Дифференциальная функция распределения

 

Введем в рассмотрение функцию распределения

(24)

 

- вероятность того, что случайная величина Х примет значение меньшее, чем x. Справедливы следующие свойства функции распределения:

 

1. .

2. ,

 

если a £ b, т.е. вероятность попадания случайной величины Х в заданный интервал от a до b равна разности значений функции распределения на концах этого интервала.

 

3.

 

если х₁ £ х₂, т.е. функция распределения является неубывающей от своего аргумента.

Определение. Случайная величина называется непрерывной, если ее функция распределения почти всюду дифференцируема. (Мы будем считать, что она дифференцируема везде, за исключением разве что конечного числа точек.) Производную от функции распределения называют дифференциальной функцией распределения или плотностью вероятности

(25)

Свойства дифференциальной функции распределения вытекают из соответствующих свойств функции распределения:

 

1.

 

2.

 

Вероятность попадания случайной величины в интервал от α до β равна определенному интегралу от дифференциальной функции распределения.

 

3.

 

как производная от неубывающей функции.

Определение. Математическим ожиданием M(X) непрерывной случайной величины X называется

(26)

 

 

Дисперсией называется математическое ожидание от квадрата отклонения с.в. от ее математического ожидания:

(27)

Справедлива формула для вычисления дисперсии:

(28)

Дисперсия равна математическому ожиданию от квадрата случайной величины без квадрата математического ожидания.

Пример 22. Случайная величина задана следующей функцией распределения:

 

Требуются найти параметр а, математическое ожидание и дисперсию.

Решение. Вычислим дифференциальную функцию распределения:

 

Далее,

 

откуда

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины

 

 

 

 

Пример 23. Определить математическое ожидание M(X) случайной величины X, дисперсию D(X) по графику функции распределения y=F(x):

Решение. Запишем функцию распределения

Тогда плотность вероятности имеет вид

По определению математического ожидания и дисперсии имеем

Пример 24. Случайная величина распределена по показательному закону. По результатам наблюдаемых значений: 15, 15, 25, 10, 35 определить параметр

Решение. Если случайная величина распределена по показательному закону, то ее математическое ожидание В свою очередь, среднее значение случайной величины. Тогда

Пример 25. Случайная величина имеет плотность вероятности

Определить математическое ожидание случайной величины.

Решение. Если случайная величина распределена по показательному закону, то ее математическое ожидание Следовательно,