При выполнении контрольных работ по математике и её приложениям студент должен придерживаться следующих правил.

При выполнении контрольных работ по математике и её приложениям студент должен придерживаться следующих правил. Каждая контрольная работа должна быть выполнена в отдельной тетради в клетку. В заголовке работы на обложке тетради должны быть написаны фамилия студента, номер (шифр) его зачетной книжки, номер контрольной работы, название дисциплины, номер группы, дата выполнения работы.

Вариант задания выбирается в соответствии с двумя последними цифрами шифра A и B. Каждая задача зависит от двух числовых параметров m и n, которые определяются по цифрам A и B из таблиц:

A
m

 

B
n

Например, студент с шифром 12-34 (A=3, B=4) решает задачи со значениями m=8, n=9.

На собеседовании по каждой контрольной работе проверяется самостоятельность выполнения студентом контрольной работы и его готовность к сдаче зачета или экзамена.

Контрольная работа №3

 

3. Функции нескольких переменных. Интегралы.

3.3. Найти производные функции .

3.5. Вычислить неопределенные интегралы:

3.5.а	3.5.б
3.5.в	3.5.г
3.5.д	3.5.е
3.5.ж	3.5.з .

3.6. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

3.6.а

3.6.б , x = mn.

 

Контрольная работа №4

4. Дифференциальные уравнения и ряды.

4.1. Найти общее решение дифференциального уравнения:

4.1.а	4.1.б
4.1.в	4.1.г

4.2. Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения:

4.2.а.

4.2.б.

3. Функции нескольких переменных.

Интегралы.

Частной производной функции по переменной в точке называется предел

.

Аналогично определяются частные производные по и по . При дифференцировании по одной переменной все остальные считаются постоянными.

Например, если , то

, , .

Задача 3.1. Найти частные производные функции .

Решение. Имеем:

Аналогично,

Задача 3.3. Найти производные функции .

Решение.Имеем:

,

.

По определению вторых частных производных, имеем:

Неопределенные интегралы.

Определение 1. Функция называется первообразной для функции , если . У функции имеется бесконечное множество первообразных, при этом все они… Определение 2. Множество всех первообразных для функции называется неопределенным интегралом от и обозначается…

Основные свойства неопределенного интеграла.

2. . 3. .  

Определенные интегралы. Площади плоских фигур.

. Возьмем, опять же произвольным образом, внутри каждого из отрезков по точке .…  

Геометрический смысл определенного интеграла.

Связь между определенным и неопределенным интегралом заключена в формуле Ньютона-Лейбница: , или, в другой записи, , где - произвольная… Справедливы следующие две формулы – замена переменной интегрирования и…

Замена переменной.

Интегрирование по частям.. Задача 3.6.а. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , . Решение. Заметим, что первое уравнение является уравнением параболы, ветви которой направлены вправо. Второе уравнение…

Дифференциальные уравнения и ряды

. Решением дифференциального уравнения называется функция , подстановка которой… .

Дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью.

Рассмотрим уравнение

где и константы, а функция в правой части уравнения имеет один из следующих трех видов

, , ,

- произвольный многочлен степени . Решение такого уравнения может быть получено следующим образом. Квадратное уравнение

назовем характеристическим уравнением для нашего уравнения. Пусть , – корни этого квадратного уравнения. Общее решение однородного уравнения

имеет вид

,

если , - два различных вещественных числа; имеет вид

если и, наконец, решение имеет вид

если , - комплексно-сопряженные корни характеристического уравнения.

Общее решение неоднородного уравнения может быть получено как сумма общего решения однородного уравнения и произвольного частного решения неоднородного уравнения . Это частное решение можно найти методом неопределенных коэффициентов по следующему правилу.

Сопоставим функции в правой части исходного уравнения число . Если не является корнем характеристического уравнения, то частное решение ищем в том же виде, в каком записана правая часть, то есть

если , и в виде

если или . Здесь , многочлены степени , коэффициенты которых можно определить, подставив в исходное уравнение и приравняв коэффициенты при одинаковых функциях. Если является корнем характеристического уравнения (эта ситуация называется резонансом), то степень многочленов , увеличивается на 1.

 

Задача 4.2.а. Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения.

Решение. Сначала найдем общее решение однородного уравнения. Выпишем характеристическое уравнение

Û

Следовательно, общее решение линейного однородного уравнения имеет вид

.

Поскольку корни характеристического уравнения не совпадают с соответствующим показателем правой части , частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде

.

Получаем:

,

.

Подставляя ,,в исходное уравнение, получаем:

Сокращая на и приводя подобные, получим

,

,

откуда

Û

Общее решение неоднородного уравнения имеет, следовательно, вид

.

Теперь найдем решение задачи Коши. Имеем:

,

Поскольку , второе уравнение имеет вид . Решаем систему линейных уравнений на неизвестные и :

Умножая первое уравнение системы на 2 и вычитая из него второе уравнение, получим:

Û .

Далее,

.

Ответ: .

Задача 4.2.б.Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения.

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид:

,

откуда

,

где - мнимая единица. Следовательно, , , и общее решение однородного уравнения есть

.

Правая часть исходного неоднородного уравнения имеет то же собственное число, что и характеристическое уравнение, следовательно, мы имеем дело с резонансом. Поэтому частное решение неоднородного уравнения следует искать в виде

.

Подставляя в исходное уравнение, с учетом того, что

,

получим:

откуда

и, следовательно,

, .

Таким образом, частным решением неоднородного уравнения является функция

.

Общее решение неоднородного уравнения может быть записано в виде

.

Найдем константы и , при которых выполнены краевые условия

, .

Так как

,

получаем систему линейных уравнений на и :

откуда .