Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Определение 1. Функция f(x) называется бесконечно малой функцией (или просто бесконечно малой) в точке x = а, если предел ее в этой точке равен нулю: f(x) = 0.

Аналогично определяются бесконечно малые при х , х ±, х а+ и х а—.

ТЕОРЕМА 6. Алгебраическая сумма и произведение конечно­го числа бесконечно малых функций в точке а, как и произве­дение бесконечно малой на ограниченную функцию, являются бесконечно малыми функциями в точке а.

Определение 2. Функция f(x) называется бесконечно большой функцией в точке а (или просто бесконечно большой), если для любой сходящейся к а последовательности {х_n} значений аргумента соответствующая последовательность {f(x_n)} зна­чений функции является бесконечно большой.

В этом случае пишут f(x) = (f(x) = +или f(x) = -) и говорят, что функция имеет в точке а бесконечный предел (+или -). По аналогии с конечными односторонними пределами определены и односторонние бесконеч­ные пределы:

 

 

Аналогично определяются бесконечно большие функции при x, x+, x-.

Между бесконечно малыми и бесконечно большими функ­циями существует та же связь, что и между соответствующи­ми последовательностями, т.е. если α(х) — бесконечно малая функция при х а, то f(x) = 1/α(х) — бесконечно большая функция, и наоборот.