рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ - раздел Математика, Фгбоу Впо «Вятская Гсха» Коми Филиал     ...

ФГБОУ ВПО «Вятская ГСХА» Коми филиал

 

 

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

И

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

 

Методические указания

 

Сыктывкар 2012


Методические указания содержат рабочую программу, теоретический материал, задачи по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика», задания для контрольных работ в объеме требований программы для высших учебных заведений.

 

 

Утверждено на заседании ученого совета от ___ ____________ 2012 г.

 

Составитель: Никитинская С.С.


Теория вероятностей и математическая статистика

 

Программа курса

1. Случайные события. Виды случайных событий. Сумма, произведение случайных событий. Противоположные случайные события. 2. Основные формулы комбинаторики. Классическое определение вероятности. 3. Вероятность суммы двух несовместных событий. Вероятность противоположного события.

Классическое определение вероятности

 

Говорят, что событие А подразделяется на m частных случаев А1, А2,…, Аm , если А =А1 + А2 +…+ Аm , т.е. А происходит тогда и только тогда, когда происходит одно из событий Аj, j 1 : m. Говорят, что события А1, А2,…Аn образуют полную группу, если А1 + А2 +…+ Аn = U, т.е. при проведении испытания обязательно происходит одно и только одно из событий А1, А2,…, Аn.

В самом общем случае определить вероятность случайного события непросто. Однако в простых случаях, когда число исходов испытания конечно, можно дать не только определение вероятности, но и способ ее вычисления.

Определение. Если событие А подразделяется на m частных случаев, входящих в полную группу, состоящую из n равновозможных, попарно несовместимых событий, то вероятность события А есть ; т.е.

P(A)= . (1)

 

Иными словами, вероятность случайного события есть отношение числа исходов, благоприятствующих появлению события А к числу всех исходов.

Пример 2. Брошена игральная кость. Найти вероятность выпадения четного числа очков (событие А).

Решение. Здесь полная группа событий состоит из шести событий: А1, А2, А3, А4, А5, А6 , где Аi – выпало i очков. Событие А = А2 + А4 + А6 , таким образом m=3, n=6.

P(A) = =

Пример 3. Бросаются две игральные кости. Найти вероятности появления того или иного числа очков.

Решение. При бросании двух игральных костей может выпасть любое число очков от двух до двенадцати. Полная группа событий состоит здесь из 36 событий и, если кости правильные, то выпадение каждой из 36 возможных комбинаций числа очков на первой и на второй кости можно считать равновозможным. Число очков равное 12 появляется в одном случае – на первой и на второй кости выпало по 6 очков; таким образом, вероятность выпадения 12 очков равна . Число очков равное 11 может появиться двумя способами: на первой кости 5 очков, на второй – 6, или на первой – 6 и на второй – 5; откуда вероятность появления 11 очков равна . Теперь без труда можно убедиться, что искомые вероятности задаются следующей таблицей:

 

Таблица 1

 

Число очков
Вероятность

 

Перечислим все исходы, благоприятствующие появлению 7 очков: 1-6, 6-1, 5-2, 2-5, 3-4, 4-3; таким образом, их ровно 6.

При вычислении вероятностей случайных событий часто используется раздел элементарной математики – комбинаторики. Приведем основные формулы комбинаторики.

Пусть имеется конечно-элементное множество состоящее из n элементов.

Перестановками называются комбинации элементов множества, состоящие из всех n элементов и отличающиеся друг от друга только лишь их порядком. Для примера выпишем все перестановки трехэлементного множества a, b, c: abc, bac, bca, cba, cab, acb. Число перестановок n – элементного множества вычисляется по формуле:

Pn=n!, (2)

 

где n! = 1·3·…·n (читается эн-факториал), причем полагают 0! = 1. При n = 3 получаем P3 = 3! = 1·2·3 = 6.

Сочетанием из n элементов по k называются комбинации, состоящие ровно из k элементов и отличающиеся друг от друга хотя бы одним элементом. Число сочетаний из n по k (или что тоже самое – число различных k – элементных подмножеств n – элементного множества) обозначается символом С:

 

С= . (3)

 

Выпишем все сочетания из четырех элементов по два: (n = 4, k = 2) ab, ac, ad, bc, bd, cd; следовательно,

C= = = 6.

