Интегральная теорема Муавра-Лапласа

 

Необходимость изучения нормально распределенных с.в. вытекает из следующей центральной предельной теоремы Ляпунова.

Если случайная величина Х представляет собой сумму достаточно большого числа независимых, одинаково распределенных случайных величин, причем влияние каждого из слагаемых на всю сумму мало, то закон распределения такой случайной величины близок к нормальному.

Пусть имеется некоторое случайное событие А, вероятность появления которого в каждом из независимых испытаний одинаково и равна р. Производится n независимых испытаний. Случайная величина Х – число появлений события А в n независимых испытаниях. Данная с.в. распределена по биноминальному закону и

 

M(X) = n × р; D(X) = n р q,

где q = 1 – p = p(). Если число испытаний велико, а вероятность наступления события А – р > 0, то на основании центральной предельной теоремы Ляпунова можно считать, что с.в. Х распределена по нормальному закону с параметрами а = n р, s = n р q. Тогда, как следует из формулы (30), вероятность того, что в n независимых испытаниях событие А наступит не менее k1 и не более k2 раз может быть вычислено по формуле

(33)

Последняя формула носит название интегральной теоремы Муавра-Лапласа. (Заметим, что в случае редких событий, т.е. для малых вероятностей, нужно пользоваться формулой Пуассона и распределением Пуассона, а при небольшом числе испытаний биноминальным распределением (14)).

Пример 28. В магазин приходит в день 1200 покупателей, каждый из которых с вероятностью p=0.6 покупает электрическую лампочку. Определить вероятность того, что будет куплено от 680 до 760 электрических лампочек.

Решение. Здесь р = 0.6, q = 0.4, n р = 1200 × 0.6 = 720, n р q = 720 × 0.4 = 288. Пусть X –число купленных лампочек. По интегральной теореме Муавра – Лапласа получаем