Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности
по критерию Пирсона (критерию c2)
Построить графики трех исходных рядов температуры воды (рисунок 1). Визуальный анализ графиков позволяет качественно оценить изменчивость рядов, наличие периодических колебаний и тренда.
Рисунок – 1 Временная изменчивость температуры поверхности океана
в октябре, ноябре и декабре в точке 9 (55° с.ш. 30° з.д.)
Для первого из трех предложенных рядов Х1, Х2 и Х3 проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности по критерию Пирсона (критерию c2).
Для этого необходимо:
1. Руководствуясь рисунком 1 выдвинуть гипотезу о законе распределения исходных данных.
2. Произвести ранжирование ряда по возрастанию; определить минимальное и максимальное значение выборки:
, 
,
п – объем выборки.
Вычислить размах (диапазон) выборки:
R = xmax – xmin.
3. Весь диапазон значений признака [xmin, xmax] разбить на N интервалов одинаковой длины. Число интервалов N определить по формуле Стерджеса:
N = 1 + [3,322 lg n ] = 1 + [log2 n],
где n – объем выборки, [.] – целая часть числа.
Вычислить величину интервалов h = R / N.
4. Определить границы интервалов (ai, ai+1):
a1 = xmin, a2 = a1 + h = xmin + h, a 3 = a2 + h = xmin + 2h, …, aN +1 = aN + h = xmin + Nh.
5. Построить интервальный вариационный ряд, указав абсолютные mi и относительные wi частоты. Проверить выполнение условий нормировки для абсолютных и относительных частот.
6. Рассчитать середины x(i) интервалов (ai, ai+1):
.
7. По имеющемуся интервальному вариационному ряду с помощью Мастера диаграмм MS Excel построить гистограмму и полигон распределения абсолютных частот. Гистограмма представляет собой эмпирическую функцию распределения.
8. Вычислить выборочное среднее 
и выборочное среднее квадратическое отклонение 
, где п – объем выборки, N – число интервалов, mi – абсолютные частоты, 
– среднее арифметическое концов интервалов.
9. Перейти к нормированным величинам
, 
,
причем значение z1 полагают равным – ¥, а значение zN+1 полагают равным + ¥.
10. Вычислить теоретические частоты
mi' = nPi,
где п – объем выборки,
Pi = Ф0(zi+1) – Ф0(zi),
Ф0(z) = 
, Ф0(–z) = – Ф0(z), Ф0(–¥) = –0,5; Ф0(¥) = 0,5.
Значения функции Ф0(z) найти по Таблице 1 Приложения 2.
Замечание 1.Интервалы, содержащие малочисленные эмпирические частоты (mi < 5), следует объединить, а частоты этих интервалов сложить. В этом случае и соответствующие им теоретические частоты также надо сложить. Если производилось объединение интервалов, то при определении числа степеней свободы по формуле k = N – 3 следует в качестве N принять число интервалов, оставшихся после объединения интервалов.
Замечание 2.Должно выполняться 
. В случае, если эти величины значительно (более чем на 1) отличаются друг от друга, необходимо ввести дополнительные фиктивные разряды, в которых частоты mj = 0, а теоретические частоты 
вычисляются по соответствующей формуле. Количество этих разрядов и их местоположение (в начале или в конце таблицы) должны обеспечивать максимально быстрое выполнение вышеуказанного приближенного равенства.
11. Для того чтобы оценить степень приближения выборочного распределения к теоретической кривой, вычислить наблюдаемое значение критерия c2набл :
c2набл = 
.
12. По Таблице 3 Приложения 2 критических точек распределения c2, по заданному уровню значимости a и числу степеней свободы k = N – 3, N – число интервалов, найти критическую точку c2кр(a; k) правосторонней критической области.
Указания:
а) значение критической точки c2кр(a; k) можно получить, применяя встроенную статистическую функцию ХИ2ОБР приложения MS Excel .
б) значения a уровней значимости выбрать из таблицы согласно номеру варианта:
| № варианта | |||||||||
| a1 | 0,01 | 0,02 | 0,025 | 0,05 | 0,05 | 0,02 | 0,01 | 0,01 | 0,02 |
| a2 | 0,05 | 0,001 | 0,09 | 0,025 | 0,02 | 0,01 | 0,05 | 0,025 | 0,05 |
| № варианта | |||||||||
| a1 | 0,025 | 0,05 | 0,025 | 0,01 | 0,09 | 0,01 | 0,02 | 0,025 | 0,05 |
| a2 | 0,01 | 0,001 | 0,065 | 0,025 | 0,01 | 0,05 | 0,01 | 0,05 | 0,08 |
13. Если c2набл < c2кр, то нет оснований отвергнуть гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности. Другими словами, эмпирические и теоретические частоты различаются незначимо. Если c2набл > c2кр – гипотезу отвергают.