ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ РАБОТЫ по курсу «Математические методы в гидрометеорологии»

ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ РАБОТЫ

по курсу «Математические методы в гидрометеорологии»

I семестр: лекции - 20 ч., практика - 8 ч., КСР – 6 ч.

II семестр: лекции - 16 ч., практика - 6 ч., КСР – 4 ч.

Вид отчетности: зачет.

 

Преподаватель: Цеховая Татьяна Вячеславовна, к. ф. - м. н., доцент

Содержание

Индивидуальная работа № 1

Задание 1Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности по критерию Пирсона (критерию c2).

Задание 2Основныевыборочные характеристики.

Задание 3Измерение взаимной зависимости.

Задание 4Расчет коэффициентов линейного уравнения регрессии.

Задание 5Оценка адекватности регрессионной модели.

Индивидуальная работа № 2

Задание 1Построение автокорреляционной функции

Задание 2Анализ временной изменчивости ряда температуры воды.

Приложение 1. ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ К ИНДИВИДУАЛЬНЫМ РАБОТАМ.

Приложение 2. ОСНОВНЫЕ СТАТИСТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ.

Приложение 3. Образец оформления работы в EXcel.

Приложение 4. Установка средств анализа данных пакета MS Excel.

Рекомендуемая литература


Индивидуальные работы

К выполнению индивидуальных работ следует приступить после тщательного изучения рекомендованных глав литературы. Для выполнения заданий полезны… В результате изучения курса необходимо выполнить две индивидуальные работы.… Ответы на вопросы индивидуальных работ должны быть сформулированы достаточно подробно, чтобы был ясен смысл…

Индивидуальная работа № 1

Задание 1

Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности

Построить графики трех исходных рядов температуры воды (рисунок 1). Визуальный анализ графиков позволяет качественно оценить изменчивость рядов,… Рисунок – 1 Временная изменчивость температуры поверхности океана

Задание 2

Основные выборочные характеристики

1. Выборочное среднее (среднее арифметическое), характеризующее центр тяжести числового ряда , где n – длина ряда, k – число групп, mi – абсолютные частоты, – i-ая варианта дискретного вариационного ряда.

Таблица 1.

Основные статистические параметры температуры поверхности океана

в октябре, ноябре, декабре (1957-1993 гг.) в точке 9 (55о с.ш. 30о з.д.)

  октябрь ноябрь декабрь Вывод
Среднее арифметическое 10,56 9,27 8,60  
Выборочная дисперсия 0,27 0,28 0,38  
Выборочная исправленная дисперсия 0,28 0,29 0,39  
Стандартное отклонение 0,52 0,53 0,61  
Коэффициент вариации 0,05 0,06 0,07 Для трех рядов характерна высокая степень концентрации относительно среднего
Коэффициент асимметрии 0,31 -0,30 -0,48 Для трех рядов характерна умеренная асимметрия; для первого ряда распределение скошено вправо; для второго и третьего – распределение скошено влево.
Коэффициент эксцесса 0,09 0,70 -0,24 Эмпирические кривые распределений приближены к нормальному; для первого и второго ряда распределение имеет острый пик; для третьего – распределение имеет плосковершинную форму.
Мода (моды) 10,4 9,10 8,90  
медиана 10,50 9,30 8,60  

Провести анализ полученных результатов: сравнить основные статистические параметры для трех месяцев, указать физический смысл полученных значений коэффициента вариации, асимметрии, эксцесса, моды.

10. С использованием средств анализа данных пакета MS Excel (см. Приложение 4), найти основные характеристики трех исследуемых несгруппированных температурных рядов.

Задание 3

Измерение взаимной зависимости

2. Оценить взаимосвязь рядов X и Y температуры воды путем расчета коэффициента корреляции между ними , где Sх = , Sу =, , , . Сделать вывод.

Таблица 2.

Модель линейной регрессии связи температуры воды в декабре и ноябре (1957-1983 гг.)

