Нормальный закон распределения

 

Случайная величина называется распределенной по нормальному закону (нормальная с.в.), если ее дифференциальная функция распределения имеет следующий вид:

(29)

 

Математическое ожидание и дисперсия нормальной случайной величины соответственно равны а и s:

 

;

Величина s называется средним квадратичным отклонением. Введем в рассмотрение функцию Лапласа:

(30)

 

Известны следующие свойства функции Лапласа:

 

1.

 

т.е. функция Лапласа является нечетной функцией;

 

2.

если x₁ < x₂, т.е. функция Лапласа – монотонно возрастающая функция;

 

3. .

 

Значения функции Лапласа находят при помощи таблиц, причем при x > 5 (иногда и при x > 3) полагают .

Вероятность попадания нормального распределения с.в. в интервал от a до b вычисляется с помощью функции Лапласа по формуле

(31)

Вероятность отклонения нормального распределения случайной величины от ее математического ожидания меньше чем на e равна:

(32)

Пример 26. Случайная величина распределена по нормальному закону. По результатам наблюдаемых значений: 35, 15, 5, 25, 5 – оценить параметр распределения a.

Решение. Параметр a нормального распределения имеет смысл математического ожидания, которое, в свою очередь, равно среднему значению случайной величины, следовательно,

Пример 27. Случайная величина имеет плотность вероятности

Вычислить:

Решение. Математическое ожидание случайной величины равно 3, среднее квадратичное отклонение s равно 2, следовательно, дисперсия Тогда, пользуясь свойствами математического ожидания и дисперсии, получим