рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Тема 6.1. Закон больших чисел

Тема 6.1. Закон больших чисел - раздел Математика, По дисциплине Теория вероятностей Задание 24. Неравенство Чебышева, Статистическое Определение Вероятно...

Задание 24. Неравенство Чебышева, статистическое определение вероятности – 1 ч.

Цель: формирование глубоких и прочных знаний центральной предельной теоремы, неравенства Чебышева, закона больших чисел в форме Чебышева и Бернулли, усвоения понятия «статистическая вероятность».

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

&24.1.Изучите, используя список литературы, теоретический материал по теме «Закон больших чисел».

Основные сведения из теории:

24.2. Ответьте на следующие контрольные вопросы:

· Что включает в себя закон больших чисел?

· Какова формулировка неравенства Чебышева?

· К каким видам распределения случайных величин применимо неравенство Чебышева?

· На какой теореме основан применяемый в статистике выборочный метод? Приведите формулировку этой теоремы.

· Что называют частотой события А?

· Дайте определение статистической вероятности события А. Проанализируйте, когда применяется классическое, когда геометрическое, а когда статистическое определение вероятности события.

· Какая теорема является теоретической основой статистического определения вероятности? Приведите ее формулировку.

· Сформулируйте центральную предельную теорему. Какой опыт служит ее наглядной иллюстрацией?

Примеры и упражнения:

?24.3. Известны значения М(Х) и D(Х). Оцените с помощью неравенства Чебышёва Р(α<x<β), если:

а) М(Х) = 12, D(Х) = 5, α = 8, β = 16;

б) М(Х) = 4, D(Х) = 1, α = 3, β = 5.

?24.4. Волжская ГЭС обслуживает сеть из 20 000 объектов, вероятность включения каждого из которых в вечернее время зимой составляет 0,85.Найдите вероятность, с которой число объектов, включённых в сеть зимним вечером, будет отличаться от математического ожидания менее чем на 600. (Указание: используйте биномиальное распределение и неравенство Чебышёва).

?24.5. Осветительная сеть зала включает десять параллельно подключённых ламп. Вероятность того, что в течение суток лампа будет включена, составляет 0,75. Оцените вероятность того, что модуль разности между числом включённых ламп и средним числом включённых ламп за сутки окажется не больше двух. (Указание: используйте биномиальное распределение и неравенство Чебышёва).

824.6. Задайте событие, вероятность которого можно вычислить только опираясь на понятие статистической вероятности. Проведите соответствующий эксперимент с максимально для Вас возможным числом опытов. Найдите вероятность заданного Вами события (например, вероятность попадания Вами мячом в баскетбольную корзину с расстояния 5 м).

Методические указания по выполнению работы:

Закон больших чисел – это обобщенное название нескольких теорем, из которых следует, что при неограниченном увеличении числа испытаний средние величины стремятся к некоторым постоянным.

По неравенству Чебышёва устанавливается вероятность отклонения Х от ее математического ожидания на величину ε:

Неравенство Чебышева задает вероятность попадания значений случайной величины в интервал (М(Х)–ε; М(Х)+ε) независимо от закона распределения случайной величины:

 

М(Х)–ε М(Х) М(Х)+ε х

Пример 24.1. При заданных технологических условиях масса заготовки является случайной величиной с математическим ожиданием 50 кг. Среднее квадратичное отклонение не превышает 0,2 кг. Оцените вероятность того, что масса наудачу взятой детали будет лежать в границах от 49,5 до 50,5 кг.

Решение. Введем случайную величину Х – масса наудачу взятой детали.

Известно, что М(Х) = 50 кг, σ = 0,2 кг, отклонение ε значений 49,5 и 50,5 от среднего 50 составляет 0,5 кг.

Воспользуемся формулой , где D(Х) = σ2 = 0,04.

Получаем, что .

Итак, вероятность того, что масса наудачу взятой детали будет лежать в границах от 49,5 до 50,5 кг, больше или равна 0,84.

Ответ: .

Пример 30.2. Вероятность выхода с автомата стандартной детали равна 0,96. С помощью неравенства Чебышева оцените вероятность того, что среди 2000 изделий брак будет составлять 60 – 100 деталей.

Решение. Введем случайную величину Х– число нестандартных деталей в партии из 2000 штук. Для того чтобы воспользоваться неравенством Чебышёва, нужно знать M[X] и D[X]. Нетрудно увидеть, что в задаче рассматривается серия повторных независимых испытаний (проверка на годность каждой из 2000 деталей), следовательно, имеем дело с биномиальным распределением, n=2000.

Вероятность успеха в одном испытании (вероятность того, что одна наудачу взятая деталь будет нестандартной) p= 1 – 0,96 = 0,04, соответственно q = 0,96.

Тогда M[X] = np = 2000·0,04 = 80 и D[X] = npq = 2000·0,04·0,96 = 76,8. Нужно оценить, что число нестандартных деталей (60-100) отличается от среднего (80) на ε = 20. Воспользуемся неравенством Чебышева: .

Подставив в него M[X] = 80, D[X] = 76,8, ε = 20, получим

 

Следовательно, вероятность того, что из 2000 изделий брак будет составлять 60 – 100 деталей, больше или равна 0,808.

Ответ:

Пусть А – случайное событие, связанное с некоторым опытом. Например, испытание – выстрел стрелком по мишени, событие А – поразить цель. Найти вероятность данного события по классической формуле невозможно. Тогда проведём опыт п раз в одних и тех же условиях, и пусть при этом событие А появится т раз.

Отношение числа т опытов, в которых событие А произошло, к общему числу п проведенных опытов, называется частотой события А.

Постоянная величина р, к которой все более приближается частота т/п события А при достаточно большом числе повторений опыта, называется статистической вероятностью события А.

