Формула полной вероятности

Пусть событие А может произойти, когда происходит одно и только одно из событий H₁, H_2,…,H _n (гипотезы). Тогда вероятность события А может быть вычислена по формуле:

 

p(А) = р(Н1)р(А\Н1) + р(Н2)р(А\Н2) +…+ р(Нn)р(А\Нn),

(11)

 

т.е. вероятность события А равна сумме произведений вероятностей событий Н_i на условную вероятность Р(А\Н_i) (или ) событие А при условии, что событие Н_i произошло.

Пример 8. Имеются два ящика с деталями. В первом ящике содержится 7 деталей и среди них 3 бракованных; во втором – 5 деталей, среди которых 2 бракованных. Из первого ящика во второй наудачу перекладывается деталь. После этого из второго наудачу извлекается деталь. Найти вероятность того, что эта деталь окажется бракованной.

Решение. Пусть событие Н₁ – из первого ящика во второй переложили бракованную деталь; событие Н₂ - переложили качественную деталь. Тогда А = Н₁ × А + Н₂ × А (бракованную деталь из второго ящика можно достать в случае, если туда переложили бракованную деталь, или в случае, если переложена качественная деталь; т.е. событие А может произойти только вместе с событием Н₁, или вместе с событием Н₂). Применяя формулу (11) полной вероятности, получим

 

Р(А) = р(Н₁) × р(А\Н₁) + р(Н₂) × р(А\Н₂) = × + × = .

Пример 9. Торговая точка получает некоторый товар от двух поставщиков, причем 70% общего объема продукции поступает от первого поставщика, а 30% - от второго. Брак продукции первого поставщика составляет 2%, второго – 3%.

1. Какова вероятность того, что взятый наудачу товар окажется бракованным?

2. Товар оказался бракованным. Какова вероятность, что он поступил от первого поставщика?

Решение. 1. Пусть событие A – взятый наудачу товар оказался бракованным. Введем гипотезы: - товар поступил от первого поставщика, - от второго, тогда

Следовательно,

3. Пусть событие A – произошло, т.е. взятый наудачу товар оказался бракованным. Найдем вероятность того, что он поступил от первого поставщика. По формуле Байеса имеем