Як приклад економічної моделі розгляньмо спрощений (ідеалізований) варіант так званої «павутиноподібної моделі», яка описує процес формування попиту і пропозиції певного товару чи виду послуг на конкурентному ринку (випадок досконалої конкуренції).
Ідеться про формалізацію економічного закону попиту та пропозиції, згідно з яким:
· кількість товару, що його можна продати на ринку (тобто попит), змінюється у напрямку, протилежному зміні ціни товару;
· кількість товару, який виробляють і доставляють на ринок (тобто пропозиція), змінюється у тому самому напрямку, що й ціна;
· водночас реальна ринкова ціна формується на рівні, на якому попит і пропозиція наближено дорівнюють одне одному (приблизно збігаються з деякою заданою точністю), тобто перебувають у рівновазі.
Нехай Xt — ціна товару в момент часу t, а Dt і St — кількість товару, купленого і пропонованого відповідно на ринку в той самий момент часу t. Тоді, з урахуванням одного інтервалу часу, необхідного виробникам-продавцям для того, щоб «зреагувати» на ціну X, можна математично сформулювати наведені закономірності:
St = f(Xt–1), Dt = g(Xt),
де f(X) — деяка монотонно зростаюча і g(X) — монотонно спадна функції від аргумента X (тобто від ціни), — рівноважна ціна.
Математичні співвідношення, що відображають закон попиту і пропозиції, можуть бути проілюстровані. Як бачимо на рис. 2.1, процес формування рівноважної ціни почався з призначення в перший (початковий) момент часу ціни на рівні X1. Продовження цього процесу (індексовано стрілками) павутиноподібно прямує до точки перетину кривих g(X) і f(X).
Рис. 2.1.Графік процесу формування попиту і пропозиції
Нехай існує торгівельна фірма, яка реалізує певний товар на ринку. Припустимо, що попит на товар на t–му проміжку часу лінійно залежить (для спрощення) від поточної ціни Xt. Тоді, рівняння попиту на товар матиме такий вигляд: Dt = A – BXt .
Пропозиція на t-му відрізку часу обчислюється з урахуванням навчання системи. Тому вона залежить від ціни на попередніх (t – 1)-му та (t – 2)-му відрізках часу. Отже, для пропозиції залежність матиме такий аналітичний вигляд: St = C + KX(r), X(r) = Xt-1 – r(Xt-1 – Xt-2).
де r – ваговий коефіцієнт, що задовольняє умові: 0 £ r £ 1.
Рівняння локальної рівноваги на ринку, що використовується для здійснення ітерацій, матиме вигляд: St = Dt.
Підставивши залежності для Dt, St та Х(r) у попередню формулу і розв¢язавши рівняння відносно Хt, отримаємо:
Xt = {A – C – K[Xt-1 – r(Xt-1 – Xt-2)]}/B.
Оскільки для обчислення значення ціни необхідно знати ціни та для попередніх проміжків часу, то проводити обчислення можливо лише в тому випадку, коли відомі X1 та X2. Обчислювати (чи задавати) їх можна різними способами. Зокрема, можна прийняти гіпотезу, що на перших двох проміжках часу навчання відсутнє, тобто r = 0. В цьому випадку легко отримати, що:
X2 = (A – C – K×X1)/B.
Значення X1 можна обчислити, зокрема, за формулою:
X1 = 2(A – C)/(B + K).
Задача аналізу полягає у дослідженні характеру залежності ціни у часі, з’ясуванні чи буде стійким стан рівноваги, знаходженні рівноважної ціни.
Достатньою умовою збіжності ітераційного процесу є наступна умова:
.
Для відповіді на питання, чи завжди ітераційний процес призводить до рівноваги, розглянемо випадок, коли r = 0, тобто пропозиція залежить лише від ціни Xt-1 (навчання в модель не закладено). У цьому випадку функції попиту і пропозиції матимуть вигляд: , ,
а співвідношення відносно відповідно набуде вигляду:
,
а достатньою умовою збіжності буде умова
.
Враховуючи умови , обчислюємо
.
Підставляючи у праву частину вирази для , отримаємо
.
Продовжуючи цей процес, отримаємо .
З останньої рівності є очевидним, що:
1) якщо , то послідовність збігається, а отже, рівновага на ринку є стійкою і можна визначити рівноважну ціну, яка з часом встановиться на ринку;
2) якщо , то послідовність необмежено зростає (ітераційний процес розбігається), а отже, рівновага на ринку є нестійкою і рівноважна ціна на ринку досягнута не буде;
3) якщо , то ітераційний процес зациклюється, а отже, рівновага буде нестійкою і рівноважна ціна на ринку досягнута не буде.
Ітераційний процес завершується за умови, коли , де e –досить мале задане число.
Приклад. Нехай параметри моделі мають наступні значення:
| A | B | C | K | X0 |
| 0,5 | 7,5 | 0,35 | 7,5 |
Тоді реалізація «павутиноподібної» моделі в Microsoft Excel представлена на рис. 1.2.
Рис. 2.2. «Павутиноподібна» модель