 

Основное правило комбинаторики: если некоторый выбор N можно осуществить n способами, а некоторый выбор M можно осуществить m способами, то N и M вместе можно осуществить m·n способами.

Пример 4. Из урны, содержащей три белых и четыре черных шара, наудачу извлекаются три шара. Найдите вероятность появления двух белых и одного черного шаров (событие А).

Решение. Здесь число элементарных исходов равно числу способов извлечь 3 шара из 7, т.е. . Два белых шара (выбор М) извлекаются из трех способами; 1 черный шар можно извлечь четырьмя различными способами (выбор N); 2 белых и 1 черный можно выбрать 3 · 4 = 12 способами. Таким образом .

Свойства классической вероятности:

 

0 ≤ P(A) ≤ 1, p(U) =1, P(V) = 0. (4)

 

Если А ·В = V, то

 

Р(А + В) = Р(А) + Р(В), (5)

 

т.е. вероятность суммы несовместимых событий равна сумме вероятностей этих событий.

Из последнего свойства следует важная формула.

 

 

(6)

 

т.е. сумма вероятностей противоположных событий равна 1.

 

Вероятность произведения событий

 

Рассмотрим следующую задачу.

Пример5. Из колоды карт (36 листов) наудачу извлекаются две карты. Найти вероятности следующих событий:

а) вероятность появления двух тузов;

б) вероятность появления туза на втором месте при условии, что на первом месте был туз.

Решение. Ведем обозначения: событие А – туз на первом месте, событие В – туз на втором, тогда АВ – два туза. Имеем: . Два туза из имеющихся в колоде четырех можно вытащить способами; две карты из 36 можно вытащить способами. Тогда . Обозначим р(В/А) или рА(В)условная вероятность события В при условии, что событие А уже произошло. Если событие А уже произошло, то в колоде осталось 35 карт и среди них только 3 туза. Таким образом, . Из решения этой задачи получаем: .

В общем случае, вероятность произведения двух событий равна вероятности произведения одного из них на условную вероятность второго при условии, что первое уже произошло:

р(АВ) = р(А) · р(В/А). (7)

 

Если события А и В независимы (т.е. появление любого из них не зависит от того, произошло другое событие или не произошло), то р(А/В) = р(А), р(В/А) = р(В) (не путать с несовместимыми событиями!). Для независимых событий вероятность произведения равна произведению вероятностей: р(АВ) = р(А) · р(В).

Для вероятности произведения n событий справедлива формула:

 

р(А1 · А2 ·…·Аn) = р(А1) · р(А2 1) · р(А31А2) ·…·р(Аn 1А2…Аn-1), (8)

 

т.е. вероятность произведения n событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события произошли.

Для независимых в совокупности событий А1,…,Аn, т.е. событий попарно независимых, формула вероятности произведения существенно упрощается, а именно, вероятность произведения событий равна произведению вероятностей:

 

р(А1 · А2 ·…·Аn) = p(A1) · p(A2) · p(A3) ·… · p(An). (9)

 

Пример 6. На карточках написаны буквы Ю, Р, Т, А. Карточки наудачу раскладываются на столе одна за другой. Найти вероятность появление слова ЮРТА.

Решение. Введем обозначения: событие А1 - буква Ю на первом месте; А2 – Р на втором месте; А3 – Т на третьем месте; А4 – на четвертом месте; слово ЮРТА появится, если события А1, А2, А3, А4 произойдут вместе. Вероятность этого события есть

 

Р(А1 ·А2 · А3 · А4) = р(А1) · р(А2 / А1) · р(А3 / А1А2) · р(А4 / А1А2А3) =

 

 

Эту задачу можно решить непосредственно пользуясь классическим определением вероятности: здесь число равновозможных исходов равно числу перестановок из четырех букв, т.е. n = P4 = 4! = 1 ·2 ·3 ·4 = 24.появлению слова ЮРТАблагоприятствуетодна перестановка. Следовательно, искомая вероятность равна р = .


Вероятность суммы двух событий

В случае классического определения вероятности дается способ ее вычисления. В общем случае дать способ вычисления вероятности конечно же нельзя.… 1. Предположим, что имеется некоторое множество случайных событий S: а) U S, V S;

Формула полной вероятности

  p(А) = р(Н1)р(А\Н1) + р(Н2)р(А\Н2) +…+ р(Нn)р(А\Нn), (11)   т.е. вероятность события А равна сумме произведений вероятностей событий Нi на условную вероятность Р(А\Нi) (или )…

Вероятность появления хотя бы одного из n независимых событий

  где Пример 10. Студент выполнил контрольные работы по трем предметам. Вероятность получения зачета по первой контрольной…

Формула Бернулли

  Рп(т) = × рт × qп-т. (14)   Пример 13. Играется матч между шахматистами X и Y. Вероятность того, что X выиграет каждую отдельную партию равна ,…

Случайные величины

Математическое ожидание и дисперсия

Законом распределения (или просто распределением) называется соответствие между возможными значениями с.в. и вероятностями, с которыми она принимает… Рассмотрим закон распределения дискретной случайной величины:  

Функция распределения и ее свойства

Дифференциальная функция распределения

Введем в рассмотрение функцию распределения (24)   - вероятность того, что случайная величина Х примет значение меньшее, чем x. Справедливы следующие свойства функции…

Нормальный закон распределения

Случайная величина называется распределенной по нормальному закону (нормальная с.в.), если ее дифференциальная функция распределения имеет следующий…   Математическое ожидание и дисперсия нормальной случайной величины соответственно равны а и s:

Понятие о центральной предельной теореме Ляпунова

Интегральная теорема Муавра-Лапласа

Необходимость изучения нормально распределенных с.в. вытекает из следующей центральной предельной теоремы Ляпунова. Если случайная величина Х представляет собой сумму достаточно большого числа… Пусть имеется некоторое случайное событие А, вероятность появления которого в каждом из независимых испытаний…

Элементы математической статистики

Математическая статистика разрабатывает способы сбора, группировки и анализа статистических данных, т.е. сведений, получаемых в результате… Значение признака Х в выборочной совокупности называются вариантами. Пусть…

Таким образом, получим следующую функцию распределения

 


Генеральное и выборочное среднее

Генеральная и выборочная дисперсии

Генеральным средним называется среднее арифметическое значений признака Х в генеральной совокупности (обозначение ). Выборочным средним называется… Выборочное среднее является оценкой для генерального среднего или является… Генеральной дисперсией называется дисперсия признака Х в генеральной совокупности. Выборочной дисперсией называется…

Интервальные оценки параметров распределения

Оценка неизвестного математического ожидания нормально распределенной с.в. при известном s

Пусть требуется оценить неизвестное математическое ожидание а нормально распределенной с.в., причем предполагается что среднее квадратичное… Обозначим . Решая уравнение (для решения последнего пользуются таблицами)…  

Элементы теории корреляции

Выборочное уравнение регрессии

  (41) Данное уравнение показывает приближенную линейную зависимость между двумя с.в.… выборочный коэффициент корреляции.

ПРИМЕР КОНТРОЛЬНОГО ТЕСТА

1. Дважды бросается монета. Событие А – первый раз выпадет герб, В – второй раз решка. События А и В …

1) несовместные; 2) невозможные; 3) независимые равновозможные; 4) достоверные; 5)независимые

2. Сколькими способами можно сдать 4 экзамена на протяжении 9 дней, если последний экзамен сдавать в последний день?

3. На четырех карточках написаны буквы Ж, О, Р, М. После перетасовки вынимают одну карточку за другой. Какова вероятность, что раскладываемые в порядке вытаскивания буквы образуют слово МОРЖ?

4. В лифт 10-этажного дома на первом этаже вошли 3 человека. Каждый из них с одинаковой вероятностью выходит на любом из этажей, начиная со второго. Какова вероятность, что все пассажиры выйдут на одном этаже?

5. Стрелок трижды стреляет по мишени. Вероятность хотя бы одного попадания – 0.99. Вероятность того, что мишень не будет поражена равна…

1) 0; 2) 0.01; 3) 0.1; 4) –0.01; 5) 1.

6. В ящике 10 красных и 6 синих шаров. Наудачу вынимают два шара. Какова вероятность, что шары будут разных цветов?

7. Бросаются две игральные кости. Какова вероятность, что на них выпадет одинаковое число очков?

8. Из колоды в 32 карты последовательно вытаскиваются две карты. Какова вероятность, что обе карты бубновой масти?

9. Вероятность получения отличной оценки на экзамене для одного студента – 0.95, для второго – 0.96. Вероятность того, что хотя бы один из них получит отличную оценку равна…

1) 1.91; 2) 1; 3) –1.91; 4) 0.998; 5) 0.912.

10. На фабрике, изготовляющей болты, первая машина производит 25%, вторая – 35%, третья – 40% всех изделий. Брак продукции составляет, соответственно, 5%, 4% и 2%. Какова вероятность того, что взятый наудачу болт – бракованный?

1) 0.0345; 2) 0.0125; 3) 0.014; 4) 0.008; 5) 0.022

11. Вероятность того, что оказавшийся бракованным болт произведен на второй машине равна…

12. Вероятность появления события А в одном испытании равна 0.3. Наивероятнейшее число появлений события в 50 испытаниях …

1) нельзя определить; 2) 16 или 17; 3)18; 4) 15; 5) 16.5

13. Найти дисперсию дискретной случайной величины по заданному закону ее распределения

X
P 0.2 0.5

 

1) 43.4; 2) 1; 3) 12.04; 4) 5.6; 5) данных недостаточно

14. Производится 3 выстрела с вероятностями попадания в цель равными 0.5, 0.6, 0.9. Найти математическое ожидание общего числа попаданий.

1) 1; 2) 2; 3) 3; 4) 4; 5) 0

15. Случайная величина распределена по закону Пуассона .

По результатам наблюдаемых значений 2, 3, 2, 3, 5, 4, 4, 6, 4, 7 неизвестный параметр этого распределения равен…

1) 40; 2) 1/4; 3) 4; 4) 1/7; 5) 7

16. Дифференциальная функция нормально распределенной случайной величины равна Тогда D(2X+1)=…

1) 4; 2) 2; 3) 3; 4) 5; 5) 0

17. Непрерывная случайная величина принимает значения из интервала (2, 6). Вероятность P(X6) равна

1) 1; 2) 0; 3) данных недостаточно; 4) 0.5; 5) 6

18. Интересуясь размером проданной в магазине мужской обуви, получили данные по 100 проданным парам обуви и нашли следующую функцию распределения:

Сколько пар обуви 39-го размера было продано?

1) 23; 2) 4; 3) 52; 4) 15; 5) 14

19. Выборочный вариационный ряд имеет вид

X -1
n

Выборочное среднее равно …

1) 25; 2) 3; 3) 1; 4) 1/30; 5) 5/2

20. Уравнение прямой регрессии У на Х : y = 2x + 1, Чему равен выборочный коэффициент корреляции?

1) 1/5; 2) 2; 3) 2/5; 4) 1/10; 5) 10

 

 


ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ

 

Теория вероятностей

I.

1. Вероятность изделия отличного качества 0.9. Какова вероятность того, что из двух наудачу проверенных изделий только одно окажется отличного качества?

2. Из колоды в 36 карт вытаскивается две карты. Какова вероятность, что только одна из них будет пиковой масти?

3. Монету бросают дважды. Какова вероятность выпадения герба только один раз?

4. В первой урне 5 белых и 5 черных шаров, во второй – 6 белых и 4 черных шара. Из каждой урны вынуто по два шара. Найти вероятность того, что хотя бы из одной урны вынуто два черных шара.

В первой урне 5 белых и 5 черных шаров, во второй – 6 белых и 4 черных шара. Из каждой урны вынуто по два шара. Найти вероятность того, что хотя бы из одной вынуто два белых шара.

В первой урне 5 белых и 5 черных шаров, во второй – 6 белых и 4 черных шара. Из каждой урны вынуто по два шара. Найти вероятность того, что хотя бы из одной урны вынут один белый и один черный шар.

7. Два автобуса-экспресса выехали в аэропорт. Вероятность того, что первый автобус прибудет вовремя – 0.9, второй – 0.8. Какова вероятность, что только один автобус прибудет вовремя?

8. Покупатель приобрел два изделия. Вероятность того, что первое изделие бездефектно – 0.95, второе – 0.9. Какова вероятность, что из приобретенных изделий только одно бездефектно?

9. В первой корзине 5 синих и 4 черных мяча, во второй – 6 синих и 3 черных. Из каждой корзины выбрали по два мяча. Какова вероятность, что хотя бы из одной корзины выбрали два синих мяча?

10. В команде А 2 девушки и 8 юношей, в команде В – 3 девушки и 7 юношей. Из каждой команды выбрали по 2 участника. Какова вероятность, что хотя бы из одной команды выбрано 2 юноши?

II.

На складе хранятся N изделий завода 1, M изделий – завода 2, K изделий завода 3. Вероятность получения бездефектного изделия на первом заводе – 0.9, на втором – 0.8, на третьем – 0.7.

а) Найти вероятность того, что извлеченное наудачу изделие будет бездефектным.

б) Извлеченное наудачу изделие оказалось бездефектным. Какова вероятность, что оно изготовлено на заводе i?

Вариант
N
M
K
i

 


III.

1-3. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка = 0.9, для второго = 0.8. Найти вероятность того, что при выстрелах стрелки одновременно попадут в мишень:

а) менее трех раз; б) не менее трех раз; с) хотя бы один раз; д) найти наивероятнейшее число парных попаданий при выстрелах.

1.

2.

3.

4-6. Проводится турнир из матчей между двумя командами. Вероятность выигрыша в одном матче для первой команды 0.6. Какова вероятность, что первая команда выиграет: а) менее трех раз; б) не менее трех раз; с) хотя бы один раз; д) найти наивероятнейшее число выигрышей каждой из команд.

4.

5.

6.

7-10.Два спортсмена выполняют по бросков мяча по воротам. Вероятность попадания первого – 0.6, второго – 0.7. Какова вероятность, что оба попадут в ворота: а) более двух раз; б) не более двух раз; с) хотя бы один раз; д) найти наивероятнейшее число парных попаданий.

7.

8.

9.

11.

IV.

При обследовании уставных фондов банков установлено, что n-я часть банков имеют уставной фонд свыше 100 млн. руб. Найти вероятность того, что среди 500 банков имеют уставной фонд свыше 100 млн. руб.: a) не менее m; b) от m до k включительно.

 

В-т
n
m
k

V.

В ящике содержится n деталей, среди которых k бракованных. Сборщик наудачу извлекает m деталей.

1. Найти вероятность того, что среди извлеченных деталей: a) m бракованных; b) одна бракованная; c) две бракованные; d) хотя бы одна бракованная.

2. Составить закон распределения случайной величины X– числа бракованных деталей среди извлеченных.

3. Найти M(X), D(X), .

4. Вычислить P(1<X<4)

В-т
n
k
m

 

VI.

Непрерывная случайная величина X задана функцией распределения F(x). Найти плотность распределения f(x), математическое ожидание и дисперсию случайной величины. Изобразить графики функции распределения F(x) и плотности распределения f(x). Найти вероятность попадания случайной величины в интервал

1. 2.
3. 4.  
5. 6.
7. 8.
9. 10.

 

VII.

Известны математическое ожидание a и среднее квадратичное отклонение нормально распределенной случайной величины X. Найти: a) вероятность попадания этой величины в заданный интервал ; b) вероятность того, что абсолютная величина X-a отклонения окажется меньше c) вычислить M(3X-2), D(3X-2).

вариант

 

Математическая статистика

VIII.

1-10. Заданы среднее квадратичное отклонение σ нормально распределенной случайной величины X, выборочная средняя , объем выборки n. Найти доверительные интервалы для оценки неизвестного математического ожидания а с заданной надежностью γ = 0.95.

 

 

1. s = 2, = 18.21, n =16.
2. s = 2, = 18.31, n = 49.
3. s = 2, = 18.41, n = 36,
4. s = 2, = 18.51, n = 100.
5. s = 2, = 18.61, n = 81.
6. s = 2, = 18.71, n = 25.
7. s = 2, = 18.81, n = 16.
8. s = 2, = 18.91, n = 49.
9. s = 2, = 20.01, n = 36.
10. s = 2, = 20.11, n = 64.

 

IX.

1-10. Найти: 1) выборочную дисперсию; 2) выборочное среднее квадратичное отклонение по данному статистическому распределению выборки (в первой строке указаны выборочные варианты xi, а во второй строке – соответствующие частоты ni количественного признака X).