Список литературы:

1. Спирина М.С. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для студ. учредж. СПО / М.С. Спирина, П.А. Спирин. - М: Изд. центр «Академия», 2012. – 352 с. – Глава 2, §2.10, с. 148-160.

2. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам. / Д. Т. Письменный. - М.: Айрис пресс, 2010. – 288 с. - Глава 5, §5.1-5.4, с. 162-172.

 

 

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

По дисциплине Теория вероятностей

среднего профессионального образования Ярославской области... Ярославский градостроительный колледж...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Тема 6.1. Закон больших чисел

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Согласно требованиям Федерального государственного образовательного стандарта среднего профессионального образования каждый студент обязан выполнить по каждой учебной дисциплине определенный объем

Как самостоятельно изучить теоретический материал
Прежде чем приступать к решению задач, необходимо внимательно изучить теоретический материал учебника или конспект лекции. Советуем Вам соблюдать следующие правила: Правил

Как выполнить домашнюю контрольную работу
1. Ознакомьтесь с темой работы. 2. Прочитайте цель выполнения работы. 3. Внимательно изучите задание (обратите внимание на номер своего варианта). Все ли понятия, о которых идет р

Как создать презентацию
Помните, что презентация – это последовательность слайдов с текстовой информацией и визуальными материалами (рисунками, фотографиями, диаграммами, видеороликами).

Как составить кроссворд
Помните, что кроссворд, который Вы составите, должен соответствовать выбранной тематике. Решать его будут такие же как Вы студенты. Поэтому постарайтесь проявить максимум фантазии и творчества при

Как подготовить доклад
Помните, что доклад – публичное сообщение на определенную тему. Доклад имеет следующую структуру: · план; · основную часть; · выво

Тема 3.1. Случайные события. Понятие вероятности события
Задание 7. Виды событий. Алгебра событий – 1 ч. Цель: усвоение понятий случайного события, видов событий, операций, выполнимых над событиями.

Тема 3.1. Случайные события. Понятие вероятности события
Задание 8. Вычисление вероятностей событий по классической формуле определения вероятности – 1,5 ч. Цель: формирование умения применять классическое о

Тема 3.1. Случайные события. Понятие вероятности события
Задание 9. Вычисление вероятностей событий методом графов – 1,5 ч. Цель: формирование умения применять метод графов для вычисления вероятностей событи

Тема 3.2. Вероятности сложных событий
Задание 10. Теоремы сложения и умножения вероятностей – 3 ч. Цель: формирование умения представлять сложные события через элементарные с помощью опера

Тема 3.2. Вероятности сложных событий
Задание 11. Вычисление вероятностей сложных событий с помощью формулы полной вероятности и формулы Байеса – 2 ч. Цель: формирование умения вычислять в

Тема 4.2. Числовые характеристики ДСВ
Задание 15. Нахождение числовых характеристик ДСВ – 2 ч. Цель: формирование умения находить функции от ДСВ, вычислять числовые характеристики ДСВ, зад

Тема 4.3. Законы распределения ДСВ
Задание 16. Запись распределения и вычисление характеристик для биномиальной ДСВ – 1 ч. Цель: формирование умения составлять закон распределения и выч

Тема 4.3. Законы распределения ДСВ
Задание 17. Запись распределения и вычисление характеристик для геометрически распределённой ДСВ – 1 ч. Цель: формирование умения составлять закон рас

Тема 4.3. Законы распределения ДСВ
Задание 18. Запись распределения и вычисление характеристик для ДСВ – 1 ч. Цель: формирование умения составлять закон распределения и вычислять числов

Тема 5.2. Числовые характеристики НСВ
Задание 21. Нахождение числовых характеристик НСВ – 2 ч. Цель: формирование умения находить числовые характеристики НСВ. Задание для

Тема 5.3. Законы распределения НСВ
Задание 22. Нахождение числовых характеристик для равномерно и показательно распределенной НСВ – 1,5 ч. Цель: формирование умения находить числовые ха

Тема 5.3. Законы распределения НСВ
Задание 23. Нахождение числовых характеристик для нормально распределенной НСВ – 1,5 ч. Цель: формирование умения находить числовые характеристики для

Тема 7.1. Основы математической статистики
Задание 25. Сбор и обработка статистических данных – 2 ч. Цель: формирование умения проводить статистические исследования: осуществлять сбор, системат

Найдите соответствующие данные в сети Интернет
Проанализируйте данные о числе шайб, забитых в каждой игре чемпионата России по хоккею, прошедшему в 201__ году. Сколько в среднем шайб было забито в каждой игре? Выберите любой вид

Тема 7.1. Основы математической статистики
Задание 26. Интервальное оценивание М(Х) и вероятности события – 2 ч. Цель: формирование умения рассчитывать доверительные интервалы с заданной

Нахождение интервальной оценки математического ожидания нормального распределения при известной дисперсии (известном среднеквадратическом отклонении)
Пусть – выборочное среднее, рассчитанное по данным, полученным в ходе эксперимента, тогда искомое значение математического ожидания а с доверительной вероятностью α будет принадлежать п

Нахождение интервальной оценки вероятности события
Рассмотрим формулу для нахождения вероятности события Р(А), если число испытаний п гораздо больше 100. Пусть р = – частота события, рассчитанная по данным, полученным в ходе э

ИТОГОВОЕ ПОВТОРЕНИЕ
Цель: обобщение и систематизация знаний, полученных при изучении дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика», расширение кругозора студентов в области приложен

ВНЕАУДИТОРНОЙ РАБОТЫ
Вид и наименование работы Вид контроля Критерии оценок «отлично» «хорошо» «удовлетворительн

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги