Основные теоремы теории вероятности

Теорема 1:

Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме их вероятностей. (Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий)

Доказательство:

Воспользуемся классическим определением вероятности.

Пусть рассматривается n равновозможных исходов, при которых событие А может произойти n₁ раз, В – n₂ раз. В силу несовместности событий А и В появление хотя бы одного из них будет происходить в n₁ + n₂ исходах. Тогда вероятность p(A+B) = .

x

Следствие:

Рассмотрим событие А и , тогда А + = u,

p(А + ) = p(u) = 1,

p(А + ) = p(A) + p( ) = 1 p( ) = 1 – р(А).

 

Для рассмотрения последующих теорем необходимо ввести понятие независимости событий.

Определение: случайные события А и В называются независимыми, если вероятность появления каждого из них не зависит от того, произошло другое событие или нет.

 

Определение: событие В называется зависящим от А, если вероятность события В зависит от того, произошло событие А или нет.

Условной вероятностью события В при условии А называется вероятность появления события В при условии, что событие А произошло.

 

Пример:

10 шаров из которых: 7 белых и 3 черных

А: первый вынутый шар - белый

В: второй вынутый шар – белый

Возможны 2 условия опыта:

а) после регистрации цвета вынутый шар в урну возвращается; в этом случае события А и В независимы, так как p(А) = p(В) = 7/10 = 0,7.

б) после регистрации цвета шар в урну не возвращается, тогда вероятность события В зависит от того, произошло событие А или нет: = 6/9 = 2/3, а

= 7/9.

 

Теорема 2:

Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие произошло.

P(AB) = p(A) p_A(B)

Доказательство:

Для случая классического определения вероятности. Пусть n – общее число равновозможных исходов, образующих полную группу событий.

n ₁ – число исходов, благоприятствующих появлению события А ( p(A) = = );

m – число исходов, в которых наступает событие В в предположении, что событие А произошло.

Тогда p_A(B) = ; значит произведение событий А и В будет происходить в m благоприятствующих исходах.

Следовательно: p(AB) = .

Следствие:

Если событие А и В независимы, то .

 

Пример:

10 шаров: 7 белых, 3 черных. После регистрации цвета вынутый шар в урну не возвращается. Найдем вероятность того, что оба вынутых шара будут белые:

= = 7/10 6/9 = 7/15

 

Определение:события A₁, A₂, … , A_n называются независимыми в совокупности, если вероятность появления любого из них не зависит от того, произошли или не произошли какие-либо другие события из этой совокупности.

 

Теорема 3: (о вероятности появления хотя бы одного из n независимых в совокупности событий)

Пусть события A₁, A₂, … , A_n – независимые в совокупности, p(A_i) = p_i,

i = .

Событие – также независимые в совокупности, тогда

P(A₁+ A₂+ … + A_n) = 1 – p = 1 – p = 1 – p( )p( ) … p( ) = 1 – q₁ q₂ … q_n (q_i = 1 – p_i).

 

Теорема 4: (о вероятности суммы совместных событий)

P(A+B) = p(A) + p(B) – p(AB).

Доказательство:

Событие А может произойти либо с В, либо с .

p(A) = p(AB + А ) = p(AB) + p (А ) => p (А ) = p(A) - p(AB);

p(B) = p(BA + B ) = p(AB) + p( B) => p( B) = p(B) - p(AB);

Тогда p(A + B) = p( B + А + AB) = p( B) + p (А ) + p(AB) = p(B) - p(AB) + p(A) - p(AB) + p(AB) = p(A) + p(B) - p(AB)

x

 

Пример:

Два стрелка независимо друг от друга стреляют по цели. Вероятность поражения цели 1-ым стрелком p(A) = p₁ = 0,8; 2-ым стрелком p(В) = p₂ = 0,6. Найти вероятность того, что после произведенных выстрелов цель поражена.

I способ : p(A + B) = p( B + А + AB) = p(AB) + p( B) + p (А )= p(A) p(B) + +p( )p(B) + p(A)p( ) = 0,8 0,6 + 0,2 0,6 + 0,8 0,4 = 0,92;

II способ : p(A + B) = p(A) + p(B) - p(AB) = 0,8 + 0,6 – 0,8 0,6 = 1,4 – 0,48 = =0,92;

III способ: p(A + B) = 1 - p( )p( ) = 1 – 0,2 0,4 = 1 – 0,08 = 0,92.