Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат

тогда

Скалярное произведение векторов.

Определение. Скалярным произведениемвекторов и называется число, равное произведению длин этих сторон на косинус угла между ними. × = ïïïïcosj

Свойства скалярного произведения: 1) × = ïï²;2) × = 0, если ^ или = 0 или = 0.3) × = ×;4) ×(+) = ×+ ×;5) (m)× = ×(m) = m(×); Если рассматривать векторы в декартовой прямоугольной системе координат, то × = x_a x_b + y_a y_b + z_a z_b; Используя полученные равенства, получаем формулу для вычисления угла между векторами: ;

Пример. Найти (5 + 3)(2 - ), если 10×- 5×+ 6×- 3× = 10, т.к. .

Пример. Найти угол между векторами и , если . Т.е. = (1, 2, 3), = (6, 4, -2) ×= 6 + 8 – 6 = 8: . cosj =

Пример. Найти скалярное произведение (3 - 2)×(5 - 6), если 15×- 18×- 10×+ 12× = 15 + 12×36 = 240 – 336 + 432 = 672 – 336 = 336.

Пример. Найти угол между векторами и , если . Т.е. = (3, 4, 5), = (4, 5, -3) ×= 12 + 20 - 15 =17 : . cosj =

Пример. При каком m векторы и перпендикулярны. = (m, 1, 0); = (3, -3, -4) .

Пример. Найти скалярное произведение векторов и , если ()() = = 10 + + 27 + 51 + 135 + 72 + 252 = 547.