в точке 9 (55о с.ш. 30о з.д.), ее параметры и оценка их значимости

Выборочные характеристики
Sх 0,53 Sу 0,61 Sху 0,23
Уравнение модели: y*(x) = 0,8 x + 1,2
Параметры линейной регрессии Оценка значимости Вывод
rxy 0,69 sr 0,122 tрасч 5,66 tкр(35; 0,05) 2,03 средняя прямая зависимость; значимый
q 0,47 a 0,514 g 0,95 zg 1,96 длина ДИ равна 0,36
0,83 b 1,186
se2 0,197         > 20%
a 0,8 sa 0,14 Тa 5,66 tкр(35; 0,05) 2,03 значимый
b 1,2 sb 1,31 Tb 0,92 tкр(35; 0,05) 2,03 незначимый
0,18       F*   32,47   Fтабл(1; 35; 0,05)   4,12   адекватна
0,20    
h2y(x) 0,48 h2y(x) – r2xy 0,0037   0,1 несущественное
se 0,44 Sу 0,61 0,67Sу 0,41     se > 0,67Sу
Модель среднего качества и требует дополнительного уточнения. Несмотря на адекватность и значимость основного коэффициента регрессии, дисперсии, описываемой моделью, недостаточно. Незначим свободный член уравнения регрессии и стандартная ошибка модели (0,44 оС) превышает допустимую (0,41 оС). Поскольку коэффициент детерминации < 0.7, то точность аппроксимации недостаточна и модель требует улучшения.
                           

Задание 4

Расчет коэффициентов линейного уравнения регрессии

1. Найти оценки параметров a, b линейной регрессионной модели; 2. Построить график связи статистических рядов Х и Y (рисунок 2). На графике… 3. Вычислить дисперсию отклонения по формуле: .

Задание 5

Оценка адекватности регрессионной модели

1. Вычислить n значений температуры воды по уравнению регрессии y*(x) = ax + b. 2. Построить график вычисленных y* и фактических y значений температуры воды… 3. Рассчитать дисперсию модели y*, характеризующую изменчивость линии регрессии относительно среднего значения ,

Индивидуальная РАБОТА № 2

Задание 1

Построение автокорреляционной функции

Построить и проанализировать автокорреляционную функцию третьего временного ряда температуры воды (обозначим через yt, ). Для этого:

1. Вычислить автокорреляционную функцию rs для каждого из сдвигов s по формуле

,

где T – длина реализации, s – сдвиг, который меняется от 1 до максимума, например, smax = 13.

В силу четности автокорреляционной функции временной ряд можно сдвигать в любую сторону (вперед или назад).

2. Построить график автокорреляционной функции.

3. Проанализировать полученные результаты. Указать на тип случайного процесса, характеризующий графики автокорреляционных функций («белый шум», «цветной шум», цикличность т.д.).

Задание 2

Анализ временной изменчивости ряда температуры воды

1. Применить метод серий, основанный на медиане; метод восходящих и нисходящих серий для проверки наличия тренда. 2. Провести сглаживание ряда динамики методом скользящей средней с интервалом… 3. С помощью метода наименьших квадратов рассчитать линейное уравнение модели тренда

Таблица 3.

Модель линейной регрессии связи температуры воды в декабре в период с1957 по 1993 гг.

в точке 9 (55о с.ш. 30о з.д.), ее параметры и оценка их значимости

 

Выборочные характеристики
Уравнение модели: y*(t) = –0,02 t + 10,95
Параметры линейной регрессии Оценка значимости Вывод
a -0,02            
b 10,95            
rty -0,42 sr 0,15 tрасч -2,72 tкр(35; 0,05) 2,03 значимый
0,048 0,225   h2y(t) 0,175 < 0,7
se2 0,23         > 20%
se 0,47 Sу 0,52 0,67Sу 0,35     se > 0,67Sу
Модель среднего качества и требует дополнительного уточнения. Несмотря на значимость коэффициента корреляции, дисперсия ошибки велика. Коэффициент детерминации не подтверждает адекватности выбранной модели тренда.

 


Приложение 1

 

ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ К ИНДИВИДУАЛЬНЫМ РАБОТАМ

 

В качестве исходных данных используются ряды среднемесячной температуре поверхности в разных точках акватории Атлантического океана с 1957 по 1993 гг.

