Локальная теорема Лапласа
Использование формулы Бернулли (17.16) при больших значениях п и k представляется затруднительным ввиду увеличения объема вычислений и операций с большими числами. В этом случае применима формула, устанавливаемая следующей локальной теоремой Лапласа.
ТЕОРЕМА 7. Пусть вероятность р появления события А в каждом испытании постоянна, причем 0 < р < 1. Тогда вероятность Pn(k) того, что событие А появится в п испытаниях ровно k раз, приближенно равна значению функции φ(x):
Точность формулы (17.17) возрастает с увеличением п. Имеются таблицы с вычисленными значениями функции φ(x) (см. Приложение), по которым можно с достаточно высокой степенью точности найти практически любое значение этой функции, а значит, и вычислить нужную вероятность. Поскольку функция φ(x) четная,то в таблицах даются ее значения только для положительных значений х; иными словами, знак аргумента не играет роли. Формула (17.17) носит название асимтотической формулы.
Пример 4. Вероятность выпуска бракованного изделия равна 0,3. Найти вероятность того, что среди 100 выпущенных изделий будет ровно 60 изделий без брака.
Решение. Вероятность появления события А в одном испытании (изделие без брака) р = 0,7, тогда q = 0,3, в нашем случае п = 100, k = 60. Последовательно вычисляем:
Теперь для найденного аргумента х находим по табл. 1 (см. Приложение) соответствующее значение φ(x); оно равно 0,0371. Подстановка этого числа в формулу (17.17) дает приближенное значение искомой вероятности:
