Реферат Курсовая Конспект
Тема 6.1. Закон больших чисел - раздел Математика, По дисциплине Теория вероятностей Задание 24. Неравенство Чебышева, Статистическое Определение Вероятно...
|
Задание 24. Неравенство Чебышева, статистическое определение вероятности – 1 ч.
Цель: формирование глубоких и прочных знаний центральной предельной теоремы, неравенства Чебышева, закона больших чисел в форме Чебышева и Бернулли, усвоения понятия «статистическая вероятность».
Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:
&24.1.Изучите, используя список литературы, теоретический материал по теме «Закон больших чисел».
Основные сведения из теории:
24.2. Ответьте на следующие контрольные вопросы:
· Что включает в себя закон больших чисел?
· Какова формулировка неравенства Чебышева?
· К каким видам распределения случайных величин применимо неравенство Чебышева?
· На какой теореме основан применяемый в статистике выборочный метод? Приведите формулировку этой теоремы.
· Что называют частотой события А?
· Дайте определение статистической вероятности события А. Проанализируйте, когда применяется классическое, когда геометрическое, а когда статистическое определение вероятности события.
· Какая теорема является теоретической основой статистического определения вероятности? Приведите ее формулировку.
· Сформулируйте центральную предельную теорему. Какой опыт служит ее наглядной иллюстрацией?
Примеры и упражнения:
?24.3. Известны значения М(Х) и D(Х). Оцените с помощью неравенства Чебышёва Р(α<x<β), если:
а) М(Х) = 12, D(Х) = 5, α = 8, β = 16;
б) М(Х) = 4, D(Х) = 1, α = 3, β = 5.
?24.4. Волжская ГЭС обслуживает сеть из 20 000 объектов, вероятность включения каждого из которых в вечернее время зимой составляет 0,85.Найдите вероятность, с которой число объектов, включённых в сеть зимним вечером, будет отличаться от математического ожидания менее чем на 600. (Указание: используйте биномиальное распределение и неравенство Чебышёва).
?24.5. Осветительная сеть зала включает десять параллельно подключённых ламп. Вероятность того, что в течение суток лампа будет включена, составляет 0,75. Оцените вероятность того, что модуль разности между числом включённых ламп и средним числом включённых ламп за сутки окажется не больше двух. (Указание: используйте биномиальное распределение и неравенство Чебышёва).
824.6. Задайте событие, вероятность которого можно вычислить только опираясь на понятие статистической вероятности. Проведите соответствующий эксперимент с максимально для Вас возможным числом опытов. Найдите вероятность заданного Вами события (например, вероятность попадания Вами мячом в баскетбольную корзину с расстояния 5 м).
Методические указания по выполнению работы:
Закон больших чисел – это обобщенное название нескольких теорем, из которых следует, что при неограниченном увеличении числа испытаний средние величины стремятся к некоторым постоянным.
По неравенству Чебышёва устанавливается вероятность отклонения Х от ее математического ожидания на величину ε:
Неравенство Чебышева задает вероятность попадания значений случайной величины в интервал (М(Х)–ε; М(Х)+ε) независимо от закона распределения случайной величины:
М(Х)–ε М(Х) М(Х)+ε х
Пример 24.1. При заданных технологических условиях масса заготовки является случайной величиной с математическим ожиданием 50 кг. Среднее квадратичное отклонение не превышает 0,2 кг. Оцените вероятность того, что масса наудачу взятой детали будет лежать в границах от 49,5 до 50,5 кг.
Решение. Введем случайную величину Х – масса наудачу взятой детали.
Известно, что М(Х) = 50 кг, σ = 0,2 кг, отклонение ε значений 49,5 и 50,5 от среднего 50 составляет 0,5 кг.
Воспользуемся формулой , где D(Х) = σ2 = 0,04.
Получаем, что .
Итак, вероятность того, что масса наудачу взятой детали будет лежать в границах от 49,5 до 50,5 кг, больше или равна 0,84.
Ответ: .
Пример 30.2. Вероятность выхода с автомата стандартной детали равна 0,96. С помощью неравенства Чебышева оцените вероятность того, что среди 2000 изделий брак будет составлять 60 – 100 деталей.
Решение. Введем случайную величину Х– число нестандартных деталей в партии из 2000 штук. Для того чтобы воспользоваться неравенством Чебышёва, нужно знать M[X] и D[X]. Нетрудно увидеть, что в задаче рассматривается серия повторных независимых испытаний (проверка на годность каждой из 2000 деталей), следовательно, имеем дело с биномиальным распределением, n=2000.
Вероятность успеха в одном испытании (вероятность того, что одна наудачу взятая деталь будет нестандартной) p= 1 – 0,96 = 0,04, соответственно q = 0,96.
Тогда M[X] = np = 2000·0,04 = 80 и D[X] = npq = 2000·0,04·0,96 = 76,8. Нужно оценить, что число нестандартных деталей (60-100) отличается от среднего (80) на ε = 20. Воспользуемся неравенством Чебышева: .
Подставив в него M[X] = 80, D[X] = 76,8, ε = 20, получим
Следовательно, вероятность того, что из 2000 изделий брак будет составлять 60 – 100 деталей, больше или равна 0,808.
Ответ:
Пусть А – случайное событие, связанное с некоторым опытом. Например, испытание – выстрел стрелком по мишени, событие А – поразить цель. Найти вероятность данного события по классической формуле невозможно. Тогда проведём опыт п раз в одних и тех же условиях, и пусть при этом событие А появится т раз.
Отношение числа т опытов, в которых событие А произошло, к общему числу п проведенных опытов, называется частотой события А.
Постоянная величина р, к которой все более приближается частота т/п события А при достаточно большом числе повторений опыта, называется статистической вероятностью события А.
Список литературы:
1. Спирина М.С. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для студ. учредж. СПО / М.С. Спирина, П.А. Спирин. - М: Изд. центр «Академия», 2012. – 352 с. – Глава 2, §2.10, с. 148-160.
2. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам. / Д. Т. Письменный. - М.: Айрис пресс, 2010. – 288 с. - Глава 5, §5.1-5.4, с. 162-172.
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
среднего профессионального образования Ярославской области... Ярославский градостроительный колледж...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Тема 6.1. Закон больших чисел
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов