Теория вероятностей

Теория вероятностей

Введение

Теория вероятностей (ТВ) возникла в XVII веке в связи с попыткой поставить на научную основу теорию азартных игр. Но по-настоящему ТВ как наука сформировалась в XIX веке.

 

Основные понятия

Условимся называть испытанием (опытом) осуществление на практике какого-либо комплекса условий. Результат испытания (опыта) будем называть исходом испытания (событием).

Различают достоверные, невозможные, случайные события.

· Достоверное – событие, которое в результате осуществляемого комплекса условий обязательно произойдет;

· Невозможное – обязательно не произойдет;

· Случайное - событие, которое в результате осуществляемого комплекса условий может произойти, а может и нет.

Случайное событие зависит от бесконечного множества условий, которые заранее нельзя предусмотреть.

 

Пусть рассматривается n случайных событий :

A₁, A₂, … , A_n .

Случайные события (СС) называются несовместными, если в результате каждого испытания никакие из них не могут произойти вместе.

СС называются равновероятными (равновозможными), если из условий симметрии опыта следует, что ни одно из этих событий не является более возможным, чем другие.

Пример:

Рассмотрим подбрасывание игральной кости. Игральная кость не шулерская.

A₁, A₂ , A₃, A₄, A₅, A₆ – события, означающие появление 1, … , 6 очков на выпавшей грани.

События не совместны и равновероятны.

 

СС A₁, A₂, … , A_n образуют полную группу событий, если в результате каждого испытания появится одно из них, и только одно.

Это означает, что A₁, A₂, … , A_n не совместны и событие, состоящее в том, что произойдет или A₁ или A₂ или A_n будет достоверным.

Условимся называть СС, которые не могут быть разложены на более простые, элементарными событиями (исходами).

Пример:

A₁, A₂, … , A₆

B₁ – четное число очков, В₁ может быть либо А₂, либо А₄, либо А₆ ,

B₂ – нечетное, A₂ может быть либо A₁ либо A₃ либо A₅ . В этом случае случайные события А₁, А₂, А₃, А₄, А₅, А₆ – элементарные исходы.

Введем понятие вероятности события.

Классическое определение вероятности события.

Рассмотрим испытания, в результате которых может произойти событие А. Среди возможных исходов испытания выделяем полную группу элементарных исходов. Предположим, что все элементарные исходы равновозможны, и что их – конечное число. Те элементарные исходы, которые приводят к появлению события А, будем называть исходами, благоприятствующими появлению события А.

Вероятностью события А называется отношение числа m элементарных исходов, благоприятствующих событию А, к общему числу n равновозможных элементарных исходов, образующих полную группу событий.

(1)

Пусть u – достоверное событие, тогда m=n , значит

Пусть v – невозможное событие, тогда m=0, значит .

Пусть А – случайное событие, тогда 0 < m < n, значит 0 < < 1.

В общем случае – 0 1.

 

Если число возможных испытаний бесконечно (полная группа возможных исходов состоит из бесконечного числа элементов), то воспользоваться классическим определением вероятности нельзя. Предполагается, что все исходы равновозможны.

 

Тогда применим понятие геометрической вероятности.

Пусть каждому исходу сопоставляется некоторая точка области w_n, а благоприятствующим исходам – точки, лежащие в некоторой области w_m w_n .

 

Тогда вероятность попадания точки в облость w_m определяется как отношение мер этих областей

 

.

 

Статистическое определение вероятности.

В случае, когда элементарные исходы, образующие полную группу событий, не равновозможны, нельзя воспользоваться ни классическим, ни геометрическим определением вероятности. В этом случае используется статистическое определение вероятности.

Пусть произведено n испытаний, в результате которых событие А произошло m раз, тогда число m называется частотой события А в данной серии испытаний, а величина p^*(A) – относительной частотой (частостью) в данной серии испытаний. При малом n частость сильно отличается для каждой серии испытаний.

При увеличении числа n разброс частости не исчезает, но уменьшается. Это указывает на то, что при увеличении n относительная частота p^*(A) обладает свойством устойчивости – в смысле уменьшения разброса.

Определение: вероятностью события А называется число, вокруг которого колеблется относительная частота события p^*(A) при повторении длинных серий испытаний.

Замечание: благодаря близости и устойчивости частости к вероятности, величина p^*(A) может служить приближенным значением вероятности p(A)

 

p^*(A) p(A) (при больших n)

 

 

Необходимые сведения из комбинаторики

Соединениями называются различные группы, составленные из каких-либо объектов. Элементами называются объекты, из которых состоят соединения. Различают 3 вида соединений:

Алгебра событий

А + В = (А В) Суммой любого числа событий называется событие, состоящее в осуществлении хотя… Следствие: если события A1, A2, … , An несовместны, то сумма A1+ A2+ … +An есть событие, состоящее в появлении одного…

Основные теоремы теории вероятности

Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме их вероятностей. (Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично… Доказательство: Воспользуемся классическим определением вероятности.

Формула полной вероятности

Пусть некоторое событие А может произойти при условии, что произойдет одно из несовместных событий Н1, Н2,…, Нn, образующих полную группу событий. … Найти вероятность того, что событие А произойдет. Так как события Н1, Н2,…, Нn – несовместны, то несовместны и события АН1, АН2,…, АНn .

Формула Байеса

 

Предположим, что событие А произошло. Найдем вероятность того, что оно произошло с событием Н_к.

?

P(AH_k) = p(A)

 

- формула Байеса.

 

 

Схема испытаний Бернулли

 

При практическом применении ТВ часто приходится иметь дело с серией повторяющихся испытаний, для которых:

1) число испытаний n конечно;

2) в ходе каждого испытания возможно только 2 исхода: событие А произошло или не произошло;

3) все испытания независимы друг от друга, т.е вероятность появления события А в каждом испытании не зависит от того, какие исходы были в предыдущих испытаниях и какие будут в последующем;

4) вероятность появления p(A) = p – const.

Во многих задачах требуется найти вероятность появления события А ровно m раз в серии из n испытаний. Эта вероятность определяется по формуле:

, где q = 1 – p - формула Бернулли

Т.к событие А может появиться ровно m раз в разных последовательностях или комбинациях, чередуясь с противоположным событием , то таких возможностей будет .

В том случае, когда число испытаний n велико n 9, воспользоваться формулой Бернулли затруднительно. Например,

пусть p = 1/4, q = 3/4, n = 50, m = 20.

. Поэтому были получены приближенные (асимптотические) формулы. Впервые такая формула была получена Муавром для p = q = 1/2 , а затем обобщена для любого 0 < p < 1 Лапласом.

 

Теорема: (локальная теорема Муавра-Лапласа)

Если вероятность появления события А в каждом повторном испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то , где , .

Функция четная = и для значений функции приведена таблица значений. Для принято .

Без доказательства.

 

Теорема:(интегральная теорема Лапласа)

, где .

Формула содержит интеграл, который не вычисляется в элементарных функциях, упростим эту формулу. Введем в рассмотрение функцию Лапласа .

 

Замечание:

Иногда рассматривается функция Лапласа в виде: . Поэтому при пользовании таблицей значений необходимо обращать внимание на формулу задания.

Эта функция нечетная = ; для значения x 5 (больше 5) рассматривается, что , а для 0 < x < 5 приведена таблица значений.

Тогда

-

- = .

 

 

Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях

Известна постоянная вероятность р. Пусть произведено n испытаний и событие проявилось ровно m раз.

- относительная частота события d в данной серии независимых испытаний.

Найдем:

 

 

 

 

Случайные величины

Например, стрелок стреляет по мишени. Качественная характеристика: произошли события А0 – 0 очков, А1 – 1 очко, …, А10 – 10 очков. Но можно результат испытания задать с помощью X: x0, x1, …, x10. X: 0, 1, … ,10.

Функция распределения

НСВ с помощью ряда распределения задать невозможно, поэтому введем в рассмотрение универсальный способ задания СВ. Определение: функцией распределения СВ X называется вероятность того, что… . Иногда функцию распределения вероятностей принято называть интегральной функцией распределения.

Свойства дифференциальной функции распределения

1. Дифференциальная функция распределения неотрицательна: f(x) 0, (т.к F(x) является неубывающей функцией, а производная всякой… 2. p( < X < ) = - вероятность того, что случайная величина X примет значение больше , но меньше . …

Числовые характеристики случайной величины

1) Введение 2) Математическое ожидание 3) Дисперсия

Примеры законов распределения

 

Дискретные законы распределения

. Если n зафиксировать, то закон распределения можно записать в виде таблицы   X … n p qn … …

Непрерывные случайные величины

НСВ, которая принимает значения только на отрезке [a; b] с постоянной плотностью распределения, называется распределением по равномерному закону. … С =  

Двумерные СВ

Примеры: Для упрощения в дальнейшем рассмотрим только двумерные СВ 1) (X;Y) – отклонение разрыва снаряда от цели по дальности и по фронту.

Зависимые и независимые СВ

СВ X, Y называются независимыми, если функция распределения вероятностей двумерной СВ (X;Y) может быть представлена в виде произведения F(x;y) = F₁(x) F₂(y) (3), где F₁(x) - функция распределения вероятностей компоненты X, а F₂(y) - компоненты Y.

 

Теорема 1:

X и Y независимые СВ тогда и только тогда, когда выполняется условие (4).

(4)

 

Теорема 2:

Для того, чтобы X и Y были независимыми СВ, при условии, что существуют f₁(x), f₂(y), f(x;y), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие:

f(x;y) = f₁(x) f₂(y) (5)

 

Числовые характеристики двумерной СВ

Для двумерной СВ (как и для одномерной) можно ввести числовые характеристики. (X;Y) Мы можем взять сначала числовые характеристики компонент этой СВ: М(Х),… Можно найти D(X) и D(Y).

Построение доверительного интервала для математического ожидания нормально распределенной СВ при известном σ.

Ранее было показано, что имеет нормальное распределение с параметрами М( )= , D( )= . Составим стандартизованную СВ:  

Элементы корреляционного и регрессионного анализа

  В математическом анализе зависимость между переменными Х и У задается… Между СВ может существовать связь особого рода, при которой каждому значению одной величины ставится в соответствие…