 

 

1. xi
  n
2. xi 13.5 14.0 14.5 15.0 15.5 16.0 16.5
  n
3. xi
  n
4. xi
  n
5. xi
  n
6. xi 12.8 22.8 32.8 42.8 52.8 62.8 72.8
  n
7. xi
  n
8. xi 10.2 15.2 20.2 25.2 30.2 35.2 40.2
  n
9. xi
  n
10. xi
  n  
                   

 

X.

1-10. Найти выборочное уравнение прямой

 

 

регрессии X на Y по данной корреляционной таблице.

 

1.

Y X
nj
- - - -
- - - -
- - -
- - -
- - -
nx n = 100

 

2.

 

Y X
nj
- - - -
- - - -
- - -
- - -
- - -
nx n = 100

 

3.

Y X
nj
- - - -
- - - -
- - -
- - -
- - -
nx n=100

 

4.

Y X
nj
- - - -
- - - -
- - -
- - -
- - -
nx n=100

 

5.

Y X
nj
- - - -
- - - -
- - -
- - -
- - -
nx n=100

 

6.

Y X
nj
- - - -
- - - -
- - -
- - -
- - -
nx n=100

 

7.

Y X
nj
`10 - - - -
- - - -
- - -
- - -
- - -
nx n=100

 

8.

 

Y X
nj
- - - -
- - - -
- - -
- - -
- - -
nx n=100

 

9.

Y X
nj
- - - -
- - - -
- - -
- - -
- - -
nx n=100

 

10.

Y X
nj
- - - -
- - - -
- - -
- - -
- - -
nx n=100

 

 


 

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

И

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

 

Методические указания

 

 

 

– Конец работы –

Используемые теги: Теория, вероятностей0.047

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным для Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Еще рефераты, курсовые, дипломные работы на эту тему:

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ... Кафедра высшей математики и информатики...

Кейнсианская, монетариская теория и теория рациональных ожиданий
Рекомендации кейнсианской теории принимали в Соединенных Штатах администрации и демократов, и республиканцев. Иных взглядов придерживался лауреат… Но экономическая мысль не стоит на месте, спустя некоторое время Роберт… Приведены основные отличия и сходства. Сходства и различия. Сравним кейнсианскую теорию и монетаризм, показав их в…

Теория вероятностей
Введение... Теория вероятностей ТВ возникла в XVII веке в связи с попыткой поставить на... Основные понятия...

Теория вероятности
Основы этого раздела науки были заложены великими математиками. Например, Ферм, Бернулли, Паскаль.Позднее развитие теории вероятностей определились… Большой вклад в теорию вероятностей внесли ученые нашей страны: П.Л.Чебышев,… При повторении опытов мы обнаруживаем разброс их результатов. Например, повторяя измерения одной и той же величины…

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ... КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ... ПО МАТЕМАТИКЕ...

Теория вероятностей
Утверждение о том, что какое-либо событие наступает с вероятностью, равной, например 0,75, ещё не представляет само по себе окончательной ценности,… Имеющие научный и практический интерес выводы такого рода обычно основаны на… Предмет теории вероятностей Предмет теории вероятностей.Для описания закономерной связи между некоторыми условиями S и…

Теория вероятностей и математическая статистика
Предлагаемые методические указания предназначены для выполнения контрольной... Особенностью данного пособия является то обстоятельство что рассматриваемые задачи в данном пособии подобраны так...

ДОКЛАД по дисциплине Теория игр и исследование операций На тему: Теория игр, графический метод в теории игр
МИНОБРНАУКИ РОССИИ... ФГБОУ ВПО ВОСТОЧНО СИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕХНОЛОГИЙИ УПРАВЛЕНИЯ...

Теория циклов. Классическая теория циклов
Теория циклов... Классическая теория циклов... Основой классической теории циклов стало предположение о том что все вокруг подвержено циклам рождение жизнь и...

Кейнсианская, монетариская теория и теория рациональных ожиданий
Рекомендации кейнсианской теории принимали в Соединенных Штатах администрации и демократов, и республиканцев. Иных взглядов придерживался лауреат… Но экономическая мысль не стоит на месте, спустя некоторое время Роберт… Приведены основные отличия и сходства. Сходства и различия. Сравним кейнсианскую теорию и монетаризм, показав их в…

0.037
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • По категориям
  • По работам