В каждый вариант исходных данных включены 3 временных ряда. Для выполнения индивидуальных работ нужно исследовать или все три ряда, или один из них, что указано в каждом конкретном задании.

Таблица 1.

Варианты выбора исходных данных

 

Варианты Точки Месяцы
1, 2, 3
4, 5, 6
7, 8, 9
10, 11, 12
1, 2, 3
4, 5, 6
7, 8, 9
10, 11, 12
1, 2, 3
4, 5, 6
7, 8, 9
10, 11, 12
1, 2, 3
4, 5, 6
7, 8, 9
10, 11, 12
1, 2, 3
4, 5, 6

 


Таблица 2.

 

Температура поверхности океана (оС) в точке 3 (60о с.ш. 30о з.д.)

 


Температура поверхности океана (оС) в точке 4 (60о с.ш. 20о з.д.)


Температура поверхности океана (оС) в точке 7 (55о с.ш. 50о з.д.)


Температура поверхности океана (оС) в точке 8 (55о с.ш. 40о з.д.)


Температура поверхности океана (оС) в точке 9 (55о с.ш. 30о з.д.)


Приложение 2

ОСНОВНЫЕ СТАТИСТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ

Таблица 1.

Значения функции Лапласа Ф0(z) =

z
0,0 0,000
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0 0,341
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0 0,477
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2.6
2.7
2,8
2,9

 

3,0 0,49865 3,1 0,49903 3,2 0,49931 3,3 0,49952
3,4 0.49966 3,5 0,49977 3,6 0,49984 3,7 0,49989
3,8 0,49993 3,9 0.49995 4,0 0,499968 5,0 0,4999999

Таблица 2.

 

Критические значения t-критерия Стьюдента

tкр = tкр(k, a) k Уровень значимости a (двусторонняя критическая область) 0,1 0,05 0,02 0,01 …  

Таблица 3.

Критические значения χ2 – распределения

С k степенями свободы

При разных уровнях значимости a = 1 – g

 

  a
k 0,01 0,02 0,025 0,05 0,95 0,98 0,99
6,635 5,412 5,024 3,841 0,004 0,001 0,000
9,210 7,824 7,378 5,991 0,103 0,040 0,020
11,345 9,837 9,348 7,815 0,352 0,185 0,115
13,277 11,668 11,143 9,488 0,711 0,429 0,297
15,086 13,388 12,833 11,070 1,145 0,752 0,554
16,812 15,033 14,449 12,592 1,635 1,134 0,872
18,475 16,622 16,013 14,067 2,167 1,564 1,239
20,090 18,168 17,535 15,507 2,733 2,032 1,646
21,666 19,679 19,023 16,919 3,325 2,532 2,088
23,209 21,161 20,483 18,307 3,940 3,059 2,558
24,725 22,618 21,920 19,675 4,575 3,609 3,053
26,217 24,054 23,337 21,026 5,226 4,178 3,571
27,688 25,472 24,736 22,362 5,892 4,765 4,107
29,141 26,873 26,119 23,685 6,571 5,368 4,660
30,578 28,259 27,488 24,996 7,261 5,985 5,229
32,000 29,633 28,845 26,296 7,962 6,614 5,812
33,409 30,995 30,191 27,587 8,672 7,255 6,408
34,805 32,346 31,526 28,869 9,390 7,906 7,015
36,191 33,687 32,852 30,144 10,117 8,567 7,633
37,566 35,020 34,170 31,410 10,851 9,237 8,260
38,932 36,343 35,479 32,671 11,591 9,915 8,897
40,289 37,659 36,781 33,924 12,338 10,600 9,542
41,638 38,968 38,076 35,172 13,091 11,293 10,196
42,980 40,270 39,364 36,415 13,848 11,992 10,856
44,314 41,566 40,646 37,652 14,611 12,697 11,524
45,642 42,856 41,923 38,885 15,379 13,409 12,198
46,963 44,140 43,195 40,113 16,151 14,125 12,879
48,278 45,419 44,461 41,337 16,928 14,847 13,565
49,588 46,693 45,722 42,557 17,708 15,574 14,256
50,892 47,962 46,979 43,773 18,493 16,306 14,953
52,191 49,226 48,232 44,985 19,281 17,042 15,655
53,486 50,487 49,480 46,194 20,072 17,783 16,362
54,776 51,743 50,725 47,400 20,867 18,527 17,074



Таблица 4.

