Формула Бернулли
Формулы теории вероятностей имеют смысл только в случае, когда возможно повторение испытаний достаточно большое число раз. Пусть производится п независимых испытаний и вероятность появления некоторого события А в каждом из испытаний равна р = р (А) и не зависит от номера испытания. Пусть q = 1 – p, тогда вероятность того, что в п независимых испытаниях событие А произойдет ровно т раз вычисляется по формуле Бернулли:
Рп(т) =  × рт × qп-т.
| (14) |
Пример 13. Играется матч между шахматистами X и Y. Вероятность того, что X выиграет каждую отдельную партию равна 
, вероятность выигрыша партии Y равна 
. Ничьих партий не бывает (т.е., если они происходят, то они не учитываются). Матч состоит из 6 партий. Найти вероятность выигрыша матча X, вероятность выигрыша матча Y и вероятность ничейного исхода.
Решение. Здесь число испытаний п = 6; р = , q = . Введем обозначения: Аi(I = 0,1,…, 6) – событие, заключающееся в том, что X выиграл i партий из 6. По условию задачи требуется найти р(А4 + А5 + А6) = р(А4) + р(А5) + р(А6) – X выиграл не менее четырех партий (здесь вероятность суммы равна сумме вероятностей, т.к. слагаемые в скобках – несовместимые события). Далее,
р(А4) = р6(4) = 
× 
× 
= 15× 
= 
,
р(А5) = р6(5) = 
× 
× 
= 6× 
= 
,
р(А6) = р6(6) = 
× 
× 
= 1× = 
.
Тогда вероятность того, что X выиграет матч равна
Р(А4 + А5 + А6) = 
= 0.68.
Ничья происходит при счете ”3 -3”, т.е.
Р(А3) = р6(3) = 
× 
× 
= 20 × 
= 
= 0.22.
Вероятность выигрыша матча Y равна
Р(А0 + А1 + А2) = 1 – р(А3 + А4 + А5 + А6) = 1 – 0.68 – 0.22 = 0.1.
Интересно заметить, что вероятность того, что наиболее искусный игрок не будет выявлен после шести партий не мала (0.32).
Наивероятнейшее число 
появления события в серии из n испытаний определяется неравенством
| (15) |
где p – вероятность появления события в одном испытании, q - вероятность не появления события в одном испытании.
Пример 14. В одном из учебных заведений обучается 2920 студентов. Вероятность того, что день рождения наудачу взятого по списку студента приходится на определенный день года равна 
Найти наивероятнейшее число студентов, родившихся 1 января.
Решение. Имеем
следовательно,
Поскольку - целое число, то = 8.