ОСНОВЫ МАТЕМАТИКИ

 

М.С.КРАСС. Б.П.ЧУПРЫНОВ

 

ОСНОВЫ

МАТЕМАТИКИ

И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ В ЭКОНОМИЧЕСКОМ

ОБРАЗОВАНИИ

 

РЕКОМЕНДОВАНО

МИНИСТЕРСТВОМ ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

В КАЧЕСТВЕ УЧЕБНИКА

ДЛЯ СТУДЕНТОВ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ,

ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ЭКОНОМИЧЕСКИМ СПЕЦИАЛЬНОСТЯМ

И НАПРАВЛЕНИЯМ

 

 

АКАДЕМИЯ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА

ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ИЗДАТЕЛЬСТВО "ДЕЛО"

МОСКВА 2001

 

УДК65.012(075.8)

ББК 65в6я73

К78

 

Рецензенты:

Гордеев Ю.Н., докт. физ.-мат. наук, профессор;

кафедра высшей математики

Московской государственной академии легкой промышленности

Красс М.С., Чупрынов Б.П.

К78 Основы математики и ее приложения в экономическом образовании: Учеб. — 2-е изд., испр. — М.: Дело, 2001. — 688 с.

ISBN 5-7749-0186-6

 

Изложены основы математического анализа, линейной алгебры, диффе­ренциальных уравнении, теории вероятностей. Приведены основные элемен­ты теории и методы оптимизации, используемые в различных экономических приложениях. Представлено большое число разобранных задач, имеется об­ширная подборка задач для самостоятельных упражнений и контрольных за­даний. Материал полностью соответствует государственному образовательно­му стандарту высшего образования для экономических специальностей.

Для студентов, аспирантов и преподавателей экономических и смежных технических специальностей вузов, экономистов-практиков,а также слушателей заочного и дистанционного обучения.

 

УДК 65.012(075.8)

ББК 65в6я73

Учебник

Максим Семенович КРАСС,

Борис Павлович ЧУПРЫНОВ

Основы математики и ее приложения

В экономическом образовании

Главный редактор Ю.В. Луизо. Зав редакцией Г.Г Кобякова Редактор Н.А Леонтьева. Художник Н.Н. Сенько. Компьютерная подготовка оригинал-макета Д.С.… ЛР № 064377 от 04.01.96 г. Гигиеническое заключение № 77. 99. 1. 953. П. 232. 12.98 от 10.12.98 г.

ПРЕДИСЛОВИЕ

 

Это учебное пособие написано на основе лекций, читаемых авторами в течение ряда лет в экономических вузах Москвы и Самары.

В книге изложены необходимые основы математического аппарата и примеры его использования в современных эконо­мических приложениях: математический анализ функций од­ной и нескольких переменных, элементы линейной алгебры, ос­новы теории вероятностей и математической статистики, эле­менты линейного программирования и оптимального управ­ления. Именно такой объем знаний актуален сегодня для лиц, получающих образование по экономическим специальностям (в том числе и второе образование), и соответствует требованиям государственных образовательных стандартов по экономичес­ким дисциплинам.

Изложение материала проведено почти без доказательств — основной упор сделан на приобретение навыков использова­ния математического аппарата. Каждый раздел сопровожда­ется решением большого числа характерных задач и соответ­ствующих экономических приложений, сложность которых по­степенно возрастает от раздела к разделу. Приложения, пред­ставляющие в экономике самостоятельный интерес, выделены в специальные разделы. Книга содержит также обширную под­борку задач и упражнений, оформленную в виде практикума с разделами по каждой теме.

Предлагаемое учебное пособие может успешно использоваться при изучении высшей математики и ее экономических приложений в высших и средних учебных заведениях, осущест­вляющих экономическое образование с широким спектром требований. Эта книга будет весьма полезной и востребованной при подготовке студентов и слушателей заочного и дистанци­онного обучения, при комплектовании контрольных заданий можно использовать практикум.

Благодаря обширному материалу и большому числу раз­обранных задач и экономических приложений предлагаемая книга может служить справочным пособием для специалистов, работающих в различных областях экономики.

 

ВВЕДЕНИЕ

 

Математика — одна из самых древних наук. Она появилась из насущных нужд человека, когда возникла потребность в количественном отображении окружающего его мира.

Статус самостоятельной науки математика приобрела в Древней Греции примерно в VI в. до н. э. Все философские школы того времени включали математику в круг вопросов миросозерцания; строгий язык формальной логики (именно он стал языком математики) формировал уровень и строй мышления. В III в. до н. э. математика выделилась из философии, что отражено в "Началах" — эпохальном труде, прославившем в веках имя Евклида и заложившем фундамент классической геометрии. Более двух тысяч лет математику изучали по этой книге.

Много веков после этого математика практически не эво­люционировала, XVII век стал эпохой ее бурного развития. Применение математики Галилеем и Кеплером в исследова­нии движения небесных тел привело к поразительным по тому времени открытиям — законам движения планет вокруг Солнца. Труды Декарта, Ньютона и Лейбница ознаменовали новый этап развития математики — появление математики перемен­ных величин. Начинается период дифференциации единой нау­ки на ряд самостоятельных математических наук: алгебру, ма­тематический анализ, аналитическую геометрию. В свою оче­редь это инициировало интенсивное развитие физики и астро­номии.

Имена русских ученыхзанимают достойное место в исто­рии развития математики: Н.И. Лобачевский (1792 — 1856), М.В. Остроградский (1801 — 1861), П. Л. Чебышев (1821 — 1894), А.А. Марков (1856 — 1922) и другие. Достижения современной математики во многом обусловлены трудами из­вестных российских ученых: В. И. Арнольда, С. Н. Бернштейна, Л. В. Канторовича, А. Н. Колмогорова, И. Г. Петровского, Л. С. Понтрягина, Ю. В. Прохорова, А. Н. Тихонова и многих других.

Современная математика характеризуется интенсивным проникновением в другие науки, во многом этот процесс про­исходит благодаря разделению математики на ряд самостоя­тельных областей. Язык математики оказался универсальным, и это есть объективное отражение универсальности законов окружающего нас многообразного мира.

Экономика как наука об объективных причинах функцио­нирования и развития общества еще со времен Адама Смита пользуется разнообразными количественными характеристи­ками, а потому вобрала в себя большое число математичес­ких методов. Современная экономика использует специальные методы оптимизации, составляющие основу математического программирования, теории игр, сетевого планирования, тео­рии массового обслуживания и других прикладных наук.

Изучение математических дисциплин и их экономических приложений, составляющих основу актуальной экономической математики, позволит будущему специалисту не только при­обрести необходимые базовые навыки, используемые в эконо­мике, но и сформировать компоненты своего мышления: уро­вень, кругозор и культуру. Все это понадобится для успешной работы и для ориентации в будущей профессиональной дея­тельности.

 

Раздел I. ОСНОВЫ МАТЕМАТИКИ

Часть 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

 

Математический анализ представляет собой основу всей высшей математики. Его содержание составляют дифферен­циальное и интегральное исчисления одной и нескольких пере­менных.

Глава 1. МНОЖЕСТВА

Множества. Основные обозначения. Операции над множествами

 

Понятие множества является одним из основных в ма­тематике. Система, семейство, совокупность — эти термины можно считать синонимами слова "множество". Множество можно определить как совокупность объектов, объединенных по определенному признаку. Например, множество зрителей в данном кинотеатре; множество студентов определенного учеб­ного заведения; совокупность студентов, учащихся на "хоро­шо" и "отлично" в некоторой школе, совокупность коммерчес­ких банков, имеющих уставный фонд не ниже 100 миллиардов рублей. Множество может содержать конечное или бесконеч­ное число объектов.

Объекты, составляющие множество, называются его эле­ментами или точками. Обычно множества обозначаются боль­шими буквами, а входящие в них элементы — малыми буква­ми. Выражение "элемент х из множества Х" соответствует записи х Х (х принадлежит X); если же элемент х не вхо­дит в множество X, то это соответствует записи х Х (х не принадлежит X).

Пусть Х и Y — два множества. Тогда между ними мож­но определить следующие соотношения. Если оба множества состоят из одних и тех же элементов, то они совпадают, что соответствует записи X=Y. Если все элементы множества Х содержатся в множестве Y, то Х целиком содержится в Y, или Х Y (X является подмножеством множества Y). Если ни один элемент множества Х не содержится в Y, то, значит, и само множество X не содержится в Y, или X Y.

В математике используется понятие пустого множества, обозначаемого символом Ø. Это множество, в котором не содер­жится ни один элемент, и потому оно является подмножеством любого множества.

Введем также понятия суммы множеств и их пересечения. Суммой или объединением двух множеств Х и.Y называет­ся совокупность элементов, входящих как в множество X, так и в множество Y. Сумма этих множеств обозначается XY. Например, пусть Х — множество государственных предприя­тий с годовым оборотом не ниже S денежных единиц, а Y — множество негосударственных предприятий с тем же порогом годового оборота; тогда Х Y будет множеством всех пред­приятий с указанным нижним ограничением S.

Отметим, что добавление пустого множества Ø к любому множеству Х не меняет этого множества, т.е.

 

Х Ø = Х.

 

Пересечением множеств Х и Y (или их общей частью) яв­ляется совокупность элементов, входящих как в множество X, так и в множество Y; это множество обозначается Х Y. На­пример, если Х — это множество предприятий с годовым обо­ротом Т не ниже s, а Y — совокупность предприятий с годовым оборотом не более S, причем s < S, то в пересечение Х Y войдут объекты с годовым оборотом T, удовлетворяющим не­равенству

 

 

s ≤ T ≤ S.

Отсутствие элементов со свойствами множеств Х и У одновременно означает, что пересечение этих множеств представ­ляет собой пустое множество Ø. Схематически пересечение двух множеств показано на рис. 1.1 (заштрихованная область).

Рис. 1.1

Разностью множеств Х и Y называется множество Z, со­держащее все элементы множества X, не содержащиеся в Y; эта разность обозначается Z = Х \ Y.

В общем случае сложение и пересечение определяются для любого конечного числа множеств путем последовательного попарного проведения соответствующих операций.

В математических формулировках довольно часто исполь­зуются отдельные предложения и слова, так что при их записи целесообразно употреблять экономную логическую символику. Вместо выражения "любое х из множества X" употребима за­пись , где перевернутая латинская буква взята от начала английского словаAny — любой. Аналогично вместо выражения "существует элемент х из множества X" кратко пишут:, где перевернутая латинская буква является начальной в английском словеExistence — существование.

 

Вещественные числа и их свойства

 

Множество вещественных чисел является бесконечным.Оносостоит из рациональных и иррациональных чисел. Рациональ­ным называется число вида p/q, где р и q — целые числа. Вся­кое вещественное число, не являющееся рациональным, назы­вается иррациональным. Всякое рациональное число либо является целым, либо представляет собой конечную или пери­одическую бесконечную десятичную дробь. Например, рацио­нальное число 1/9 можно представить в виде 0,11111.... Иррациональное число представляет собой бесконечную неперио­дическую десятичную дробь; примеры иррациональных чисел:

 

= 1,41421356...; = 3,14159265....

 

Сведения о вещественных числах могут быть кратко сис­тематизированы в виде перечисления их свойств.

А. Сложение и умножение вещественных чисел

Для любой пары вещественных чисел а и b определены единственным образом два вещественных числа а + b и а ∙ b, называемые соответственно их… 1. a + b = b + а, а ∙ b = b ∙ а (переместительное свойство). 2. а + (b + с) = (а + b) + с, а ∙ (b ∙ с) = (а ∙ b) ∙ с (сочетательное свойство).

В. Сравнение вещественных чисел

Для любых двух вещественных чисел имеет место одно из трех соотношений: а = b (а равно b), а > b (а больше b) или а < b (а меньше b).… Отношение "больше" обладает следующими свойствами. 8. Если а > b и b > с, то а > с.

С. Непрерывность вещественных чисел.

12. Пусть Х и Y — два множества вещественных чисел. Тогда, если для любых чисел и выполняется неравенство х ≤ у, то существует хотя бы одно число с, такое, что для всех х и у выполняются нера­венства х ≤ с ≤ у.

Отметим здесь, что свойством непрерывности обладает множество всех вещественных (действительных) чисел, но не обладает множество, состоящее только из рациональных чисел.

Таким образом, вещественные числа представляют собой множество элементов, обладающих свойства­ми А-С. Такое определение, из которого выводятся ос­тальные свойства, называется аксиоматическим, а сами свойства А-С — аксиомами вещественных чисел.

Числовая прямая (числовая ось) и множества на ней

Здесь нам понадобится понятие о соответствии множеств, позже мы еще раз обратимся к нему в разделе о функциональ­ной зависимости. Будем говорить,… Оказывается, что между множеством вещественных чисел и множеством точек на…  

Рис. 1.2

 

Эти три действия полностью определяют нам числовую (ко­ординатную) ось. На ней вещественные числа изображаются в виде точек. Пусть М — произвольная точка на этой оси. По­ставим ей в соответствие число x, равное по величине длине отрезка ОМ, со знаком +, если точка М находится справа от начала отсчета, или со знаком —, если М расположена слева от точки О. Тогда число х называется координатой точки х. Справедливо и обратное утверждение: каждому вещественно­му числу х соответствует определенная точка на координатной оси, координата которой равна х.

Пусть а и b — два числа, причем а < b. Укажемнекоторыенаиболее употребительные числовые множества:

1) множество всех чисел, удовлетворяющих неравенству а ≤ х ≤ b, называется отрезком (сегментом) и обозначается [а, b];.

2) множество всех чисел, удовлетворяющих строгому неравен­ству а < х < b, называется интервалом и обозначается (а,b);

3) множество всех вещественных (действительных) чисел бу­дем обозначать

 

 

4) аналогично пп. 1-3 можно определить числовые множества типа (a,b], [а, b), (а, +), (-,b), [а, +) и (-, b].

Все эти множества называются промежутками; промежут­ки типа 1 и 2 и первые два из п. 4 называются конечными, а числа а и b — их концами; остальные промежутки называются бесконечными. Промежутки первых двух типов из п. 4 называются полуинтервалами.

Числовым промежуткам соответствуют промежутки на координатной оси. Сегмент [а, b] изображается отрезком М₁М₂, таким, что точка M₁ имеет координату а, точка M₂ — координату b. Вся координатная прямая является изображени­ем множества всех вещественных чисел, и потому множество (-, ) называется числовой прямой (осью), а любое число называется точкой этой прямой.

Грани числовых множеств

Будем говорить, что множество Х ограничено сверху (снизу), если существует число d, такое, что для любого х Х выполняется неравенство х ≤ d (х… Любое ограниченное сверху (снизу) множество имеет бесконечное число верхних… Приведем некоторые примеры. Пусть Х = (а, b). В таком cлучае числа а и b являются точными нижней и верхней граня­ми…

Абсолютная величина числа

  х, если х ≥ 0; |x| =

УПРАЖНЕНИЯ

 

Определить множества значений x, удовлетворяющих следую­щим условиям.

 

1.1.|х|<2.1.2. x² ≤ 9.1.3. х² > 25. 1.4. |x – 3| <1.1.5. (x² + l) ≤ 17. 1.6 (x² - 3)≥1.1.7. х - х² > 0.

1.8. x² – 2x + 7 > 0.1.9.x² – 2x + 5 < 0.

Глава 2. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

Числовые последовательности

Числовые последовательности и операции над ними

 

Числовые последовательности представляют собой беско­нечные множества чисел. Примерами последовательностей мо­гут служить: последовательность всех членов бесконечной гео­метрической прогрессии, последовательность приближенных значений (x₁ = 1, х₂ = 1,4, х₃ = 1,41, ...), последовательность периметров правильных n-угольников, вписанных в данную окружность. Уточним понятие числовой последова­тельности.

Определение 1. Если каждому числу n из натурального ряда чисел 1, 2, 3,..., п,... поставлено в соответствие вещественное число x_п, то множество вещественных чисел

 

x₁, x₂, x₃, …, x_n, … (2.1)

 

называется числовой последовательностью, или просто после­довательностью. .

Числа х₁, x₂, x₃, ..., x_п, ... будем называть элемента­ми, или членами последовательности (2.1), символ x_п — об­щим элементом, или членом последовательности, а число п — его номером. Сокращенно последовательность (2.1) будем обо­значать символом {х_п}. Например, символ {1/n} обозначает последовательность чисел

 

.

 

Иными словами, под последовательностью можно понимать бесконечное множество занумерованных элементов или мно­жество пар чисел (п, x_п), в которых первое число принимает последовательные значения 1, 2, 3, ... . Последовательность считается заданной, если указан способ получения любого ее элемента. Например, формула x_п = -1 + (-1)ⁿ определяет последовательность 0, 2, 0, 2,... .

Геометрически последовательность изображается на число­вой оси в виде последовательности точек, координаты кото­рых равны соответствующим членам последовательности. На рис. 2.1 изображена последовательность {х_п} = {1/n} на чи­словой прямой.

 

 

Понятие сходящейся последовательности

Определение 2. Число а называется пределом последова­тельности {x_n}, если для любого положительного числа ε су­ществует такой номер N, что при всех п > N выполняется неравенство

 

(2.2)

 

Последовательность, имеющая предел, называется сходя­щейся. Если последовательность имеет своим пределом число а, то это записывается так:

 

 

Последовательность, не имеющая предела, называется рас­ходящейся.

Определение 3. Последовательность, имеющая своим преде­лом число а = 0, называется бесконечно малой последователь­ностью.

Замечание 1. Пусть последовательность {х_п} имеет своим пределом число а. Тогда последовательность {α_n}= {x_n — a} есть бесконечно малая, т.е. любой элемент x_п сходящейся последовательности, имеющей предел а, можно представить в виде

 

 

где α_n — элемент бесконечно малой последовательности {α_n}.

Замечание 2. Неравенство (2.2) эквивалентно неравен­ствам (см. свойство 4 модуля числа из п. 1.5)

 

 

 

Это означает, что при п > N все элементы последователь­ности {x_n} находятся в ε-окрестности точки а (рис. 2.2), причем номер N определяется по величине ε.

Интересно дать геометрическую интерпретацию этого определения. Поскольку последовательность представляет со­бой бесконечное множество чисел, то если она сходится, в лю­бой ε-окрестности точки а на числовой прямой находится бес­конечное число точек — элементов этой последовательности, тогда как вне ε-окрестности остается конечное число элемен­тов. Поэтому предел последовательности часто называют точ­кой сгущения.

Замечание 3. Неограниченная последовательность не имеет конечного предела. Однако она может иметь бесконеч­ный предел, что записывается в следующем виде:

 

(2.3)

 

Если при этом начиная с некоторого номера все члены по­следовательности положительны (отрицательны), то пишут

 

 

Если {x_n} — бесконечно малая последовательность, то {1/x_п} — бесконечно большая последовательность, имеющая бесконечный предел в смысле (2.3), и наоборот.

Приведем примеры сходящихся и расходящихся последова­тельностей.

Пример 1. Показать, используя определение предела последовательности, что .

Решение. Возьмем любое число ε > 0. Так как

 

 

то чтобы выполнялось неравенство (2.2), достаточно решить неравенство 1 / (n + 1) < ε, откуда получаем n > (1 — ε) / ε. Доста­точно принять N = [(1 — ε)/ε] (целая часть числа (1 — ε)/ ε)* , чтобы неравенство |x_п — 1| < ε выполнялосьпривсех п > N.

* Символ [a] означает целую часть числа а, т.е. наибольшее целое число, не превосходящееа. Например,[2] = 2, [2,5] = 2, [0,8] = 0, [-0, 5] = -1, [-23,7] = -24.

Пример 2. Показать, что последовательность {х_п} = (-1)ⁿ, или -1, 1, -1, 1,... не имеет предела.

Решение. Действительно, какое бы число мы ни предпо­ложили в качестве предела: 1 или —1, при ε < 0,5 неравенство (2.2), определяющее предел последовательности, не удовлетво­ряется — вне ε -окрестности этих чисел остается бесконечное число элементов x_п: все элементы с нечетными номерами рав­ны —1, элементы с четными номерами равны 1.

 

Основные свойства сходящихся последовательностей

 

Приведем основные свойства сходящихся последовательнос­тей, которые в курсе высшей математики сформулированы в виде теорем.

 

1. Если все элементы бесконечно малой последователь­ности {х_п} равны одному и тому же числу с, то с = 0.

2. Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

3. Сходящаяся последовательность ограничена.

4. Сумма (разность) сходящихся последовательностей {х_п} и {у_п} есть сходящаяся последовательность, предел которой равен сумме (разности) пределов последо­вательностей {x_п} и {y_п}.

5. Произведение сходящихся последовательностей {х_п} и {у_п} есть сходящаяся последовательность, предел ко­торой равен произведению пределов последовательностей {х_п} и {у_п}.

6. Частное двух сходящихся последовательностей {х_п} и {у_п} при условии, что предел последовательности {у_п} отличен от нуля, есть сходящаяся последователь­ность, предел которой равен частному пределов после­довательностей {х_п} и {y_п}.

7. Если элементы сходящейся последовательности {х_n} удовлетворяют неравенству x_п ≥ b (х_п ≤ b) начиная с некоторого номера, то и предел а этой последова­тельности удовлетворяет неравенству а ≥ b (а ≤ b).

8. Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность или на число есть бесконечно малая последовательность.

9. Произведение конечного числа бесконечно малых после­довательностей есть бесконечно малая последователь­ность.

 

Рассмотрим применение этих свойств на примерах.

Пример 3. Найти предел .

Решение. При n числитель и знаменатель дроби стремятся к бесконечности, т.е. применить сразу теорему о пределе частного нельзя, так как она предполагает сущест­вование конечных пределов последовательностей. Преобразу­ем данную последовательность, разделив числитель и знаме­натель на n². Применяя затем теоремы о пределе частного, пределе суммы и снова пределе частного, последовательно на­ходим

 

Пример 4. Найти предел последовательности {x_п} = при п .

Решение. Здесь, как и в предыдущем примере, числитель и знаменатель не имеют конечных пределов, и потому снача­ла необходимо выполнить соответствующие преобразования. Поделив числитель и знаменатель на n, получаем

 

 

Поскольку в числителе стоит произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность,то в силу свойства 8 окончательно получаем

 

Пример 5. Найти предел последовательности {х_п} = при п .

Решение. Здесь применить непосредственно теорему о пределе суммы (разности) последовательностей нельзя, так как не существует конечных пределов слагаемых в формуле для {х_п}. Умножим и разделим формулу для {х_n} на сопряженное выражение :

 

 

Число е

 

Рассмотрим последовательность {х_п}, общий член которой выражается формулой

 

В курсе математического анализа доказывается, что эта последовательность монотонно возрастает и имеет предел. Этот предел называют числом е. Следовательно, по определе­нию

 

 

Число е играет большую роль в математике. Далее будет рассмотрен способ его вычисления с любой требуемой точнос­тью. Отметим здесь, что число е является иррациональным; его приближенное значение равно е = 2,7182818... .

Применение в экономике

Рассмотрим два примера из экономики на использование числа е. Пример 1. Известно, что формула сложных процентов имеет вид  

УПРАЖНЕНИЯ

Найти пределы следующих последовательностей. 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6. 2.7. 2.8. 2.9. Прирост населения страны составляет р процентов в год. За сколько лет население страны удвоится? Дать ответ при…

Понятие функции

Определение функциональной зависимости Определение 1. Пусть Х и Y — некоторые числовые множес­тва и пусть каждому… Кроме буквы f для обозначения функции используются и другие буквы, другими буквами может обозначаться также и…

Рис. 3.1

Пример 2. у = . Функция задана на отрезке [—1, 1], множество ее значений — отрезок [0, 1]. Это половина окруж­ности, лежащая в верхней полуплоскости (рис. 3.2).

