Дифференциальные уравнения и ряды

Дифференциальным уравнением первого порядка называется любое уравнение вида

.

Решением дифференциального уравнения называется функция , подстановка которой в обращает уравнение в тождество:

.

Если уравнение можно разрешить относительно производной , то говорят, что уравнение записано в нормальной форме:

.

Задача Коши для уравнения заключается в нахождении решения , удовлетворяющего условию . Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши утверждает, что, если функция и её частная производная непрерывны по совокупности аргументов, то найдется такой интервал , на котором имеется, и притом единственное, решение уравнения , для которого .

Общее решение дифференциального уравнения 1-го порядка есть соотношение вида такое, что

1) для любого решения уравнения найдется константа , для которой ;

2) для любой константы неявное уравнение определяет некоторое решение дифференциального уравнения .

Имеется несколько стандартных уравнений первого порядка, в которых нахождение общего решения сводится к взятию подходящих интегралов.

Уравнения с разделяющимися переменными. Эти уравнения имеют вид

.

Решение уравнения сводится к преобразованию

Û

Задача 4.1.а)Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение. Запишем как и перегруппируем правую и левую части уравнения, так чтобы слева от знака равенства остались члены, зависящие только от , а справа –только от .

Вычисляя интеграл от левой части, получим:

.

Для правой части получаем

.

Окончательно,

.

Однородные уравнения. Уравнения имеют вид

.

Однородное уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью замены

,,

откуда следует, что

Û .

Задача 4.1.б)Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение. Правая часть уравнения является функцией от , поскольку . Будем искать решение в виде . Тогда , и исходное уравнение можно записать в следующем виде

Û .

Разделяем переменные

Û ,

откуда

Для первого слагаемого получаем:

.

Для второго,

.

Следовательно,

.

С учетом табличного интеграла

,

получаем

.

Остается вернуться к переменной .

Ответ:.

Линейные уравнения.Линейные уравнения имеют вид

,

где и произвольные функции. Для решения линейных уравнений будем использовать метод Бернулли. Он заключается в том, что решение ищется в виде произведения двух функций , одну из которых мы выберем специальным образом. С учетом соотношения

,

получим

.

В качестве возьмем произвольное решение уравнения с разделяющимися переменными

.

Тогда , и функция есть решение уравнения

.

Задача 4.1.вНайти общее решение дифференциального уравнения

Решение. Положим , тогда и мы получаем

.

Выберем в качестве функции произвольное частное решение уравнения . Тогда уравнение эквивалентно системе двух уравнений

Первое уравнение представляет собой уравнение с разделяющимися переменными:

Û Û ,

откуда

.

Поскольку нас интересует частное решение этого уравнения, положим . Тогда

Û .

Второе уравнение системы теперь можно записать в виде

Û ,

откуда

Ответ:

Уравнения Бернулли.

Уравнения Бернулли либо сводятся к линейным с помощью замены , либо интегрируются с помощью подстановки Бернулли .

Задача 4.1.гНайти общее решение дифференциального уравнения

Решение. Воспользуемся подстановкой Бернулли

, ,

откуда

Приравнивая нулю сумму второго и третьего слагаемых, получим систему

Находим частное решение первого уравнения

Û

,

Следовательно,

.

Полагая , получим

.

Для второго уравнения системы теперь получаем

,

откуда

Û .

Для интеграла слева получаем

.

Для интеграла справа получаем

.

Следовательно,

Û .

Вовзращаясь к , получим