Альтернативный оптимум

 

При решении задач линейного программирования сим­плексным методом критерием оптимальности является условие Δ_j ≥ 0 для задач на максимум и условие Δ_j < 0 для задач на минимум. Если на каком-то шаге окажется, что хотя бы одна оценка свободной переменной Δ_j = 0, а все остальные Δ_j > 0 для задач на максимум (Δ_j < 0 для задач на минимум), то, приняв в качестве ключевого столбца столбец, где Δ_j = 0, и найдя новое оптимальное решение, заметим, что значение це­левой функции при этом не изменится. Говорят, что в этом случае задача имеет альтернативный оптимум.

Критерием альтернативного оптимума при решении за­дач симплексным методом является равенство нулю хотя бы одной оценки свободной переменной (Δ_j = 0).

Если только одна оценка свободной переменной равна ну­лю, то решение находится по формуле

 

 

где 0 ≤ t ≤ 1.

Если две оценки и более, например S, свободных перемен­ных равны нулю, то оптимальное решение определяется по формуле

 

В задачах, имеющих альтернативный оптимум, возникает возможность включения в ее модель других критериев эффек­тивности.

Пример. Дана задача линейного программирования

 

 

при ограничениях:

 

 

Решение. Составим симплексную таблицу (табл. 21.6).

В индексной строке имеется одна положительная оцен­ка. Полученное решение можно улучшить. Ключевым элемен­том является (4). Составляем симплексную таблицу 2-го шага (табл. 21.7).

Получаем

 

 

Так как Δ₂ = 0, то задача имеет альтернативный оптимум. Найдем еще одно оптимальное решение, введя вместо базисной переменной х₁ свободную переменную х₂ (табл. 21.8).

Получаем

 

 

Найдем координаты оптимального решения задачи:

 

 

Давая t значения из [0,1], получим различные _опт, при кото­рых L() = -12.