 

Рис. 3.2

 

+1, если x > 0;

Пример 3. у = sign x = 0, если х = 0;

-1, если х < 0.

Термин sign происходит от латинского signum — знак. Функ­ция задана на всем бесконечном промежутке (-,), а область ее значений состоит из трех чисел: —1, 0, 1 (рис. 3.3).

 

Рис. 3.3

Стрелки означают, что полупрямые не достигают точек ни оси ординат, так как при х = 0 значение функции определено по другому соответствию.

3. Графический способ. Здесь соответствие между аргу­ментом и функцией задается посредством графика. Этот спо­соб обычно используется в экспериментальных измерениях с употреблением самопишущих приборов (осциллографы, сейс­мографы и т.п.).

 

Область определения функции

 

Остановимся на процедуре нахождения области определе­ния функции.

1. В том случае, когда функция задана в аналитическом виде (посредством формулы)

 

(3.1)

 

и никаких ограничений или оговорок более не имеется, область ее определения устанавливается исходя из правил выполнения математических операций, входящих в формулу f в (3.1). Эти ограничения хорошо известны: подкоренное выражение в кор­не четной степени не может быть отрицательным, знаменатель дроби не может быть равным нулю, выражение под знаком ло­гарифма должно быть только

положительным, а также неко­торые другие. Приведем здесь два примера.

Пример 1.у = log₂ (x² — 5x + 6).

Область определения этой функции находится из условия x² — 5x + 6 > 0. Поскольку x = 2 и x = 3 — корни квадратно­го трехчлена, стоящего под знаком логарифма, то это условие выполняется на двух полубесконечных интервалах: (-, 2) и (3, ). На рис. 3.4 выделена заштрихованная полоса, в которой график функции отсутствует.

Рис. 3.4

Пример 2. у = arcsin .

Область определения этой функции находится из совокуп­ности двух условий: аргумент под знаком arcsin не может быть по модулю больше единицы и знаменатель аргумента не дол­жен равняться нулю, т.е.

 

 

Двойное неравенство эквивалентно двум более простым нера­венствам: х + 2 ≥ 1 и х + 2 ≤ -1. Отсюда получаем, что область определения функции состоит из двух полубесконечных проме­жутков: (-, -3] и (-1, ). Запретная точка х = -2 сюда не попадает. В отличие от предыдущего примера концы полуин­терваловвходят в область определения функции.

2. Область определения функции задана вместе с функцией f(x).

Пример 3. у = 3x^-4­­^/3 + 2, 1 ≤ х ≤ 4.

 

3. Функция имеет определенный прикладной характер, и область ее существования определяется также и реальными значениями входящих параметров (например, задачи с физи­ческим смыслом).

Определение 2. Функция у = f(x) называется четной (сим­метрия относительно оси Оу), если для любых значений аргу­мента из области ее определения выполнено равенство

 

Определение 3. Функция у = f(x) называется нечетной (симметрия относительно начала координат О), если выпол­нено условие:

 

 

Например, функции у = х² и у = cos x являются четными, а функции у = x³ и у = sin x— нечетными.

 

Приложения в экономике

 

Приведем примеры использования функций в области эко­номики.

1. Кривые спроса и предложения. Точка равнове­сия. Рассмотрим зависимости спроса D (demand) и предложе­ния S (supply) от цены на товар Р (price). Чем меньше цена, тем больше спрос при постоянной покупательной способности населения. Обычно зависимость D от Р имеет вид ниспадаю­щей кривой (рис. 3.5, а):

 

(3.2)

 

где а < 0. В свою очередь предложение растет с увеличением цены на товар, и потому зависимость S от Р имеет следующую характерную форму:

 

(3.3)

 

где b ≥ 1 (рис. 3.5, б). В формулах (3.2) и (3.3) с и d — так называемые экзогенные величины; они зависят от внешних причин (благосостояние общества, политическая обстановка и т.п.). Вполне понятно, что переменные, входящие в формулы (3.2) и (3.3), положительны, поэтому графики функций имеют смысл только в первой координатной четверти.

 

Рис. 3.5

 

Для экономики представляет интерес условие равновесия, т.е. когда спрос равен предложению; это условие дается урав­нением

 

 

и соответствует точке пересечения кривых D и S — это так называемая точка равновесия (рис. 3.6). Цена Ро, при которой выполнено условие (3.4), называется равновесной.

 

Рис. 3.6

 

При увеличении благосостояния населения, что соответ­ствует росту величины с в формуле (3.2), точка равновесия М смещается вправо, так как кривая D поднимается вверх; при этом цена на товар растет при неизменной кривой предло­жения S.

2. Паутинная модель рынка. Рассмотрим простейшую задачу поиска равновесной цены. Это одна из основных проб­лем рынка, означающая фактически торг между производите­лем и покупателем (рис. 3.7).

 

Рис. 3.7

Пусть сначала цену P₁ называет производитель (в прос­тейшей схеме он же и продавец). Цена P₁ на самом деле выше равновесной (естественно, всякий производитель стремится по­лучить максимум выгоды из своего производства). Покупатель оценивает спрос D₁ при этой цене и определяет свою цену Р₂, при которой этот спрос D₁ равен предложению. Цена Р₂ ниже равновесной (всякий покупатель стремится купить подешев­ле). В свою очередь производитель оценивает спрос D₂, соот­ветствующий цене P₂, и определяет свою цену Р₃, при которой спрос равен предложению; эта цена выше равновесной. Процесс торга продолжается и при определенных условиях приводит к устойчивому приближению к равновесной цене, т.е. к "скручи­ванию" спирали. Если рассматривать последовательность чисел, состоящую из называемых в процессе торга цен, то она имеет своим пределом равновесную цену Р₀: P_n = P₀.

Предел функции

Предел функции в точке   Пусть функция f(x) определена на некотором множестве X. Возьмем из Х последовательность точек

Теоремы о пределах функций

Арифметические операции над функциями, имеющими пре­дел в точке а, приводят к функциям, также имеющим предел в этой точке. ТЕОРЕМА 2. Пусть функции f(x) и g(х) имеют в точке а пределы А и В. Тогда… ТЕОРЕМА 3. Пусть функции f(x), g(x) и h(x) определены в некоторой окрестности точки а за исключением, быть мо­жет,…

Два замечательных предела

В этом разделе приводятся два предела функции, которые наиболее широко используются в математике и ее приложени­ях. Доказательства соответствующих… ТЕОРЕМА 4. Предел функции в точке х =0 существу­ет и равен единице, т.е.

Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Аналогично определяются бесконечно малые при х , х ±, х а+ и х а—. ТЕОРЕМА 6. Алгебраическая сумма и произведение конечно­го числа бесконечно… Определение 2. Функция f(x) называется бесконечно большой функцией в точке а (или просто бесконечно большой), если для…

Понятие непрерывности функции

Понятие непрерывности функции является фундаментальным в математическом анализе. Сформулируем его на языке последовательности. Пусть функция f(x)… Определение 1. Функция f(x) называется непрерывной в точке а, если предел этой…  

Непрерывность элементарных функций

Непрерывность элементарных функций в точке   Постоянная функция f(x) = С является непрерывной в лю­бой точке числовой прямой. Действительно, f(x) = С = f(а), что…

Рис. 3.8

Понятие сложной функции

Приведем примеры сложных функций. Пример 1.у = cos —сложная функция, определенная на полубесконечном интервале… Пример 2. у = — сложная функция, определенная на всей числовой прямой, поскольку у = f(z) = еz , z = φ(x) =…

Элементы аналитической геометрии на плоскости

Уравнение линии на плоскости   Пусть на плоскости задана система координат. Рассмот­рим уравнение вида

Рис. 3.9

 

 

Определим самые необходимые элементы знания о прямых на плоскости.

1. Кроме "классического" уравнения прямой (3.11) следует знать еще две его разновидности. Первая из них — это уравне­ние прямой с заданным угловым коэффициентом k, проходящей через заданную точку М₀(x₀, у₀):

 

 

Другой вид — это уравнение прямой, проходящей через две заданные точки на плоскости M₁(x₁, y₁) и М₂(х₂, у₂):

2. Угол между прямыми. Рассмотрим две прямые, заданные уравнениями у = k₁x + b₁ и у = k₂x + b2, где k₁ = tg φ₁ и k₂ = tg φ₂ (рис. 3.10). Пусть φ — угол между этими прямы­ми. Тогда φ = φ₂ — φ₁ и мы получаем tg φ = tg (φ₂ — φ₁) = или, что то же самое,

 

 

Рис. 3.10

 

Формула (3.12) определяет один из углов между пересекающи­мися прямыми; второй угол равен π - φ.

Из равенства (3.12) вытекают условия параллельности и перпендикулярности прямых. В самом деле, если прямые па­раллельны, то

 

 

Если прямые перпендикулярны, то α₂ = π/2 + α₁, откуда tg α₂ = -ctg α₁ = -1 / tg α₁, или окончательно

 

Пример 1. Найти угол между прямыми, заданными уравне­ниями у = 2x - 5 и у = -3x + 4.

Решение. Подставляя в формулу (3.12) значения k₁ = 2 и k₂ = -3, имеем

 

 

откуда получаем, что один из углов равен φ = π / 4.

3. Расстояние от точки до прямой. Пусть прямая за­дана уравнением общего вида (3.10). Тогда расстояние dотпроизвольной точки М₀(x₀, y₀) до прямой (рис. 3.11)даетсяформулой

 

Рис. 3.11

Линии второго порядка

Рассмотрим здесь три наиболее используемыxвида линий: эллипс, гиперболу и параболу.

1. Эллипс. Линия, для всех точек которой сумма рассто­яний от двух данных точек, называемых фокусами, есть вели­чина постоянная и большая, чем расстояние между фокусами, называется эллипсом.

Согласно определению эллипса, сумма расстояний от произвольной точки М на этой линии до его фокусов F₁ и F₂ по­стоянна (рис. 3.12):

 

 

Рис. 3.12

 

Отсюда можно вывести уравнение эллипса в его основной (канонической) форме:

 

 

где а и b — полуоси эллипса, b² = а² — с², точка O (0,0) — центр эллипса, с — половина расстояния между фокусами эл­липса. Из уравнения (3.13) следует, что оси эллипса являются его осями симметрии, а точка их пересечения — центром его симметрии.

 

 

В частном случае, когда a = b, фокусы эллипса сливаются, т.е. с = 0, и мы имеем окружность радиуса а с центром в начале координат. Характеристикой эллипса, показывающей меру его вытянутости, является эксцентриситет — величина, определяемая отношением

 

 

2. Гипербола. Гиперболой называется линия, для всех то­чек которой модуль разности расстояний от двух данных то­чек, называемых фокусами, есть величина постоянная и мень­шая, чем расстояние между фокусами.

На рис. 3.13 показаны все основные элементы гиперболы. Разность расстояний от произвольной точки М на гиперболе до фокусов F₁ и F₂, согласно определению, есть величина по­стоянная:

 

 

Из этой основной предпосылки выводится каноническое урав­нение гиперболы, которое имеет вид

 

где b² = с² — а².

Нетрудно видеть, что прямые у = ±х являются наклонными асимптотами гиперболы. Линия (3.14) имеет две оси сим­метрии, точка пересечения которых является центром симмет­рии гиперболы.

3. Парабола. Параболой называется линия, все точки ко­торой находятся на одинаковом расстоянии от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой дирек­трисой и не проходящей через фокус.

Согласно определению, точка М(х, у) лежит на параболе, если r₁ = r₂. Отсюда и выводится каноническое уравнение параболы, которое имеет вид

 

 

График параболы (3.15) показан на рис. 3.14. Нетрудно видеть, что перемена осей координат приводит к более привычному уравнению параболы вида у = Ах², где А — постоянное число.

 

Рис. 3.14

УПРАЖНЕНИЯ

Найти области определения функций, заданных следующими формулами. 3.1. у = 3x - 2.3.2. у = х2 – 5x + 6.3.3. . 3.4. . 3.5. . 3.6. . 3.7. . 3.8. .… 3.15.f(x) = x2 + x – 2, найти f(0), f(1), f(-3).3.16.f(x)=arccos(lg x), найти f(1/10), f(1), f(10). 3.17. .

Глава 4. ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

Понятие производной

Определение производной

Пусть функция f(x) определена на некотором промежутке X. Придадим значению аргумента в точке x0 Х произволь­ное приращение Δx так, чтобы точка… Определение 1. Производной функции f(x) в точке x0 назы­вается предел… Для обозначения производной функции употребимы симво­лы у' (x0) или f'(x0):

Понятие дифференциала функции

Определение и геометрический смысл дифференциала Определение 1. Дифференциалом функции у = f(x) в точке x0 называется главная…  

Правила дифференцирования суммы, произведения и частного

 

Приведем без доказательства одну из основных теорем диф­ференциального исчисления.

ТЕОРЕМА 2. Если функции и(х) и v(x) дифференцируемы в точке х₀, то сумма (разность), произведение и частное этих функций (частное при условии v(x) ≠ 0) также дифференци­руемы в этой точке, причем справедливы следующие форму­лы:

 

Таблица производных простейших элементарных функций

 

Производные всех простейших элементарно функций мо­жно свести в следующую таблицу.

1. (С)' = 0, где С — постоянное число.

2. (x^α)' = αx^α-1; в частности, = - , ()' = .

3. (log_ax)' = log_ae; в частности, (ln x)' = .

4. (а^x)' = a^x ln а; в частности, (е^x)' = е^x.

5. (sin x)' = cos x.

6. (cos x)’= -sin x.

7.(tg x)' = .

8. (ctg x)' = - .

 

9. (arcsin х)' = .

10. (arccos x)' = - .

11. (arctg x)' = .

12. (arcctg x)' = - .

 

Формулы, приведенные в таблице, вместе с правилами диф­ференцирования (теорема 4.2) являются основными формула­ми дифференциального исчисления. Отсюда можно сделать важный вывод: поскольку производная любой элементарной функции есть также элементарная функция, то операция диф­ференцирования не выводит из класса элементарных функций.

 

Дифференцирование сложной функции

ТЕОРЕМА 3. Пусть функция х = φ(t) имеет производную в точке t0, а функция у = f(x) имеет производную в соответ­ствующей точке x0 = φ(t0).…

УПРАЖНЕНИЯ

4.1.у = x3 + 3x2 – 2x +1.4.2. у = 5x7 + 3x3 – 4x - 1. 4.3.у = + . 4.4. y = 4.5. y = 4.6. у = 3x5 + 2 sin x + 5 tg x. 4.7. у = 4.8. у = log2 х — 3 log3 x. 4.9. у = 3ex + arctg х — arcsin x.

Глава 5. ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ В ИССЛЕДОВАНИИ ФУНКЦИЙ

 

L. Раскрытие неопределенностей

Правило Лопиталя   Будем говорить, что отношение двух функций при x a есть неопределенность вида , если

Пример 1.

 

Здесь мы дважды последовательно применили правило Ло­питаля, поскольку два раза имели дело с неопределенностью вида .

Пример 2.

Пример 3.

Неопределенности вида

Будем называть отношение двух функций при х а неопределенностью вида , если , -или +. В этом случае правило Лопиталя остается справед­ливым при замене условия на условие .

Пример 4.

Пример 5.

 

Другие виды неопределенностей

 

Неопределенности вида 0 ∙ и — можно свести к неопределенностям вида и . Покажем это на примерах.

Пример 6. Найти предел x ln x.

Решение. Здесь неопределенность вида 0 ∙ . Преобразуем функцию под знаком предела: х ln х = и теперь уже имеем неопределенность вида при х 0+. Теперь, применяя правило Лопиталя, получаем

 

Пример 7. Найти (cosec x — ctg x).

Решение. Это неопределенность вида — . Преобразуя функцию под знаком предела, получаем

 

 

Теперь это неопределенность вида при х 0. Правило Ло­питаля дает нам

 

 

Рассмотрим неопределенности вида 0⁰, 1, ⁰, возникаю­щие при вычислении пределов функций у = и(х)^v(x). Неопреде­ленности этого вида сводятся к неопределенности вида 0 ∙ , уже рассмотренной выше, с помощью тождественного преоб­разования

 

Пример 8. Найти предел .

Решение. Это предел вида 0⁰; используя формулу (5.1), имеем с учетом решения шестого примера

 

Пример 9. Найти предел

 

Решение. Это предел вида 1. Найдем предел функции у = ctg x ln(1 + x) при x 0. В соответствии с представлением (5.1) имеем следующую цепочку равенств:

 

 

Следовательно, искомый предел равен

 

Формула Маклорена

Разложение функций по формуле Маклорена   Одним из основных принципов математики является пред­ставление сложного через более простое. Формула Маклорена* как…

Исследование функций и построение графиков

Признак монотонности функции   Одной из существенных характеристик функции являет­ся ее поведение на отдельных интервалах — возрастание или убывание.…

Применение в экономике

Предельные показатели в микроэкономике   Приведем примеры двух предельных показателей в микро­экономике.

УПРАЖНЕНИЯ

Найти пределы с использованием правила Лопиталя. 5.1. .5.2. . 5.3. .5.4. .

Глава 6. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Первообразная и неопределенный интеграл

Понятие первообразной функции   Предыдущие главы были посвящены одной из основных за­дач дифференциального исчисления — нахождению производ­ной…

Неопределенный интеграл

   

Основные свойства неопределенного интеграла

 

Прежде всего укажем свойства, которые непосредственно вытекают из определения неопределенного интеграла.

 

 

Следующие два свойства называются линейными свойст­вами неопределенного интеграла.

 

 

Заметим, что последнее свойство справедливо для любого конечного числа слагаемых в подынтегральной функции.

Таблица основных неопределенных интегралов

 

Ранее мы получили таблицу основных производных эле­ментарных функций. Приводимая ниже таблица основных не­определенных интегралов представляет собой вычислитель­ный аппарат интегрального исчисления. Часть формул таб­лицы непосредственно следует из определения интегрирования как операции, обратной дифференцированию. Справедливость всех формул легко проверить дифференцированием.

 

 

Интегралы этой таблицы принято называть табличными.

Как было установлено в п. 4.4, операция дифференцирова­ния не выводит нас из класса элементарных функций. С опе­рацией интегрирования дело обстоит иначе: интегралы от не­которых элементарных функций уже не являются элементар­ными функциями. Укажем некоторые из них.

 

 

Каждый из этих интегралов есть функция, которая не яв­ляется элементарной, хотя подынтегральные функции в этих интегралах являются элементарными. Они играют большую роль в прикладных науках; так, интеграл 1 является одним из основных в теории вероятностей и статистике.

Как правило, интегралы, с которыми приходится иметь де­ло в различных приложениях, не выражаются элементарными функциями (или, как принято говорить, являются "неберущи­мися"). Тем не менее существуют достаточно хорошо разрабо­танный аппарат приближенных формул с использованием эле­ментарных функций и методы приближенных расчетов, поз­воляющие с любой степенью точности оценивать и вычислять "неберущиеся" интегралы.

 

Основные методы интегрирования

Непосредственное интегрирование

 

Вычисление интегралов с использованием основных свойств неопределенных интегралов и таблицы простейших интегралов называется непосредственным интегрированием. Покажем это на примерах.

 

Метод подстановки

Замена переменной интегрирования является одним из са­мых эффективных приемов сведения неопределенного интегра­ла к табличному. Такой прием… ТЕОРЕМА 1. Пусть функция х = φ(t) определена и диффе­ренцируема на…  

Интегрирование по частям

   

Рациональная функция от sin х и cos х

Рассмотрим интеграл вида  

УПРАЖНЕНИЯ

 

Вычислить интегралы методом непосредственного интегриро­вания.

 

 

Вычислить интегралы методом подстановки.

 

 

Вычислить интегралы методом интегрирования по частям.

 

Глава 7. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Условия существования определенного интеграла

Определение определенного интеграла

Пусть функция f(x) задана на отрезке [а, b]. Разобьем от­резок [а, b] на п произвольных частей точками:  

Классы интегрируемых функций

 

Ответ на вопрос о том, какие функции являются интегри­руемыми (т.е. существует определенный интеграл (7.2)), да­ют следующие теоремы, которые мы приводим без доказа­тельства.

ТЕОРЕМА 1. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а, b], то она интегрируема на нем.

ТЕОРЕМА 2. Если определенная и ограниченная на отрезке [а, b] функция f(x) имеет конечное число точек разрыва, то она интегрируема на этом отрезке.

ТЕОРЕМА 3. Монотонная на отрезке [а, b] функция f(x) ин­тегрируема на этом отрезке.

Основные свойства определенного интеграла

1. Интеграл был определен для случая, когда a < b. Обобщим понятие определенного интеграла и на дру­гие случаи. По определению полагаем  

Основная формула интегрального исчисления

   

Основные правила интегрирования

Замена переменной в определенном интеграле

   

Интегрирование по частям в определенном интеграле

   

Геометрические приложения определенного интеграла

Площадь плоской фигуры

Рассмотрим на плоскости Оху фигуру, ограниченную гра­фиком непрерывной и положительной функции f(x) на отрезке [а, b], отрезком [а, b] и…  

Объем тела вращения

Рассмотрим тело, которое образуется при вращении во­круг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной сверху непрерывной и положительной на отрезке…  

Некоторые приложения в экономике

 

Вообще говоря, в экономических задачах переменные меня­ются дискретно. Для использования определенного интеграла нужно составить некоторую идеализированную модель, пред­полагающую непрерывное изменение зависимых переменных (функций) и независимых переменных (аргумента). Рассмот­рим соответствующие примеры.

Дневная выработка

Найти дневную выработку Р за рабочий день продолжи­тельностью восемь часов, если производительность труда в течение дня меняется по эмпирической…  

Выпуск оборудования при постоянном темпе роста

Производство оборудования некоторого вида характеризу­ется темпом роста его выпуска  

Несобственные интегралы

При рассмотрении определенного интеграла как предела интегральных сумм предполагалось, что подынтегральная функция, во-первых, задана на конечном… Определение. Пусть функция f(x) определена на промежутке [а, +) и интегрируема…  

УПРАЖНЕНИЯ

Вычислить определенные интегралы.  

Глава 8. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

8.1. Евклидово пространство E^m

Евклидова плоскость и евклидово пространство

 

Как мы знаем, множество всех упорядоченных пар вещест­венных чисел (x, у) называется координатной плоскостью и каждая точка на ней характеризуется парой своих координат: М(x, у).

Определение 1. Координатная плоскость называется евкли­довой плоскостью, если расстояние между двумя любыми точ­ками M₁(x₁, y₁) и М₂(x₂, y₂) определено по формуле

 

 

Аналогично вводится и понятие евклидова пространства. В этом случае каждая точка координатного пространства ха­рактеризуется тройкой чисел и тогда расстояние между дву­мя любыми точками пространства M(x₁, y₁ ,z₁) и М(x₂, y₂, z₂) определяется формулой

 

 

Стало быть, евклидова плоскость и евклидово пространст­во определяются способом измерения расстояния между двумя любыми своими точками.

 

Понятия m-мерного координатного пространства и m-мерного евклидова пространства

Определение 2. Множество всевозможных упорядоченных со­вокупностей т действительных чисел (x₁, х₂, x₃, ..., x_m) назы­вается т-мерным координатным пространством А^m.

Каждую упорядоченную совокупность (x₁, x₂, x₃,, … ,x_т,) называют точкой этого пространства и обозначают одной буквой М. При этом числа x₁, x₂, x₃, …, x_m называются коорди­натами точки М, что символически записывается следующим образом: М(x₁, x₂, ..., x_m).

