л.Е. Нестерова, И.В. Матвеев
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Учебное пособие   Казань 2010   УДК [517.9+517.2/3]   Аннотация  

Дифференциальные уравнения, однородные относительно х,уи приводящиеся к ним
Функция f(x,y) называется однородной функцией нулевого измерения, если при умножении аргументов xи yна произвольный параметр значение функции не изменяется. Одн

Линейные уравнения первого порядка и приводящие к ним
Дифференциальное уравнение называется линейным, если оно линейно (то есть первой степени) относительно искомой функции и ее производной . Общий вид линейного уравнения первого порядка

Уравнения в полных дифференциалах
Если левая часть уравнения   (1.32) представляет собой полный дифференциал некоторой функции , то есть, если то у

Теорема о существовании единственного решения задачи Коши
Функция удовлетворяет условию Липшица на ,если   Лемма 1. Если функция удовлетворяет условию Липшшица на , то она будет непрерывной на этом отрезке.

Линейная зависимость функций. Определитель Вронского и его применения
Пусть функции определены на некотором отрезке[a,b]. Система функций называется линейно зависимой на отрезке [a,b], если найдутся коэффициенты не все равные нулю, такие что

Доказательство.
Доказательство от противного. Предположим, нашлась точка Составим систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных , определителем которой являлся бы определитель Вронско

Доказательство.
Пусть дано ЛОДУ с непрерывными на отрезке [a,b] коэффициентами   (3.8) Выберем произвольных чисел, так чтобы состав

Доказательство.
Пусть { } - есть ФСР ЛОДУ (3.10). Необходимо доказать, что функция   (3.11) является общим решением ЛОДУ (1).

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги