Тема 3.2. Вероятности сложных событий

Задание 11. Вычисление вероятностей сложных событий с помощью формулы полной вероятности и формулы Байеса – 2 ч.

Цель: формирование умения вычислять вероятности сложных событий с использованием формулы полной вероятности и формулы Байеса.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

&11.1.Выучите формулу полной вероятности и формулу Байеса. Разберите, в каких ситуациях применяют данные формулы.

?11.2. Театрал может приобрести билет на спектакль в одной из трех касс. Вероятность обращения в первую кассу составляет 0,4, вторую и третью – по 0,3. Вероятность того, что к приходу театрала билеты будут распроданы, равна 0,5 для первой, 0,3 для второй и 0,2 для первой кассы. Какова вероятность театралу купить билет на спектакль?

?11.3. Легковых автомобилей у заправочной станции проезжает вчетверо больше, чем грузовых. Вероятность того, что проезжающая машина подъедет на заправку, составляет для грузовой машины 0,05, для легковой – 0,15. Какова вероятность того, что приближающаяся машина заедет на заправку?

?11.4. Из пункта А в пункт В можно добраться тремя маршрутами. Водитель, незнакомый с трассой, выбирает дорогу наугад. Состояние дорог разное. Если водитель поедет по первому маршруту, то вероятность попасть в пункт В за сутки равна 0,6, по второму – 0,5, по третьему – 0,3. Водитель приехал в пункт В в течение суток. Какова вероятность того, что он ехал по первому маршруту? Второму? Третьему?

?11.5. Маша испекла на День Учителя 10 пирожков, из них 8 с яблоками. Алёна испекла 12 пирожков, из них 8 с яблоками, а Света - 28 пирожков, из них 14 с яблоками. Девочки выложили все пирожки на большое блюдо. Наталье Владимировне было предоставлено почётное право первой выбрать себе пирожок. Ей достался пирожок с яблоками. Какова вероятность того, что этот пирожок испекла Света?

¶11.6. В корзине лежат пять белых и четыре черных шара. Вынимают три шара. Какова вероятность того, что третий вытащенный шар будет белым?

¶11.7. У рыбака есть три излюбленных места рыбалки, которые он посещает с одинаковой вероятностью. Вероятность клева на первом месте равна 1/3, на втором – 0,5, на третьем – 0,25. Известно, что рыбак забрасывал удочку 3 раза, а вытащил только одну рыбку. Какова вероятность того, что он ходил на первое излюбленное место?

Методические указания по выполнению работы:

При решении вероятностных задач на формулу полной вероятности и формулу Байеса:

1. Выделите испытание.

2. Выпишите случайное событие А, вероятность которого необходимо найти по условию задачи.

3. Определите, при осуществлении каких гипотез Н₁, Н₂, …, Н_n может наступить событие А. Найдите вероятность осуществления каждой из гипотез: Р(Н₁), Р(Н₂)… Р(Н_п).

4. Найдите условные вероятности события А при выполнении гипотез Н₁, Н₂, …, Н_n: P(A/H₁), P(A/H₂)… P(A/H_п).

5. Если необходимо найти вероятность события А, то примените формулу полной вероятности. Если событие А произошло, и нужно найти вероятность того, что была выполнена какая-либо из гипотез, используйте формулу Байеса.

При решении задач необходимо знание следующих формул:

Пусть А – событие, которое может наступить только при появлении одной из гипотез Н₁, Н₂, …, Н_n, где n гипотез образуют полную систему событий. Тогда вероятность события А вычисляется по формуле полной вероятности:

Р(А)=Р(Н₁)Р(А/Н₁)+ Р(Н₂)Р(А/Н₂)+…+ Р(Н_n)Р(А/Н_n),

где Р(Нi) – вероятность гипотезы Н_i, P(A/Hi) – условная вероятность события А при выполнении гипотезы H_i (i = 1, 2, …, n).

Вероятностный граф в этом случае имеет вид:

Вероятность каждой гипотезы находится по

формуле Байеса:

.

 

Пример 11.1. На заводе, изготовляющем болты, первая машина производит 25%, вторая – 35%, третья – 40% всех изделий. В их продукции брак составляет соответственно 5, 4 и 2%.

а) Какова вероятность того, что случайно выбранный болт дефектный?

б) Случайно выбранный из продукции болт оказался дефектным. Какова вероятность того, что он был произведен первой, второй, третьей машиной?

Решение. 1. Испытание – выбор одного болта среди болтов, производимых тремя машинами.

2. Пусть событие А - выбрать дефектный болт.

3. Мы не знаем точно, какая машина произвела дефектный болт. Выдвигаем три гипотезы:

Н₁ - болт изготовлен первой машиной, Р(Н₁)=0,25 (т.к. первая машина производит 25% продукции);

Н₂ - болт изготовлен второй машиной, Р(Н₂)=0,35;

Н₃ - болт изготовлен третьей машиной, Р(Н₃)=0,4.

4. В задаче необходимо найти вероятность того, что случайно выбранный болт дефектный. Запишем вероятности брака для каждой машины.

Р(А/Н₁)=0,05 (вероятность того, что выбрали дефектный болт при условии, что он сделан на первой машине);

Р(А/Н₂)=0,04 (вероятность того, что выбрали дефектный болт при условии, что он сделан на второй машине);

Р(А/Н₃)=0,02 (вероятность того, что выбрали дефектный болт при условии, что он сделан на третьей машине).

Проиллюстрируем решение задачи на графе:

5 а) Вероятность события А находится по формуле полной вероятности: Р(А)=Р(Н₁)Р(А/Н₁)+ Р(Н₂)Р(А/Н₂)+ Р(Н₃)Р(А/Н₃).

Р(А) = 0,25ּ0,05 + 0,35ּ0,04 + 0,4ּ0,02 = 0,0345.

б) Событие А уже произошло, т.е. дефектный болт уже извлечен. Нужно найти вероятность осуществления трех возможных гипотез: что он был произведен первой (Н₁/А), второй (Н₂/А), третьей (Н₃/А) машиной. В этом случае применяем формулу Байеса: .

 

Список литературы:

1. Спирина М.С. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для студ. учредж. СПО / М.С. Спирина, П.А. Спирин. - М: Изд. центр «Академия», 2012. – 352 с. – Глава 1, §1.8-1.9, с. 55-62.

2. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам. / Д. Т. Письменный. - М.: Айрис пресс, 2010. – 288 с. - Глава 1, §1.17 -1.18, с. 44-46.