Дисперсия альтернативного признака. Виды дисперсий. Правило сложения дисперсий.

Среди варьирующих признаков, которые изучает статистика, встречаются признаки вариации, которые проявляются в том, что у одних единиц совокупности они встречаются, у других нет. Признаки, которыми обладают данные единицы и не обладают другие, называются альтернативными.

Наличие альтернативного признака обозначают 1, а отсутствие – 0. Если численность совокупности – N, а M – число единиц, обладающих изучаемым признаком, то доля единиц, обладающих изучаемым признаком:

.

Соответственно доля единиц таким признаком не обладающих:

Дисперсия альтернативного признака равна:

Максимальное значение дисперсии для неоднородных совокупностей:

.

Дисперсия альтернативного признака используется в выборочных обследованиях, например, качества продукции.

Наряду с изучением вариации признака по всей совокупности в целом, часто бывает необходимо проследить количественные изменения признака по группам, на которые разделяется совокупность, а также и между группами. Такое изучение вариации достигается посредством вычисления и анализа различных видов дисперсии. Если данные представлены в виде аналитической группировки, то можно вычислить дисперсию общую, межгрупповую и внутригрупповую.

Общая дисперсия измеряет вариацию признака во всей совокупности под влиянием всех факторов, обусловливающих эту вариацию:

Межгрупповая (факторная) дисперсия характеризует систематическую вариацию, т.е. различия в величине изучаемого признака, возникающие под влиянием признака-фактора, положенного в основание группировки:

где – соответственно средние и численности по отдельным группам.

Внутригрупповая (случайная) дисперсия отражает случайную вариацию, т.е. часть вариации, происходящую под влиянием неучтённых факторов и не зависящую от признака-фактора, положенного в основание группировки. Она вычисляется по формуле:

Средняя из внутригрупповых дисперсий:

Существует закон, связывающий три вида дисперсий – общая дисперсия равна сумме средней из внутригрупповых и межгрупповых дисперсий:

Это соотношение называют правилом сложения дисперсий. Согласно данному правилу общая дисперсия, возникающая под влиянием всех факторов, равна сумме дисперсий, возникающих под влиянием всех прочих факторов и дисперсии, возникающей за счёт группировочного признака.