Определение 3. Координатное пространство А^m называется т-мерным евклидовым пространством Е^m, если между двумя любыми точками М'(х₁', х₂, '... , х_m') и М"(x₁'', х₂'',... , х_m'') про­странства А^m определено расстояние ρ(М', М") по формуле

 

 

Очевидно, что введенные понятия m-мерного координат­ного пространства А^m и m-мерного евклидова пространства E^m являются обобщениями понятий соответственно коорди­натных плоскости и пространства и евклидовых плоскости и пространства.

 

8.2. Множества точек евклидова пространства Е^m

 

Примеры множеств евклидова пространства Е^m

 

Будем обозначать символом {М} некоторое множество то­чек m-мерного пространства Е^m. Рассмотрим некоторые при­меры множеств в этом пространстве.

1. Множество {М} всевозможных точек, координаты x₁, x₂, ..., x_m которых удовлетворяют неравенству

 

 

называется т-мерным шаром радиуса R с центром в точке M₀(x,x,...,x).

Этот пример является m-мерным обобщением соответ­ственно круга на евклидовой плоскости и шара в трехмерном евклидовом пространстве, которые задаются следующими не­равенствами:

 

 

Неравенство (8.2) можно переписать с учетом (8.1) в виде

 

 

В случае строгого неравенства ρ(М, М₀) < R множество {М} называется открытым т-мерным шаром. Часто это мно­жество также называют R-окрестностью точки M₀. В случае (8.3) если неравенство не строгое, множество {М} называет­ся замкнутым т-мерным шаром. Эти понятия переносятся на случай любой размерности при т ≥ 2.

2. Множество {М} точек, таких, что расстояние от каж­дой из них до некоторой точки M₀ удовлетворяет равенству ρ(М, М₀) = R, называется т-мерной сферой радиуса R с цент­ром в точке M₀.

Аналогия: для плоскости — окружность (x – x₀)² + (у – y₀)² = R² радиуса R с центром в точке М₀(х₀, у₀), для пространства — сфера (x – x₀)² + (у – y₀)² + (z – z₀)² = R² радиуса R с центром в точке М₀(х₀, у₀, z₀).

 

Понятие функции нескольких переменных

 

Введем понятие функции нескольких переменных.

Определение 1. Пусть каждой точке М из множества точек {М} евклидова пространства E^m по какому-либо закону ста­вится в соответствие некоторое число и из числового множес­тва U. Тогда будем говорить, что на множестве {М} задана функция и = f(M). При этом множества {М} и U называют­ся соответственно областью определения (задания) и областью изменения функции f(M).

Как известно, функция одной переменной у = f(x) изобра­жается на плоскости в виде линии. В случае двух переменных область определения {М_п} функции z = f(x, y) представляет собой некоторое множество точек на координатной плоскости Оху (рис. 8.1). Координата z называется аппликатой, и тогда сама функция изображается в виде некоторой поверхности в пространстве E³. Аналогичным образом функция от т пере­менных

 

 

определенная на множестве {М} евклидова пространства Е^m, представляет собой гиперповерхность в евклидовом простран­стве Е^m+1.

 

 

Некоторые виды функций нескольких переменных

 

Рассмотрим примеры функций нескольких переменных и найдем их области определения.

 

Решение. Это поверхность в евклидовом пространстве Е³. Областью определения этой функции является все множест­во точек плоскости Оху. Область значений этой функции — промежуток [0, ). Данная функция представляет собой пара­болоид вращения (рис. 8.2): в вертикальных сечениях этой поверхности плоскостями Oxz и Оуz получаются соответственно параболы z = х² и z = у².

 

 

Решение. Это поверхность в евклидовом пространстве Е³. Область определения данной функции — все множество точек евклидова пространства Е² или плоскости Оху. Эта функция является так называемым эллиптическим конусом с вершиной в начале координат O(0, 0, 0); приведенная формула суммирует две функции, задающие две его симметричные относительно плоскости Оху части (рис. 8.3):

 

 

 

Приведем теперь наиболее часто встречающиеся в различ­ных приложениях виды функций нескольких переменных.

1. Уравнение вида

 

 

называется общим уравнением плоскости в системе коорди­нат Oxyz. Вектор = (А, В, С) перпендикулярен плоскости (8.4); он называется нормальным вектором этой плоскости. Ес­ли известно, что плоскость проходит через некоторую точку M₀(x₀, y₀, z₀), то она может быть задана уравнением

 

 

Например, составить уравнение плоскости с перпендику­лярным вектором = (1, 2, -1), проходящей через точку М₀ (2, 1, 1), Согласно формуле (8.5) имеем

 

 

2. Функция Кобба—Дугласа — производственная функция, показывающая объем выпуска продукции Q при затратах ка­питала К и трудовых ресурсов L. Для случая двух переменных она имеет вид

 

 

где А > 0 — параметр производительности конкретно взятой технологии, 0 < α < 1 — доля капитала в доходе.

 

Линии уровня

 

Понятие линии уровня широко используется прежде всего в геодезии, картографии, при составлении синоптических карт, а также при описании различных физических полей (темпера­тура, давление и пр.).

Определение 2. Линией уровня функции двух переменных z = f(x, y) называется плоская кривая, получаемая при пе­ресечении графика этой функции плоскостью z = С, где С — постоянная величина, параллельной координатной плоскости Оху.

Обычно линии уровня, соответствующие различным зна­чениям постоянной величины С, проецируются на одну плос­кость, например на координатную плоскость Оху; тогда их удобно анализировать и с их помощью исследовать сложный характер поверхности, описываемой функцией z = f(x, у).

Таким образом, можно сказать, что линии уровня функции z = f(x, у) — это семейство кривых на координатной плоскос­ти Оху, описываемое уравнениями вида

 

 

Обычно берут арифметическую прогрессию чисел C_i с по­стоянной разностью h; тогда по взаимному расположению ли­ний уровня можно получить представление о форме поверхнос­ти, описываемой функцией z = f(x, у). Там, где функция изме­няется быстрее, линии уровня сгущаются, а там, где поверх­ность пологая, линии уровня располагаются реже (рис. 8.4).

 

Пример 3. Найти линии уровня функции z = х² + у² — 2х — 2у.

Решение. Линии уровня данной функции — это семейство кривых на плоскости Оху, описываемое уравнением

 

 

Последнее уравнение описывает семейство окружностей с цент­ром в точке O₁(l, 1) радиуса r =. Поверхность враще­ния (параболоид), описываемая данной функцией, становится "круче" по мере ее удаления от оси, которая дается уравнени­ями x = 1, у = 1.

 

Частные производные функции нескольких переменных

Частные производные первого порядка   Пусть функция двух переменных z = f(x, у) определена в некоторой окрестности точки М(x, у) евклидова пространства Е2.…

Локальный экстремум функции нескольких переменных

Определение и необходимые условия существования локального экстремума   Пусть функция z = f(x, y) определена на множестве {М}, а М0 (x0, у0) — некоторая точка этого множества.

Применение в задачах экономики

Экстремум функции нескольких переменных

Рассмотрим типичную задачу нахождения экстремума функции нескольких переменных, возникающую в экономике. Прибыль от производства разных видов товара

УПРАЖНЕНИЯ

Найти области определения функций.  

Часть 2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

 

Дифференциальные уравнения занимают особое место в ма­тематике и имеют многочисленные приложения в большом спектре наук. Исследования природных процессов и изучение закономерностей общественных процессов приводят к построе­нию математических моделей, основой которых являются диф­ференциальные уравнения.

В дифференциальных уравнениях неизвестная функция со­держится вместе со своими производными. Основной задачей теории дифференциальных уравнений является изучение функ­ций, представляющих собой решения этих уравнений.

В этой части излагаются элементы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, когда неизвестные функции за­висят от одной переменной. Теория дифференциальных урав­нений, когда неизвестные функции зависят от нескольких пере­менных — уравнения в частных производных, является более сложной и представляет специальный раздел математики.

 

Глава 9. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

Основные понятия

Базовые определения

   

Геометрический смысл уравнения первого порядка

Рассмотрим уравнение у' = f(x,y). Пусть у = φ(x) — его решение, график которого представляет собой непрерыв­ную интегральную кривую, причем в… Поле направлений позволяет проанализировать решение дифференциального… Пример 1. Построить поле направлений уравнения y' = x2 - y.

Уравнения с разделяющимися переменными

Определение 5. Дифференциальное уравнение вида

 

 

где f₁(x) и f₂(y) — непрерывные функции, называется уравне­нием с разделяющимися переменными.

Подчеркнем, что правая часть уравнения представляет со­бой произведение, в котором один сомножитель зависит только от х, а другой — только от у. Метод решения такого вида урав­нений носит название разделения переменных. Запишем производную у' в ее эквивалентной форме как отношение дифферен­циала функции к дифференциалу независимой переменной , умножим обе части уравнения (9.3) на dx и поделим обе его части на f₂(y), полагая, что f₂(у) ≠ 0; получаем

 

 

В этом уравнении переменная у входит в левую часть, а пе­ременная х — только в правую, т.е. переменные разделены. Пусть у = φ(x) является решением уравнения (9.3), тогда при подстановке этого решения в уравнение (9.4) получаем тож­дество: два дифференциала равны друг другу, только в правой части дифференциал выражен через независимую переменную x, а в левой части — через функцию у. Поскольку дифференци­алы равны, то их неопределенные интегралы различаются на постоянную величину, т.е., интегрируя слева по переменной у, а справа по переменной х, получаем

 

 

где С — произвольная постоянная.

Рассмотрим примеры решения уравнений методом разде­ления переменных.

Пример 1. ху' — у = 0, найти частное решение при начальных условиях у₀ = 2 при x₀ = -4.

Решение. Разделим переменные, для чего перенесем у в правую часть, поделим обе части полученного уравнения на ху и умножим их на dx; получим

 

 

Интегрируя обе части этого уравнения (правую по x, а левую по у), имеем

 

 

где С — произвольная постоянная. При потенцировании полу­чаем

 

 

что эквивалентно уравнению у = ±Сх, или у = С₁х. Получен­ная функция представляет семейство интегральных кривых. Для выделения частного решения при указанных начальных условиях подставим в эту формулу х = -4 и у = 2, откуда получим значение для С: С = -1/2. Окончательно частное решение имеет вид

 

Пример 2. у' = х, найти частное решение, проходящее через точку (0,1).

Решение. Разделяя переменные, получаем уравнение в дифференциалах

 

 

Интегрируя, имеем

 

 

где С — произвольная постоянная величина. После интегриро­вания (интеграл в правой части берется при помощи замены переменной) имеем уравнение семейства интегральных кривых

 

 

Выделение частного решения, проходящего через точку (0, 1), приводит к определению произвольной постоянной: С =, т.е. эта кривая описывается уравнением (с учетом выбора знака)

 

Неполные уравнения

Различают два случая такой зависимости. 1. Пусть функция f зависит только от х. Переписав это уравнение в виде  

Линейные уравнения первого порядка

   

УПРАЖНЕНИЯ

 

Найти общие решения дифференциальных уравнений методом разделения переменных.

 

 

Найти частные решения уравнений первого порядка, удовле­творяющие указанным начальным условиям.

 

 

Найти общее решение линейных уравнений.

 

 

Решить уравнения Бернулли.

 

Глава 10. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Основные понятия теории

Определение 1. Дифференциальным уравнением второго по­рядка называется уравнение вида

 

 

где х — независимая переменная, у — искомая функция, у' и у" — соответственно ее первая и вторая производные.

Примеры дифференциальных уравнений второго порядка:

 

 

Будем рассматривать уравнения, которые можно записать в виде, разрешенном относительно второй производной:

 

 

Как и в случае уравнения первого порядка, решением урав­нения (10.1) называется функция у = φ(x), определенная на некотором интервале (а, b), которая обращает это уравнение в тождество. График решения называется интегральной кривой. Имеет место теорема существования и единственности реше­ния уравнения второго порядка.

ТЕОРЕМА 1 (теорема Коши). Пусть функция f(x, у, у') и ее частные производные и , непрерывны в некоторой обла­сти D пространства переменных (x, у, у'). Тогда для любой внутренней точки М₀(х₀, у₀, у'₀) этой области существует единственное решение уравнения (10.2), удовлетворяющее ус­ловиям:

 

 

Геометрический смысл этой теоремы (ее доказательство мы не приводим) заключается в том, что через заданную точку (x₀, y₀) на координатной плоскости Оху проходит единствен­ная интегральная кривая с заданным угловым коэффициентом y₀' касательной (рис. 10.1).

 

 

Условия (10.3) называются начальными условиями, а зада­чу отыскания решения уравнения (10.2) по заданным началь­ным условиям называют задачей Коши.

Общим решением уравнения (10.2) в некоторой области D называется функция у = φ(х, С₁, С₂), если она является реше­нием этого уравнения при любых постоянных величинах С₁ и C₂, которые могут быть определены единственным образом при заданных начальных условиях (10.3). Частным решением уравнения (10.2) называется общее решение этого уравнения при фиксированных значениях постоянных С₁ и C₂: у = φ(х, С₁⁰, С₂⁰).

Рассмотрим для пояснения уравнение у" = 0. Его общее решение получается при двухкратном интегрировании этого уравнения:

 

 

где С₁ и C₂ — произвольные постоянные. Это решение пред ставляет собой семейство прямых, проходящих в произвольных направлениях, причем через каждую точку плоскости Охy проходит бесконечное число таких прямых. Поэтому для выделения частного решения, проходящего через заданную точку (х₀, y₀), следует задать еще и угловой коэффициент прямой, совпадающей в данном случае со своей касательной. Например, найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям

 

 

т.е. нужно найти прямую, проходящую через точку M (l, 2), с угловым коэффициентом, равным единице. Подстановка на­чальных условий в общее решение уравнения приводит к сис­теме двух линейных уравнений относительно постоянных С₁ и C₂

 

 

откуда С₁ = 1, C₂ = 1. Таким образом, искомое частное реше­ние — это прямая у = х + 1.

 

Уравнения, допускающие понижение порядка

Существуют три вида уравнения (10.2), которые при помо­щи замены переменной (искомой функции) сводятся к уравне­ниям первого порядка. 1. Уравнение вида  

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

   

Однородные уравнения второго порядка

Рассмотрим линейное однородное уравнение  

Неоднородные уравнения второго порядка

Что касается решения неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, то их решение пол­ностью основывается на следующей… ТЕОРЕМА 4. Общее решение неоднородного уравнения (10.8) состоит из суммы его… В ряде случаев удается "угадать" или подобрать частное решение неоднородного уравнения по виду его правой…

Краевая задача для дифференциального уравнения второго порядка

 

Как было сказано в п. 10.1, в силу основной теоремы су­ществования и единственности решения для уравнения второ­го порядка

 

 

определена задача Коши, когда в точке х = x₀ заданы значения неизвестной функции и ее производной:

 

 

Если выполнены условия теоремы 10.1, то задача Коши (10.13), (10.14) однозначно определяет частное решение.

Однако существует и другой тип задач для дифференци­альных уравнений второго порядка — значения неизвестной функции задаются в двух разных точках. Иными словами, при решении уравнения (10.13) на интервале (а, b) рассмотрим гра­ничные условия наиболее простого вида на концах интервала

 

 

В этом случае уравнение (10.13) совместно с условиями (10.14) называется первой краевой задачей для уравнения второго по­рядка. Поскольку второе условие в (10.15) равносильно второ­му условию в (10.14), то указанная краевая задача может иметь единственное решение, т.е. определять единственным образом частное решение дифференциального уравнения (10.13), прохо­дящее через точки (x₁, y₁), (x₂, y₂). Так, для линейного диффе­ренциального уравнения второго порядка первая краевая зада­ча имеет решение, если определитель системы линейных алгеб­раических уравнений относительно произвольных постоянных C₁ и С₂

 

 

реализующей краевые условия (10.15), отличен от нуля. Здесь в соответствии с теоремой 10.4 (x) — частное решение не­однородного уравнения, у₁(х) и у₂(х) — линейно независимые решения соответствующего однородного уравнения. В таком случае краевая задача с условиями (10.15) однозначно опреде­ляет частное решение дифференциального уравнения (10.8).

Пример 1. Найти частное решение уравнения

 

 

удовлетворяющее краевым условиям

 

 

Общее решение этого уравнения было найдено в примере 4 и. 10.3:

 

 

Для отыскания частного решения, соответствующего данным краевым условиям, подставим это решение в эти краевые усло­вия. Получаем систему линейных уравнений относительно про­извольных постоянных С₁ и С₂

 

 

Нетрудно видеть, что определитель этой системы не равен ну­лю, т.е. данная краевая задача имеет решение. Вычитая из второго уравнения первое, умноженное на 2, получаем С₂, а затем из первого уравнения — С₁:

 

 

Отсюда решение данной краевой задачи как частное решение дифференциального уравнения, проходящее через точки (0, 1) и (ln 2, 2), имеет вид

 

УПРАЖНЕНИЯ

Найти общие решения линейных однородных уравнений с по­стоянными коэффициентами.  

Дифференциальные уравнения первого порядка

Модель естественного роста выпуска

Будем полагать, что некоторая продукция продается по фиксированной цене Р. Обозначим через Q(t) количество про­дукции, реализованной на момент…  

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами)

Рассмотрим модель рынка с прогнозируемыми ценами. В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на… Рассмотрим конкретный пример. Пусть функции спроса D и предложения S имеют…  

УПРАЖНЕНИЯ

11.1. Используя формулу (11.13) динамики национального до­хода Y(t) по модели Кейнса,

а) проанализировать роль каждого параметра в увеличе­нии величины Y_р согласно формуле (11.12), что ведет к паде­нию Y(t);

б) вывести рекомендации по изменению параметров, опи­сывающих основные экономические показатели;

в) выбрать более предпочтительные изменения, указанные в п. б, применительно к условиям России.

11.2. Найти динамику цены Р на товар, если прогноз спроса и предложения описывается следующими соотношениями:

 

11.3. В условиях предыдущей задачи какой из трех случаев описывает паническое состояние на рынке и с чем это связано?

 

Часть 3. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

Глава 12. ВЕКТОРЫ

Векторное пространство

Понятие и основные свойства вектора   Приведем обобщение понятия вектора на n-мерный случай.

Операции над векторами

 

Пусть векторы и принадлежат n-мерному векторному пространству Rⁿ:

 

 

Будем называть суммой векторов и вектор , координа­ты которого равны суммам соответствующих координат этих векторов:

 

 

Пусть λ — любое действительное число. Произведением вектора на число λ будем называть вектор, координаты ко­торого получаются умножением соответствующих координат вектора на это число:

 

 

Из введенных таким образом операций над векторами вы­текают следующие свойства этих операций. Пусть , и — произвольные векторы n-мерного векторного пространства. Тогда:

1) + = + — переместительное свойство;

2) (+ ) + = + (+ ) — сочетательное свойство;

3) λ(+ ) = λ+ λ, где λ — действительное число;

4) (λ + μ)= λ+ μ , где λ и μ — действительные числа;

5) λ(μ) = (λμ) , где λ и μ — действительные числа;

6) + = ;

7) для любого вектора существует такой вектор -, что -= (-1) , + (-) = ;

8) 0= для любого вектора .

 

Скалярное произведение векторов

   

Линейная зависимость векторов

 

Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов

При решении различных задач, как правило, приходится иметь дело не с одним вектором, а с некоторой совокупнос­тью векторов одной размерности. Такие…  

Базис и ранг системы векторов

Рассмотрим систему векторов  

Разложение вектора по базису

Представление вектора в произвольном базисе

Пусть система векторов  

Разложение вектора в ортогональном базисе

Рассмотрим базис пространства Rn, в котором каждый век­тор ортогонален остальным векторам базиса:  

УПРАЖНЕНИЯ

12.2. Найти линейную комбинацию векторов  

Глава 13. МАТРИЦЫ

Матрицы и операции над ними

Понятие матрицы

   

Линейные операции над матрицами

 

1. Сумма матриц. Суммой матриц А и В одинакового раз­мера называется матрица С того же размера, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц А и В. Представим это в сокращенной записи. Пусть

 

 

Тогда сумма этих матриц С = А + В имеет вид

 

Пример 1. Пусть даны матрицы А и В:

 

Тогда их суммой, согласно определению, является матрица

 

 

2. Умножение матрицы на действительное число. Произ­ведением матрицы А на действительное число α называется матрица, каждый элемент которой получен умножением соот­ветствующего элемента матрицы А на число α.

Пример 2. Пусть даны матрица А и число α:

 

 

Тогда произведением матрицы А на число является матрица

 

 

3. Приведем свойства операций суммирования матриц и произведения матрицы на число, непосредственно вытекающие из определения этих операций. Пусть А, В и С — матрицы, имеющие одинаковый размер, а α и β — некоторые действи­тельные числа. Тогда:

1) А + В = В + А,

2) (А + В) + С = А + (В + С),

3) α(А + В) =αА + αВ,

4) (α + β) A = αA + βA,

5) (αβ)А = (αA)β,

6) A + О = А, где О — нулевая матрица,

7) 0А = О.

 

Транспонирование матриц

Транспонированием матрицы называется замена строк матрицы на ее столбцы с сохранением их порядка (или, что то же самое, замена столбцов матрицы на…  

Умножение матриц

1. Умножение матриц — это специфическая операция, со­ставляющая основу алгебры матриц. Строки и столбцы мат­риц можно рассматривать как… Пусть даны матрица А размером т х п и матрица В разме­ром п х k. Будем…  

Собственные значения и собственные векторы матрицы

Будем рассматривать квадратные матрицы размером п х п, или, что то же самое, матрицы порядка п. При умножении матрицы порядка п на n-мерный вектор в произведении получается…  

Обратная матрица

Ранг матрицы

Выше уже говорилось, что матрицы размера т х п можно рассматривать как системы, состоящие из m n-мерных векто­ров (или из п m-мерных векторов).… ТЕОРЕМА 1. Строчный и столбцовый ранги любой матрицы равны. Доказательство этой теоремы мы опускаем.

Понятие обратной матрицы

 

Понятие обратной матрицы распространяется только на квадратные матрицы, поэтому здесь и далее мы будем иметь дело с матрицами порядка п.

Определение 1. Матрица порядка п называется вырожден­ной, если ее ранг r < п.

Определение 2. Матрица А^-1 называется обратной по отно­шению к матрице А, если их произведение равно единичной матрице:

 

 

Несколько забегая вперед, отметим, что для вырожденной матрицы не существует обратной матрицы. Иными словами, если для некоторой матрицы порядка п ее ранг r < п, то для нее не существует обратной матрицы.

УПРАЖНЕНИЯ

13.1. Найти матрицу С = 2А - В, где

 

13.2. Даны следующие матрицы:

 

Найти: а) все произведения матриц, которые имеют смысл; б) соответствующие транспонированные матрицы; в) матрицу 2G – С²,г) матрицу С³.

13.3. Дана матрица . Проверить непосредствен­ным вычислением, какие из данных ниже векторов являют­ся собственными векторами этой матрицы, и указать соответ­ствующие собственные значения:

 

Глава 14. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

Операции над определителями и основные свойства

 

Понятие определителя

Любой квадратной матрице А порядка n ставится в соот­ветствие по определенному закону некоторое число, называе­мое определителем, или детерминантом,… Пусть дана матрица  

Основные свойства определителей

Из данного выше общего определения следуют основные свойства определителей. 1. Если некоторая строка или столбец определителя состо­ит из нулей, то… Действительно, согласно общему определению, в каждое из n! слагаемых обязательно войдет сомножителем элемент нуле­вой…

Миноры и алгебраические дополнения

Рассмотрим определитель n-го порядка (14.3). Выделим в нем какой-либо элемент аij и вычеркнем i-ю строку и j-й стол­бец, на пересечении которых… Пример 1. Найти минор М32 определителя четвертого по­рядка  

Ранг матрицы и системы векторов

1. Пусть дана матрица, содержащая m строк и п столбцов:  

УПРАЖНЕНИЯ

  14.2. Дана матрица

Глава 15. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

 

Этот раздел является одним из основных в алгебре. Нет такой отрасли науки и приложений, где в том или ином виде не использовались бы системы линейных алгебраических урав­нений. При решении экономических задач системы линейных уравнений наиболее употребимы как в аппарате исследования, так и при рассмотрении частных проблем.

 

Основные понятия

Общий вид и свойства системы уравнений

Система т линейных уравнений с п неизвестными (пере­менными) x1, x2, ..., xп имеет вид  

Матричная форма системы уравнений

Сведем коэффициенты при неизвестных в системе уравне­ний (15.1) в матрицу  

Методы решения систем линейных уравнений

Метод обратной матрицы и теорема Крамера

В этом разделе мы рассмотрим частный случай системы (15.1), когда число уравнений равно числу неизвестных, т.е. т = n. Система уравнений имеет вид …  

Решение системы общего вида

Пусть задана система линейных уравнений общего вида (15.1), где т ≤ n, т.е. число неизвестных не меньше числа уравнений. Представим общий… 1. Необходимо определить совместность системы, т.е. опре­делить сначала ранги… Определение 1. Рангом совместной системы линейных алгеб­раических уравнений называется ранг ее матрицы.

Метод Гаусса

Следует заметить, что как метод обратной матрицы, так и метод Крамера являются очень трудоемкими по количест­ву вычислительной работы. Оба они… Рассмотрим систему уравнений общего вида (15.1). Пусть для определенности a11…  

Вычисление обратной матрицы методом Гаусса

Метод Гаусса является поистине универсальным в решении систем линейных алгебраических уравнений. Мы продемонст­рируем применение этого метода при… Практически этот наиболее простой способ вычисления об­ратной матрицы состоит… 1. К матрице А, по отношению к которой ищется обратная матрица, приписывается справа единичная матрица Е.

Геометрическая интерпретация системы линейных уравнений

Как известно, уравнения с двумя переменными вида  

Однородные системы линейных уравнений

Определение 1. Система линейных уравнений называется од­нородной, если во всех ее уравнениях свободные члены равны нулю.

В общем случае однородная система (или система однород­ных уравнений) имеет вид

 

 

Однородная система уравнений всегда совместна. Дейст­вительно, набор значений неизвестных x_i = 0 (i = 1, 2,... , п) удовлетворяет всем уравнениям системы. Это решение одно­родной системы называется нулевым, или тривиальным.

Решение системы однородных уравнений

 

Вопрос о существовании ненулевого решения однородной системы линейных уравнений (15.14) разрешает следующая те­орема.

ТЕОРЕМА 3. Однородная система имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ранг этой системы меньше чис­ла ее неизвестных.

Из этой теоремы вытекают два важных следствия.

Следствие 1. Если число уравнений однородной сис­темы меньше числа ее неизвестных, то эта система имеет ненулевое решение.

Следствие 2. Если в однородной системе число урав­нений равно числу неизвестных, то она имеет ненулевое ре­шение тогда и только тогда, когда определитель матрицы системы равен нулю.

Фундаментальная система решений

Решения однородной системы обладают следующими свой­ствами. Если вектор = (α1, α2,... ,αn) является решением системы (15.14), то и… Как мы знаем из п. 12.2, всякая система n-мерных век­торов, состоящая более… ТЕОРЕМА 4. Если ранг r системы однородных уравнений (15.14) меньше числа неизвестных п, то всякая фундамен­тальная…

Характеристическое уравнение

В п. 13.1 было введено определение собственного значения и гобственного вектора матрицы. Пусть — собственный вектор квадратной матрицы А порядка n.…  

УПРАЖНЕНИЯ

Решить методом Крамера системы линейных уравнений.  

Глава 16. ПРИМЕНЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ В ЭКОНОМИКЕ

Использование алгебры матриц

 

Использование элементов алгебры матриц является одним из основных методов решения многих экономических задач. Особенно этот вопрос стал актуальным при разработке и ис­пользовании баз данных: при работе с ними почти вся инфор­мация хранится и обрабатывается в матричной форме.

Матричные вычисления

Рассмотрим типичные задачи, использующие понятие век­тора и его свойства. 1. Предприятие выпускает ежесуточно четыре вида изде­лий, основные… Требуется определить следующие ежесуточные показатели: расход сырья S, затраты рабочего времени Т и стоимость Р…

Использование систем линейных уравнений

Рассмотрим задачи, приводящие к составлению и решению систем линейных алгебраических уравнений. 6. Прогноз выпуска продукции по запасам сырья. Пред­приятие выпускает три вида…  

Модель Леонтьева многоотраслевой экономики

 

Макроэкономика функционирования многоотраслевого хо­зяйства требует баланса между отдельными отраслями. Каж­дая отрасль, с одной стороны, является призводителем, а с другой — потребителем продукции, выпускаемой другими от­раслями. Возникает довольно непростая задача расчета связи между отраслями через выпуск и потребление продукции раз­ного вида. Впервые эта проблема была сформулирована в виде математической модели в 1936 г. в трудах известного амери­канского экономиста В.В.Леонтьева, который попытался про­анализировать причины экономической депрессии США 1929-1932 гг. Эта модель основана на алгебре матриц и использует аппарат матричного анализа.

Балансовые соотношения

Для простоты будем полагать, что производственная сфера хозяйства представляет собой п отраслей, каждая из которых производит свой однородный… Введем следующие обозначения: — xi — общий объем продукции i-й отрасли (ее валовой выпуск);

Линейная модель многоотраслевой экономики

В. В. Леонтьевым на основании анализа экономики США и период перед второй мировой войной был установлен важный факт: в течение длительного времени… В силу указанного факта можно сделать следующее до­пущение: для производства…  

Продуктивные модели Леонтьева

Матрица А, все элементы которой неотрицательны, на­зывается продуктивной, если для любого вектора с неот­рицательными компонентами существует… Для уравнения типа (16.6) разработана соответствующая математическая теория… ТЕОРЕМА 16.1. Если для матрицы А с неотрицательными элементами и некоторого вектора с неотрицательными компонентами…

Линейная модель торговли

Одним из примеров экономического процесса, приводящего к понятию собственного числа и собственного вектора матри­цы, является процесс взаимных… Пусть aij — доля бюджета xj, которую j-я страна тратит на закупку товаров у…  

УПРАЖНЕНИЯ

— количество изделий всех видов увеличивается на 20%, — норма времени изготовления по всем изделиям уменьша­ется на 20%, — цена на все виды изделий уменьшается на 10%.

Часть 4. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Глава 17. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

 

События, происходящие в окружающем нас мире, можно разделить на три вида: достоверные, невозможные и случай­ные. Достоверным относительно комплекса условий S называ­ется событие, которое обязательно произойдет при осуществле­нии этого комплекса условий. Например, если гладкий желоб с лежащим внутри него тяжелым шариком наклонить, то шарик обязательно покатится по желобу в сторону уклона. Невозмож­ным называется событие, которое заведомо не произойдет при осуществлении комлекса условий S. Например, из герметичес­ки изолированного сосуда вода не может вылиться. Случайным относительно комплекса условий S называется событие, кото­рое при осуществлении указанного комплекса условий может либо произойти, либо не произойти. Например, если вы уро­нили фарфоровую чашку на пол, то она может как разбиться, так и остаться неповрежденной.

Теория вероятностей имеет дело со случайными события­ми. Однако она не может предсказать, произойдет единичное событие или нет. Теория вероятностей изучает вероятност­ные закономерности массовых однородных случайных собы­тий. Ее методы получили широкое распространение в различ­ных областях естествознания и в прикладных проблемах тех­ники. Теория вероятностей легла в основу теории массового обслуживания и теории надежности. В последние годы аппа­рат теории вероятностей активно используется в экономике.

Основные понятия теории вероятностей

Некоторые формулы комбинаторики

Пусть задано конечное множество элементов некоторой природы. Из них можно составлять определенные комбина­ции, количества которых изучает… Комбинации, состоящие из одной и той же совокупности п различных элементов и…  

Виды случайных событий

Выше было введено определение случайного события. Обычно в теории вероятностей вместо "совокупности условий" употребляют термин… Определение 1. События называют несовместными, если в одном и том же испытании… Определение 2. Несколько событий образуют полную груп­пу, если в результате испытания появление хотя бы одного из них…

Классическое определение вероятности

 

Назовем каждый из возможных результатов испытания элементарным событием, или исходом. Те элементарные ис­ходы, которые интересуют нас, называются благоприятными событиями.

Определение 3. Отношение числа благоприятствующих со­бытию А элементарных исходов к общему числу равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу, называется вероятностью события А.

Вероятность события А обозначается Р(А). Понятие веро­ятности является одним из основных в теории вероятностей. Данное выше определение является классическим. Из него вы­текают некоторые свойства.

Свойство 1. Вероятность достоверного события равна единице.

Свойство 2. Вероятность невозможного события равна нулю.

Свойство 3. Вероятность случайного события есть поло­жительное число:

 

 

Следовательно, вероятность любого события удовлетворя­ет неравенству

 

 

Отметим, что современные курсы теории вероятностей ос­нованы на теоретико-множественном подходе, в котором эле­ментарные события являются точками пространства элемен­тарных событий Ω; при этом событие А отождествляется с подмножеством элементарных исходов, благоприятствующих этому событию, А Ω.

Приведем примеры непосредственного вычисления вероят­ностей.

Пример 4. В коробке лежит 10 шаров: 6 белых и 4 черных. Найти вероятность того, что из пяти взятых наугад шаров будет 4 белых.

Решение. Найдем число благоприятных исходов: число способов, которыми можно взять 4 белых шара из 6 имеющихся, равно C= C= . = 15. Общее число исходов определяется числом сочетаний из 10 по 5: C= 252. Согласно определению 3 искомая вероятность Р = 15/252 ≈ 0,06.

Пример 5. Какова вероятность того, что при заполнении кар­точки спортивной лотереи "6 из 36" будет угадано 4 номера?

Решение. Общее число исходов равно C= 1947792. Чис­ло благоприятных исходов равно С= 15. Отсюда искомая вероятность равна 7,7 ∙ 10^-6.

Пример 6. В ящике находится 10 стандартных и 5 нестан­дартных деталей. Какова вероятность, что среди наугад взя­тых 6 деталей будет 4 стандартных и 2 нестандартных?

Решение. Общее число исходов равно С. Число благо­приятных исходов определяется произведением СС, где пер­вый сомножитель соответствует числу вариантов изъятия из ящика 4-х стандартных деталей из 10, а второй — числу вари­антов изъятия из ящика 2-х нестандартных деталей из пяти. Отсюда следует, что искомая вероятность равна

 

 

Теорема сложения вероятностей

Несовместные события

Это определение напоминает сумму множеств (см. гл. 1) и используется в теоретико-множественном подходе теории веро­ятностей. Примеры суммы событий:… Аналогично определяется сумма нескольких событий, со­стоящая в появлении хотя… ТЕОРЕМА 1. Вероятность появления какого-либо из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих со­бытий:

Полная группа событий

ТЕОРЕМА 2. Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице:

 

Пример 2. На складе готовой продукции находятся изделия, среди которых 5% нестандартных. Найти вероятность того, что при выдаче изделия со склада оно будет стандартным.

Решение. Вероятность получения нестандартного изделия равна 0,05; события выдачи стандартного и нестандартного из­делия образуют полную группу. Следовательно, сумма их ве­роятностей равна единице, и тогда искомая вероятность рав­на 0,95.

Противоположные события

Если событие обозначено через А, то противоположное ему событие обозначается через . Из теоремы 17.2 следует, что  

Теорема умножения вероятностей

Произведение событий и условная вероятность

Например, если событие А — шар, событие В — белый цвет, то их произведение АВ — белый шар. Аналогично опре­деляется произведение нескольких событий,… Если при вычислении вероятности события никаких дру­гих ограничений кроме… Определение 2. Вероятность события В в предположении о наличии события А называют условной вероятностью РA(В).

Независимые события

   

Обобщения теорем сложения и умножения

Появление только одного из независимых событий

Рассмотрим примеры совместного применения теорем сло­жения и умножения. Пусть два независимых события А1 и А2 имеют вероятности появления…  

Теорема сложения вероятностей совместных событий

Для таких событий справедлива следующая теорема. ТЕОРЕМА 5. Вероятность суммы совместных событий равна сумме их вероятностей…  

Формула полной вероятности

Пусть события В1, В2, …, Вп несовместны и образуют пол­ную группу, т.е., согласно теореме 17.2, выполняется ра­венство  

Формулы Байеса

Пусть события B1, B2, ..., Вп несовместны и образуют пол­ную группу, а событие А может наступить при условии появле­ния одного из них. События Bi…  

Схема независимых испытаний

 

Формула Бернулли

Будем рассматривать только такие независимые испыта­ния, в которых событие А имеет одинаковую вероятность. Пусть производится п независимых… Вероятность этого сложного события, состоящего из п ис­пытаний, определяется…  

Локальная теорема Лапласа

Использование формулы Бернулли (17.16) при больших значениях п и k представляется затруднительным ввиду уве­личения объема вычислений и операций с… ТЕОРЕМА 7. Пусть вероятность р появления события А в каждом испытании…  

Интегральная теорема Лапласа

Опять предположим, что в каждом из произведенных п ис­пытаний событие А появляется с одинаковой вероятностью р. В прикладных вопросах теории… ТЕОРЕМА 8. Пусть вероятность р наступления события А в каждом испытании…  

Отклонение относительной частоты от постоянной вероятности

   

УПРАЖНЕНИЯ

17.2. Во взводе служат 32 солдата. Ежедневно для несе­ния караула выделяются по два человека. Можно ли соста­вить расписание караульной службы так,… 17.3. Два букиниста обмениваются друг с другом парами книг. Найти число… 17.4. Абонент забыл две промежуточные цифры номера теле­фона и набрал их наугад. Найти вероятность того, что номер…

Глава 18. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Случайные величины и законы их распределения

Виды случайных величин

В главе 17 рассматривались события, состоящие в появ­лении того или иного числа. Например, среди трех изъятых деталей может оказаться до трех… Определение 1. Величину называют случайной, если в ре­зультате испытания она… Каждой случайной величине соответствует множество чи­сел — это множество значений, которые она может принимать.…

Дискретные случайные величины

  Как и в случае функциональной зависимости, этот закон можно задать таблицей,…  

Биномиальное распределение

Пусть производится п независимых испытаний и в каждом из них событие А может либо появиться, либо не появиться. Пусть также вероятность р появления…  

Распределение Пуассона

Пусть в каждом из п производимых испытаний вероят­ность появления события А равна р. Как мы знаем, для опреде­ления вероятности k появлений события…  

Числовые характеристики дискретных случайных величин

 

Установленный закон распределения полностью характе­ризует случайную величину. Однако часто используются чи­словые характеристики случайной величины, которые дают некоторое осредненное описание случайной величины, получа­емое на базе закона ее распределения.

Математическое ожидание дискретной случайной величины

Пусть случайная величина Х может принимать значения x1, x2, ... , xn c вероятностями соответственно p1, p2, …, pn. Определение 1. Математическим ожиданием дискретной случайной величины…  

Свойства математического ожидания

Математическое ожидание обладает рядом свойств, кото­рые указаны ниже. Свойство 1. Математическое ожидание постоянной вели­чины С равно этой…  

Дисперсия дискретной случайной величины

Как уже говорилось выше, математическое ожидание яв­ляется средней характеристикой случайной величины. Однако оно не характеризует случайную… Определение 2. Разность между случайной величиной и ее математическим… Пусть закон распределения случайной величины Х дается формулой (18.1), тогда отклонение X - M(X) имеет следующий закон…

Свойства дисперсии

Приведем здесь основные свойства дисперсии. Свойство 1. Дисперсия постоянной величины С равна нулю:  

Среднее квадратическое отклонение

Одной из основных оценок рассеяния возможных значе­ний случайной величины служит среднее квадратическое от­клонение. Определение 4. Средним квадратическим отклонением слу­чайной величины Х…  

Начальные и центральные моменты

   

Система двух случайных величин

Двумерная случайная величина

До сих пор мы рассматривали дискретные случайные ве­личины, которые называют одномерными: их возможные зна­чения определялись одним числом. Кроме… Определение 1. Законом распределения двумерной случай­ной величины (X, Y)…  

Корреляционный момент

   

Коэффициент корреляции

Из определения корреляционного момента следует, что его размерность равна произведению размерностей величин Х и Y; например, если Х и Y измерены в… Это обстоятельство затрудняет сравнение корреляционных моментов различных… Определение 3. Коэффициентом корреляции случайных ве­личин Х и Y называется отношение их корреляционного мо­мента к…

Линейная регрессия

Пусть (X, Y) — двумерная случайная величина, где Х и Y — зависимые случайные величины. Оказывается возмож­ным приближенное представление величины Y…  

Непрерывные случайные величины

Функция распределения и ее свойства

Пусть Х — непрерывная случайная величина (см. опреде­ление 3 п. 18.1), значения которой сплошь заполняют интервал (а, b). Теперь уже нельзя… Определение 1. Функцией распределения случайной величи­ны Х называется функция…  

Плотность распределения вероятностей и ее свойства

   

Числовые характеристики непрерывных случайных величин

Определения числовых характеристик дискретных случай­ных величин распространяются и на непрерывные величины. Разница состоит в том, что вместо сумм… Определение 4. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины X,…  

Основные распределения непрерывных случайных величин

Равномерное распределение

Пусть на интервале (a, b) плотность распределения являет­ся постоянной величиной: f(x) = С. Определим значение С из условия (18.35):  

Нормальное распределение

   

Асимметрия и эксцесс

В прикладных задачах, например в математической ста­тистике, при теоретическом изучении эмпирических распре­делений, отличающихся от нормального… Определение 6. Асимметрией теоретического распределения называется отношение…  

Некоторые элементы математической статистики

Задачи математической статистики

 

Первой задачей математической статистики является ука­зание методов сбора и группировки статистических сведений, которые получены в результате экспериментов или наблюдений. Вторая задача — это разработка методов анализа статис­тических данных: оценки неизвестных вероятности события, а также функции и параметров распределения; оценка зави­симости случайной величины от других случайных величин; проверка статистических гипотез о виде и величинах пара­метров неизвестного распределения. Рассмотрим некоторые из этих вопросов.

Выборки

На практике сплошное исследование (каждого объекта из интересующей нас совокупности) проводят крайне редко. К то­му же если эта совокупность… Введем основные понятия, связанные с выборками. Гене­ральной совокупностью… Пример 1. Пусть из 2000 изделий отобрано для обследования 100 изделий. Тогда объем генеральной совокупности N = 2000,…

Способы отбора

Различают два способа отбора: без расчленения генераль­ной совокупности на части и с расчленением. К первому отно­сятся простые случайные отборы… Второй способ отбора включает в себя следующие разно­видности, соответствующие… На практике часто употребляется комбинирование указан­ных выше способов отбора. Например, генеральную совокуп­ность…

Статистическое распределение выборки

Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка объ­ема п, в которой значение x1 некоторого исследуемого призна­ка Х наблюдалось п1 раз,…  

Эмпирическая функция распределения

Пусть nх — число наблюдений, при которых значение при­знака Х меньше х. При объеме выборки, равном п, относитель­ная частота события Х < х равна… Определение 8. Функция  

Полигон и гистограмма

Каждую пару значений (xi, ni) из распределения выборки можно трактовать как точку на координатной плоскости. Точ­но так же можно рассматривать и…  

Статистические оценки параметров распределения

Значения количественного признака х1, х2, ..., хk в выборке можно рассматривать как независимые случайные величины. В таком случае нахождение… Несмещенной называется статистическая оценка , мате­матическое ожидание…  

Виды дисперсий

Часто значения количественного признака Х совокупности разбиваются на определенное число групп. Каждую группу можно рассматривать как…  

Эмпирические моменты

Для вычисления сводных характеристик выборок исполь­зуют эмпирические моменты, аналогичные соответствующим теоретическим моментам. Обычным…  

Асимметрия и эксцесс эмпирического распределения

Нормальное распределение является одним из самых рас­пространенных в применениях математической статистики. Для оценки отклонения эмпирического… Асимметрия эмпирического распределения определяется следующим равенством:  

УПРАЖНЕНИЯ

18.2. Книга издана тиражом 100 тысяч экземпляров. Вероят­ность брака в книге равна 0,0001. Найти вероятность того, что тираж содержит ровно 5… 18.3. Случайная составляющая дохода равна 2Х, а случайная составляющая затрат… 18.4. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X, заданной законом распределения

Раздел II. ОСНОВЫ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

 

Управление и планирование являются наиболее сложными функциями в работе предприятий, фирм, служб администра­ций всех уровней. Долгое время они являлись монополией че­ловека с соответствующей подготовкой и опытом работы. Со­вершенствование науки, техники, разделение труда усложнили принятие решений в управлении и планировании.

Для принятия обоснованного решения необходимо иметь и обработать большое количество информации, определяемое иногда астрономическими цифрами. Принятие ответственных решений, как правило, связано с большими материальными ценностями. В настоящее время недостаточно знать путь, ве­дущий к достижению цели. Необходимо из всех возможных пу­тей выбрать наиболее экономичный, который наилучшим об­разом соответствует поставленной задаче.

Появление цифровых вычислительных машин и персональ­ных компьютеров создало огромные возможности для разви­тия науки, совершенствования методов планирования и управ­ления производством. Однако без строгих формулировок задач, без математического описания процессов современный уровень управления и планирования не может быть достигнут.

Задачи управления и планирования обычно сводятся к вы­бору некоторой системы параметров и системы функций, ко­торые приводят к экстремальным задачам следующего вида.

Требуется найти максимум функции

 

 

при условиях:

 

 

где f, g_i — функции, x₁, x₂, ..., x_п — параметры управления.

Выражение (а) называется функцией цели. Условия (b) и (с) представляют собой ограничения поставленной задачи. Усло­вия (с) справедливы для многих задач, особенно экономичес­ких, когда параметры управления (x_j) по своему физическом смыслу не могут быть отрицательными. Среди условий задачи могут быть равенства.

Математическая дисциплина, занимающаяся изучением эк­стремальных (максимальных или минимальных) задач управ­ления, планирования и разработкой методов их решения, полу­чила название математического программирования.

Основное отличие задач математического программирова­ния от условных экстремальных задач, рассмотренных в час­ти 6, заключается в наличии неравенств в системе ограниче­ний. Поэтому методы решения задач на условный экстремум с помощью множителей Лагранжа не могут быть применены.

В зависимости от вида функции цели и ограничений ма­тематическое программирование делится на линейное и нели­нейное.

Наиболее разработанным разделом математического про­граммирования является линейное программирование.

В задачах линейного программирования возможны случаи, когда параметры управления могут принимать лишь целые дискретные значения. При решении подобных задач использу­ется целочисленное программирование.

В некоторых случаях исходные параметры задачи могут изменяться в некоторых пределах, для их решения применяет­ся параметрическое программирование.