Критические значения F-критерия Фишера с k1 и k2 степенями

Свободы для уровня значимости a = 0,05

k1 k2 ¥
161,5 199,5 215,7 224,6 230,2 233,9 238,9 243,9 249,0 254,3
18,51 19,00 19,16 19,25 19,30 19,33 19,37 19,41 19,45 19,50
10,13 9,55 9,28 9,12 9,01 8,94 8,84 8,74 8,64 8,53
7,71 6,94 6,59 6,39 6,26 6,16 6,04 5,91 5,77 5,63
6,61 5,79 5,41 5,19 5,05 4,95 4,82 4,68 4,53 4,36
5,99 5,14 4,76 4,53 4,39 4,28 4,15 4,00 3,84 3,67
5,59 4,74 4,35 4,12 3,97 3,87 3,73 3,57 3,41 3,23
5,32 4,46 4,07 3,84 3,69 3,58 3,44 3,28 3,12 2,93
5,12 4,26 3,86 3,63 3,48 3,37 3,23 3,07 2,90 2,71
4,96 4,10 3,71 3,48 3,33 3,22 3,07 2,91 2,74 2,54
4,84 3,98 3,59 3,36 3,20 3,09 2,95 2,79 2,61 2,40
4,75 3,88 3,49 3,26 3,11 3,00 2,85 2,69 2,50 2,30
4,67 3,80 3,41 3,18 3,02 2,92 2,77 2,60 2,42 2,21
4,60 3,74 3,34 3,11 2,96 2,85 2,70 2,53 2,35 2,13
4,54 3,68 3,29 3,06 2,90 2,79 2,64 2,48 2,29 2,07
4,49 3,63 3,24 3,01 2,85 2,74 2,59 2,42 2,24 2,01
4,45 3,59 3,20 2,96 2,81 2,70 2,55 2,38 2,19 1,96
4,41 3,55 3,16 2,93 2,77 2,66 2,51 2,34 2,15 1,92
4,38 3,52 3,13 2,90 2,74 2,63 2,48 2,31 2,11 1,88
4,35 3,49 3,10 2,87 2,71 2,60 2,45 2,28 2,08 1,84
4,32 3,47 3,07 2,84 2,68 2,57 2,42 2,25 2,05 1,81
4,30 3,44 3,05 2,82 2,66 2,55 2,40 2,23 2,03 1,78
4,28 3,42 3,03 2,80 2,64 2,53 2,38 2,20 2,00 1,76
4,26 3,40 3,01 2,78 2,62 2,51 2,36 2,18 1,98 1,73
4,24 3,38 2,99 2,76 2,60 2,49 2,34 2,16 1,96 1,71
4,22 3,37 2,98 2,74 2,59 2,47 2,32 2,15 1,95 1,69
4,21 3,35 2,96 2,73 2,57 2,46 2,30 2,13 1,93 1,67
4,20 3,34 2,95 2,71 2,56 2,44 2,29 2,12 1,91 1,65
4,18 3,33 2,93 2,70 2,54 2,43 2,28 2,10 1,90 1,64
4,17 3,32 2,92 2,69 2,53 2,42 2,27 2,09 1,89 1,62
4,12 3,26 2,87 2,64 2,48 2,37 2,22 2,04 1,83 1,57
4,08 3,23 2,84 2,61 2,45 2,34 2,18 2,00 1,79 1,51
4,06 3,21 2,81 2,58 2,42 2,31 2,15 1,97 1,76 1,48
4,03 3,18 2,79 2,56 2,40 2,29 2,13 1,95 1,74 1,44
4,00 3,15 2,76 2,52 2,37 2,25 2,10 1,92 1,70 1,39
3,98 3,13 2,74 2,50 2,35 2,23 2,07 1,89 1,67 1,35
3,96 3,11 2,72 2,49 2,33 2,21 2,06 1,88 1,65 1,31
3,95 3,10 2,71 2,47 2,32 2,20 2,04 1,86 1,64 1,28
3,94 3,09 2,70 2,46 2,30 2,19 2,03 1,85 1,63 1,26
3,92 3,07 2,68 2,44 2,29 2,17 2,01 1,83 1,60 1,21
3,90 3,06 2,66 2,43 2,27 2,16 2,00 1,82 1,59 1,18
3,89 3,04 2,65 2,42 2,26 2,14 1,98 1,80 1,57 1,14
3,87 3,03 2,64 2,41 2,25 2,13 1,97 1,79 1,55 1,10
3,86 3,02 2,63 2,40 2,24 2,12 1,96 1,78 1,54 1,07
3,86 3,01 2,62 2,39 2,23 2,11 1,96 1,77 1,54 1,06
3,85 3,00 2,61 2,38 2,22 2,10 1,95 1,76 1,53 1,03
¥ 3,84 2,99 2,60 2,37 2,21 2,09 1,94 1,75 1,52

Индивидуальная работа № 1 Приложение 3.

ФИО, Вариант № ____

Задание 1. Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности по критерию Пирсона (критерию c2)

Год Месяц 1, Х1 Ранжиро-ванный ряд Границы интервалов (ai, ai+1) Середина интервалов, х(i) Абсолютн. частота, mi Относит. частота, wi Границы интервалов Ф0(zi) Ф0(zi+1) Pi m'i   Объем выборки, n Минимальное значение, xmin Максимальное значение, xmax  
ai ai+1 zi zi+1   Размах, R  
… … … … … … … … … … … … … … … Число интервалов, N
Итого                           c2набл Величина интервалов, h  
                      Выборочное среднее,  
График трех температурных рядов   Гистограмма и полигон абсолютных частот       Выборочное среднеквадратическое отклонение, Sn  
         
                      c2набл  
Гипотеза Н0:формулировка             Число степеней свободы, k  
                      Первый уровень значимости, a1  
Вывод для уровня значимости a1: формулировка           c2кр(a1; k)  
Вывод для уровня значимости a2: формулировка           Второй уровень значимости, a2  
                      c2кр(a2; k)  

ФИО, Вариант № ____

Задание 2. Основные выборочные характеристики

Год Месяц 1, Х1 Месяц 2, Х2 Месяц 3, Х3 Абсол. частота Абсол. накопл. частота (Х1 ­– Хср)3 (Х2 ­– Хср)3 (Х3 ­– Хср)3 (Х1 ­– Хср)4 (Х2 ­– Хср)4 (Х3 ­– Хср)4 Y* (Y*-Yср)2 (Y – Y*)2
m1 m2 m3 mс1 mс2 mс3                  
… …                                  
Итого                                    

Основные статистические параметры температуры поверхности океана в ____________________________ (1957-1993 гг.) в точке _____ (55о с.ш. 30о з.д.)

  Месяц 1, Х1 Месяц 2, Х2 Месяц 3, Х3 Вывод   Результаты средств анализа данных пакета MS Excel
Среднее арифметическое           Месяц 1, Х1 Месяц 2, Х2 Месяц 3, Х3
Выборочная дисперсия                
Выборочная исправленная дисперсия                
Стандартное отклонение                
Коэффициент вариации                
Коэффициент асимметрии                
Коэффициент эксцесса                
Мода (моды)                
медиана                

Индивидуальная работа № 1

ФИО, Вариант № ____

Задание 3. Измерение взаимной зависимости

Задание 4. Расчет коэффициентов линейного уравнения регрессии

Задание 5. Оценка адекватности регрессионной модели

Выборочные характеристики
Sх   Sу   Sху  
СТАНДОТКЛОНП для Х   СТАНДОТКЛОНП для Y   КОВАР  
Уравнение модели: y*(x) = a x + b
Параметры линейной регрессии Оценка значимости Вывод
rxy   sr   tрасч   tкр(k; a)    
ПИРСОН   СТЬЮДРАСПОБР
q   a   g   zg    
  b  
se2            
a   sa   Тa   tкр(k; a)    
b   sb   Tb   tкр(k; a)    
        F*     Fтабл(1; 35; 0,05)    
     
h2y(x)            
se   Sу   0,67Sу        
Вывод
                           
ЛИНЕЙН   Корреляционное поле   График вычисленныхy*и фактическихy значений температуры воды
a b  
… …        
           
           
           

Индивидуальная работа № 2

ФИО, Вариант № ____

Задание 1. Построение автокорреляционной функции

    s = 1 … s = 18
    Вычисление числителя Знаменатель Вычисление числителя Знаменатель
Год yt Скобка 1 Скобка 2 Числитель Скобка 1 Скобка 2 Знаменатель Скобка 1 Скобка 2 Числитель Скобка 1 Скобка 2 Знаменатель
y1                        
…                          
y37                        
s
rs                                    
                           
              График автокорреляционной функции            

ФИО, Вариант № ____

Задание 2. Анализ временной изменчивости ряда температуры воды

Модель линейной регрессии связи температуры воды в ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­__________ месяце в период с1957 по 1993 гг. в точке ____ (55о с.ш. 30о з.д.), ее параметры и оценка их значимости

Выборочные характеристики
Уравнение модели тренда: y*(t)= а t + b
Параметры линейной регрессии Оценка значимости Вывод
a              
b              
rty   sr   tрасч   tкр(k; a)    
      h2y(t)    
se2            
se   Sу   0,67Sу        
Вывод
Год Наименование месяца, yt Медианный метод, Ме = ___ Метод серий Скользящая средняя Условное время, t Значения тренда, y* (y*– yср)2 (y – y*)2
… …              
… …              
Т = __   Число серий v(T) = ____ Длина наиб. серии l(T) = ____ Проверка неравенств: Вывод: Число серий v(T) = ____ Длина наиб. серии l(T) = ____ Проверка неравенств: Вывод: Вывод по графику:        
График исходного и сглаженного ряда   График тренда и исходного временного ряда

Приложение 4.

Установка средств анализа данных пакета MS Excel

  В меню выбрать “Сервис” ® “Надстройки”:  

Основная

1. Елисеева И.И. Общая теория статистики / И.И. Елисеева, М.М. Юзбашев – М.: Финансы и статистика, 1996.– 368 с.

2. Шмойлова Р.А. Теория статистики / Р.А. Шмойлова, Е.Б. Бесфамильная, М.Ю. Глубокова и др. М.: Финансы и статистика, 1996. – 464 с.

3. Ефимова М.Р. Общая теория статистики / М.Р. Ефимова, Е.В. Петрова, В.Н. Румянцев – М:ИНФРА-М, 2002. – 416 с.

4. Айвазян С.А. Прикладная статистика и основы эконометрики / С.А. Айвазян, В.С. Мхитарян - М.: Изд. объедин. «ЮНИТИ», 1998. – 1022 с.

5. Липпе П. Экономическая статистика / П. Липе – Мн.: Дизайн ПРО, 1995. – 302 с.

6. Кевеш П. Теория индексов и практика экономического анализа. – М.: Финансы и статистика, 1990. – 303 с.

7. Палий И.А. Прикладная статистика. М.: Высшая школа, 2004.– 176с.

8. Ефимова М.Р., Ганченко О.И., Петрова Е.В. Практикум по общей теории статистики. М: Финансы и статистика, 2007.– 336 с.

Дополнительная

9. Ионин В.П. Статистика / В.П. Ионин – М.: ИНФРА-М, 1997. – 310 с.

10. Хацкевич Г.А. Сборник задач по статистике – Мн.: НИУП, 2002. –214 с.

11. Хацкевич Г.А. Статистика. Описательный подход / Г.А. Хацкевич Мн.: НИУП, 2002. –268 с