В настоящее время не существует общих и достаточно эф­фективных методов решения задач нелинейного программи­рования. Лишь для определенного класса нелинейных задач, система ограничений которых линейна, а целевая функция не­линейна, но обладает свойством выпуклости, разработаны до­статочно эффективные методы, получившие название методов выпуклого программирования.

На практике часто приходится сталкиваться с ситуациями, в которых необходимо принимать решения при наличии двух или более сторон, имеющих различные цели. Результаты любого действия каждой из сторон зависят от решений партнеров. В экономике подобные ситуации встречаются довольно часто. Для решения задач с конфликтными ситуациями используют математические методы теории игр.

Динамическое программирование — один из разделов ме­тодов оптимизации, в котором процесс принятия решения мо­жет быть разбит на отдельные этапы. В основе метода лежит принцип оптимальности, разработанный Р. Беллманом.

Сетевые модели, в основе которых лежит теория графов, позволяют проводить их оптимизацию, а также совокупность расчетных и организационных мероприятий по управлению комплексами работ при создании новых изделий и технологий.

Цель изучения системы массового обслуживания состоит в том, чтобы контролировать их характеристики для проведения оптимизации системы в целом.

Рассмотрение моделей управления запасами преследует цель выбора для предприятий оптимальных расходов на до­ставку, хранение комплектующих материалов и ресурсов, не­обходимых для изготовления изделий.

 

Часть 5. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Общая постановка задачи Определение 1. Линейное программирование — наука о ме­тодах исследования и… Эта линейная функция называется целевой, а ограничения, которые математически записываются в виде уравнений или…

Основные понятия и определения

 

Дано n-мерное пространство, точки которого имеют коор­динаты (x₁, x₂, . . . ,x_п).

Определение 1. Множество точек n-мерного пространства, координаты которых удовлетворяют уравнению

 

где хотя бы одно из чисел а₁, a₂, ..., a_n отлично от нуля, на­зывается гиперплоскостью п-мерного пространства.

В векторной форме оно записывается следующим образом:

 

 

где = (a₁, a₂,..., a_n), = (x₁, x₂,..., x_n).

Даны две гиперплоскости

 

Определение 2. Множество точек n-мерного пространства, координаты которых одновременно удовлетворяют каждому уравнению системы, называется пересечением гиперплоскос­тей.

Дано неравенство

 

 

Эта зависимость определяет полуплоскость двухмерного про­странства, лежащую по одну сторону от прямой

 

 

которая называется граничной прямой.

Определение 3. Множество точек n-мерного пространства, координаты которых удовлетворяют неравенству

 

 

называется полупространством n-мерного пространства, рас­положенным по одну сторону от гиперплоскости

 

Определение 4. Множество точек n-мерного пространства, содержащее вместе с любыми двумя точками A и В и все точ­ки отрезка АВ, называется выпуклым телом (областью, фи­гурой).

Примеры плоских выпуклых фигур приведены на рис. 19.1.

 

 

Примеры невыпуклых фигур приведены на рис. 19.2.

 

 

Дадим некоторые определения выпуклой области.

Определение 5. Точка А называется внутренней точкой вы­пуклой области, если в сколь угодно малой окрестности этой точки содержатся только точки этой области.

Определение 6. Точка В называется граничной точкой вы­пуклой области, если в сколь угодно малой окрестности этой точки содержатся как точки данной области, так и не принад­лежащие ей (рис. 19.3).

Определение 7. Точка С называется угловой точкой вы­пуклой области, если она является граничной и не лежит внутри отрезка, соединяющего две другие точки этой облас­ти (рис. 19.3).

 

Определение 8. Если область включает все свои граничные точки, то она называется замкнутой.

Выпуклая область может быть ограниченной и неограни­ченной.

Определение 9. Ограниченной называется область, если су­ществует такое число М > 0, что радиус-вектор , соединяю­щий начало координат с любой точкой области, по абсолютной величине меньше М, т.е. || ≤ М.

Для этой области все ее точки находятся на конечном рас­стоянии от начала координат.

Определение 10. Если найдутся точки области, сколь угод­но удаленные от начала координат, то область называется не­ограниченной.

Определение 11. Выпуклая замкнутая ограниченная область, имеющая конечное число угловых точек, называется вы­пуклым п-мерным многогранником.

Определение 12. Выпуклая замкнутая неограниченная об­ласть, имеющая конечное число угловых точек, называется вы­пуклой п-мерной многогранной областью.

Определение 13. Линейная комбинация S векторов

 

 

в которой коэффициенты t_i удовлетворяют условиям

 

называется выпуклой линейной комбинацией.

Определение 14. Пересечением выпуклых областей называ­ется множество точек, являющееся общей частью этих облас­тей.

ТЕОРЕМА 1. Пересечение выпуклых областей есть выпуклая область.

ТЕОРЕМА 2. Множество точек выпуклого п-мерного много­гранника совпадает с множеством любых выпуклых линейных комбинаций его угловых точек.

19.2. Решение систем m линейных неравенств с двумя переменными

 

Дана система т линейных неравенств с двумя переменными

 

 

Знаки некоторых или всех неравенств могут быть ≥.

Рассмотрим первое неравенство в системе координат Х₁ОХ₂. Построим прямую

 

 

которая является граничной прямой.

Эта прямая делит плоскость на две полуплоскости 1 и 2 (рис. 19.4).

 

 

Полуплоскость 1 содержит начало координат, полуплос­кость 2 не содержит начала координат.

Для определения, по какую сторону от граничной прямой расположена заданная полуплоскость, надо взять произволь­ную точку на плоскости (лучше начало координат) и подста­вить координаты этой точки в неравенство. Если неравенство справедливо, то полуплоскость обращена в сторону этой точки, если не справедливо, то в противоположную от точки сторону.

Направление полуплоскости на рисунках показываем стрел­кой.

Определение 15. Решением каждого неравенства систе­мы является полуплоскость, содержащая граничную прямую и расположенная по одну сторону от нее.

Определение 16. Пересечение полуплоскостей, каждая из ко­торых определяется соответствующим неравенством системы, называется областью решения системы (ОР).

Определение 17. Область решения системы, удовлетворяю­щая условиям неотрицательности (x_j ≥ 0, j = ), называ­ется областью неотрицательных, или допустимых, решений (ОДР).

Если система неравенств совместна, то ОР и ОДР могут быть многогранником, неограниченной многогранной облас­тью или одной точкой.

Если система неравенств несовместна, то ОР и ОДР — пус­тое множество.

Пример 1. Найти ОР и ОДР системы неравенств и опреде­лить координаты угловых точек ОДР

 

Решение. Найдем ОР первого неравенства: х₁ + 3x₂ ≥ 3. Построим граничную прямую х₁ +3x₂ – 3 = 0 (рис. 19.5). Под­ставим координаты точки (0,0) в неравенство: 1∙0 + 3∙0 > 3; так как координаты точки (0,0) не удовлетворяют ему, то решени­ем неравенства (19.1) является полуплоскость, не содержащая точку (0,0).

Аналогично найдем решения остальных неравенств систе­мы. Получим, что ОР и ОДР системы неравенств является выпуклый многогранник ABCD.

 

 

Найдем угловые точки многогранника. Точку А определим как точку пересечения прямых

 

 

Решая систему, получим А(3/7, 6/7).

Точку В найдем как точку пересечения прямых

 

 

Из системы получим B(5/3, 10/3). Аналогично найдем коорди­наты точек С и D: С(11/4; 9/14), D(3/10; 21/10).

Пример 2. Найти ОР и ОДР системы неравенств

 

Решение. Построим прямые и определим решения не­равенств (19.5)-(19.7). ОР и ОДР являются неограниченные многогранные области ACFM и ABDEKM соответственно (рис. 19.6).

Пример 3. Найти ОР и ОДР системы неравенств

 

 

Решение. Найдем решения неравенств (19.8)-(19.10) (рис. 19.7). ОР представляет неограниченную многогранную область ABC; ОДР — точка В.

 

Пример 4. Найти OP и ОДР системы неравенств

 

 

Решение. Построив прямые, найдем решения неравенств системы. ОР и ОДР несовместны (рис. 19.8).

УПРАЖНЕНИЯ

 

Найти ОР и ОДР систем неравенств

 

Глава 20. ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД

Постановка задачи

Наиболее простым и наглядным методом линейного про­граммирования является графический метод. Он применяется для решения задач ЛП с двумя… С геометрической точки зрения в задаче линейного про­граммирования ищется… Для нахождения экстремального значения целевой функ­ции при графическом решении задач ЛП используют вектор L() на…

Алгоритм решения задач

1. Находим область допустимых решений системы ограни­чений задачи. 2. Строим вектор . 3. Проводим линию уровня L0, которая перпендикулярна .

Выбор оптимального варианта выпуска изделий

 

Фирма выпускает 2 вида мороженого: сливочное и шоко­ладное. Для изготовления мороженого используются два ис­ходных продукта: молоко и наполнители, расходы которых на 1 кг мороженого и суточные запасы даны в табл. 20.1.

 

 

Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на сливочное мороженое превышает спрос на шоколадное не бо­лее чем на 100 кг. Кроме того, установлено, что спрос на шо­коладное мороженое не превышает 350 кг в сутки. Розничная цена 1 кг сливочного мороженого 16 р., шоколадного — 14 р.

Какое количество мороженого каждого вида должна про­изводить фирма, чтобы доход от реализации продукции был максимальным?

Решение. Обозначим: x₁ — суточный объем выпуска сли­вочного мороженого, кг; x₂ — суточный объем выпуска шоко­ладного мороженого, кг.

Составим математическую модель задачи.

Целевая функция будет иметь вид

 

 

при ограничениях:

 

OABDEF — область допустимых решений (рис. 20.1). Строим вектор (1, 1). Линия уровня L₀ задается уравнением

 

 

 

Перемещаем линию уровня по направлению вектора . Точ­кой выхода L₀ из области допустимых решений является точка D, ее координаты определяются как пересечение прямых, за­данных уравнениями:

 

 

Решая систему, получим координаты точки D (312,5; 300), в которой и будет оптимальное решение, т.е.

 

 

при этом

 

 

Таким образом, фирма должна выпускать в сутки 312,5 кг сли­вочного мороженого и 300 кг шоколадного мороженого, при этом доход от реализации составит 9 200 р.

Экономический анализ задач с использованием графического метода

Проведем экономический анализ рассмотренной выше за­дачи по производству мороженого. Математическая модель задачи имеет вид  

УПРАЖНЕНИЯ

Решить задачи с использованием графического метода. 20.1. L() = 3x1 + х2 → max при ограничениях:  

Глава 21. СИМПЛЕКСНЫЙ МЕТОД

Общая постановка задачи

 

Метод является универсальным, так как позволяет решить практически любую задачу линейного программирования, за­писанную в каноническом виде.

Идея симплексного метода (метода последовательного улуч­шения плана) заключается в том, что начиная с некоторого исходного опорного решения осуществляется последовательно направленное перемещение по опорным решениям задачи к оп­тимальному. Значение целевой функции при этом перемеще­нии для задач на максимум не убывает. Так как число опорных решений конечно, то через конечное число шагов получим оп­тимальное опорное решение. Опорным решением называется базисное неотрицательное решение.

 

Алгоритм симплексного метода

1. Математическая модель задачи должна быть канонической. Если она неканоническая, то ее надо привести к каноническому виду. 2. Находим исходное опорное решение и проверяем его на оптимальность. Для…  

Анализ эффективности использования производственного потенциала предприятия

Предприятие располагает тремя производственными ре­сурсами (сырьем, оборудованием, электроэнергией) и может организовать производство продукции…  

Альтернативный оптимум

При решении задач линейного программирования сим­плексным методом критерием оптимальности является условие Δj ≥ 0 для задач на максимум и… Критерием альтернативного оптимума при решении за­дач симплексным методом… Если только одна оценка свободной переменной равна ну­лю, то решение находится по формуле

УПРАЖНЕНИЯ

Решить следующие задачи симплексным методом. 21.1. L() = x1 — 3x2 — 5x3 — х4 → max при ограничениях:  

Глава 22. ДВОЙСТВЕННОСТЬ В ЛИНЕЙНОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ

 

Произвольную задачу линейного программирования можно определенным образом сопоставить с другой задачей линей­ного программирования, называемой двойственной. Первона­чальная задача является исходной. Эти две задачи тесно свя­заны между собой и образуют единую двойственную пару.

Различают симметричные, несимметричные и смешанные двойственные задачи.

Виды двойственных задач и составление их математических моделей

Симметричные двойственные задачи   Дана исходная задача

Основные теоремы двойственности

ТЕОРЕМА 1. Если одна из двойственных задач имеет оп­тимальное решение, то другая также имеет оптимальное решение, причем для любых оптимальных…

Решение двойственных задач

Решение симметричных задач   Рассмотрим решение задач с использованием теорем двой­ственности.

Экономический анализ задач с использованием теории двойственности

Рассмотрим задачу оптимального использования ресурсов, запишем ее математическую модель  

Стратегическое планирование выпуска изделий с учетом имеющихся ресурсов

Фирма выпускает три вида изделий, располагая при этом сырьем 4 типов: А, Б, В, Г соответственно в количествах 18, 16, 8 и 6 т. Нормы затрат каждого… Требуется: 1) составить план производства трех видов, максимизиру­ющих прибыль;

УПРАЖНЕНИЯ

Для следующих задач составить математические модели двой­ственных задач и по решению исходной найти оптимальное решение двойственной. 22.1. L() = x1 + 3x3 + 3x4 → min при ограничениях:  

Глава 23. ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА

Общая постановка задачи

Транспортная задача — одна из распространенных задач линейного программирования. Ее цель — разработка наиболее рациональных путей и способов… В общем виде задачу можно представить следующим об­разом: в т. пунктах… Требуется составить план перевозок, позволяющий вывез­ти все грузы и имеющий минимальную стоимость.

Нахождение исходного опорного решения

Условия задачи и ее исходное опорное решение будем за­писывать в распределительную таблицу. Клетки, в которые поместим грузы, называются занятыми,… Рассмотрим один из них — метод минимального тарифа (элемента). Согласно этому… Нулевые поставки помещают в незанятые клетки с учетом наименьшего тарифа таким образом, чтобы в каждых строке и…

Определение эффективного варианта доставки изделий к потребителю

 

На складах A₁, А₂, А₃ имеются запасы продукции в количествах 90, 400, 110 т соответственно. Потребители В₁, В₂, B₃ должны получить эту продукцию в количествах 140, 300, 160 т соответственно. Найти такой вариант прикрепления поставщиков к потребителям, при котором сумма затрат на перевозки была бы минимальной. Расходы по перевозке 1 т продукции заданы матрицей (усл. ед.)

 

 

Проверим, является ли данная транспортная задача закрытой:

 

 

следовательно, данная транспортная задача закрытая. Найдем исходное опорное решение по методу минимального тарифа.

 

 

Число занятых клеток в табл. 23.2 равно т + п - 1 = 3 + 3 – 1 = 5, т.е. условие невырожденности выполнено. Получи­ли исходное опорное решение, которое запишем в виде матри­цы:

 

 

Стоимость перевозки при исходном опорном решении со­ставляет

 

Проверка найденного опорного решения на оптимальность

Найденное исходное опорное решение проверяется на опти­мальность методом потенциалов по следующему критерию: ес­ли опорное решение транспортной… Числа ui и vj называют потенциалами. В распределитель­ную таблицу добавляют… Потенциалы ui и vj находят из равенства ui + vj = cij, спра­ведливого для занятых клеток. Одному из потенциалов…

Переход от одного опорного решения к другому

Наличие положительной оценки свободной клетки (Δij > 0) при проверке опорного решения на оптимальность свидетель­ствует о том, что… Для свободной клетки с Δij > 0 строится цикл (цепь, мно­гоугольник),… Рассмотрим переход от одного опорного решения к другому на заданном примере.

Альтернативный оптимум в транспортных задачах

 

Признаком наличия альтернативного оптимума в транспо­ртной задаче является равенство нулю хотя бы одной из оце­нок свободных переменных в оптимальном решении (X_опт1).Сделав перераспределение грузов относительно клетки, име­ющей Δ_ij = 0, получим новое оптимальное решение (Х_опт2), при этом значение целевой функции (транспортных расходов) не изменится. Если одна оценка свободных переменных равна нулю, то оптимальное решение находится в виде

 

 

где 0 ≤ t ≤ 1.

Рассмотрим конкретную задачу, имеющую альтернатив­ный оптимум.

Пример 1. На трех складах имеется мука в количестве 60, 130 и 90 т, которая должна быть в течение месяца доставлена четырем хлебозаводам в количестве: 30, 80, 60, 110 т соответ­ственно.

Составить оптимальный план перевозок, имеющий минимальные транспортные расходы, если стоимость доставки 1 т муки на хлебозаводы задана матрицей

 

 

Решение. Составим распределительную таблицу в виде табл. 23.6.

 

 

По методу минимального тарифа найдем исходное реше­ние. Определим потенциалы строк и столбцов. Найдем оценки свободных клеток:

 

 

Так как Δ₁₂ = 4 > 0, то перераспределим грузы относи­тельно клетки (1,2):

 

 

Занесем полученное перераспределение грузов в распреде­лительную таблицу и вычислим потенциалы занятых и оценки свободных клеток (табл. 23.7).

 

 

Получим

 

 

Так как Δ₃₃ = 0, то задача имеет альтернативный оптимум и одно из решений равно

 

 

Стоимость транспортных расходов составляет: L(X_опт1) = 1550 усл. ед.

Произведем перераспределение грузов относительно клетки (3,3):

 

 

Занесем в распределительную таблицу полученное пере­распределение грузов, вычислим потенциалы занятых и оценки свободных клеток (табл. 23.8):

 

 

Так как Δ₁₄ = 0, получили еще одно решение:

 

 

Стоимость транспортных расходов составит L(Х_опт2) = 1550 усл. ед.

Данная задача имеет два оптимальных решения Х_опт1 и X_опт2, общее решение находится по формуле

 

где 0 ≤ t ≤ 1.

Найдем элементы матрицы общего решения:

 

 

Итак,

 

 

Стоимость транспортных расходов составляет 1550 усл. ед.

Вырожденность в транспортных задачах

 

При решении транспортной задачи может оказаться, что число занятых клеток меньше, чем m + п - 1. В этом слу­чае задача имеет вырожденное решение. Для возможного его исключения целесообразно поменять местами поставщиков и потребителей или ввести в свободную клетку с наименьшим тарифом нулевую поставку. Нуль помещают в такую клетку, чтобы в каждой строке и каждом столбце было не менее одной занятой клетки.

Рассмотрим вырожденность в транспортной задаче на при­мере.

Пример 2. Фирма осуществляет поставку бутылок на три за­вода, занимающиеся производством прохладительных напит­ков. Она имеет три склада, причем на складе 1 находится 6000 бутылок, на складе 2 — 3 000 бутылок и на складе 3 — 4 000 бутылок. Первому заводу требуется 4000 бутылок, второму за­воду — 5 000 бутылок, третьему заводу — 1000 бутылок. Мат­рицей

 

 

задана стоимость перевозки одной бутылки от каждого склада к каждому заводу.

Как следует организовать доставку бутылок на заводы, чтобы стоимость перевозки была минимальной?

Решение. Запишем исходные данные в распределитель­ную таблицу (табл. 23.9), найдем исходное опорное решение по методу минимального тарифа. Число заполненных клеток равно 5, т + п - 1 = 6, следовательно, задача является вырож­денной.

Для исключения вырожденности необходимо в какую-то клетку ввести нулевую поставку. Такая клетка становится условно занятой, ее целесообразно определить при вычислении потенциалов занятых клеток, она должна иметь наименьший тариф по сравнению с другими клетками, которые могут быть условно занятыми.

Так, для нахождения потенциала и₃ поместим нулевую по­ставку в клетку (3,2), после чего представляется возможным вычислить остальные потенциалы.

 

 

 

Оценки свободных клеток следующие:

 

 

Все оценки отрицательные, получили оптимальное реше­ние:

 

 

Таким образом, со склада 1 целесообразно поставить 3000 бутылок второму и четвертому заводам, со склада 2 — 2000 бутылок второму заводу и 1000 бутылок третьему, со склада 3 — 4000 бутылок первому заводу, при этом стои­мость транспортных расходов будет минимальной и составит 28 000 усл. ед.

Открытая транспортная задача

 

При открытой транспортной задаче сумма запасов не сов­падает с суммой потребностей, т.е.

 

 

При этом:

а) если

 

 

то объем запасов превышает объем потребления, все по­требители будут удовлетворены полностью и часть за­пасов останется невывезенной. Для решения задачи вво­дят фиктивного (n + 1)-потребителя, потребности кото­рого

 

 

Модель такой задачи будет иметь вид

 

 

при ограничениях:

 

 

б) если

 

 

то объем потребления превышает объем запасов, часть потребностей останется неудовлетворенной. Для реше­ния задачи вводим фиктивного (m + 1)- поставщика

:

 

Модель такой задачи имеет вид

 

 

при ограничениях:

 

 

При введении фиктивного поставщика или потребителя от­крытая транспортная задача становится закрытой и решается по ранее рассмотренному алгоритму для закрытых транспорт­ных задач, причем тарифы, соответствующие фиктивному по­ставщику или потребителю, больше или равны наибольшему из всех транспортных тарифов, иногда их считают равными нулю. В целевой функции фиктивный поставщик или потреби­тель не учитывается.

Определение оптимального варианта перевозки грузов с учетом трансформации спроса и предложений

 

Рассмотрим следующую задачу.

Составить оптимальный план перевозки грузов от трех по­ставщиков с грузами 240, 40, 110 т к четырем потребителям с запросами 90, 190, 40 и 130 т. Стоимости перевозок единицы груза от каждого поставщика к каждому потребителю даны матрицей

 

 

Решение. Запасы грузов у поставщиков: = 390 т. Запросы потребителей: = 450 т; так как

< то вводим фиктивного поставщика с грузом а_4ф = 450 - 390 = 60 т.

Тариф фиктивного поставщика 4ф примем равным 20 усл. ед.

Так как т + п – 1 = 7, а число занятых клеток равно 6, то для исключения вырожденности введем в клетку (2, 2) нулевую поставку. Оценки свободных клеток:

 

 

(табл. 23.10).

Оценка свободной клетки (1,3) больше нуля, перераспреде­лим грузы:

 

 

 

Запишем полученное перераспределение грузов в табл. 23.11.

Имеем

 

 

Получили оптимальное решение:

 

 

Стоимость транспортных расходов — 3120 усл. ед.

Экономический анализ транспортных задач

Проведем экономический анализ задачи на конкретном при­мере. Пример 3. Три торговых склада могут поставлять некоторое изделие в количестве… Какова минимальная стоимость транспортировки от по­ставщиков к потребителям? Провести анализ решения при условии, что…

Приложение транспортных моделей к решению некоторых экономических задач

 

Алгоритм и методы решения транспортной задачи могут быть использованы при решении некоторых экономических за­дач, не имеющих ничего общего с транспортировкой груза. В этом случае величины тарифов с_ij имеют различный смысл в зависимости от конкретной экономической задачи. К таким задачам относятся следующие:

— оптимальное закрепление за станками операций по обра­ботке деталей. В них c_ij является таким экономическим показателем, как производительность. Задача позволяет определить, сколько времени и на какой операции нуж­но использовать каждый из станков, чтобы обработать максимальное количество деталей. Так как транспорт­ная задача требует нахождения минимума, то значения c_ij берутся с отрицательным знаком;

— оптимальные назначения, или проблема выбора. Имеет­ся т механизмов, которые могут выполнять т различ­ных работ с производительностью c_ij. Задача позволяет определить, какой механизм и на какую работу надо на­значить, чтобы добиться максимальной производитель­ности;

— задача о сокращении производства с учетом суммарных расходов на изготовление и транспортировку продукции;

— увеличение производительности автомобильного транс­порта за счет минимизации порожнего пробега. Умень­шение порожнего пробега сократит количество автомо­билей для перевозок, увеличив их производительность;

— решение задач с помощью метода запрещения перевозок. Используется в том случае, если груз от некоторого по­ставщика по каким-то причинам не может быть направ­лен одному из потребителей. Данное ограничение мож­но учесть, присвоив соответствующей клетке достаточ­но большое значение стоимости, тем самым в эту клетку не будут производиться перевозки.

Выбор оптимального варианта использования производственного оборудования

 

На предприятии имеются три группы станков, каждая из которых может выполнять пять операций по обработке дета­лей (операции могут выполняться в любом порядке). Макси­мальное время работы каждой группы станков соответственно равно 100, 250, 180 ч. Каждая операция должна выполняться соответственно 100, 120, 70, 130 ч.

Определить, сколько времени и на какую операцию нужно использовать каждую группу станков, чтобы обработать мак­симальное количество деталей.

Производительность каждой группы станков на каждую операцию задана матрицей

 

 

Решение. Воспользуемся алгоритмом решения закрытой транспортной задачи (табл. 23.13).

Так как в задаче требуется найти максимум, а согласно алгоритму транспортной задачи находится минимум, тарифы умножим на (—1).

 

 

Находим потенциалы свободных клеток:

 

 

Так как Δ₁₄ = 3 > 0, перераспределим грузы, получим

 

 

Полученное перераспределение грузов занесем в табл. 23.14.

Оценки свободных клеток составляют

 

 

Найденное решение является оптимальным, так как все оценки свободных клеток отрицательные. Итак,

 

 

 

Таким образом, на первой группе станков целесообразно выполнять операции 1 и 4 продолжительностью 40 и 60 ч со­ответственно, на второй группе — операции 1, 2 и 3 продолжи­тельностью 60, 120 и 70 ч соответственно, на третьей группе — операции 4 и 5 продолжительностью 50 и 130 ч соответственно. При этом максимальное число обработанных деталей составит 5 170 шт.

УПРАЖНЕНИЯ

Решить следующие транспортные задачи, заданные распреде­лительной таблицей.  

Глава 24. ЦЕЛОЧИСЛЕННОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

Общая формулировка задачи

Некоторые задачи линейного программирования требуют целочисленного решения. К ним относятся задачи по произ­водству и распределению неделимой…  

Пример.

 

 

 

Если f_i и хотя бы одно значение h_ij дробны, то с учетом введенных обозначений целых и дробных чисел дополнитель­ное ограничение по целочисленности примет вид

 

{h_i,r+l} x_r+1 + {h_i,r+2} x_r+2 + • • • + {h_i,п} x_п ≥ {f_i}.

Примечания. 1) Если f_i — дробное число, а все h_ij — целые числа, то задача линейного программирования не имеет целочисленного решения.

2) Ограничение целочисленности может быть наложено не на все переменные, а лишь на их часть. В этом случае задача является частично целочисленной.

Графический метод решения задач

 

При наличии в задаче линейного программирования двух переменных, а в системе ограничений — неравенств она может быть решена графическим методом.

В системе координат Х₁ОХ₂ находят область допустимых решений, строят вектор и линию уровня. Перемещая линию уровня по направлению для задач на максимум, находим наиболее удаленную от начала координат точку и ее коорди­наты.

В том случае, когда координаты этой точки нецелочислен­ные, в области допустимых решений строят целочисленную решетку и находят на ней такие целые числа, которые удовле­творяют системе ограничений и при которых значение целевой функции наиболее близко к экстремальному нецелочисленному решению. Координаты такой вершины и являются целочислен­ным решением.

Аналогично решается задача на минимум.

 

Прогнозирование эффективного использования производственных площадей

Рассмотрим следующую задачу. Для улучшения финансового положения фирма приняла ре­шение об увеличении… Решение. Составим математическую модель задачи. Предположим, что фирма приобретает х1 комплектов допол­нительного…

Метод Гомори

Решим эту же задачу методом Гомори, ее математическая модель:  

УПРАЖНЕНИЯ

Найти целочисленное решение следующих задач. 24.1. L() = 16x1 + 9x2 → max при ограничениях:  

Глава 25. ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

Постановка задачи

Общая задача линейного программирования имеет вид  

Линейное программирование с параметром в целевой функции

Пусть коэффициент cj целевой функции изменяется в пре­делах (cj — c'j,cj + с''j), тогда для удобства решения задачи его можно заменить выражением …  

Определение диапазона оптимального решения выпуска продукции при изменении условий реализации

Рассмотрим следующую задачу. Предприятие должно выпустить два вида продукции А и В, для изготовления… Для каждого из возможных значений цены единицы про­дукции данного вида найти такой план их производства, при котором…

Транспортная параметрическая задача

 

Задача формулируется следующим образом: для всех зна­чений параметра δ ≤ λ ≤ φ, где δ, φ — произвольные дейст­вительные числа, найти такие значения x_ij (i = ; j =), которые обращают в минимум функцию

 

 

при ограничениях:

 

 

Пользуясь методом потенциалов, решаем задачу при λ = δ до получения оптимального решения. Признаком оптимально­сти является условие:

 

u_i + v_j — [c'_ij + λс"_ij) ≤ 0 для незанятых клеток

и u_i + v_j = с' _ij + λс''_ij для занятых клеток,

где u_i, v_j — потенциалы строк, столбцов распределительной таблицы.

Условие совместимости транспортной задачи запишется в виде

 

 

Значения α_ij и β_ij определяются из условия

 

 

где u'_i, v'_i, u"_j, v"_j определяются из систем уравнений

 

 

Значения λ находятся в пределах λ₁ ≤ λ ≤ λ₂:

 

 

Алгоритм решения.

1) Задачу решаем при конкретном значении параметра λ = δ до получения оптимального решения.

2) Определяем α_ij и β_ij.

3) Вычисляем значения параметра λ.

4) Если λ < φ, производим перераспределение поставок и получаем новое оптимальное решение. Если λ = φ, то процесс решения окончен.

Нахождение оптимальных путей транспортировки грузов при нестабильной загрузке дорог

Имеются три поставщика однородного товара с объемами поставок: а1 = 100 т, а2 = 200 т, a3 = 100 т и четыре потреби­теля с объемами потребления b1 =…  

УПРАЖНЕНИЯ

Решить следующие задачи параметрического программирова­ния с параметром в целевой функции. 25.1. L() = -λx1 — х2 → min, 1 ≤ λ ≤ 11 при…  

Глава 26. ЗАДАЧА О НАЗНАЧЕНИЯХ

Постановка задачи

Задача заключается в выборе такого распределения ре­сурсов по объектам, при котором минимизируется стоимость назначений. Предполагается, что каждый… Возможные применения задачи о назначениях представле­ны в табл. 26.1.  

Алгоритм решения задачи

Задача о назначениях является частным случаем транспо­ртной задачи, в которой ai = bj = 1. Поэтому ее можно решать алгоритмами транспортной задачи.… 1) преобразования строк и столбцов матрицы; 2) определение назначения;

Пример.

 

 

Распределить ресурсы по объектам.

Решение.1-й шаг. Значения минимальных элементов строк 1, 2, 3 и 4 равны 2, 4, 11 и 4 соответственно. Вы­читая из элементов каждой строки соответствующее ми­нимальное значение, получим

 

 

Значения минимальных элементов столбцов 1, 2, 3 и 4 равны 0, 0, 5, 0 соответственно. Вычитая из элементов каждого столбца соответствующее минимальное значе­ние, получим

 

2-й шаг. Ни одно полное назначение не получено, необходимо провести модификацию матрицы стоимостей.

3-й шаг. Вычеркиваем столбец 1, строку 3, строку 2 (или столбец 2). Значение минимального невычеркнутого эле­мента равно 2:

 

 

Вычитаем его из всех невычеркнутых элементов и, складывая его со всеми элементами, расположенными на пересечении двух линий, получим

 

 

Ответ. Первый ресурс направляем на 3-й объект, вто­рой — на 2-й объект, четвертый — на 1-й объект, третий ре­сурс — на 4-й объект. Стоимость назначения: 9 + 4 + 11 + 4 = 28.

Примечания. 1. Если исходная матрица не является квад­ратной, то нужно ввести фиктивные ресурсы или фиктивные объекты, чтобы матрица стала квадратной.

2. Если какой-либо ресурс не может быть назначен на ка­кой-то объект, то соответствующая стоимость полагается рав­ной достаточно большому числу М.

3. Если исходная задача является задачей максимизации, то все элементы матрицы С следует умножить на (—1) и сло­жить их с достаточно большим числом так, чтобы матрица не содержала отрицательных элементов. Затем задачу следу­ет решать как задачу минимизации.

4. Если число линий, необходимое для того, чтобы вы­черкнуть нулевые элементы, равно числу строк или столб­цов (квадратной матрицы), то существует назначение нулевой стоимости.

Планирование загрузки оборудования с учетом максимальной производительности станков

Рассмотрим следующую задачу. На предприятии пять станков различных видов, каждый из которых может выполнять…  

Выбор инвестиционных проектов в условиях ограниченности финансовых ресурсов

При планировании вложений проект может быть принят к исполнению, если он имеет положительную чистую приведен­ную стоимость. Однако в… Например, у предприятия для выполнения некоторых про­грамм имеется пять…  

УПРАЖНЕНИЯ

   

Глава 27. ЗАДАЧИ С НЕСКОЛЬКИМИ ЦЕЛЕВЫМИ ФУНКЦИЯМИ

 

Формулировка задачи

В рассматриваемых выше задачах линейного программи­рования математические модели имели одну целевую функцию, для которой находилось максимальное или… Нахождение компромиссного решения относится к много­критериальным задачам… В настоящее время подобные задачи математически недо­статочно разработаны и для практической деятельности реша­ются…

Математическая модель нахождения компромиссного решения

Дана математическая модель экономической задачи, в ко­торой две целевые функции и система ограничений линейны. Найдем компромиссное решение по двум…  

Определение оптимального выпуска продукции при многокритериальных экономических показателях

Фирма выпускает два вида изделий по цене 2 ден. ед. и 3 ден. ед. соответственно. По результатам маркетинговых ис­следований спрос на изделия второго… Найти оптимальное решение по производству изделий 1-го и 2-го видов, чтобы… Решение. Обозначим: x1 — количество изделий 1-го вида, тыс. ед.; x2 — количество изделий 2-го вида тыс. ед.

УПРАЖНЕНИЯ

Составить математическую модель нахождения компромиссно­го решения и найти его. 27.1. L1 = x1 + 2x2 → max, L2 = 4x1 + х2 → min при…  

Часть 6. ЭЛЕМЕНТЫ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

Глава 28. НЕЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

Общая постановка задачи

Математическая модель задачи нелинейного программиро­вания в общем виде формулируется следующим образом: найти вектор = (х1, x2, …, xn),…  

Графический метод

Рассмотрим примеры решения задач нелинейного програм­мирования с двумя переменными, причем их целевые функции и системы ограничений могут быть…   Задача с линейной целевой функцией и нелинейной системой ограничений

Дробно-линейное программирование

Математическая модель задачи

Дробно-линейное программирование относится к нелиней­ному программированию, так как имеет целевую функцию, за­данную в нелинейном виде. Задача дробно-линейного программирования в общем виде записывается следующим…  

Метод множителей Лагранжа

Постановка задачи   Дана задача нелинейного программирования

УПРАЖНЕНИЯ

Используя графический метод, найти глобальные экстремумы функций. 28.1. L =x1 + 2x2 при ограничениях:  

Глава 29. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

 

Постановка задачи

Динамическое программирование — один из разделов оп­тимального программирования, в котором процесс принятия решения и управления может быть разбит… Экономический процесс является управляемым, если мож­но влиять на ход его… Динамическое программирование позволяет свести одну сложную задачу со многими переменными ко многим задачам с малым…

Некоторые экономические задачи, решаемые методами динамического программирования

Оптимальная стратегия замены оборудования   Одной из важных экономических проблем является опреде­ление оптимальной стратегии в замене старых станков, агре­гатов,…

УПРАЖНЕНИЯ

Известно, что затраты, связанные с приобретением и уста­новкой нового оборудования, идентичного установленному, со­ставляют 40 млн р., а заменяемое…  

Глава 30. СЕТЕВЫЕ МОДЕЛИ

 

До появления сетевых методов планирование работ, проек­тов осуществлялось в небольшом объеме. Наиболее известным средством такого планирования был ленточный график Ганта, недостаток которого состоит в том, что он не позволяет установить зависимости между различными операциями.

Современное сетевое планирование начинается с разбиения программы работ на операции. Определяются оценки продол­жительности операций, и строится сетевая модель (график). Построение сетевой модели позволяет проанализировать все операции и внести улучшения в структуру модели до начала ее реализации. Строится календарный график, определяющий начало и окончание каждой операции, а также взаимосвязи с другими операциями графика. Календарный график выявляет критические операции, которым надо уделять особое внима­ние, чтобы закончить все работы в директивный срок. Что касается некритических операций, то календарный план поз­воляет определить резервы времени, которые можно выгодно использовать при задержке выполнения работ или эффектив­ном применении как трудовых, так и финансовых ресурсов.

Основные понятия сетевой модели

 

Сетевая модель — графическое изображение плана выпол­нения комплекса работ, состоящего из нитей (работ) и узлов (событий), которые отражают логическую взаимосвязь всех операций. В основе сетевого моделирования лежит изображе­ние планируемого комплекса работ в виде графа. Граф — схе­ма, состоящая из заданных точек (вершин), соединенных сис­темой линий. Отрезки, соединяющие вершины, называются ребрами (дугами) графа. Ориентированным называется такой граф, на котором стрелкой указаны направления всех его ребер (дуг), что позволяет определить, какая из двух его граничных вершин является начальной, а какая — конечной. Исследование таких сетей проводится методами теории графов.

Теория графов оперирует понятием пути, объединяющим последовательность взаимосвязанных ребер. Контур означает такой путь, у которого начальная вершина совпадает с конеч­ной. Сетевой график — это ориентированный граф без конту­ров. В сетевом моделировании имеются два основных элемен­та — работа и событие.

Работа — это активный процесс, требующий затрат ресур­сов, либо пассивный (ожидание), приводящий к достижению намеченного результата.

Фиктивная работа — это связь между результатами работ (событиями), не требующая затрат времени и ресурсов.

Событие — это результат (промежуточный или конечный) выполнения одной или нескольких предшествующих работ.

Путь — это любая непрерывная последовательность (цепь) работ и событий.

Критический путь — это путь, не имеющий резервов и включающий самые напряженные работы комплекса. Работы, расположенные на критическом пути, называют критически­ми. Все остальные работы являются некритическими (нена­пряженными) и обладают резервами времени, которые позво­ляют передвигать сроки их выполнения, не влияя на общую продолжительность выполнения всего комплекса работ.

При построении сетевых моделей необходимо соблюдать следующие правила.

1. Сеть изображается слева направо, и каждое событие с большим порядковым номером изображается правее преды­дущего. Общее направление стрелок, изображающих работы, также в основном должно быть расположено слева направо, при этом каждая работа должна выходить из события с мень­шим номером и входить в событие с большим номером.

 

 

2. Два соседних события могут объединяться лишь одной работой. Для изображения параллельных работ вводятся про­межуточное событие и фиктивная работа (рис. 30.1).

3. В сети не должно быть тупиков, т.е. промежуточных событий, из которых не выходит ни одна работа (рис. 30.2).

 

 

4. В сети не должно быть промежуточных событий, кото­рым не предшествует хотя бы одна работа (рис. 30.3).

5. В сети не должно быть замкнутых контуров, состоя­щих из взаимосвязанных работ, создающих замкнутую цепь (рис. 30.4). Для правильной нумерации событий поступают следующим образом: нумерация событий начинается с исход­ного события, которому дается номер 1. Из исходного собы­тия 1 вычеркивают все исходящие из него работы, на остав­шейся сети вновь находят событие, в которое не входит ни одна работа. Этому событию дается номер 2. Затем вычеркивают работы, выходящие из события 2, и вновь находят на остав­шейся части сети событие, в которое не входит ни одна работа, ему присваивается номер 3, и так продолжается до заверша­ющего события. Пример нумерации сетевого графика показан на рис. 30.5.

 

 

Продолжительность выполнения работ устанавливается на основании действующих нормативов или по экспертным оцен­кам специалистов. В первом случае временные оценки являют­ся детерминированными (однозначными), во втором — стохас­тическими (вероятностными).

Рассмотрим в качестве примера программу создания но­вого бытового прибора, пользующегося спросом у населения. Необходимые данные приведены в табл. 30.1.

На основании данных таблицы построим сетевой график создания прибора с учетом вышеизложенных рекомендаций (рис. 30.6).

 

Расчет временных параметров сетевого графика

 

Основным временным параметром сетевого графика явля­ется продолжительность критического пути.

Расчет критического пути включает два этапа. Первый на­зывается прямым проходом. Вычисления начинают с исходного события и продолжают до тех пор, пока не будет достигнуто завершающее событие. Для каждого события определяется од­но число, представляющее ранний срок его наступления. На втором этапе, называемом обратным проходом, вычисления на­чинают с завершающего события и продолжают, пока не будет достигнуто исходное событие. Для каждого события вычисля­ется поздний срок его наступления.

Рассмотрим прямой проход:

 

 

t_i^р.н. — ранний срок начала всех операций, выходящих из события i.

Если i = 0, то t₀^р.н. = 0;

t_j^р.н. — ранний срок начала всех операций, входящих в j.

Тогда

 

 

где t_ij — продолжительность операции (i,j);

 

 

Прямой проход закончился, начинаем обратный:

t_i^п.o — поздний срок окончания всех операций, входящих в событие i.

Если i = п, где п — завершающее событие сети, то t_n^п.o = t_n^р.н. и является отправной точкой обратного прохода;

 

t_i^п.о = (t_j^п.о - t_i,j) для всех операций (i,j);

 

 

Используя результаты вычислений при прямом и обрат­ном проходах, можно определить операции критического пу­ти. Операция (i, j) принадлежит критическому пути, если она удовлетворяет условиям:

 

 

Для рассматриваемого примера критический путь включа­ет операции (0,2), (2,3), (3,4), (4,5), (5,6).

Операции связаны еще с двумя сроками:

t_ij^п.н. — поздний срок начала работы. Он является наибо­лее поздним (максимальным) из допустимых моментов начала данной работы, при котором еще возможно выполнение всех последующих работ в установленный срок:

 

t_ij^р.o — ранний срок окончания работы. Он является наибо­лее ранним (минимальным) из возможных моментов окончания работы при заданной продолжительности работ:

 

 

Различают два вида резервов времени: полный резерв (r_п) и свободный резерв (r_св).

Полный резерв времени показывает, на сколько может быть увеличена сумма продолжительности всех работ относитель­но критического пути. Он представляет собой разность между максимальным отрезком времени, в течение которого может быть выполнена операция, и ее продолжительностью (t_ij) и определяется как

 

 

Свободный резерв времени — максимальное время, на ко­торое можно отсрочить начало или увеличить продолжитель­ность работы при условии, что все события наступают в ран­ние сроки:

 

 

Результаты расчета критического пути и резервов време­ни некритических операций представлены в нижеследующей таблице. Следует отметить, что критические операции долж­ны иметь нулевой полный резерв времени, при этом свободный резерв также должен быть равен нулю.

 

Построение сетевого графика и распределение ресурсов

 

Конечным результатом выполняемых на сетевой модели расчетов является сетевой график (план). При построении се­тевого графика необходимо учитывать наличие ресурсов, так как одновременное выполнение некоторых операций из-за огра­ничений, связанных с рабочей силой, оборудованием и другими видами ресурсов, иногда оказывается невозможным. Именно в этом отношении представляют ценность полные резервы вре­мени некритических операций.

Сдвигая некритическую операцию в том или ином направ­лении, но в пределах ее полного резерва времени, можно до­биться снижения максимальной потребности в ресурсах. Оданако даже при отсутствии ограничений на ресурсы полные резервы времени обычно используются для выравнивания потребностей в ресурсах на протяжении всего срока реализации программы работ. Это означает, что работы удастся выполнить более или менее постоянным составом рабочей силы.

 

 

 

 

На рис. 30.8 показана потребность в рабочей силе при усло­вии выбора в качестве календарных сроков некритических опе­раций начала их ранних сроков, на рис. 30.9 — потребность в рабочей силе при выборе наиболее поздних сроков.

Пунктирной линией представлена потребность критичес­ких операций, которая должна быть удовлетворена, если нуж­но выполнить все работы в минимально возможный срок.

Оптимальное решение задачи равномерного использования ресурсов (минимизация максимальной потребности в ресур­сах) представлено на рис. 30.10, уточненный график выпол­нения работ указан на рис. 30.11.

 

Учет стоимостных факторов при реализации сетевого графика

 

Стоимостные факторы при реализации сетевого графика учитываются путем определения зависимости "затраты-продолжительность" для каждой операции. При этом рассматри­ваются прямые затраты, а косвенные типа административных или управленческих расходов не принимаются во внимание.

 

 

 

 

 

 

На рис. 30.12 показана линейная зависимость стоимости операции от ее продолжительности. Точка (D_B, С_B), где D_B — продолжительность операции, а С_B — ее стоимость, соответ­ствует нормальному режиму выполнения операции. Продолжи­тельность операции можно уменьшить (сжать), увеличив ин­тенсивность использования ресурсов, а следовательно, увели­чив стоимость операции. Однако существует предел, называе­мый минимальной продолжительностью операции. За точкой, соответствующей этому пределу (точка максимально интен­сивного режима), дальнейшее увеличение интенсивности ис­пользования ресурсов ведет лишь к увеличению затрат без со­кращения продолжительности операции. Этот предел обозна­чен на рис. 30.12 точкой А с координатами (D_A,С_A).

Линейная зависимость "затраты-продолжительность" принимается из соображений удобства, так как ее можно определить для любой операции по двум точкам нормального и максимально интенсивного режимов, т.е. по точкам А и В.

Использование нелинейной зависимости "затраты-продолжительность" существенно усложняет вычисления. Поэтому иногда нелинейную зависимость можно аппроксимировать ку­сочно-линейной (рис. 30.13), когда операция разбивается на части, каждая из которых соответствует одному линейному отрезку. Следует отметить, что наклоны этих отрезков при переходе от точки нормального режима к точке максимально интенсивного режима возрастают. Если это условие не выпол­няется, то аппроксимация не имеет смысла.

Определив зависимость "затраты-продолжительность", для всех операций сети принимают нормальную продолжи­тельность. Далее рассчитывается сумма затрат на все опе­рации сети при этой продолжительности работ. На следую­щем этапе рассматривается возможность сокращения продол­жительности работ. Этого можно достичь за счет уменьшения продолжительности какой-либо критической операции, только критические операции и следует подвергать анализу.

Чтобы добиться сокращения продолжительности выполне­ния работ при минимально возможных затратах, необходи­мо в максимально допустимой степени сжать ту критическую операцию, у которой наклон кривой "затраты-продолжитель­ность" наименьший. В результате сжатия критической опе­рации получают новый календарный график, возможно, с но­вым критическим путем. Стоимость работ при новом кален­дарном графике будет выше стоимости работ по предшест­вующему графику. На следующем этапе этот новый график вновь подвергается сжатию за счет следующей критической операции с минимальным наклоном кривой "затраты-продол­жительность" при условии, что продолжительность этой опе­рации не достигла минимального значения. Подобная проце­дура повторяется, пока все критические операции не будут находиться в режиме максимальной интенсивности. Получен­ный таким образом оптимальный календарный график соот­ветствует минимуму прямых затрат.

 

Обоснование привлекательности проекта по выпуску продукции

 

Для финансирования проектов по строительству и наладке изготовления конкурентоспособной продукции в большинстве случаев фирмам требуются инвестиции. Включение в проект материалов с оптимизацией сетевых моделей в части обоснова­ния сроков возврата инвестиций делает проект более привле­кательным и способствует принятию инвестором положитель­ного решения.

Пример 1. Предприятие решило для улучшения финансового состояния наладить выпуск конкурентоспособной продукции (мороженого). Для переоборудования цеха (участка) под вы­пуск этой продукции необходимо выполнить:

1) подготовку технического задания на переоборудование участка (30 дн.);

2) заказ и поставку нового оборудования (60 дн.);

3) заказ и поставку нового электрооборудования (50 дн.);

4) демонтаж старого и установку нового оборудования (90 дн.);

5) демонтаж старого и установку нового электрооборудо­вания (80 дн.);

6) переобучение персонала (30 дн.);

7) испытания и сдачу в эксплуатацию оборудования для производства мороженого (20 дн.).

Ожидается, что производительность после ввода новой ли­нии составит 20 т мороженого в смену. Прибыль от реализации 1 т продукции составит 0,5 тыс. р. в смену. Деньги на покуп­ку и переоборудование участка в размере 2000 тыс. р. взяты в банке под 20% годовых (из расчета 1500 тыс. р. на закупку оборудования и 500 тыс. р. на работы по демонтажу старого оборудования и установке нового оборудования). Затраты на проведение работ в нормальном и максимальном режимах ука­заны в табл. 30.3.

Определить, через какое время может быть возвращен кре­дит в банк.

 

 

Решение. 1. Составим график проведения работ по пуску новой линии:

 

 

На проведение переоборудования необходимо

 

 

2. График можно улучшить, выполняя некоторые работы параллельно. Получим график (рис. 30. 14).

 

 

На этом графике обозначены работы:

0,1 — подготовка технического задания;

1,2 — заказ и поставка нового оборудования;

1,3 — заказ и поставка нового электрооборудования;

2,4 — установка нового оборудования;

3,4 — установка нового электрооборудования;

1,4 — переобучение персонала;

4,5 — сдача в эксплуатацию новой линии.

По графику путь (0,1), (1,2), (2,4), (4,5) имеет продолжи­тельность 200 дн.; (0,1), (1,3), (3,4), (4,5) — 180 дн.; (0,1), (1,4),(4,5) - 80дн.

Критическим путем графика является путь, на котором на­ходятся работы (0,1), (1,2), (2,4), (4,5) продолжительностью

 

30 + 60 + 90 + 20 = 200 дн.

 

График улучшился на 360 — 200 = 160 дн.

Определим, через какое время после начала выпуска моро­женого может быть возвращен кредит в банк.

Через 200 дн. после начала работ предприятие истратит 1 500 тыс. р. на приобретение оборудования (согласно условию примера) и 265 тыс. р. на его установку и сдачу в эксплу­атацию (см. табл. 30.3, столбец "Затраты" при нормальном режиме). В наличии у предприятия останется

 

2 000 - 1500 - 265 = 235 тыс. р.

 

Построим графики изменения кредита в зависимости от времени получения прибыли предприятием — от выпуска мо­роженого (рис. 30.15).

 

 

 

Для построения графика изменения кредита в зависимос­ти от времени составим уравнение. Через 360 дн. после выда­чи банком кредита под 20% годовых долг предприятия соста­вит 2 400 тыс. р. Поэтому известны две точки этой прямой: А (0, 2000), B (360, 2400). Согласно уравнению прямой, прохо­дящей через две точки:

 

 

Решая уравнение, получим

 

 

Найдем уравнение прибыли предприятия. Известно, что че­рез 200 дн. после начала работ у предприятия осталось от кре­дита 235 тыс. р. Через 100 дн. после начала выпуска продукции предприятие получит прибыль

 

 

и у него будет в наличии

 

 

Таким образом, для нахождения уравнения прибыли имеем две точки: С (200, 235), D (300, 1235). Тогда

 

 

Решая совместно уравнения (30.1) и (30.2), определим вре­мя, когда кредит может быть возвращен в банк:

 

 

Откуда получаем у = 2471, х = 423,6 ≈ 424 дн.

3. График выполнения работ может быть сжат за счет вы­полнения некоторых операций в максимально интенсивном ре­жиме.

Вычислим наклоны кривой "затраты-продолжительность" для каждой операции. Результаты расчетов даны в табл. 30.4.

Учитывая наклоны кривой, производим сжатие операций (0,1), (2,4), (3,4), (4,5), получим сетевой график (рис. 30.16).

 

 

Новый график имеет 2 критических пути: (0,1), (1,2), (2,4), (4,5) и (0,1), (1,3), (3,4), (4,5) с продолжительностью 157 дн.

Таким образом, критический путь сокращен с 200 до 157 дн., а это означает, что предприятие начнет производить мороженое через 157 дн. после начала работ.

Определим, сколько предприятию придется заплатить за "сжатие" критического пути (см. табл. 30.3):

 

 

 

Таким образом, "сжатие" работ (0,1), (1,2), (2,4), (3,4), (4,5) обойдется предприятию в

 

 

График изменения кредита в зависимости от времени оста­ется прежним (см. рис. 30.15). Его вид определяет уравнение

 

 

Найдем уравнение прибыли.

Через 157 дн. после начала работ у предприятия осталось от кредита

 

 

Через 100 дн. после начала выпуска продукции предприя­тие получит прибыль

 

 

и у него будет в наличии

 

 

Таким образом, для нахождения уравнения прибыли пред­приятия имеем две точки:

 

 

Согласно уравнению прямой, проходящей через 2 точки, получим

 

 

Решая совместно уравнения (30.1) и (30.3), определим вре­мя, когда кредит может быть возвращен в банк:

 

 

Таким образом, через 384 дн. предприятие может вернуть кредит в банк. По сравнению с предыдущим случаем (см. п. 2) предприятие вернет в банк деньги раньше на 424 — 384 = 40 дн.

При нормальном режиме работ критический путь состав­ляет 200 дн., стоимость работ — 265 тыс. р.

Критический путь уменьшен до 157 дн., минимальная сто­имость работ составляет 265 + 75 = 340 тыс. р. при максималь­ном режиме.

 

Минимизация сети

Задача минимизации сети состоит в нахождении ребер, со­единяющих все узлы сети и имеющих минимальную суммар­ную длину (рис. 30.17).  

УПРАЖНЕНИЯ

  30.2. Постройте график работ, определите критический путь и стоимость работ при нормальном режиме, критический путь и…

Часть 7. ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ И ЭЛЕМЕНТЫ ПЛАНИРОВАНИЯ

Глава 31. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ИГР

 

В экономике иногда приходится сталкиваться с ситуацией, когда при наличии многих участников эффективность реше­ния одного из них зависит от того, какие решения приняли другие участники. Например, доход предприятия от продажи изделия зависит не только от установленной на него цены, но и от количества купленных покупателем изделий. Или при вы­боре ассортимента товаров, выпускаемых предприятием, нуж­но учитывать, какой ассортимент товаров выпускают другие предприятия.

Все ситуации, когда эффективность действия одного из участников зависит от действий других, можно разбить на два типа: интересы участников совпадают, и они могут догово­риться о совместных действиях; интересы участников не сов­падают. В этом случае может оказаться невыгодным сообщать другим участникам свои решения, так как кто-нибудь из них сможет воспользоваться знанием чужих решений и получит больший выигрыш за счет других участников. Ситуации та­кого типа называются конфликтными. Построением матема­тических моделей конфликтных ситуаций и разработкой мето­дов решения возникающих в этих ситуациях задач занимается теория игр.

В игре могут сталкиваться интересы двух или нескольких противников, поэтому игры разделяются на парные и множес­твенные. Если во множественной игре интересы игроков сов­падают, то они могут объединяться, создавая коалиции. Такие игры называются коалиционными.

Задачей теории игр является выработка рекомендаций для игроков, т.е. определение для них оптимальной стратегии. Стратегией игрока называется система правил, однозначно определяющих поведение игрока на каждом ходе в зависимос­ти от ситуации, сложившейся в процессе игры. Оптимальной называется стратегия, которая при многократном повторении игры обеспечивает данному игроку максимально возможный средний выигрыш. Количество стратегий у каждого игрока может быть конечным или бесконечным, в зависимости от это­го игры подразделяются на конечные и бесконечные.

Рассмотрим простейшую математическую модель конеч­ной конфликтной ситуации, когда имеются два участника и когда выигрыш одного равен проигрышу другого. Такая мо­дель называется антагонистической игрой двух лиц с нулевой суммой.

В игре участвуют первый и второй игроки, каждый из них может записать независимо от другого цифры 1, 2 и 3. Ес­ли разность между цифрами, записанными игроками, положи­тельна, то первый игрок выигрывает количество очков, равное разности между цифрами, и, наоборот, если разность отрица­тельна, то выигрывает второй игрок. Если разность равна ну­лю, то игра заканчивается вничью.

У первого игрока три стратегии (варианта действия): А₁ (записать 1), А₂ (записать 2), А₃ (записать 3); у второго игрока также три стратегии: B₁, B₂, В₃ (табл. 33.1).

 

 

Задача первого игрока — максимизировать свой выигрыш. Задача второго игрока — минимизировать свой проигрыш или минимизировать выигрыш первого игрока.

Игру можно представить в виде матрицы, в которой стро­ки — стратегии первого игрока, столбцы — стратегии второго игрока, а элементы матрицы — выигрыши первого игрока. Та­кую матрицу называют платежной.

Для данного примера платежная матрица имеет вид

 

 

В общем случае парную игру с нулевой суммой можно за­писать платежной матрицей

 

 

Задача каждого из игроков — найти наилучшую страте­гию игры, при этом предполагается, что противники одина­ково разумны и каждый из них делает все, чтобы получить наибольший доход.

Найдем наилучшую стратегию первого игрока: минималь­ное число а„ в каждой строке обозначим α_i (i = ),

 

 

Зная α_i, т.е. минимальные выигрыши при различных стра­тегиях А_i, первый игрок выберет ту стратегию, для которой α_i максимально. Обозначим это максимальное значение через α, тогда

 

 

Величина α — гарантированный выигрыш, который может обеспечить себе первый игрок, — называется нижней ценой игры (максимином).

Аналогично для определения наилучшей стратегии второго игрока найдем максимальные значения выигрыша по столбцам и, выбрав из них минимальное значение, получим

 

 

где β — верхняя цена игры (минимакс).

Если второй игрок будет придерживаться своей минимакс­ной стратегии, то он гарантирован, что в любом случае про­играет не больше β.

Для матричной игры справедливо неравенство

 

 

Если α = β, то такая игра называется игрой с седловой точ­кой, а пара оптимальных стратегий (А_iопт, B_jопт) — седловой точкой матрицы. В этом случае элемент α_ij = v называется ценой игры, является одновременно минимальным в i-й строке и j-м столбце. Если игра имеет седловую точку, то говорят, что она решается в чистых стратегиях.

Найдем решение игры рассмотренного выше примера:

 

 

Так как α = β = 0, матрица игры имеет седловую точку.

Оптимальная стратегия первого игрока — А₃, второго — В₃. Из табл. 31.1 видно, что отклонение первого игрока от оп­тимальной стратегии уменьшает его выигрыш, а отклонение второго игрока от В₃ увеличивает его проигрыш.

Если платежная матрица не имеет седловой точки, т.е. α < β, то поиск решения игры приводит к применению слож­ной стратегии, состоящей в случайном применении двух и более стратегий с определенными частотами. Такая сложная стратегия называется смешанной.

В игре, матрица которой имеет размерность т х п, стра­тегии первого игрока задаются наборами вероятностей = (x₁, x₂,... ,x_т), с которыми игрок применяет свои чистые стратегии. Эти наборы можно рассматривать как m-мерные векторы, для координат которых

 

 

Аналогично для второго игрока наборы вероятностей опре­деляют n-мерные векторы = (y₁, y₂, … , y_п), для координат которых

 

 

Выигрыш второго игрока при использовании смешанных стратегий определяют как математическое ожидание выигры­ша, т.е. он равен

 

 

В основной теореме теории игр утверждается, что каждая конечная игра имеет, по крайней мере, одно решение, возмож­но, в области смешанных стратегий.

Применение оптимальной стратегии позволяет получить выигрыш, равный цене игры: a ≤ v ≤ b.

Применение первым игроком оптимальной стратегии x_iопт должно обеспечить ему при любых действиях второго игрока выигрыш не меньше цены игры. Поэтому выполняется соот­ношение

 

 

Аналогично второму игроку оптимальная стратегия y_jопт должна обеспечить при любых стратегиях первого игрока про­игрыш, не превышающий цену игры, т.е. справедливо соотно­шение

 

 

Если платежная матрица не содержит седловой точки, то задача определения смешанной стратегии тем сложнее, чем больше размерность матрицы. Поэтому матрицы большой раз­мерности целесообразно упростить, уменьшив их размерность путем вычеркивания дублирующих (одинаковых) и заведо­мо невыгодных стратегий. Рассмотрим игру, представленную платежной матрицей

 

 

Откуда имеем

 

 

Все элементы А₂ меньше A₃, т.е. А₃ заведомо невыгодна для первого игрока и А₂ можно исключить. Все элементы А₄ меньше А₃, исключаем А₄.

Для второго игрока: сравнивая В₁ и B₄, исключаем В₁; сравнивая В₂ и В₄, исключаем В₂; сравнивая B₃ и В₄, исклю­чаем В₃. В результате преобразований получим матрицу

 

31.1. Графическое решение игр вида (2 x n) и (m x 2)

 

Графический метод применим к играм, в которых хотя бы один игрок имеет только две стратегии. Рассмотрим игру (2 х п), см. табл. 31.2.

 

 

Предполагаем, что игра не имеет седловой точки.

Обозначим: х₁ — вероятность применения первым игроком 1-й стратегии, x₂ — вероятность применения первым игроком 2-й стратегии, причем х₂ = 1 — x₁; y₁ — вероятность примене­ния вторым игроком 1-й стратегии, у₂ — вероятность приме­нения вторым игроком 2-й стратегии и т.д., у_n — вероятность применения вторым игроком п-й стратегии.

Ожидаемый выигрыш первого игрока при применении вто­рым 1-й стратегии составит

 

 

Аналогично найдем ожидаемые выигрыши первого игрока при применении вторым игроком 2, 3, ..., n-й стратегий. Полу­ченные данные поместим в табл. 31.3.

 

 

Из таблицы видно, что ожидаемый выигрыш первого иг­рока линейно зависит от x₁. На оси X₁ построим выражения ожидаемых выигрышей первого игрока.

Первый игрок должен выбирать такие стратегии, чтобы максимизировать свой минимальный ожидаемый выигрыш. Поэтому оптимальная стратегия первого игрока определяется как точка пересечения прямых, максимизирующих его мини­мальный ожидаемый выигрыш.

Аналогично находим оптимальную стратегию второго иг­рока. Она определяется как точка пересечения прямых, мини­мизирующих его максимальные ожидаемые проигрыши.

Пример 1. Рассмотрим представленную выше игру, заданную платежной матрицей

 

 

Найти оптимальные стратегии игроков и цену игры.

Решение. Обозначим: x₁ — вероятность применения пер­вым игроком 1-й стратегии, х₂, х₃, х₄ — вероятность исполь­зования первым игроком 2, 3, 4-й стратегий соответственно, причем х₁ + x₂ + x₃ + x₄ = 1; y₁ — вероятность применения вторым игроком 1-й стратегии, у₂, у₃, y₄, y₅ — вероятность использования вторым игроком 2, 3, 4, 5-й стратегий соответ­ственно, причем y₁ + у₂ + у₃ + y₄ + y₅ = 1.

Платежная матрица была упрощена путем вычеркивания дублирующих, заведомо невыгодных стратегий. Поэтому x₂ = x₄ = y₁ = y₂ = y₃ = 0 и матрица имеет вид

 

 

 

Найдем решение игры (табл. 31.4) графическим методом (рис. 31.1). На оси Х₁ разместим точки х₁ = 0 и х₁ = 1, через которые проведем прямые, перпендикулярные оси Х₁. Подстав­ляя х₁ = 0 и x₁ = 1 в выражение х₁ +3, найдем значения, кото­рые отложим на соответствующих перпендикулярных прямых. Соединив эти точки, получим прямую.

Аналогично рассмотрим выражение –3x₁ + 5.

Оптимальная стратегия первого игрока определится из ра­венства выражений х₁ + 3 и -3х₁ + 5:

 

Цена игры v = x₁ + 3 = 1/2 + 3 = 7/2.

 

 

Оптимальная стратегия первого игрока:

 

 

Найдем оптимальную стратегию для второго игрока (табл. 31.5).

 

 

Имеем

 

 

Оптимальная стратегия второго игрока (рис. 31.2):

 

 

 

Пример 2. Найдем решение игры вида (2 х n), заданной пла­тежной матрицей (табл. 31.6)

 

 

Решение. Находим

α = mах (-1,2) = 2, β = min (4, 3, 3, 6) = 3, 2≤ v≤ 3.

Тогда

 

 

Оптимальное решение первого игрока:

_опт = (1/2, 1/2), при этом цена игры составляет v = 5/2.

Найдем оптимальное решение второго игрока (табл. 31.7).

Из рис. 31.3 следует, что оптимальная стратегия первого игрока определяется из равенства выражений –x₁ + 3 и х₁ + 2, соответствующих 2-й и 3-й чистым стратегиям второго игрока (см. табл. 31.5), поэтому y₁ = y₄ = 0, а у₃ = 1 – y₂.

 

 

Имеем

 

 

откуда

 

 

 

Оптимальное решение второго игрока (рис. 31.4):

_опт = (0,1 / 2,1 / 2,0), при этом цена игры v = 5/2.

Ответ.

_опт = (1/2, 1/2), _опт = (0,1 / 2,1 / 2,0), v = 5/2.

Пример 3. Найдем решение игры вида (т х 2), заданной пла­тежной матрицей (табл. 31.8)

 

 

Решение. Находим α = mах (2, 2, 2, -2) = 2, β = min (3, 6) = 3, 2 ≤ v ≤ 3. Пусть y₁ и у₂ (причем y₂ = l —y₁) — смешанные стратегии второго игрока; x₁, x₂, x₃, x₄ — смешанные страте­гии первого игрока.

 

 

Находим

 

 

 

Оптимальное решение второго игрока (рис. 31.5):

_опт = (2/3, 1/3), при этом цена игры v = 8/3.

Прямые, пересекающиеся в минимаксной точке, соответ­ствуют 1-й и 3-й чистым стратегиям первого игрока. Это озна­чает, что х₂= х₄ = 0. Следовательно, х₁ = 1 — x₃. Найдем оптимальную стратегию 1-го игрока (табл. 31.9, рис. 31.6).

 

 

 

Имеем

 

 

Оптимальное решение первого игрока:

_опт = (1/3, 0, 2/3, 0), при этом цена игры v = 8/3.

Ответ.

_опт = (1/3, 0, 2/3, 0), _опт = (2/3, 1/3), v = 8/3.

 

31.2. Решение игр (a_ij)_mxn с помощью линейного программирования

 

Теория игр находится в тесной связи с линейным програм­мированием, так как каждая конечная игра двух лиц с нулевой суммой может быть представлена как задача линейного про­граммирования и решена симплексным методом и, наоборот, задача линейного программирования может быть представле­на как игра.

Для первого игрока математическая модель задачи запи­сывается в виде

 

 

при ограничениях:

 

 

Математическую модель можно упростить, разделив все (п + 1) ограничений на v. Это возможно при v ≠ 0. При v = 0 рекомендуется прибавить любое положительное число ко всем элементам платежной матрицы, что гарантирует положи­тельность значения модифицированной игры. Действительное значение игры получается вычитанием из модифицированного значения этого положительного числа. Если v < 0, то надо сме­нить знаки неравенств. Полагая v > 0, систему ограничений можно записать так:

 

 

Положим Х_i = x_i/v. Так как v → max, то 1 / v → min. Получим задачу линейного программирования вида

 

 

при ограничениях:

 

 

Для второго игрока математическая модель записывается в виде

 

 

при ограничениях:

 

 

где S() = 1 / v, Y_j = у_j / v.

Задача второго игрока является двойственной по отноше­нию к задаче первого игрока. Можно найти решение одного из игроков, а затем по теоремам двойственности — решение другого.

Применение матричных игр в маркетинговых исследованиях

Торговая фирма разработала несколько вариантов плана продажи товаров на предстоящей ярмарке с учетом меняющей­ся конъюнктуры рынка и спроса… Определить оптимальный план продажи товаров. Решение. Обозначим: вероятность применения торговой фирмой стратегии П1 — x1, стратегии П2 —x2, П3 — х3; ве­роятность…

Сведение матричной игры к модели линейного программирования

В рассмотренной выше задаче игра задавалась платежной матрицей, которую сводили к модели линейного программиро­вания. И, наоборот, задача линейного… Если задача линейного программирования имеет вид  

Определение производственной программы предприятия в условиях риска и неопределенности с использованием матричных игр

Фирма "Фармацевт" — производитель медикаментов и био­медицинских изделий в регионе. Известно, что пик спроса на некоторые лекарственные… Затраты на 1 усл. ед. продукции за сентябрь-октябрь со­ставили: по первой… По данным наблюдений за несколько последних лет служ­бой маркетинга фирмы установлено, что она может реали­зовать в…

УПРАЖНЕНИЯ

Найти оптимальные стратегии и цену игры.  

Глава 32. ЭЛЕМЕНТЫ СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ (СМО)

Формулировка задачи и характеристики СМО

Часто приходится сталкиваться с такими ситуациями: оче­редь покупателей в кассах магазинов; колонна автомобилей, движение которых остановлено… Цель изучения СМО состоит в том, чтобы взять под конт­роль некоторые… В промышленности СМО применяются при поступлении сырья, материалов, комплектующих изделий на склад и вы­даче их со…

СМО с отказами

Основные понятия   Заявка, поступившая в систему с отказами и нашедшая все каналы занятыми, получает отказ и покидает систему…

СМО с неограниченным ожиданием

Основные понятия

 

Заявка, поступившая в систему с неограниченным ожида­нием и нашедшая все каналы занятыми, становится в очередь, ожидая освобождения одного из каналов.

Основной характеристикой качества обслуживания являет­ся время ожидания (время пребывания заявки в очереди).

Для таких систем характерно отсутствие отказа в обслу­живании, т.е. Р_отк = 0 и Р_обс = 1.

Для систем с ожиданием существует дисциплина очереди:

1) обслуживание в порядке очереди по принципу "первым пришел — первым обслужен";

2) случайное неорганизованное обслуживание по принципу "последний пришел — первым обслужен";

3) обслуживание с приоритетами по принципу "генералы и полковники вне очереди".

 

Формулы для установившегося режима

 

1. Вероятность простоя каналов, когда нет заявок (k = 0):

 

 

Предполагается, что ρ/п < 1.

2. Вероятность занятости обслуживанием k заявок:

 

 

3. Вероятность занятости обслуживанием всех каналов:

 

 

4. Вероятность того, что заявка окажется в очереди:

 

5. Среднее число заявок в очереди:

 

6. Среднее время ожидания заявки в очереди:

 

 

7. Среднее время пребывания заявки в СМО:

 

 

8. Среднее число занятых обслуживанием каналов:

 

 

9. Среднее число свободных каналов:

 

 

10. Коэффициент занятости каналов обслуживания:

 

 

11. Среднее число заявок в СМО:

 

СМО с ожиданием и с ограниченной длиной очереди

Основные понятия   Заявка, поступившая в систему с ожиданием с ограничен­ной длиной очереди и нашедшая все каналы и ограниченную очередь…

Определение эффективности использования трудовых и производственных ресурсов в системах массового обслуживания

Рассмотрим задачу с использованием СМО с отказами. Пример 1. В ОТК цеха работают три контролера. Если де­таль поступает в ОТК,… Решение. По условию задачи λ = 24дет./ч = 0,4дет./мин, обс = 5 мин, тогда μ = 0,2, ρ = λ / μ…

УПРАЖНЕНИЯ

Решить следующие задачи в предположении, что поток посту­пающих заявок является простейшим и длительность обслужи­вания одной заявки распределена по… 32.1. Дежурный по администрации города имеет пять телефо­нов. Телефонные… Определить показатели дежурного администратора как объек­та СМО.

Глава 33. НЕКОТОРЫЕ МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ

Общая постановка задачи

Предприятия, фирмы имеют различные запасы: сырье, комплектующие изделия, готовую продукцию, предназначен­ную для продажи, и т.д. Совокупность… Запасы создаются по различным причинам. Одна из них состоит в том, что если в… Рассмотрим простейшие математические модели управле­ния запасами. На рис. 33.1 представлены возможные графики…

Основная модель управления запасами

Введем обозначения необходимых для составления модели величин. Данные поместим в табл. 33.1. График изменения запасов представлен на рис. 33.2.  

Модель производственных запасов

В основной модели предполагали, что поступление товаров на склад происходит мгновенно, например в течение одного дня. Рассмотрим случай, когда… Определим оптимальный размер партии, минимизирую­щий общие затраты. График изменения модели производственных запасов пред­ставлен на рис. 33.4.

Модель запасов, включающая штрафы

Рассмотрим основную модель, допускающую возможность существования периодов дефицита, который покрывается при последующих поставках, и штрафов за… Пусть предприятие должно поставить q ед. товара в тече­ние каждого промежутка… Предположим, что в начале каждого периода L предприя­тие делает запас, равный k. Это означает, что в течение пе­риода…

Решение экономических задач с использованием моделей управления запасами

Решим задачу с применением основной модели управления запасами. Пример 1. Интенсивность равномерного спроса составляет 2000 телевизоров в год.… Найти оптимальный размер партии, число поставок и про­должительность цикла.

УПРАЖНЕНИЯ

— первоначальный запас равен нулю, в следующие двое су­ток товары поступали на склад непрерывно и равномер­но по 500 шт. в день, расходования… — в следующие четыре дня спрос на имеющиеся в запа­се товары был непрерывным и… — в следующие четыре дня потребность в товарах измени­лась до 200 шт. в день, с целью удовлетворения спроса и…

Часть 8. ПРАКТИКУМ

 

П1. Задания по теме "Математический анализ, функции одной переменной"

 

1. Найти множества значений x, удовлетворяющих следующим условиям.

 

Найти пределы.

 

Найти области определения функций.

 

 

Найти пределы.

 

 

Найти точки разрыва следующих функций и определить их тип.

 

 

Найти производные функций.

 

 

Составить уравнения касательных к графикам функций.

 

 

8. Найти производные высших порядков от следу­ющих функций.

А) Производные второго порядка

 

 

Б) Производные третьего порядка

 

В) Производные n-го порядка

 

 

Найти пределы с использованием

А) правила Лопиталя:

 

 

Б) разложения по формуле Маклорена:

 

 

Исследовать и построить графики функций.

 

 

Найти неопределенные интегралы

а) непосредственным интегрированием:

 

 

б) методом подстановки:

 

 

в) интегрированием по частям:

 

 

Решить задачи с определенными интегралами.

Вычислить интегралы.

 

 

2) Найти площади фигур, ограниченных следующи­ми линиями.

 

12.29. Фигура ограничена параболой у = x² + 4x — 3 и каса­тельными к ней в точках а (0, -3), b(3, 0).

12.30. Фигура ограничена параболой у = x² — 2x + 2, касатель­ной к ней в точке (3, 5) и осью Оу.

3) Найти объемы тел, образованных вращением во­круг оси Оу фигуры, ограниченной следующими лини­ями.

 

 

Вычислить несобственные интегралы.

 

П2. Задания по теме "Математический анализ, функции нескольких переменных"

Найти области определения следующих функций.

 

Построить линии уровня следующих функций.

 

 

Найти частные производные от функций.

 

 

Найти градиенты функций в следующих точках.

 

 

Найти частные производные второго порядка от функций.

 

 

Найти экстремумы функций.

 

 

П3. Задания по теме "Обыкновенные дифференциальные уравнения"

 

1. Найти общие решения уравнений первого поряд­ка методом разделения переменных.

 

 

2. Найти частные решения уравнений первого по­рядка, удовлетворяющие следующим начальным усло­виям.

 

 

3. Найти общие решения линейных уравнений пер­вого порядка.

 

 

Решить уравнения Бернулли.

 

 

Найти решения линейных однородных уравнений второго порядка.

 

6. Решить линейные неоднородные уравнения вто­рого порядка.

 

7. Найти частные решения линейных уравнений второго порядка, удовлетворяющие указанным началь­ным и краевым условиям.

 

 

П4. Задания по теме "Элементы линейной алгебры"

Вычислить

  где , и — векторы, заданные в таблице.

Найти ранги матриц, указанных в задании 2.

Решить методом Крамера системы линейных уравнений.

 

 

Решить задачи 6.1-6.6 методом обратной матрицы, вычислив ее методом Гаусса.

8. Решить методом Гаусса системы линейных уравне­ний 6.3-6.6.

9. Решить методом Гаусса системы линейных уравне­ний.

 

10. Найти фундаментальные системы решений сис­тем однородных уравнений.

 

11. Найти собственные значения и собственные век­торы матриц.

 

П5. Задания по теме "Элементы теории вероятностей"

Задачи на случайные события

1.2. В ящике находится 12 деталей, среди которых имеются 3 нестандартные. Найти вероятность того, что 3 взятые наугад детали будут стандартными. 1.3. В урне находится 20 шаров: 15 белых и 5 красных. Из урны извлекают один… 1.4. Абонент забыл последнюю цифру телефонного номера. Найти вероятность того, что при наборе номера наугад он…

Задачи на случайные величины

2.2. Тираж календаря 50 тыс. экземпляров. Вероятность брака в одном календаре равна 0,0003. Найти вероятность содержа­ния в тираже ровно 10… 2.3. Случайная составляющая дохода равна 2,5Х, а случайная составляющая затрат… 2.4. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X, заданной…

ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ

 

Глава 1

 

Глава 2

 

Глава 3

 

 

Глава 4

 

 

Глава 5

 

Глава 6

 

Глава 7

 

 

Глава 8

 

 

Глава 9

 

 

Глава 10

 

Глава 11

 

Глава 12

 

Глава 13

 

 

Глава 14

 

 

Глава 15

 

 

Глава 16

 

 

Глава 17

 

Глава 18

 

 

Глава 20

 

 

Глава 21

 

Глава 22

 

Глава 23

 

Глава 24

 

 

Глава 25

Глава 26

 

Глава 27

 

 

Глава 28

 

Глава 29

Глава 30

 

 

Глава 31

 

Глава 32

ПРИЛОЖЕНИЕ

 

ЛИТЕРАТУРА

 

[1] И.Л. Акулич. Математическое программирование в примерах и за­дачах. М., "Высшая школа", 1986.

[2] В.А. Бабайцев, А.В. Браилов, А.С. Солодовников. Математика в экономике. Часть 5. Руководство к решению задач. Теория вероят­ностей. М., Финансовая академия при Правительстве РФ, 1999.

[3] М.И. Баканов, А.Д. Шеремет. Теория экономического анализа. — М., "Финансы и статистика", 1994.

[4] Н.П. Башарин. Начала финансовой математики. - М., "ИНФРА-М", 1995.

[5] В.Е. Гмурман. Теория вероятностей и математическая статисти­ка. — М., "Высшая школа", 1998.

[6] В.Е. Гмурман. Руководство по решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М., "Высшая школа", 1998.

[7] Н.П. Кондраков. Эккаунтинг для менеджеров. — М., "Дело", 1998.

[8] М.С. Красс. Математика для экономических специальностей. — М., "ИНФРА-М", 1998.

[9] Л.Г. Лабскер, Л.О. Бабешко. Теория массового обслуживания в эко­номической сфере. — М., "ЮНИТИ", 1998.

[10] А.А. Первозванский, Т.Н. Первозванская. Финансовый рынок: расчет и риск. — М., "ИНФРА-М", 1994.

[11] Г.И. Фалин. Математический анализ рисков в страховании. — М., Российский Юридический Издательский Дом, 1994.

[12] В.В. Федосеев. Экономико-математические модели и методы в мар­кетинге. - М., "Финстатпром",1996.

[13] В.А. Чернов. Анализ коммерческого риска. — М., "Финансы и ста­тистика", 1998.

[14] Е.М. Четыркин. Методы финансовых и коммерческих расчетов. — М., "ИНФРА-М", 1995.

[15] B.C. Шипачев. Высшая математика. — М., "Высшая школа", 1995.

[16] В. С. Шипачев. Задачи по высшей математике. — М., "Высшая шко­ла".

 

Содержание

ПРЕДИСЛОВИЕ........................................................................................................................................................................................................ 3

ВВЕДЕНИЕ................................................................................................................................................................................................................ 3

Раздел I. ОСНОВЫ МАТЕМАТИКИ....................................................................................................................................................................... 4

Часть 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ.............................................................................................................................................................. 4

Глава 1. МНОЖЕСТВА.......................................................................................................................................................................................... 4

1.1. Множества. Основные обозначения. Операции над множествами............................................................................................... 4

1.2. Вещественные числа и их свойства........................................................................................................................................................ 5

1.3. Числовая прямая (числовая ось) и множества на ней....................................................................................................................... 6

1.4. Грани числовых множеств........................................................................................................................................................................ 7

1.5. Абсолютная величина числа.................................................................................................................................................................... 8

Глава 2. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ................................................................................................................................................ 8

2.1. Числовые последовательности................................................................................................................................................................ 8

2.2 Применение в экономике.......................................................................................................................................................................... 12

Глава 3. ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ............................................................................................................................................... 14

3.1. Понятие функции....................................................................................................................................................................................... 14

3.2. Предел функции......................................................................................................................................................................................... 18

3.3. Теоремы о пределах функций................................................................................................................................................................ 20

3.4. Два замечательных предела.................................................................................................................................................................. 21

3.5. Бесконечно малые и бесконечно большие функции........................................................................................................................ 23

3.6. Понятие непрерывности функции......................................................................................................................................................... 23

3.7. Непрерывность элементарных функций............................................................................................................................................. 24

3.8. Понятие сложной функции...................................................................................................................................................................... 26

3.9. Элементы аналитической геометрии на плоскости........................................................................................................................ 26

Глава 4. ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ............................................................................................................... 32

4.1. Понятие производной............................................................................................................................................................................... 32

4.2. Понятие дифференциала функции........................................................................................................................................................ 34

4.3. Правила дифференцирования суммы, произведения и частного................................................................................................. 36

4.4. Таблица производных простейших элементарных функций....................................................................................................... 36

4.5. Дифференцирование сложной функции.............................................................................................................................................. 36

4.6. Понятие производной n-го порядка...................................................................................................................................................... 37

Глава 5. ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ В ИССЛЕДОВАНИИ ФУНКЦИЙ..................................................................................... 39

5.l. Раскрытие неопределенностей............................................................................................................................................................... 39

5.2. Формула Маклорена................................................................................................................................................................................ 42

5.3. Исследование функций и построение графиков............................................................................................................................... 44

5.4. Применение в экономике......................................................................................................................................................................... 51

Глава 6. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ................................................................................................................................................... 57

6.1. Первообразная и неопределенный интеграл..................................................................................................................................... 57

6.2. Основные свойства неопределенного интеграла............................................................................................................................. 57

6.3. Таблица основных неопределенных интегралов............................................................................................................................. 58

6.4. Основные методы интегрирования....................................................................................................................................................... 59

Глава 7. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ......................................................................................................................................................... 65

7.1. Условия существования определенного интеграла........................................................................................................................ 65

7.2. Основные свойства определенного интеграла................................................................................................................................. 66

7.3. Основная формула интегрального исчисления................................................................................................................................ 67

7.4. Основные правила интегрирования..................................................................................................................................................... 69

7.5. Геометрические приложения определенного интеграла............................................................................................................... 71

7.6. Некоторые приложения в экономике................................................................................................................................................... 74

7.7. Несобственные интегралы...................................................................................................................................................................... 76

Глава 8. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ................................................................................................................................ 80

8.1. Евклидово пространство E^m................................................................................................................................................................... 80

8.2. Множества точек евклидова пространства Е^m................................................................................................................................. 80

8.3. Частные производные функции нескольких переменных.............................................................................................................. 84

8.4. Локальный экстремум функции нескольких переменных.............................................................................................................. 88

8.5. Применение в задачах экономики........................................................................................................................................................ 90

Часть 2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ........................................................... 95

Глава 9. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА.............................................................................................. 95

9.1. Основные понятия..................................................................................................................................................................................... 95

9.2. Уравнения с разделяющимися переменными.................................................................................................................................... 98

9.3. Неполные уравнения.............................................................................................................................................................................. 100

9.4. Линейные уравнения первого порядка............................................................................................................................................. 100

Глава 10. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА.......................................................................................... 103

10.1. Основные понятия теории.................................................................................................................................................................. 103

10.2. Уравнения, допускающие понижение порядка............................................................................................................................ 104

10.3. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами...................................... 106

10.4. Краевая задача для дифференциального уравнения второго порядка................................................................................. 109

Глава 11. АППАРАТ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЭКОНОМИКЕ............................................................................. 111

11.1. Дифференциальные уравнения первого порядка........................................................................................................................ 112

11.2. Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами).................................... 118

Часть 3. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ............................................................................................................................................... 121

Глава 12. ВЕКТОРЫ........................................................................................................................................................................................... 121

12.1. Векторное пространство.................................................................................................................................................................... 121

12.2. Линейная зависимость векторов....................................................................................................................................................... 122

12.3. Разложение вектора по базису.......................................................................................................................................................... 124

Глава 13. МАТРИЦЫ.......................................................................................................................................................................................... 127

13.1. Матрицы и операции над ними Понятие матрицы.................................................................................................................... 127

13.2. Обратная матрица................................................................................................................................................................................ 133

Глава 14. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ............................................................................................................................................................................. 134

14.1. Операции над определителями и основные свойства................................................................................................................ 134

14.2. Ранг матрицы и системы векторов................................................................................................................................................... 137

Глава 15. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ........................................................................................... 139

15.1. Основные понятия................................................................................................................................................................................. 139

15.2. Методы решения систем линейных уравнений............................................................................................................................ 141

15.3. Вычисление обратной матрицы методом Гаусса....................................................................................................................... 147

15.4. Геометрическая интерпретация системы линейных уравнений............................................................................................. 148

15.5. Однородные системы линейных уравнений................................................................................................................................. 149

Глава 16. ПРИМЕНЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ В ЭКОНОМИКЕ...................................................................... 154

16.1. Использование алгебры матриц....................................................................................................................................................... 154

16.2. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики........................................................................................................................ 159

16.3. Линейная модель торговли................................................................................................................................................................ 163

Часть 4. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ......................................................................................................................................... 166

Глава 17. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ................................................................................................ 166

17.1. Основные понятия теории вероятностей........................................................................................................................................ 166

17.2. Теорема сложения вероятностей...................................................................................................................................................... 168

17.3. Теорема умножения вероятностей................................................................................................................................................... 170

17.4. Обобщения теорем сложения и умножения................................................................................................................................... 172

17.5. Схема независимых испытаний........................................................................................................................................................ 176

Глава 18. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ........................................................................................................................................................... 182

18.1. Случайные величины и законы их распределения..................................................................................................................... 182

18.2. Числовые характеристики дискретных случайных величин................................................................................................... 185

18.3. Система двух случайных величин................................................................................................................................................... 192

18.4. Непрерывные случайные величины................................................................................................................................................ 195

18.5. Основные распределения непрерывных случайных величин................................................................................................. 200

18.6. Некоторые элементы математической статистики..................................................................................................................... 206

Раздел II. ОСНОВЫ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ............................................................................................................................. 216

Часть 5. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ................................................................................................................. 217

Глава 19. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ В n-МЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ..................................................... 218

19.1. Основные понятия и определения.................................................................................................................................................... 218

19.2. Решение систем m линейных неравенств с двумя переменными............................................................................................. 220

Глава 20. ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД............................................................................................................................................................... 223

20.1. Постановка задачи............................................................................................................................................................................... 223

20.2. Алгоритм решения задач.................................................................................................................................................................... 224

20.3. Выбор оптимального варианта выпуска изделий....................................................................................................................... 224

20.4. Экономический анализ задач с использованием графического метода............................................................................... 225

Глава 21. СИМПЛЕКСНЫЙ МЕТОД............................................................................................................................................................ 230

21.1. Общая постановка задачи.................................................................................................................................................................. 230

21.2. Алгоритм симплексного метода....................................................................................................................................................... 230

21.3. Анализ эффективности использования производственного потенциала предприятия.................................................... 232

21.4. Альтернативный оптимум.................................................................................................................................................................. 234

Глава 22. ДВОЙСТВЕННОСТЬ В ЛИНЕЙНОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ....................................................................................... 239

22.2. Основные теоремы двойственности................................................................................................................................................ 240

22.3. Решение двойственных задач............................................................................................................................................................ 241

22.4. Экономический анализ задач с использованием теории двойственности........................................................................... 245

22.5. Стратегическое планирование выпуска изделий с учетом имеющихся ресурсов............................................................. 247

Глава 23. ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА........................................................................................................................................................... 251

23.1. Общая постановка задачи.................................................................................................................................................................. 251

23.2. Нахождение исходного опорного решения.................................................................................................................................. 252

23.3. Определение эффективного варианта доставки изделий к потребителю............................................................................. 253

23.4. Проверка найденного опорного решения на оптимальность.................................................................................................. 254

23.5. Переход от одного опорного решения к другому........................................................................................................................ 255

23.6. Альтернативный оптимум в транспортных задачах.................................................................................................................. 257

23.7. Вырожденность в транспортных задачах..................................................................................................................................... 259

23.8. Открытая транспортная задача....................................................................................................................................................... 261

23.9. Определение оптимального варианта перевозки грузов с учетом трансформации спроса и предложений............. 262

23.10. Экономический анализ транспортных задач............................................................................................................................. 263

23.11. Приложение транспортных моделей к решению некоторых экономических задач....................................................... 265

23.12. Выбор оптимального варианта использования производственного оборудования...................................................... 266

Глава 24. ЦЕЛОЧИСЛЕННОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ........................................................................................................................ 269

24.1. Общая формулировка задачи............................................................................................................................................................ 269

24.2. Графический метод решения задач................................................................................................................................................. 271

24.3. Прогнозирование эффективного использования производственных площадей................................................................. 271

24.4. Метод Гомори........................................................................................................................................................................................ 272

Глава 25. ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ........................................................................................... 276

25.1. Постановка задачи............................................................................................................................................................................... 276

25.2. Линейное программирование с параметром в целевой функции............................................................................................ 276

25.3. Определение диапазона оптимального решения выпуска продукции при изменении условий реализации............. 278

25.4. Транспортная параметрическая задача........................................................................................................................................ 281

25.5. Нахождение оптимальных путей транспортировки грузов при нестабильной загрузке дорог.................................... 282

Глава 26. ЗАДАЧА О НАЗНАЧЕНИЯХ......................................................................................................................................................... 287

26.1. Постановка задачи............................................................................................................................................................................... 287

26.2. Алгоритм решения задачи.................................................................................................................................................................. 288

26.3. Планирование загрузки оборудования с учетом максимальной производительности станков.................................... 290

26.4. Выбор инвестиционных проектов в условиях ограниченности финансовых ресурсов................................................... 291

Глава 27. ЗАДАЧИ С НЕСКОЛЬКИМИ ЦЕЛЕВЫМИ ФУНКЦИЯМИ................................................................................................ 293

27.1. Формулировка задачи......................................................................................................................................................................... 293

27.2. Математическая модель нахождения компромиссного решения........................................................................................... 294

27.3. Определение оптимального выпуска продукции при многокритериальных экономических показателях................ 295

Часть 6. ЭЛЕМЕНТЫ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ.......................................................................................................................... 297

Глава 28. НЕЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ................................................................................................................................. 297

28.1. Общая постановка задачи.................................................................................................................................................................. 297

28.2. Графический метод.............................................................................................................................................................................. 298

28.3. Дробно-линейное программирование............................................................................................................................................ 302

28.4. Метод множителей Лагранжа........................................................................................................................................................... 308

Глава 29. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ.......................................................................................................................... 312

29.1. Постановка задачи............................................................................................................................................................................... 312

29.2. Некоторые экономические задачи, решаемые методами динамического программирования...................................... 313

Глава 30. СЕТЕВЫЕ МОДЕЛИ....................................................................................................................................................................... 325

30.1. Основные понятия сетевой модели.................................................................................................................................................. 325

30.2. Минимизация сети................................................................................................................................................................................ 338

Часть 7. ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ И ЭЛЕМЕНТЫ ПЛАНИРОВАНИЯ...................................................................................................... 345

Глава 31. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ИГР...................................................................................................................................... 345

31.1. Графическое решение игр вида (2 x n) и (m x 2)........................................................................................................................... 348

31.2. Решение игр (a_ij)_mxn с помощью линейного программирования............................................................................................... 353

31.3. Применение матричных игр в маркетинговых исследованиях................................................................................................ 354

31.4. Сведение матричной игры к модели линейного программирования..................................................................................... 355

31.5. Игры с "природой"................................................................................................................................................................................ 357

31.6. Определение производственной программы предприятия в условиях риска и неопределенности с использованием матричных игр................................................................................................................................................................................................. 358

31.7. "Дерево" решений................................................................................................................................................................................. 360

Глава 32. ЭЛЕМЕНТЫ СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ (СМО)............................................................................... 366

32.1. Формулировка задачи и характеристики СМО........................................................................................................................... 366

32.2. СМО с отказами.................................................................................................................................................................................... 368

32.3. СМО с неограниченным ожиданием............................................................................................................................................... 369

32.4. СМО с ожиданием и с ограниченной длиной очереди.............................................................................................................. 370

32.5. Определение эффективности использование трудовых и производственных ресурсов в системах массового обслуживания.................................................................................................................................................................................................. 371

Глава 33. НЕКОТОРЫЕ МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ.......................................................................................................... 375

33.1. Общая постановка задачи.................................................................................................................................................................. 375

33.2. Основная модель управления запасами......................................................................................................................................... 376

33.3. Модель производственных запасов................................................................................................................................................ 378

33.4. Модель запасов, включающая штрафы......................................................................................................................................... 379

33.5. Решение экономических задач с использованием моделей управления запасами........................................................... 380

Часть 8. ПРАКТИКУМ............................................................................................................................................................................................ 383

ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ.............................................................................................................................................................................. 428

ПРИЛОЖЕНИЕ......................................................................................................................................................................................................... 445

ЛИТЕРАТУРА........................................................................................................................................................................................................... 446